Номер 6, страница 420, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Сформулируйте теорему о перестановках множества из $n$ элементов.

Перестановкой из $n$ различных элементов называется любой упорядоченный набор (кортеж), составленный из всех элементов данного множества. Каждая перестановка представляет собой уникальный порядок следования этих элементов.

Теорема о числе перестановок формулируется следующим образом: число всех возможных перестановок для множества, состоящего из $n$ различных элементов, равно $n$-факториалу.

Число перестановок обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле:

$$P_n = n!$$

где $n!$ (читается «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно:

$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$$

По определению также принято считать, что $0! = 1$.

Доказательство (обоснование) теоремы:

Доказательство основано на основном комбинаторном правиле умножения. При создании перестановки из $n$ элементов мы должны последовательно выбрать элементы для каждой из $n$ позиций.

• На первую позицию можно поставить любой из $n$ имеющихся элементов. Таким образом, есть $n$ способов.
• После того как первый элемент выбран, для второй позиции остается $n-1$ элемент. Следовательно, есть $n-1$ способ выбрать второй элемент.
• Для третьей позиции остается $n-2$ элемента, то есть $n-2$ способа.
• Продолжая этот процесс, для последней, $n$-й позиции, у нас останется только один элемент, то есть 1 способ.

Поскольку выбор на каждом шаге является независимым, общее число способов расположить все $n$ элементов в определенном порядке равно произведению числа способов на каждом шаге:

$$P_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 = n!$$

Что и доказывает теорему.

Пример:

Для множества из 3-х элементов, например $\{A, B, C\}$, число перестановок будет равно $P_3 = 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$. Вот все шесть возможных перестановок:

• (A, B, C)
• (A, C, B)
• (B, A, C)
• (B, C, A)
• (C, A, B)
• (C, B, A)

Ответ: Число всех возможных перестановок множества, содержащего $n$ различных элементов, вычисляется как $n$-факториал по формуле $P_n = n!$.