Номер 1, страница 433, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Сформулируйте определение числа размещений и числа сочетаний из $n$ элементов по $k$.

Число размещений

Размещениями из $n$ элементов по $k$ (где $k \le n$) называются любые упорядоченные наборы, состоящие из $k$ различных элементов, выбранных из данного множества, содержащего $n$ элементов.

Ключевым свойством размещений является то, что важен не только состав выбранных элементов, но и порядок их расположения. Два размещения считаются различными, если они отличаются либо составом элементов, либо порядком их следования.

Например, если из множества {A, B, C} мы выбираем размещения по 2 элемента, то наборы (A, B) и (B, A) — это два разных размещения.

Число размещений из $n$ по $k$ обозначается как $A_n^k$ и вычисляется по формуле: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$

Ответ: Размещениями из $n$ элементов по $k$ называются упорядоченные подмножества размером $k$, составленные из элементов исходного множества размером $n$. Число всех таких размещений обозначается $A_n^k$ и находится по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Число сочетаний

Сочетаниями из $n$ элементов по $k$ (где $k \le n$) называются любые неупорядоченные наборы, состоящие из $k$ различных элементов, выбранных из данного множества, содержащего $n$ элементов.

В отличие от размещений, в сочетаниях порядок следования элементов не имеет значения. Два сочетания считаются различными только в том случае, если они отличаются составом элементов.

Например, если из множества {A, B, C} мы выбираем сочетания по 2 элемента, то набор {A, B} и {B, A} — это одно и то же сочетание.

Число сочетаний из $n$ по $k$ обозначается как $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$ и вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Можно заметить, что число сочетаний связано с числом размещений: $C_n^k = \frac{A_n^k}{k!}$, так как для каждого набора из $k$ элементов существует $k!$ способов их упорядочить (переставить).

Ответ: Сочетаниями из $n$ элементов по $k$ называются неупорядоченные подмножества (наборы) размером $k$, составленные из элементов исходного множества размером $n$. Число всех таких сочетаний обозначается $C_n^k$ и находится по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.