Номер 12, страница 410, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12. Начертите график непрерывной на интервале $(2; 5)$ функции, которая имеет внутри интервала одну критическую и две стационарные точки, но не достигает на этом интервале ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Для решения задачи необходимо сначала проанализировать все условия, которым должна удовлетворять функция, а затем построить ее график.

Анализ условий задачи

1. Непрерывность на интервале (2; 5): График функции должен представлять собой сплошную линию без разрывов в указанном интервале.

2. Критические и стационарные точки: Вспомним определения.

• Стационарная точка — это точка из области определения функции, в которой ее производная равна нулю ($f'(x) = 0$). В таких точках касательная к графику горизонтальна.
• Критическая точка — это точка из области определения функции, в которой ее производная равна нулю или не существует.

Из определений следует, что любая стационарная точка является критической. Поэтому условие «имеет внутри интервала одну критическую и две стационарные точки» является противоречивым, если понимать его буквально (наличие двух стационарных точек автоматически означает наличие как минимум двух критических).
Наиболее вероятной и разумной трактовкой этого условия является следующая: функция имеет три критические точки, из которых:

• две являются стационарными (производная равна нулю, $f'(x)=0$);
• одна является критической точкой, где производная не существует (например, точка излома или "острия").

В дальнейшем мы будем придерживаться именно этой интерпретации.

3. Отсутствие наименьшего и наибольшего значений: На открытом интервале функция не достигает своих наибольшего и наименьшего значений, если она неограничена. Это можно обеспечить, задав на границах интервала вертикальные асимптоты, устремив функцию к бесконечности. Например, пусть $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ и $\lim_{x \to 5^-} f(x) = -\infty$. Это гарантирует, что ни глобальный максимум, ни глобальный минимум на интервале (2; 5) не достигаются.

Построение графика

Основываясь на проведенном анализе, спланируем поведение функции:

1. Граничное поведение: Зададим вертикальные асимптоты $x=2$ и $x=5$. Пусть $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ и $\lim_{x \to 5^-} f(x) = -\infty$. Это означает, что при приближении к $x=2$ справа и к $x=5$ слева функция убывает, то есть ее производная $f'(x)$ отрицательна вблизи границ интервала.

2. Поведение внутри интервала: Нам нужно расположить три критические точки (две стационарные и одну "особую") так, чтобы функция убывала на краях интервала. Для этого знаки производной $f'(x)$ должны быть отрицательными в начале и в конце. Рассмотрим следующую схему знаков производной, которая удовлетворяет этому требованию: «минус» $\rightarrow$ «плюс» $\rightarrow$ «минус» $\rightarrow$ «минус».

• Выберем точку $x=3$ как первую стационарную точку. Здесь производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка локального минимума, и $f'(3)=0$.
• Выберем точку $x=3.5$ как критическую точку, где производная не существует. Здесь производная меняет знак с «+» на «–», значит, это точка локального максимума. График в этой точке будет иметь излом или острие.
• Выберем точку $x=4$ как вторую стационарную точку. Здесь производная не меняет знак (остается «–»). Так как $f'(4)=0$, это точка перегиба с горизонтальной касательной.

Таким образом, функция будет вести себя следующим образом:

• На интервале $(2; 3)$ — убывает от $+\infty$ до локального минимума.
• В точке $x=3$ — локальный минимум ($f'(3)=0$).
• На интервале $(3; 3.5)$ — возрастает до локального максимума.
• В точке $x=3.5$ — локальный максимум (излом, $f'(3.5)$ не существует).
• На интервале $(3.5; 4)$ — убывает до точки перегиба.
• В точке $x=4$ — точка перегиба с горизонтальной касательной ($f'(4)=0$).
• На интервале $(4; 5)$ — продолжает убывать, стремясь к $-\infty$.

Такая функция удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ:

Ниже представлен график функции, построенный в соответствии с описанными выше условиями.