Номер 7, страница 410, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = \begin{cases} x^2, -2 \leq x \leq 1, \\ 2-x, 1 < x \leq 3. \end{cases}$

Нужно ли в данном случае прибегать к помощи производной? строить график функции?

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений кусочно-заданной функции, нужно исследовать каждый ее участок, а затем сравнить полученные результаты.

Функция задана как: $y = \begin{cases} x^2, & -2 \le x \le 1 \\ 2-x, & 1 < x \le 3 \end{cases}$

Область определения функции — отрезок $[-2, 3]$.

1. Исследование на отрезке $[-2, 1]$

На этом отрезке функция имеет вид $y = x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине.

• Найдем вершину параболы. Ее абсцисса находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$, что для $y=x^2$ дает $x_0 = 0$. Точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-2, 1]$. Это точка локального минимума.
• Вычислим значения функции на концах отрезка и в точке минимума:
  • $y(-2) = (-2)^2 = 4$
  • $y(1) = 1^2 = 1$
  • $y(0) = 0^2 = 0$

Таким образом, на отрезке $[-2, 1]$ наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее — 4.

2. Исследование на полуинтервале $(1, 3]$

На этом промежутке функция имеет вид $y = 2-x$. Это линейная функция, ее график — прямая линия с отрицательным угловым коэффициентом ($k=-1$). Следовательно, функция монотонно убывает на всем промежутке.

• Наибольшее значение на этом промежутке функция принимала бы в левой точке ($x=1$), а наименьшее — в правой ($x=3$).
• Поскольку $x=1$ не входит в этот промежуток, мы можем найти только предел функции при $x \to 1$ справа: $\lim_{x \to 1^+} (2-x) = 2-1 = 1$.
• Вычислим значение на правом конце промежутка: $y(3) = 2 - 3 = -1$.

На полуинтервале $(1, 3]$ значения функции находятся в диапазоне $[-1, 1)$.

3. Нахождение общих наименьшего и наибольшего значений

Теперь сравним все ключевые значения, полученные на обоих участках. Нам нужно выбрать самое большое и самое маленькое из значений на концах всей области определения (в точках $x=-2$ и $x=3$), в точке "стыка" ($x=1$) и в точке локального экстремума ($x=0$).

Сравниваем значения: $y(-2)=4$, $y(0)=0$, $y(1)=1$, $y(3)=-1$.

• Наибольшее значение: $\max\{4, 0, 1, -1\} = 4$.
• Наименьшее значение: $\min\{4, 0, 1, -1\} = -1$.

Ответ: Наименьшее значение функции равно -1 (достигается при $x=3$), наибольшее значение функции равно 4 (достигается при $x=-2$).

Нужно ли в данном случае прибегать к помощи производной?

Использование производной — это общий метод для поиска экстремумов. Для данной задачи:

1. На участке $y=x^2$ производная $y' = 2x$. Приравняв ее к нулю ($2x=0$), мы находим критическую точку $x=0$, которая является точкой минимума. Это можно было определить и из свойств параболы (знание положения вершины).
2. На участке $y=2-x$ производная $y' = -1$. Так как производная никогда не равна нулю, на этом интервале нет локальных экстремумов, и функция монотонна. Это также очевидно из вида линейной функции.
3. В точке "стыка" $x=1$ производная не существует, так как производная слева (от $x^2$) равна $2 \cdot 1 = 2$, а производная справа (от $2-x$) равна $-1$. Точки, где производная не существует, также являются критическими и должны быть исследованы.

Хотя свойства заданных элементарных функций позволяют найти решение без формального вычисления производной, именно теория, основанная на производных, обосновывает, почему нужно проверять именно эти точки (концы отрезка, точки, где производная равна нулю или не существует).

Ответ: Строго говоря, нет, не нужно, так как поведение параболы и прямой хорошо известны. Однако, общий алгоритм поиска экстремумов на отрезке как раз и опирается на использование производной, так что ее применение является наиболее строгим и универсальным подходом.

строить график функции?

Для получения ответа на вопрос задачи строить график не обязательно. Аналитического исследования, приведенного выше, вполне достаточно для нахождения точных значений.

Однако построение графика — это очень полезный шаг, который позволяет наглядно представить поведение функции и визуально проверить полученный результат. На графике было бы отчетливо видно, что самая высокая точка графика находится при $x=-2$, а самая низкая — при $x=3$.

Ответ: Нет, строить график не обязательно, но он является отличным средством для визуализации и самопроверки.