Номер 1, страница 409, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Какое из утверждений верно:

а) непрерывная функция на отрезке достигает наибольшего значения;

б) существует непрерывная функция, у которой на некотором отрезке нет наибольшего значения;

в) непрерывная функция на отрезке достигает наименьшего значения;

г) существует непрерывная функция, у которой на некотором отрезке нет наименьшего значения;

д) непрерывная функция на отрезке достигает наименьшего и наибольшего значений;

е) существует непрерывная функция, у которой на отрезке нет ни наименьшего, ни наибольшего значений?

Для ответа на данный вопрос обратимся к одной из ключевых теорем математического анализа — второй теореме Вейерштрасса о непрерывной функции на отрезке. Она гласит, что любая функция, непрерывная на отрезке, достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений.

Формально: если функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом интервале $[a, b]$, то существуют такие точки $c_{1}$ и $c_{2}$ в $[a, b]$, что для всех $x$ в $[a, b]$ справедливо неравенство $f(c_1) \le f(x) \le f(c_2)$.

Теперь проанализируем каждое утверждение:

а) непрерывная функция на отрезке достигает наибольшего значения;

Это утверждение является верным следствием из теоремы Вейерштрасса. Однако оно описывает лишь часть теоремы (про наибольшее значение).

Ответ: Утверждение верно.

б) существует непрерывная функция, у которой на некотором отрезке нет наибольшего значения;

Это утверждение ложно, так как оно прямо противоречит теореме Вейерштрасса, которая гарантирует существование наибольшего значения для любой непрерывной функции на отрезке.

Ответ: Утверждение неверно.

в) непрерывная функция на отрезке достигает наименьшего значения;

Это утверждение также является верным следствием из теоремы Вейерштрасса, но, как и пункт а), оно неполное (касается только наименьшего значения).

Ответ: Утверждение верно.

г) существует непрерывная функция, у которой на некотором отрезке нет наименьшего значения;

Это утверждение ложно, поскольку оно также противоречит теореме Вейерштрасса.

Ответ: Утверждение неверно.

д) непрерывная функция на отрезке достигает наименьшего и наибольшего значений;

Это утверждение представляет собой полную и точную формулировку теоремы Вейерштрасса. Оно объединяет в себе два предыдущих верных, но неполных утверждения (а и в). В вопросах такого типа, где нужно выбрать одно верное утверждение, следует выбирать наиболее полное и точное. Данное утверждение является именно таким.

Ответ: Утверждение верно и является наиболее полным и правильным ответом.

е) существует непрерывная функция, у которой на отрезке нет ни наименьшего, ни наибольшего значений?

Данное утверждение (сформулированное в виде вопроса) ложно. Оно полностью опровергается теоремой Вейерштрасса.

Ответ: Утверждение неверно.