Номер 2, страница 409, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Может ли непрерывная на отрезке функция достигать наименьшего и наибольшего значений на концах отрезка? Приведите пример.

Да, непрерывная на отрезке функция может достигать своего наименьшего и наибольшего значений на концах этого отрезка. Это происходит, например, в случае любой монотонной функции, заданной на отрезке.

Согласно теореме Вейерштрасса, непрерывная на замкнутом отрезке $[a, b]$ функция обязательно достигает на нем своих наименьшего (глобального минимума) и наибольшего (глобального максимума) значений. Эти значения могут достигаться как во внутренних точках отрезка (в критических точках), так и на его концах.

Пример:

Рассмотрим линейную функцию $f(x) = 3x - 2$ на отрезке $[-1, 4]$.

1. Функция $f(x) = 3x - 2$ является линейной, а значит она непрерывна на всей числовой прямой, включая отрезок $[-1, 4]$.

2. Найдем значения функции на концах заданного отрезка.
На левом конце, в точке $x = -1$, значение функции равно: $f(-1) = 3 \cdot (-1) - 2 = -3 - 2 = -5$.
На правом конце, в точке $x = 4$, значение функции равно: $f(4) = 3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10$.

3. Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, нужно также проверить стационарные точки (точки, где производная равна нулю или не существует), которые лежат внутри отрезка.
Найдем производную функции: $f'(x) = (3x - 2)' = 3$.
Поскольку производная $f'(x) = 3$ никогда не равна нулю, у функции нет стационарных точек. Она является строго возрастающей на всей области определения, так как $f'(x) > 0$.

4. Так как функция строго возрастает на отрезке $[-1, 4]$, свое наименьшее значение она принимает в самой левой точке отрезка, а наибольшее — в самой правой.

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[-1, 4]$ равно $-5$ и достигается в точке $x = -1$.
Наибольшее значение функции на отрезке $[-1, 4]$ равно $10$ и достигается в точке $x = 4$.

Таким образом, и наименьшее, и наибольшее значения данной непрерывной функции достигаются на концах отрезка.

Ответ: Да, может. Например, любая строго монотонная функция на отрезке, в частности, линейная функция $f(x) = kx + b$ при $k \neq 0$ на отрезке $[a, b]$.