Номер 8, страница 392, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8. Сформулируйте теорему о достаточных условиях экстремума.

Теорема о достаточных условиях экстремума позволяет по поведению производных функции в окрестности критической точки сделать вывод о наличии и характере экстремума (локального минимума или максимума) в этой точке. Существует несколько формулировок, основанных на анализе первой, второй или старших производных.

Достаточное условие экстремума с использованием первой производной

Пусть функция $f(x)$ непрерывна в критической точке $x_0$ (где производная $f'(x_0)$ равна нулю или не существует) и дифференцируема в некоторой проколотой окрестности этой точки.

• Если при переходе через точку $x_0$ (при возрастании $x$) производная $f'(x)$ меняет знак с плюса на минус, то есть $f'(x) > 0$ при $x < x_0$ и $f'(x) < 0$ при $x > x_0$, то $x_0$ является точкой локального максимума.
• Если при переходе через точку $x_0$ производная $f'(x)$ меняет знак с минуса на плюс, то есть $f'(x) < 0$ при $x < x_0$ и $f'(x) > 0$ при $x > x_0$, то $x_0$ является точкой локального минимума.
• Если при переходе через точку $x_0$ производная $f'(x)$ не меняет свой знак, то в точке $x_0$ экстремума нет.

Ответ: Если в критической точке $x_0$ производная $f'(x)$ меняет знак с «+» на «?», то это точка максимума, а если с «?» на «+» — то точка минимума.

Достаточное условие экстремума с использованием второй производной

Пусть функция $f(x)$ дважды дифференцируема в окрестности стационарной точки $x_0$ (точки, в которой $f'(x_0) = 0$), и вторая производная $f''(x)$ непрерывна в точке $x_0$.

• Если $f'(x_0) = 0$ и $f''(x_0) < 0$, то точка $x_0$ является точкой локального максимума.
• Если $f'(x_0) = 0$ и $f''(x_0) > 0$, то точка $x_0$ является точкой локального минимума.

Если $f''(x_0) = 0$, то данное правило не позволяет сделать вывод о наличии экстремума. В этом случае необходимо провести дополнительное исследование, например, с помощью анализа знака первой производной или с помощью производных более высоких порядков.

Ответ: Если в стационарной точке $x_0$ вторая производная $f''(x_0) < 0$, то это точка максимума, а если $f''(x_0) > 0$ — то точка минимума.

Достаточное условие экстремума с использованием производных высших порядков

Это обобщение правила второй производной. Пусть функция $f(x)$ $n$ раз непрерывно дифференцируема в окрестности точки $x_0$ и пусть выполнены условия:

$f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$, а $f^{(n)}(x_0) \neq 0$, где $n \ge 2$.

• Если порядок первой ненулевой производной $n$ — четное число, то в точке $x_0$ функция имеет локальный экстремум:
  • локальный максимум, если $f^{(n)}(x_0) < 0$;
  • локальный минимум, если $f^{(n)}(x_0) > 0$.
• Если порядок первой ненулевой производной $n$ — нечетное число, то в точке $x_0$ экстремума нет (в этой точке находится точка перегиба).

Ответ: Если первая отличная от нуля производная в точке $x_0$ имеет четный порядок $n$, то $x_0$ — точка экстремума (максимума при $f^{(n)}(x_0) < 0$ и минимума при $f^{(n)}(x_0) > 0$). Если порядок $n$ нечетный, экстремума нет.