Номер 9, страница 392, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9. Опишите последовательность своих действий, если вам нужно исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

Исследование функции на монотонность и экстремумы — это стандартная процедура, которая выполняется по следующему алгоритму:

1. Найти область определения функции $D(f)$. Это первый и обязательный шаг, так как все дальнейшие выводы будут справедливы только для точек из области определения.

2. Найти производную функции $f'(x)$. Знак производной определяет характер монотонности функции (возрастание или убывание).

3. Найти критические точки первого рода. Это внутренние точки области определения, в которых производная $f'(x)$ равна нулю или не существует. Для этого необходимо: а) решить уравнение $f'(x) = 0$, его корни называются стационарными точками; б) найти точки, в которых производная не существует, но сама функция определена.

4. Определить промежутки монотонности. Найденные критические точки разбивают область определения на интервалы. На каждом из этих интервалов производная сохраняет свой знак. Для определения знака достаточно вычислить значение $f'(x)$ в любой одной пробной точке интервала. Если на интервале $f'(x) > 0$, то функция $f(x)$ на этом интервале строго возрастает. Если же $f'(x) < 0$, то функция $f(x)$ на этом интервале строго убывает.

5. Определить точки экстремума. Необходимо проанализировать, как меняется знак производной при переходе через каждую критическую точку. Если при переходе через точку $x_0$ (слева направо) знак $f'(x)$ меняется с «+» на «?», то $x_0$ является точкой локального максимума. Если знак $f'(x)$ меняется с «?» на «+», то $x_0$ является точкой локального минимума. Если знак производной не меняется, то в точке $x_0$ экстремума нет.

6. Вычислить значения функции в точках экстремума. Найти значения $y_{max} = f(x_{max})$ и $y_{min} = f(x_{min})$. Эти значения называются экстремумами функции.

7. Сформулировать и записать ответ. В ответе указываются все найденные промежутки возрастания и убывания, а также точки максимума и минимума с соответствующими значениями функции в этих точках.

Ответ: Последовательность действий для исследования функции $f(x)$ на монотонность и экстремумы: 1) Найти область определения $D(f)$. 2) Найти производную $f'(x)$. 3) Найти критические точки (где $f'(x)=0$ или не существует). 4) Определить знаки $f'(x)$ на интервалах, образованных критическими точками, чтобы найти промежутки возрастания ($f'(x)>0$) и убывания ($f'(x)<0$). 5) Проанализировать смену знака $f'(x)$ в критических точках для выявления точек максимума (смена с «+» на «?») и минимума (смена с «?» на «+»). 6) Вычислить значения функции в точках экстремума и записать итоговые выводы.