Номер 5, страница 409, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Может ли быть так, что непрерывная на отрезке функция достигает наибольшего значения внутри отрезка, а наименьшего — на одном из концов отрезка? Приведите пример.

Да, такая ситуация возможна. Согласно теореме Вейерштрасса о непрерывной функции, любая функция, непрерывная на отрезке, достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения. Эти значения могут достигаться как на концах отрезка, так и во внутренних его точках.

Чтобы наибольшее значение достигалось внутри отрезка, функция должна иметь в некоторой внутренней точке локальный максимум, который будет являться и глобальным максимумом на данном отрезке. Чтобы наименьшее значение достигалось на конце отрезка, значение функции в этой конечной точке должно быть меньше, чем в другой конечной точке и в любых точках локального минимума внутри отрезка (если таковые имеются).

Приведите пример.

Рассмотрим в качестве примера квадратичную функцию $f(x) = -x^2$ на отрезке $[-1, 2]$.

Данная функция является многочленом, а значит, она непрерывна на всей числовой оси, в том числе и на отрезке $[-1, 2]$.

Найдём наибольшее значение функции на данном отрезке. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Её вершина находится в точке $(0, 0)$. Поскольку абсцисса вершины $x=0$ лежит внутри отрезка $[-1, 2]$ (то есть $-1 < 0 < 2$), то наибольшее значение на этом отрезке функция принимает именно в этой точке. Наибольшее значение: $max_{[-1, 2]} f(x) = f(0) = 0$.

Найдём наименьшее значение функции на отрезке. Так как у функции нет точек локального минимума, а на рассматриваемом отрезке она имеет только один максимум, её наименьшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции на концах:

$f(-1) = -(-1)^2 = -1$

$f(2) = -(2)^2 = -4$

Сравнивая полученные значения, заключаем, что наименьшее значение функции на отрезке $[-1, 2]$ равно $-4$. Оно достигается в точке $x=2$, которая является правым концом отрезка.

Таким образом, мы построили пример непрерывной функции на отрезке, которая достигает своего наибольшего значения внутри отрезка, а наименьшего — на его конце.

Ответ: Да, может. Например, функция $f(x) = -x^2$ на отрезке $[-1, 2]$ достигает наибольшего значения, равного $0$, в точке $x=0$, которая является внутренней точкой отрезка, а наименьшего значения, равного $-4$, — в точке $x=2$, которая является концом отрезка.