Номер 4, страница 409, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Может ли быть так, что непрерывная на отрезке функция достигает наименьшего значения внутри отрезка, а наибольшего — на одном из концов отрезка? Приведите пример.

Да, такая ситуация возможна. Согласно теореме Вейерштрасса, любая непрерывная на отрезке функция достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться как на концах отрезка, так и во внутренних его точках (точках экстремума).

Для выполнения условия задачи нам нужно, чтобы точка глобального минимума находилась строго внутри отрезка, а точка глобального максимума совпадала с одним из его концов.

Приведем пример:

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2$ на отрезке $[-1, 2]$.

1. Данная функция является степенной (квадратичной) и непрерывна на всей числовой прямой, а значит, и на отрезке $[-1, 2]$.

2. Найдем наименьшее и наибольшее значения функции на этом отрезке. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти стационарные точки:

   $f'(x) = (x^2)' = 2x$

   $2x = 0 \implies x = 0$

   Точка $x=0$ является точкой минимума, так как производная меняет знак с «–» на «+». Эта точка принадлежит интервалу $(-1, 2)$, то есть находится внутри отрезка.

3. Вычислим значения функции в найденной точке минимума и на концах отрезка:

   • $f(0) = 0^2 = 0$
   • $f(-1) = (-1)^2 = 1$
   • $f(2) = 2^2 = 4$

4. Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшее значение функции на отрезке $[-1, 2]$ равно $0$ и достигается в точке $x=0$, которая находится внутри отрезка. Наибольшее значение функции равно $4$ и достигается в точке $x=2$, которая является правым концом отрезка.

Таким образом, данный пример полностью удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Да, может. Например, функция $f(x) = x^2$ на отрезке $[-1, 2]$ достигает наименьшего значения $0$ в точке $x=0$ (внутри отрезка), а наибольшего значения $4$ — в точке $x=2$ (на конце отрезка).