Страница 409, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Какое из утверждений верно:

а) непрерывная функция на отрезке достигает наибольшего значения;

б) существует непрерывная функция, у которой на некотором отрезке нет наибольшего значения;

в) непрерывная функция на отрезке достигает наименьшего значения;

г) существует непрерывная функция, у которой на некотором отрезке нет наименьшего значения;

д) непрерывная функция на отрезке достигает наименьшего и наибольшего значений;

е) существует непрерывная функция, у которой на отрезке нет ни наименьшего, ни наибольшего значений?

Для ответа на данный вопрос обратимся к одной из ключевых теорем математического анализа — второй теореме Вейерштрасса о непрерывной функции на отрезке. Она гласит, что любая функция, непрерывная на отрезке, достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений.

Формально: если функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом интервале $[a, b]$, то существуют такие точки $c_{1}$ и $c_{2}$ в $[a, b]$, что для всех $x$ в $[a, b]$ справедливо неравенство $f(c_1) \le f(x) \le f(c_2)$.

Теперь проанализируем каждое утверждение:

а) непрерывная функция на отрезке достигает наибольшего значения;

Это утверждение является верным следствием из теоремы Вейерштрасса. Однако оно описывает лишь часть теоремы (про наибольшее значение).

Ответ: Утверждение верно.

б) существует непрерывная функция, у которой на некотором отрезке нет наибольшего значения;

Это утверждение ложно, так как оно прямо противоречит теореме Вейерштрасса, которая гарантирует существование наибольшего значения для любой непрерывной функции на отрезке.

Ответ: Утверждение неверно.

в) непрерывная функция на отрезке достигает наименьшего значения;

Это утверждение также является верным следствием из теоремы Вейерштрасса, но, как и пункт а), оно неполное (касается только наименьшего значения).

Ответ: Утверждение верно.

г) существует непрерывная функция, у которой на некотором отрезке нет наименьшего значения;

Это утверждение ложно, поскольку оно также противоречит теореме Вейерштрасса.

Ответ: Утверждение неверно.

д) непрерывная функция на отрезке достигает наименьшего и наибольшего значений;

Это утверждение представляет собой полную и точную формулировку теоремы Вейерштрасса. Оно объединяет в себе два предыдущих верных, но неполных утверждения (а и в). В вопросах такого типа, где нужно выбрать одно верное утверждение, следует выбирать наиболее полное и точное. Данное утверждение является именно таким.

Ответ: Утверждение верно и является наиболее полным и правильным ответом.

е) существует непрерывная функция, у которой на отрезке нет ни наименьшего, ни наибольшего значений?

Данное утверждение (сформулированное в виде вопроса) ложно. Оно полностью опровергается теоремой Вейерштрасса.

Ответ: Утверждение неверно.

2. Может ли непрерывная на отрезке функция достигать наименьшего и наибольшего значений на концах отрезка? Приведите пример.

Да, непрерывная на отрезке функция может достигать своего наименьшего и наибольшего значений на концах этого отрезка. Это происходит, например, в случае любой монотонной функции, заданной на отрезке.

Согласно теореме Вейерштрасса, непрерывная на замкнутом отрезке $[a, b]$ функция обязательно достигает на нем своих наименьшего (глобального минимума) и наибольшего (глобального максимума) значений. Эти значения могут достигаться как во внутренних точках отрезка (в критических точках), так и на его концах.

Пример:

Рассмотрим линейную функцию $f(x) = 3x - 2$ на отрезке $[-1, 4]$.

1. Функция $f(x) = 3x - 2$ является линейной, а значит она непрерывна на всей числовой прямой, включая отрезок $[-1, 4]$.

2. Найдем значения функции на концах заданного отрезка.
На левом конце, в точке $x = -1$, значение функции равно: $f(-1) = 3 \cdot (-1) - 2 = -3 - 2 = -5$.
На правом конце, в точке $x = 4$, значение функции равно: $f(4) = 3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10$.

3. Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, нужно также проверить стационарные точки (точки, где производная равна нулю или не существует), которые лежат внутри отрезка.
Найдем производную функции: $f'(x) = (3x - 2)' = 3$.
Поскольку производная $f'(x) = 3$ никогда не равна нулю, у функции нет стационарных точек. Она является строго возрастающей на всей области определения, так как $f'(x) > 0$.

4. Так как функция строго возрастает на отрезке $[-1, 4]$, свое наименьшее значение она принимает в самой левой точке отрезка, а наибольшее — в самой правой.

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[-1, 4]$ равно $-5$ и достигается в точке $x = -1$.
Наибольшее значение функции на отрезке $[-1, 4]$ равно $10$ и достигается в точке $x = 4$.

Таким образом, и наименьшее, и наибольшее значения данной непрерывной функции достигаются на концах отрезка.

Ответ: Да, может. Например, любая строго монотонная функция на отрезке, в частности, линейная функция $f(x) = kx + b$ при $k \neq 0$ на отрезке $[a, b]$.

3. Может ли непрерывная на отрезке функция достигать наименьшего и наибольшего значений во внутренних точках отрезка? Приведите пример.

Да, непрерывная на отрезке функция может достигать своего наименьшего и наибольшего значений во внутренних точках отрезка.

Согласно теореме Вейерштрасса, любая непрерывная функция на замкнутом отрезке $[a, b]$ достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться как на концах отрезка, так и во внутренних точках. Для того чтобы оба экстремума (и максимум, и минимум) достигались именно во внутренних точках, необходимо, чтобы значения функции на концах отрезка, $f(a)$ и $f(b)$, были строго меньше наибольшего значения и строго больше наименьшего значения на этом отрезке.

В качестве примера рассмотрим функцию $f(x) = \sin(x)$ на отрезке $[0, 2\pi]$.

Данная функция является непрерывной на всем отрезке $[0, 2\pi]$. Найдем ее экстремумы:

• Наибольшее значение функции $f(x) = \sin(x)$ равно $1$. На заданном отрезке оно достигается в точке $x = \frac{\pi}{2}$.
• Наименьшее значение функции равно $-1$. На заданном отрезке оно достигается в точке $x = \frac{3\pi}{2}$.

Обе точки, $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$, являются внутренними точками отрезка $[0, 2\pi]$, поскольку $0 < \frac{\pi}{2} < 2\pi$ и $0 < \frac{3\pi}{2} < 2\pi$.

При этом значения функции на концах отрезка равны:

• $f(0) = \sin(0) = 0$
• $f(2\pi) = \sin(2\pi) = 0$

Поскольку наименьшее значение $-1$ меньше, чем значения на концах ($0$), а наибольшее значение $1$ больше, чем значения на концах ($f_{min} = -1 < 0 < 1 = f_{max}$), то ни наибольшее, ни наименьшее значения не достигаются на концах отрезка. Таким образом, оба экстремума достигаются именно во внутренних точках.

Ответ: Да, может. Например, функция $f(x) = \sin(x)$ на отрезке $[0, 2\pi]$ достигает наибольшего значения $1$ во внутренней точке $x = \frac{\pi}{2}$ и наименьшего значения $-1$ во внутренней точке $x = \frac{3\pi}{2}$.

4. Может ли быть так, что непрерывная на отрезке функция достигает наименьшего значения внутри отрезка, а наибольшего — на одном из концов отрезка? Приведите пример.

Да, такая ситуация возможна. Согласно теореме Вейерштрасса, любая непрерывная на отрезке функция достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться как на концах отрезка, так и во внутренних его точках (точках экстремума).

Для выполнения условия задачи нам нужно, чтобы точка глобального минимума находилась строго внутри отрезка, а точка глобального максимума совпадала с одним из его концов.

Приведем пример:

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2$ на отрезке $[-1, 2]$.

1. Данная функция является степенной (квадратичной) и непрерывна на всей числовой прямой, а значит, и на отрезке $[-1, 2]$.

2. Найдем наименьшее и наибольшее значения функции на этом отрезке. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти стационарные точки:

   $f'(x) = (x^2)' = 2x$

   $2x = 0 \implies x = 0$

   Точка $x=0$ является точкой минимума, так как производная меняет знак с «–» на «+». Эта точка принадлежит интервалу $(-1, 2)$, то есть находится внутри отрезка.

3. Вычислим значения функции в найденной точке минимума и на концах отрезка:

   • $f(0) = 0^2 = 0$
   • $f(-1) = (-1)^2 = 1$
   • $f(2) = 2^2 = 4$

4. Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшее значение функции на отрезке $[-1, 2]$ равно $0$ и достигается в точке $x=0$, которая находится внутри отрезка. Наибольшее значение функции равно $4$ и достигается в точке $x=2$, которая является правым концом отрезка.

Таким образом, данный пример полностью удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Да, может. Например, функция $f(x) = x^2$ на отрезке $[-1, 2]$ достигает наименьшего значения $0$ в точке $x=0$ (внутри отрезка), а наибольшего значения $4$ — в точке $x=2$ (на конце отрезка).

5. Может ли быть так, что непрерывная на отрезке функция достигает наибольшего значения внутри отрезка, а наименьшего — на одном из концов отрезка? Приведите пример.

Да, такая ситуация возможна. Согласно теореме Вейерштрасса о непрерывной функции, любая функция, непрерывная на отрезке, достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения. Эти значения могут достигаться как на концах отрезка, так и во внутренних его точках.

Чтобы наибольшее значение достигалось внутри отрезка, функция должна иметь в некоторой внутренней точке локальный максимум, который будет являться и глобальным максимумом на данном отрезке. Чтобы наименьшее значение достигалось на конце отрезка, значение функции в этой конечной точке должно быть меньше, чем в другой конечной точке и в любых точках локального минимума внутри отрезка (если таковые имеются).

Приведите пример.

Рассмотрим в качестве примера квадратичную функцию $f(x) = -x^2$ на отрезке $[-1, 2]$.

Данная функция является многочленом, а значит, она непрерывна на всей числовой оси, в том числе и на отрезке $[-1, 2]$.

Найдём наибольшее значение функции на данном отрезке. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Её вершина находится в точке $(0, 0)$. Поскольку абсцисса вершины $x=0$ лежит внутри отрезка $[-1, 2]$ (то есть $-1 < 0 < 2$), то наибольшее значение на этом отрезке функция принимает именно в этой точке. Наибольшее значение: $max_{[-1, 2]} f(x) = f(0) = 0$.

Найдём наименьшее значение функции на отрезке. Так как у функции нет точек локального минимума, а на рассматриваемом отрезке она имеет только один максимум, её наименьшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции на концах:

$f(-1) = -(-1)^2 = -1$

$f(2) = -(2)^2 = -4$

Сравнивая полученные значения, заключаем, что наименьшее значение функции на отрезке $[-1, 2]$ равно $-4$. Оно достигается в точке $x=2$, которая является правым концом отрезка.

Таким образом, мы построили пример непрерывной функции на отрезке, которая достигает своего наибольшего значения внутри отрезка, а наименьшего — на его конце.

Ответ: Да, может. Например, функция $f(x) = -x^2$ на отрезке $[-1, 2]$ достигает наибольшего значения, равного $0$, в точке $x=0$, которая является внутренней точкой отрезка, а наименьшего значения, равного $-4$, — в точке $x=2$, которая является концом отрезка.