Страница 410, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

6. Опишите последовательность своих действий, если вам нужно найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$ необходимо выполнить следующую последовательность действий (алгоритм):

Шаг 1: Нахождение производной функции

Вычислить производную $f'(x)$ данной функции $f(x)$. Это первый шаг для анализа поведения функции: её возрастания и убывания.

Шаг 2: Нахождение критических точек

Найти критические точки функции. Это точки из области определения функции, в которых её производная $f'(x)$ равна нулю или не существует. Для этого необходимо решить уравнение $f'(x) = 0$ и определить точки, в которых производная не определена.

Шаг 3: Отбор точек, принадлежащих отрезку

Из всех найденных на предыдущем шаге критических точек выбрать только те, которые принадлежат заданному отрезку $[a; b]$. Точки, не входящие в этот отрезок, не рассматриваются.

Шаг 4: Вычисление значений функции в ключевых точках

Вычислить значения функции $y = f(x)$ в каждой из отобранных на шаге 3 критических точек, а также на концах заданного отрезка, то есть в точках $x = a$ и $x = b$.

Шаг 5: Сравнение полученных значений и формулировка вывода

Среди всех значений функции, вычисленных на шаге 4, найти самое большое и самое маленькое. Согласно теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке функция обязательно достигает на нем своих наименьшего и наибольшего значений. Эти значения находятся среди вычисленных.

• Наибольшее из полученных чисел будет являться наибольшим значением функции на отрезке: $ \max_{[a;b]} f(x) $.
• Наименьшее из полученных чисел будет являться наименьшим значением функции на отрезке: $ \min_{[a;b]} f(x) $.

Ответ:

Последовательность действий для нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$ такова: 1) найти производную функции $f'(x)$; 2) найти критические точки функции (где $f'(x)=0$ или не существует) и отобрать те из них, что лежат на отрезке $[a; b]$; 3) вычислить значения функции $f(x)$ в отобранных критических точках и на концах отрезка (в точках $a$ и $b$); 4) сравнить все полученные значения, выбрав из них самое большое (наибольшее значение) и самое маленькое (наименьшее значение).

7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = \begin{cases} x^2, -2 \leq x \leq 1, \\ 2-x, 1 < x \leq 3. \end{cases}$

Нужно ли в данном случае прибегать к помощи производной? строить график функции?

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений кусочно-заданной функции, нужно исследовать каждый ее участок, а затем сравнить полученные результаты.

Функция задана как: $y = \begin{cases} x^2, & -2 \le x \le 1 \\ 2-x, & 1 < x \le 3 \end{cases}$

Область определения функции — отрезок $[-2, 3]$.

1. Исследование на отрезке $[-2, 1]$

На этом отрезке функция имеет вид $y = x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине.

• Найдем вершину параболы. Ее абсцисса находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$, что для $y=x^2$ дает $x_0 = 0$. Точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-2, 1]$. Это точка локального минимума.
• Вычислим значения функции на концах отрезка и в точке минимума:
  • $y(-2) = (-2)^2 = 4$
  • $y(1) = 1^2 = 1$
  • $y(0) = 0^2 = 0$

Таким образом, на отрезке $[-2, 1]$ наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее — 4.

2. Исследование на полуинтервале $(1, 3]$

На этом промежутке функция имеет вид $y = 2-x$. Это линейная функция, ее график — прямая линия с отрицательным угловым коэффициентом ($k=-1$). Следовательно, функция монотонно убывает на всем промежутке.

• Наибольшее значение на этом промежутке функция принимала бы в левой точке ($x=1$), а наименьшее — в правой ($x=3$).
• Поскольку $x=1$ не входит в этот промежуток, мы можем найти только предел функции при $x \to 1$ справа: $\lim_{x \to 1^+} (2-x) = 2-1 = 1$.
• Вычислим значение на правом конце промежутка: $y(3) = 2 - 3 = -1$.

На полуинтервале $(1, 3]$ значения функции находятся в диапазоне $[-1, 1)$.

3. Нахождение общих наименьшего и наибольшего значений

Теперь сравним все ключевые значения, полученные на обоих участках. Нам нужно выбрать самое большое и самое маленькое из значений на концах всей области определения (в точках $x=-2$ и $x=3$), в точке "стыка" ($x=1$) и в точке локального экстремума ($x=0$).

Сравниваем значения: $y(-2)=4$, $y(0)=0$, $y(1)=1$, $y(3)=-1$.

• Наибольшее значение: $\max\{4, 0, 1, -1\} = 4$.
• Наименьшее значение: $\min\{4, 0, 1, -1\} = -1$.

Ответ: Наименьшее значение функции равно -1 (достигается при $x=3$), наибольшее значение функции равно 4 (достигается при $x=-2$).

Нужно ли в данном случае прибегать к помощи производной?

Использование производной — это общий метод для поиска экстремумов. Для данной задачи:

1. На участке $y=x^2$ производная $y' = 2x$. Приравняв ее к нулю ($2x=0$), мы находим критическую точку $x=0$, которая является точкой минимума. Это можно было определить и из свойств параболы (знание положения вершины).
2. На участке $y=2-x$ производная $y' = -1$. Так как производная никогда не равна нулю, на этом интервале нет локальных экстремумов, и функция монотонна. Это также очевидно из вида линейной функции.
3. В точке "стыка" $x=1$ производная не существует, так как производная слева (от $x^2$) равна $2 \cdot 1 = 2$, а производная справа (от $2-x$) равна $-1$. Точки, где производная не существует, также являются критическими и должны быть исследованы.

Хотя свойства заданных элементарных функций позволяют найти решение без формального вычисления производной, именно теория, основанная на производных, обосновывает, почему нужно проверять именно эти точки (концы отрезка, точки, где производная равна нулю или не существует).

Ответ: Строго говоря, нет, не нужно, так как поведение параболы и прямой хорошо известны. Однако, общий алгоритм поиска экстремумов на отрезке как раз и опирается на использование производной, так что ее применение является наиболее строгим и универсальным подходом.

строить график функции?

Для получения ответа на вопрос задачи строить график не обязательно. Аналитического исследования, приведенного выше, вполне достаточно для нахождения точных значений.

Однако построение графика — это очень полезный шаг, который позволяет наглядно представить поведение функции и визуально проверить полученный результат. На графике было бы отчетливо видно, что самая высокая точка графика находится при $x=-2$, а самая низкая — при $x=3$.

Ответ: Нет, строить график не обязательно, но он является отличным средством для визуализации и самопроверки.

8. Функция $y = f(x)$ непрерывна на интервале $(2; 5)$. Может ли она на этом интервале достигать и наименьшего и наибольшего значений? Приведите пример.

Да, функция, непрерывная на интервале, может достигать на нём и своего наименьшего, и своего наибольшего значения.

Согласно теореме Вейерштрасса, любая функция, непрерывная на отрезке (замкнутом интервале) $[a, b]$, обязательно достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений. Для интервала (открытого интервала) $(a, b)$ это свойство не является обязательным. Например, функция $y=x$ на интервале $(2; 5)$ не достигает ни наименьшего значения (которому равна её точная нижняя грань $2$), ни наибольшего (которому равна её точная верхняя грань $5$).

Однако, если точки глобального максимума и минимума функции находятся внутри рассматриваемого интервала, то функция достигнет на этом интервале своих экстремальных значений.

Пример:

Рассмотрим функцию $y = \sin(\pi x)$ на интервале $(2; 5)$.

Эта функция является непрерывной на всей числовой прямой, а значит, и на интервале $(2; 5)$.

1. Наибольшее значение. Наибольшее значение для функции синус равно $1$. Найдем, при каких значениях $x$ из интервала $(2; 5)$ это значение достигается:
$\sin(\pi x) = 1$
$\pi x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число.
$x = \frac{1}{2} + 2k$
Подбирая целые значения $k$, найдем $x$, принадлежащий интервалу $(2; 5)$.
При $k=0$, $x=0.5$ (не входит в интервал).
При $k=1$, $x = \frac{1}{2} + 2 = 2.5$. Это значение принадлежит интервалу $(2; 5)$.
Следовательно, наибольшее значение $y_{наиб.} = 1$ достигается в точке $x = 2.5$, которая лежит внутри заданного интервала.

2. Наименьшее значение. Наименьшее значение для функции синус равно $-1$. Найдем, при каких значениях $x$ из интервала $(2; 5)$ это значение достигается:
$\sin(\pi x) = -1$
$\pi x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число.
$x = \frac{3}{2} + 2k$
Подбирая целые значения $k$, найдем $x$, принадлежащий интервалу $(2; 5)$.
При $k=0$, $x = 1.5$ (не входит в интервал).
При $k=1$, $x = \frac{3}{2} + 2 = 3.5$. Это значение принадлежит интервалу $(2; 5)$.
Следовательно, наименьшее значение $y_{наим.} = -1$ достигается в точке $x = 3.5$, которая лежит внутри заданного интервала.

Таким образом, функция $y = \sin(\pi x)$ на интервале $(2; 5)$ достигает и своего наибольшего значения $1$, и своего наименьшего значения $-1$.

Ответ: Да, может. Например, функция $y=\sin(\pi x)$ на интервале $(2; 5)$ достигает своего наибольшего значения $1$ в точке $x=2.5$ и наименьшего значения $-1$ в точке $x=3.5$.

9. Функция $y = f(x)$ непрерывна на интервале $(2; 5)$. Может ли она на этом интервале не достигать ни наименьшего, ни наибольшего значения? Приведите пример.

Да, функция, непрерывная на открытом интервале, может не достигать на нём ни наименьшего, ни наибольшего значений.

Это связано с тем, что классическая теорема Вейерштрасса о достижении экстремумов (наибольшего и наименьшего значений) применима только для функций, непрерывных на замкнутом и ограниченном интервале (отрезке). Для открытого интервала, такого как $ (2; 5) $, эта теорема не выполняется. Функция может быть ограниченной на этом интервале, но её значения могут лишь асимптотически приближаться к своим точным граням (инфимуму и супремуму), которые соответствовали бы значениям в конечных точках $ x=2 $ и $ x=5 $, если бы они входили в область определения. Поскольку эти точки не принадлежат интервалу $ (2; 5) $, эти граничные значения никогда не достигаются.

Пример:

Рассмотрим простейшую линейную функцию $ y = f(x) = x $ на интервале $ (2; 5) $.

1. Эта функция непрерывна на всей числовой прямой, а значит, непрерывна и на интервале $ (2; 5) $.
2. Множество значений, которое принимает данная функция на интервале $ x \in (2; 5) $, представляет собой также интервал $ (2; 5) $.
3. Рассмотрим множество значений $ (2; 5) $. Его точная верхняя грань (супремум) равна 5. Однако, не существует такого $ c \in (2; 5) $, что $ f(c) = 5 $. Для любого значения $ y_0 = f(x_0) $ из этого множества всегда можно найти значение больше: например, $ f(\frac{x_0+5}{2}) = \frac{x_0+5}{2} > x_0 = y_0 $. Таким образом, функция не достигает своего наибольшего значения.
4. Аналогично, точная нижняя грань (инфимум) множества значений равна 2. Но не существует такого $ c \in (2; 5) $, что $ f(c) = 2 $. Для любого значения $ y_0 $ из этого множества всегда можно найти значение меньше. Следовательно, функция не достигает и своего наименьшего значения.

Таким образом, функция $ y=x $ на интервале $ (2; 5) $ является непрерывной, но не достигает на нём ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Ответ: Да, может. Примером такой функции является $ y = x $ на интервале $ (2; 5) $.

10. Функция $y = f(x)$ непрерывна на интервале $(2; 5)$. Может ли она на этом интервале достигать наименьшего и не достигать наибольшего значения? Приведите пример.

Да, функция, непрерывная на интервале, может достигать своего наименьшего значения и не достигать наибольшего. Это возможно потому, что теорема Вейерштрасса о достижении функцией своих экстремумов гарантирует это только для непрерывных функций на замкнутом отрезке $[a, b]$. Для открытого интервала $(a, b)$ функция может не достигать своих точных верхней и/или нижней граней, так как она может асимптотически приближаться к этим значениям на концах интервала, которые не включены в область определения.

Чтобы функция достигала наименьшего значения, она должна иметь точку локального минимума внутри интервала, и этот минимум должен быть глобальным на данном интервале. Чтобы она не достигала наибольшего значения, ее значения должны стремиться к некоторому числу (супремуму), но никогда его не достигать, например, на границах интервала.

Пример:

Рассмотрим функцию $y = f(x) = (x - 3.5)^2$ на интервале $(2; 5)$.

1. Данная функция является многочленом, поэтому она непрерывна на всей числовой прямой, включая интервал $(2; 5)$.

2. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке, где производная равна нулю: $f'(x) = 2(x-3.5) = 0$, то есть при $x = 3.5$. Поскольку точка $x = 3.5$ принадлежит интервалу $(2; 5)$, функция достигает в ней своего наименьшего значения на этом интервале. Наименьшее значение равно $y_{min} = f(3.5) = (3.5 - 3.5)^2 = 0$.

3. Наибольшее значение для параболы с ветвями вверх на ограниченном интервале достигалось бы на одном из его концов. Однако интервал $(2; 5)$ является открытым, поэтому точки $x=2$ и $x=5$ ему не принадлежат. Значения функции вблизи границ интервала стремятся к следующим величинам:
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x - 3.5)^2 = (2 - 3.5)^2 = (-1.5)^2 = 2.25$
$\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^-} (x - 3.5)^2 = (5 - 3.5)^2 = (1.5)^2 = 2.25$
Точная верхняя грань (супремум) значений функции на интервале $(2; 5)$ равна $2.25$. Однако не существует точки $c \in (2; 5)$, в которой $f(c) = 2.25$. Таким образом, наибольшее значение на данном интервале не достигается.

Ответ: Да, может. Пример такой функции на интервале $(2; 5)$: $f(x) = (x-3.5)^2$. Она достигает наименьшего значения $0$ в точке $x=3.5$, но не достигает наибольшего значения, так как ее значения лишь стремятся к $2.25$ на границах интервала.

11. Функция $y = f(x)$ непрерывна на интервале $(2; 5)$. Может ли она на этом интервале достигать наибольшего и не достигать наименьшего значения? Приведите пример.

Да, такая ситуация возможна. Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях гарантирует, что непрерывная функция достигает своих экстремумов на замкнутом отрезке $[a, b]$. Однако на открытом интервале $(a, b)$ это утверждение не всегда верно. Функция может быть ограничена, но не достигать своей точной верхней (супремума) или нижней (инфимума) грани. Для выполнения условий задачи нужно, чтобы функция имела максимум внутри интервала, а ее инфимум был равен пределу на одной из границ интервала.

Рассмотрим в качестве примера функцию $f(x) = -(x-3.5)^2+1$ на интервале $(2; 5)$.

1. Данная функция является многочленом, а значит, она непрерывна на всей числовой прямой, в том числе и на интервале $(2; 5)$.

2. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Своё наибольшее значение такая функция принимает в вершине. Абсцисса вершины $x_0 = 3.5$. Поскольку точка $x_0 = 3.5$ принадлежит интервалу $(2; 5)$, функция достигает на этом интервале своего наибольшего значения. Оно равно $y_{max} = f(3.5) = -(3.5-3.5)^2+1 = 1$.

3. Теперь исследуем вопрос о наименьшем значении. На интервале $(2; 3.5]$ функция возрастает, а на интервале $[3.5; 5)$ — убывает. Следовательно, наименьшие значения находятся вблизи концов интервала. Вычислим односторонние пределы функции на концах интервала:

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = -(2-3.5)^2+1 = -(-1.5)^2+1 = -2.25+1 = -1.25$.

$\lim_{x \to 5^-} f(x) = -(5-3.5)^2+1 = -(1.5)^2+1 = -2.25+1 = -1.25$.

Точная нижняя грань (инфимум) множества значений функции на интервале $(2; 5)$ равна $-1.25$. Однако, для любой точки $x$ из интервала $(2; 5)$ значение функции $f(x)$ будет строго больше $-1.25$. Таким образом, не существует точки $c \in (2; 5)$, в которой $f(c) = -1.25$. Это означает, что функция не достигает своего наименьшего значения на данном интервале.

Итак, приведенная функция $f(x)$ непрерывна на интервале $(2; 5)$, достигает на нём своего наибольшего значения, но не достигает наименьшего.

Ответ: Да, может. Пример: функция $f(x) = -(x-3.5)^2+1$ на интервале $(2; 5)$.

12. Начертите график непрерывной на интервале $(2; 5)$ функции, которая имеет внутри интервала одну критическую и две стационарные точки, но не достигает на этом интервале ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Для решения задачи необходимо сначала проанализировать все условия, которым должна удовлетворять функция, а затем построить ее график.

Анализ условий задачи

1. Непрерывность на интервале (2; 5): График функции должен представлять собой сплошную линию без разрывов в указанном интервале.

2. Критические и стационарные точки: Вспомним определения.

• Стационарная точка — это точка из области определения функции, в которой ее производная равна нулю ($f'(x) = 0$). В таких точках касательная к графику горизонтальна.
• Критическая точка — это точка из области определения функции, в которой ее производная равна нулю или не существует.

Из определений следует, что любая стационарная точка является критической. Поэтому условие «имеет внутри интервала одну критическую и две стационарные точки» является противоречивым, если понимать его буквально (наличие двух стационарных точек автоматически означает наличие как минимум двух критических).
Наиболее вероятной и разумной трактовкой этого условия является следующая: функция имеет три критические точки, из которых:

• две являются стационарными (производная равна нулю, $f'(x)=0$);
• одна является критической точкой, где производная не существует (например, точка излома или "острия").

В дальнейшем мы будем придерживаться именно этой интерпретации.

3. Отсутствие наименьшего и наибольшего значений: На открытом интервале функция не достигает своих наибольшего и наименьшего значений, если она неограничена. Это можно обеспечить, задав на границах интервала вертикальные асимптоты, устремив функцию к бесконечности. Например, пусть $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ и $\lim_{x \to 5^-} f(x) = -\infty$. Это гарантирует, что ни глобальный максимум, ни глобальный минимум на интервале (2; 5) не достигаются.

Построение графика

Основываясь на проведенном анализе, спланируем поведение функции:

1. Граничное поведение: Зададим вертикальные асимптоты $x=2$ и $x=5$. Пусть $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ и $\lim_{x \to 5^-} f(x) = -\infty$. Это означает, что при приближении к $x=2$ справа и к $x=5$ слева функция убывает, то есть ее производная $f'(x)$ отрицательна вблизи границ интервала.

2. Поведение внутри интервала: Нам нужно расположить три критические точки (две стационарные и одну "особую") так, чтобы функция убывала на краях интервала. Для этого знаки производной $f'(x)$ должны быть отрицательными в начале и в конце. Рассмотрим следующую схему знаков производной, которая удовлетворяет этому требованию: «минус» $\rightarrow$ «плюс» $\rightarrow$ «минус» $\rightarrow$ «минус».

• Выберем точку $x=3$ как первую стационарную точку. Здесь производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка локального минимума, и $f'(3)=0$.
• Выберем точку $x=3.5$ как критическую точку, где производная не существует. Здесь производная меняет знак с «+» на «–», значит, это точка локального максимума. График в этой точке будет иметь излом или острие.
• Выберем точку $x=4$ как вторую стационарную точку. Здесь производная не меняет знак (остается «–»). Так как $f'(4)=0$, это точка перегиба с горизонтальной касательной.

Таким образом, функция будет вести себя следующим образом:

• На интервале $(2; 3)$ — убывает от $+\infty$ до локального минимума.
• В точке $x=3$ — локальный минимум ($f'(3)=0$).
• На интервале $(3; 3.5)$ — возрастает до локального максимума.
• В точке $x=3.5$ — локальный максимум (излом, $f'(3.5)$ не существует).
• На интервале $(3.5; 4)$ — убывает до точки перегиба.
• В точке $x=4$ — точка перегиба с горизонтальной касательной ($f'(4)=0$).
• На интервале $(4; 5)$ — продолжает убывать, стремясь к $-\infty$.

Такая функция удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ:

Ниже представлен график функции, построенный в соответствии с описанными выше условиями.