Номер 8, страница 410, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8. Функция $y = f(x)$ непрерывна на интервале $(2; 5)$. Может ли она на этом интервале достигать и наименьшего и наибольшего значений? Приведите пример.

Да, функция, непрерывная на интервале, может достигать на нём и своего наименьшего, и своего наибольшего значения.

Согласно теореме Вейерштрасса, любая функция, непрерывная на отрезке (замкнутом интервале) $[a, b]$, обязательно достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений. Для интервала (открытого интервала) $(a, b)$ это свойство не является обязательным. Например, функция $y=x$ на интервале $(2; 5)$ не достигает ни наименьшего значения (которому равна её точная нижняя грань $2$), ни наибольшего (которому равна её точная верхняя грань $5$).

Однако, если точки глобального максимума и минимума функции находятся внутри рассматриваемого интервала, то функция достигнет на этом интервале своих экстремальных значений.

Пример:

Рассмотрим функцию $y = \sin(\pi x)$ на интервале $(2; 5)$.

Эта функция является непрерывной на всей числовой прямой, а значит, и на интервале $(2; 5)$.

1. Наибольшее значение. Наибольшее значение для функции синус равно $1$. Найдем, при каких значениях $x$ из интервала $(2; 5)$ это значение достигается:
$\sin(\pi x) = 1$
$\pi x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число.
$x = \frac{1}{2} + 2k$
Подбирая целые значения $k$, найдем $x$, принадлежащий интервалу $(2; 5)$.
При $k=0$, $x=0.5$ (не входит в интервал).
При $k=1$, $x = \frac{1}{2} + 2 = 2.5$. Это значение принадлежит интервалу $(2; 5)$.
Следовательно, наибольшее значение $y_{наиб.} = 1$ достигается в точке $x = 2.5$, которая лежит внутри заданного интервала.

2. Наименьшее значение. Наименьшее значение для функции синус равно $-1$. Найдем, при каких значениях $x$ из интервала $(2; 5)$ это значение достигается:
$\sin(\pi x) = -1$
$\pi x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число.
$x = \frac{3}{2} + 2k$
Подбирая целые значения $k$, найдем $x$, принадлежащий интервалу $(2; 5)$.
При $k=0$, $x = 1.5$ (не входит в интервал).
При $k=1$, $x = \frac{3}{2} + 2 = 3.5$. Это значение принадлежит интервалу $(2; 5)$.
Следовательно, наименьшее значение $y_{наим.} = -1$ достигается в точке $x = 3.5$, которая лежит внутри заданного интервала.

Таким образом, функция $y = \sin(\pi x)$ на интервале $(2; 5)$ достигает и своего наибольшего значения $1$, и своего наименьшего значения $-1$.

Ответ: Да, может. Например, функция $y=\sin(\pi x)$ на интервале $(2; 5)$ достигает своего наибольшего значения $1$ в точке $x=2.5$ и наименьшего значения $-1$ в точке $x=3.5$.