Номер 9, страница 410, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9. Функция $y = f(x)$ непрерывна на интервале $(2; 5)$. Может ли она на этом интервале не достигать ни наименьшего, ни наибольшего значения? Приведите пример.

Да, функция, непрерывная на открытом интервале, может не достигать на нём ни наименьшего, ни наибольшего значений.

Это связано с тем, что классическая теорема Вейерштрасса о достижении экстремумов (наибольшего и наименьшего значений) применима только для функций, непрерывных на замкнутом и ограниченном интервале (отрезке). Для открытого интервала, такого как $ (2; 5) $, эта теорема не выполняется. Функция может быть ограниченной на этом интервале, но её значения могут лишь асимптотически приближаться к своим точным граням (инфимуму и супремуму), которые соответствовали бы значениям в конечных точках $ x=2 $ и $ x=5 $, если бы они входили в область определения. Поскольку эти точки не принадлежат интервалу $ (2; 5) $, эти граничные значения никогда не достигаются.

Пример:

Рассмотрим простейшую линейную функцию $ y = f(x) = x $ на интервале $ (2; 5) $.

1. Эта функция непрерывна на всей числовой прямой, а значит, непрерывна и на интервале $ (2; 5) $.
2. Множество значений, которое принимает данная функция на интервале $ x \in (2; 5) $, представляет собой также интервал $ (2; 5) $.
3. Рассмотрим множество значений $ (2; 5) $. Его точная верхняя грань (супремум) равна 5. Однако, не существует такого $ c \in (2; 5) $, что $ f(c) = 5 $. Для любого значения $ y_0 = f(x_0) $ из этого множества всегда можно найти значение больше: например, $ f(\frac{x_0+5}{2}) = \frac{x_0+5}{2} > x_0 = y_0 $. Таким образом, функция не достигает своего наибольшего значения.
4. Аналогично, точная нижняя грань (инфимум) множества значений равна 2. Но не существует такого $ c \in (2; 5) $, что $ f(c) = 2 $. Для любого значения $ y_0 $ из этого множества всегда можно найти значение меньше. Следовательно, функция не достигает и своего наименьшего значения.

Таким образом, функция $ y=x $ на интервале $ (2; 5) $ является непрерывной, но не достигает на нём ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Ответ: Да, может. Примером такой функции является $ y = x $ на интервале $ (2; 5) $.