Номер 10, страница 410, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10. Функция $y = f(x)$ непрерывна на интервале $(2; 5)$. Может ли она на этом интервале достигать наименьшего и не достигать наибольшего значения? Приведите пример.

Да, функция, непрерывная на интервале, может достигать своего наименьшего значения и не достигать наибольшего. Это возможно потому, что теорема Вейерштрасса о достижении функцией своих экстремумов гарантирует это только для непрерывных функций на замкнутом отрезке $[a, b]$. Для открытого интервала $(a, b)$ функция может не достигать своих точных верхней и/или нижней граней, так как она может асимптотически приближаться к этим значениям на концах интервала, которые не включены в область определения.

Чтобы функция достигала наименьшего значения, она должна иметь точку локального минимума внутри интервала, и этот минимум должен быть глобальным на данном интервале. Чтобы она не достигала наибольшего значения, ее значения должны стремиться к некоторому числу (супремуму), но никогда его не достигать, например, на границах интервала.

Пример:

Рассмотрим функцию $y = f(x) = (x - 3.5)^2$ на интервале $(2; 5)$.

1. Данная функция является многочленом, поэтому она непрерывна на всей числовой прямой, включая интервал $(2; 5)$.

2. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке, где производная равна нулю: $f'(x) = 2(x-3.5) = 0$, то есть при $x = 3.5$. Поскольку точка $x = 3.5$ принадлежит интервалу $(2; 5)$, функция достигает в ней своего наименьшего значения на этом интервале. Наименьшее значение равно $y_{min} = f(3.5) = (3.5 - 3.5)^2 = 0$.

3. Наибольшее значение для параболы с ветвями вверх на ограниченном интервале достигалось бы на одном из его концов. Однако интервал $(2; 5)$ является открытым, поэтому точки $x=2$ и $x=5$ ему не принадлежат. Значения функции вблизи границ интервала стремятся к следующим величинам:
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x - 3.5)^2 = (2 - 3.5)^2 = (-1.5)^2 = 2.25$
$\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^-} (x - 3.5)^2 = (5 - 3.5)^2 = (1.5)^2 = 2.25$
Точная верхняя грань (супремум) значений функции на интервале $(2; 5)$ равна $2.25$. Однако не существует точки $c \in (2; 5)$, в которой $f(c) = 2.25$. Таким образом, наибольшее значение на данном интервале не достигается.

Ответ: Да, может. Пример такой функции на интервале $(2; 5)$: $f(x) = (x-3.5)^2$. Она достигает наименьшего значения $0$ в точке $x=3.5$, но не достигает наибольшего значения, так как ее значения лишь стремятся к $2.25$ на границах интервала.