Номер 5, страница 420, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Приведите определение перестановки конечного множества.

Под перестановкой конечного множества понимают упорядоченное расположение всех его элементов. Существует два основных эквивалентных подхода к определению этого понятия.

1. Комбинаторное определение

С точки зрения комбинаторики, перестановкой множества, состоящего из $n$ различных элементов, называется любой упорядоченный набор (кортеж), в который входят все элементы данного множества ровно по одному разу. Таким образом, перестановки — это различные комбинации, которые отличаются друг от друга только порядком следования элементов.

Например, для множества $A = \{a, b, c\}$ все возможные перестановки — это шесть наборов:
$(a, b, c)$, $(a, c, b)$, $(b, a, c)$, $(b, c, a)$, $(c, a, b)$, $(c, b, a)$.

2. Алгебраическое определение (через отображения)

В теории множеств и алгебре перестановка конечного множества $S$ определяется как биективное отображение (или биекция) этого множества на себя. Биекция — это функция $\sigma: S \to S$, которая является одновременно инъективной и сюръективной.

Инъективность означает, что разным элементам множества $S$ соответствуют разные образы (если $x_1 \neq x_2$, то $\sigma(x_1) \neq \sigma(x_2)$).
Сюръективность означает, что каждый элемент множества $S$ является образом какого-либо элемента (для любого $y \in S$ найдется $x \in S$ такой, что $\sigma(x) = y$).

Для конечных множеств эти два условия равносильны: любая инъективная функция из множества в себя является и сюръективной, и наоборот. Поэтому для определения перестановки достаточно потребовать только выполнения одного из них.

Например, для множества $S = \{1, 2, 3\}$ перестановка $(3, 1, 2)$ соответствует биективной функции $\sigma: S \to S$, заданной правилами: $\sigma(1) = 3$, $\sigma(2) = 1$, $\sigma(3) = 2$.

Число перестановок

Общее число различных перестановок для множества из $n$ элементов обозначается символом $P_n$ и равно n-факториалу:
$P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$

Для множества из 3 элементов, как в примере, число перестановок составляет $P_3 = 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: Перестановка конечного множества — это упорядоченный набор, составленный из всех элементов этого множества, или, что эквивалентно, биективное отображение (биекция) конечного множества на себя.