Страница 420, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Испытание заключается в трёхкратном бросании монеты.

Сколько исходов имеет испытание?

2. На

Данное испытание представляет собой последовательность из трёх независимых событий — трёх бросков монеты.

При каждом отдельном броске монеты существует два возможных исхода:

• Выпадение «орла»
• Выпадение «решки»

Чтобы найти общее количество исходов для всего испытания, состоящего из трёх бросков, необходимо перемножить количество исходов для каждого броска. Это следует из основного правила комбинаторики — правила умножения.

Для первого броска — 2 исхода.
Для второго броска — 2 исхода.
Для третьего броска — 2 исхода.

Общее число исходов $N$ вычисляется по формуле:

$N = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$

Таким образом, испытание, заключающееся в трёхкратном бросании монеты, имеет 8 возможных исходов.

Ответ: 8

2. Испытание заключается в двукратном бросании кубика.

Сколько исходов имеет испытание?

Испытание состоит из двух последовательных независимых событий: первого броска кубика и второго броска кубика. Для нахождения общего числа исходов необходимо использовать правило умножения в комбинаторике.

1. Первый бросок кубика. Стандартный игральный кубик имеет 6 граней, пронумерованных от 1 до 6. Следовательно, при первом броске существует 6 возможных исходов.

2. Второй бросок кубика. Результат второго броска не зависит от результата первого. Поэтому для второго броска также существует 6 возможных исходов.

Чтобы найти общее количество исходов для всего испытания, нужно перемножить количество исходов для каждого из бросков.

Пусть $N$ - общее число исходов. Тогда:
$N = (\text{число исходов первого броска}) \times (\text{число исходов второго броска})$

$N = 6 \times 6 = 36$

Таким образом, существует 36 различных комбинаций результатов двух бросков (например, (1,1), (1,2), ..., (6,5), (6,6)).

Ответ: 36

3. Сформулируйте общее правило умножения для двух испытаний.

Общее правило умножения вероятностей, также известное как теорема умножения вероятностей, используется для вычисления вероятности совместного наступления (или пересечения) двух событий.

Пусть имеются два события, $A$ и $B$. Эти события могут быть зависимыми, то есть наступление одного из них влияет на вероятность наступления другого.

Сформулировать правило можно следующим образом: вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже произошло.

Математически это правило выражается следующей формулой:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

В этой формуле:

• $P(A \cap B)$ (или $P(AB)$) — вероятность того, что произойдут оба события $A$ и $B$.
• $P(A)$ — вероятность наступления события $A$.
• $P(B|A)$ — условная вероятность наступления события $B$ при условии, что событие $A$ уже наступило.

Поскольку совместное наступление событий $A$ и $B$ эквивалентно совместному наступлению $B$ и $A$ (то есть $A \cap B = B \cap A$), то правило можно записать и в альтернативной форме:

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$

где $P(A|B)$ — условная вероятность события $A$ при условии, что событие $B$ уже произошло.

Это правило называется общим, так как оно справедливо для любых событий, как зависимых, так и независимых. Если события $A$ и $B$ являются независимыми, то наступление одного не изменяет вероятность наступления другого. В этом случае $P(B|A) = P(B)$, и общее правило упрощается до частного случая — правила умножения для независимых событий:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Ответ: Общее правило умножения для двух испытаний (событий A и B) утверждает, что вероятность их совместного наступления равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого при условии, что первое событие уже произошло. Формула имеет вид: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$.

4. Сформулируйте теорему о числе подмножеств множества из $n$ элементов.

Формулировка теоремы

Конечное множество, состоящее из $n$ элементов, имеет ровно $2^n$ различных подмножеств (включая пустое множество и само исходное множество).

Множество всех подмножеств множества $A$ называется его булеаном (или множеством-степенью) и обозначается $P(A)$ или $2^A$. Таким образом, теорему можно записать в виде формулы: если мощность множества $|A|=n$, то мощность его булеана $|P(A)|=2^n$.

Доказательство

Теорему можно доказать несколькими способами. Приведем два наиболее наглядных.

1. Комбинаторный метод

Пусть дано множество $A = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$. Для построения любого его подмножества $S$ необходимо для каждого элемента из $A$ решить, включать его в $S$ или нет. Для элемента $a_1$ есть два возможных выбора: включить или не включить. Аналогично, для элемента $a_2$ есть два выбора, и так далее для всех $n$ элементов. Поскольку выборы для каждого элемента независимы, по правилу произведения в комбинаторике, общее число всех возможных комбинаций (то есть подмножеств) равно произведению числа выборов для каждого элемента:

$N = \underbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}_{n \text{ раз}} = 2^n$.

Каждому подмножеству можно однозначно сопоставить двоичную последовательность длины $n$, в которой на $i$-й позиции стоит 1, если элемент $a_i$ включен в подмножество, и 0, если не включен. Общее число таких уникальных последовательностей равно $2^n$.

2. Метод с использованием бинома Ньютона

Общее число подмножеств является суммой числа подмножеств всех возможных размеров от 0 (пустое множество) до $n$ (само исходное множество). Число подмножеств размера $k$, которые можно выбрать из множества с $n$ элементами, равно биномиальному коэффициенту $C_n^k = \binom{n}{k}$.

Следовательно, общее число подмножеств равно сумме: $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \dots + \binom{n}{n}$.

Согласно формуле бинома Ньютона, $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$. Если подставить в эту формулу значения $x=1$ и $y=1$, мы получим:

$(1+1)^n = 2^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 1^{n-k} 1^k = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$.

Это равенство показывает, что сумма всех биномиальных коэффициентов для данного $n$, которая и представляет собой общее число подмножеств, равна $2^n$.

Пример

Рассмотрим множество $A = \{1, 2, 3\}$, где $n=3$. Согласно теореме, число подмножеств должно быть $2^3 = 8$.

Перечислим все подмножества, сгруппировав их по размеру:

• Размер 0 (0 элементов): $\emptyset$ (1 подмножество).

• Размер 1 (1 элемент): $\{1\}, \{2\}, \{3\}$ (3 подмножества).

• Размер 2 (2 элемента): $\{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}$ (3 подмножества).

• Размер 3 (3 элемента): $\{1, 2, 3\}$ (1 подмножество).

Суммарное количество подмножеств: $1 + 3 + 3 + 1 = 8$, что подтверждает вывод теоремы.

Ответ: Конечное множество, состоящее из $n$ элементов, имеет ровно $2^n$ различных подмножеств.

5. Приведите определение перестановки конечного множества.

Под перестановкой конечного множества понимают упорядоченное расположение всех его элементов. Существует два основных эквивалентных подхода к определению этого понятия.

1. Комбинаторное определение

С точки зрения комбинаторики, перестановкой множества, состоящего из $n$ различных элементов, называется любой упорядоченный набор (кортеж), в который входят все элементы данного множества ровно по одному разу. Таким образом, перестановки — это различные комбинации, которые отличаются друг от друга только порядком следования элементов.

Например, для множества $A = \{a, b, c\}$ все возможные перестановки — это шесть наборов:
$(a, b, c)$, $(a, c, b)$, $(b, a, c)$, $(b, c, a)$, $(c, a, b)$, $(c, b, a)$.

2. Алгебраическое определение (через отображения)

В теории множеств и алгебре перестановка конечного множества $S$ определяется как биективное отображение (или биекция) этого множества на себя. Биекция — это функция $\sigma: S \to S$, которая является одновременно инъективной и сюръективной.

Инъективность означает, что разным элементам множества $S$ соответствуют разные образы (если $x_1 \neq x_2$, то $\sigma(x_1) \neq \sigma(x_2)$).
Сюръективность означает, что каждый элемент множества $S$ является образом какого-либо элемента (для любого $y \in S$ найдется $x \in S$ такой, что $\sigma(x) = y$).

Для конечных множеств эти два условия равносильны: любая инъективная функция из множества в себя является и сюръективной, и наоборот. Поэтому для определения перестановки достаточно потребовать только выполнения одного из них.

Например, для множества $S = \{1, 2, 3\}$ перестановка $(3, 1, 2)$ соответствует биективной функции $\sigma: S \to S$, заданной правилами: $\sigma(1) = 3$, $\sigma(2) = 1$, $\sigma(3) = 2$.

Число перестановок

Общее число различных перестановок для множества из $n$ элементов обозначается символом $P_n$ и равно n-факториалу:
$P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$

Для множества из 3 элементов, как в примере, число перестановок составляет $P_3 = 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: Перестановка конечного множества — это упорядоченный набор, составленный из всех элементов этого множества, или, что эквивалентно, биективное отображение (биекция) конечного множества на себя.

6. Сформулируйте теорему о перестановках множества из $n$ элементов.

Перестановкой из $n$ различных элементов называется любой упорядоченный набор (кортеж), составленный из всех элементов данного множества. Каждая перестановка представляет собой уникальный порядок следования этих элементов.

Теорема о числе перестановок формулируется следующим образом: число всех возможных перестановок для множества, состоящего из $n$ различных элементов, равно $n$-факториалу.

Число перестановок обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле:

$$P_n = n!$$

где $n!$ (читается «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно:

$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$$

По определению также принято считать, что $0! = 1$.

Доказательство (обоснование) теоремы:

Доказательство основано на основном комбинаторном правиле умножения. При создании перестановки из $n$ элементов мы должны последовательно выбрать элементы для каждой из $n$ позиций.

• На первую позицию можно поставить любой из $n$ имеющихся элементов. Таким образом, есть $n$ способов.
• После того как первый элемент выбран, для второй позиции остается $n-1$ элемент. Следовательно, есть $n-1$ способ выбрать второй элемент.
• Для третьей позиции остается $n-2$ элемента, то есть $n-2$ способа.
• Продолжая этот процесс, для последней, $n$-й позиции, у нас останется только один элемент, то есть 1 способ.

Поскольку выбор на каждом шаге является независимым, общее число способов расположить все $n$ элементов в определенном порядке равно произведению числа способов на каждом шаге:

$$P_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 = n!$$

Что и доказывает теорему.

Пример:

Для множества из 3-х элементов, например $\{A, B, C\}$, число перестановок будет равно $P_3 = 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$. Вот все шесть возможных перестановок:

• (A, B, C)
• (A, C, B)
• (B, A, C)
• (B, C, A)
• (C, A, B)
• (C, B, A)

Ответ: Число всех возможных перестановок множества, содержащего $n$ различных элементов, вычисляется как $n$-факториал по формуле $P_n = n!$.