Номер 6, страница 392, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Начертите график непрерывной функции, у которой точка $x = 1$ является стационарной, но не является точкой экстремума.

Чтобы решить задачу, необходимо найти и построить график функции $f(x)$, которая удовлетворяет трём условиям:
1. Функция является непрерывной.
2. Точка $x=1$ является стационарной. Это значит, что производная функции в этой точке равна нулю: $f'(1) = 0$.
3. Точка $x=1$ не является точкой экстремума. Это значит, что производная $f'(x)$ не меняет свой знак при переходе через точку $x=1$.

Стационарная точка, которая не является точкой экстремума, представляет собой точку перегиба с горизонтальной касательной. Классическим примером функции, имеющей такую точку, является кубическая парабола.

Рассмотрим в качестве примера функцию $f(x) = (x-1)^3 + 2$.

1. Непрерывность
Функция $f(x) = (x-1)^3 + 2$ является многочленом. Все многочлены непрерывны на всей числовой прямой, поэтому это условие выполнено.

2. Проверка на стационарность в точке $x=1$
Сначала найдём производную функции:
$f'(x) = ((x-1)^3 + 2)' = 3(x-1)^2 \cdot (x-1)' + 0 = 3(x-1)^2$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x=1$:
$f'(1) = 3(1-1)^2 = 3 \cdot 0 = 0$.
Поскольку производная в точке $x=1$ равна нулю, эта точка является стационарной. Геометрически это означает, что касательная к графику функции в точке с абсциссой $x=1$ горизонтальна.

3. Проверка на отсутствие экстремума в точке $x=1$
Исследуем знак производной $f'(x) = 3(x-1)^2$ в окрестности точки $x=1$.
- При $x < 1$ (например, при $x=0$), выражение $(x-1)^2$ положительно, значит $f'(x) = 3(x-1)^2 > 0$.
- При $x > 1$ (например, при $x=2$), выражение $(x-1)^2$ также положительно, значит $f'(x) = 3(x-1)^2 > 0$.
Так как производная не меняет знак при переходе через точку $x=1$ (она остаётся положительной и слева, и справа), функция монотонно возрастает. Следовательно, в точке $x=1$ экстремума (ни максимума, ни минимума) нет.

Таким образом, функция $f(x) = (x-1)^3 + 2$ полностью удовлетворяет условиям задачи. Точка на графике, соответствующая $x=1$, имеет координаты $(1, f(1))$, то есть $(1, (1-1)^3+2) = (1, 2)$.

Ответ:
Ниже представлен график функции $f(x) = (x-1)^3 + 2$. В точке $(1, 2)$ касательная к графику горизонтальна (показана красным пунктиром), что указывает на стационарную точку. При этом функция возрастает как до, так и после этой точки, что подтверждает отсутствие экстремума.