Номер 4, страница 392, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Начертите график непрерывной кусочной функции так, чтобы у неё было три точки экстремума. Охарактеризуйте каждую из этих точек — точка максимума или минимума.

Для выполнения задания необходимо построить график непрерывной функции, которая состоит из нескольких частей (кусочная) и имеет три точки экстремума. Самый простой способ — создать функцию, график которой является ломаной линией. Точки излома этой линии будут точками экстремума.

Создадим функцию, имеющую два минимума и один максимум. Для этого выберем координаты трех точек экстремума и соединим их отрезками прямых. Пусть точками экстремума будут:

• Точка минимума $A(-2, -1)$
• Точка максимума $B(0, 1)$
• Точка минимума $C(2, -1)$

График функции будет проходить через эти точки. Чтобы функция была определена на всей числовой прямой, продолжим крайние участки ломаной в бесконечность, сохраняя их наклон. Аналитически такая функция может быть задана следующей формулой:

$f(x) = \begin{cases} -x - 3, & \text{если } x < -2 \\ x + 1, & \text{если } -2 \le x < 0 \\ -x + 1, & \text{если } 0 \le x < 2 \\ x - 3, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

Эта функция является непрерывной на всей числовой оси, так как на стыках интервалов значения функций совпадают:

• При $x=-2$: $\lim_{x\to-2^-}(-x-3) = -(-2)-3 = -1$ и $f(-2)=-2+1=-1$.
• При $x=0$: $\lim_{x\to0^-}(x+1) = 0+1=1$ и $f(0)=-0+1=1$.
• При $x=2$: $\lim_{x\to2^-}(-x+1) = -2+1=-1$, но по нашей формуле $f(2)=2-3=-1$. Значение слева: $\lim_{x\to2^-}(-x+1) = -2+1 = -1$ неверно, должно быть $\lim_{x\to2^-}(-x+1) = -2+1 = -1$. Ошибка в расчетах. Правильный расчет: $\lim_{x\to2^-}(-x+1) = -2+1 = -1$. Всё верно. $\lim_{x\to2^-}(-x + 1) = -2 + 1 = -1$. Значение в точке $f(2) = 2 - 3 = -1$. Предел слева и значение в точке совпадают.

Графически эта функция представляет собой симметричную ломаную линию, похожую на букву "W", с вершинами в указанных точках экстремума. На интервалах $(-\infty, -2)$ и $(0, 2)$ функция убывает, а на интервалах $(-2, 0)$ и $(2, +\infty)$ — возрастает.

Ответ: Примером такой функции является $f(x)$, заданная выше. Ее график — это непрерывная ломаная линия с тремя точками излома, которые являются экстремумами.

Точки экстремума — это точки, в которых происходит смена характера монотонности функции (с возрастания на убывание или наоборот). В нашем случае это точки излома графика.

• Точка $x = -2$: Слева от точки функция убывает (например, $f(-3)=0 > f(-2)=-1$), а справа — возрастает ($f(-1)=0 > f(-2)=-1$). Поскольку происходит смена убывания на возрастание, это точка минимума.
• Точка $x = 0$: Слева от точки функция возрастает ($f(-1)=0 < f(0)=1$), а справа — убывает ($f(1)=0 < f(0)=1$). Поскольку происходит смена возрастания на убывание, это точка максимума.
• Точка $x = 2$: Слева от точки функция убывает ($f(1)=0 > f(2)=-1$), а справа — возрастает ($f(3)=0 > f(2)=-1$). Поскольку происходит смена убывания на возрастание, это точка минимума.

Ответ: Построенная функция имеет три точки экстремума: точка максимума при $x=0$ и две точки минимума при $x=-2$ и $x=2$.