Номер 2, страница 392, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Для функции $y = f(x)$ на промежутке $X$ выполняется неравенство $f'(x) < 0$. Какое из утверждений верно:

а) функция убывает на $X$;

б) функция возрастает на $X$;

в) функция является немонотонной на $X$?

Для ответа на данный вопрос необходимо использовать связь между знаком первой производной функции и её монотонностью.

Согласно одному из ключевых положений математического анализа, для дифференцируемой на промежутке $X$ функции $y = f(x)$ справедливо следующее (достаточное условие монотонности):

- Если производная $f'(x) > 0$ для всех $x$ из промежутка $X$, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

- Если производная $f'(x) < 0$ для всех $x$ из промежутка $X$, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Геометрический смысл этого правила заключается в том, что производная $f'(x)$ равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке $x$. Если производная отрицательна ($f'(x) < 0$), то угол наклона касательной к оси абсцисс находится в интервале от 90° до 180°, касательная направлена вниз, и, следовательно, сама функция убывает.

В условии задачи дано, что для функции $y = f(x)$ на всем промежутке $X$ выполняется неравенство $f'(x) < 0$.

Теперь проанализируем каждое из предложенных утверждений:

а) функция убывает на X;
Это утверждение является прямым следствием правила, описанного выше. Так как производная функции отрицательна на всем промежутке $X$, функция монотонно убывает на этом промежутке. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из промежутка $X$, таких что $x_1 < x_2$, будет выполняться неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Таким образом, это утверждение верно.

б) функция возрастает на X;
Для того чтобы функция возрастала, её производная должна быть положительной ($f'(x) > 0$). Это прямо противоречит условию задачи. Следовательно, это утверждение неверно.

в) функция является немонотонной на X?
Немонотонная функция имеет на рассматриваемом промежутке участки и возрастания, и убывания. Это означало бы, что производная $f'(x)$ должна менять свой знак на промежутке $X$, принимая как положительные, так и отрицательные значения. Однако по условию знак производной постоянен (она всегда отрицательна). Это означает, что функция является строго монотонной (а именно, убывающей). Следовательно, это утверждение неверно.

Ответ: а) функция убывает на X.