Страница 392, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Для функции $y = f(x)$ на промежутке $X$ выполняется неравенство $f'(x) > 0$. Какое из утверждений верно:

a) функция убывает на $X$;

б) функция возрастает на $X$;

в) функция является немонотонной на $X$?

Для определения характера поведения функции на промежутке используется ее первая производная. Существует прямая связь между знаком производной и монотонностью функции.

Сформулируем основное правило (достаточный признак монотонности):

• Если производная функции $f'(x)$ положительна ($f'(x) > 0$) для всех значений $x$ из некоторого промежутка $X$, то функция $f(x)$ на этом промежутке строго возрастает.
• Если производная функции $f'(x)$ отрицательна ($f'(x) < 0$) для всех значений $x$ из некоторого промежутка $X$, то функция $f(x)$ на этом промежутке строго убывает.

В условии задачи сказано, что на промежутке $X$ выполняется неравенство $f'(x) > 0$.

Применяя указанное выше правило, мы можем сделать однозначный вывод, что функция $y = f(x)$ является возрастающей на промежутке $X$.

Теперь рассмотрим предложенные варианты ответа:

а) функция убывает на X;
Это утверждение неверно. Для того чтобы функция убывала на промежутке $X$, необходимо, чтобы на этом промежутке выполнялось неравенство $f'(x) < 0$. По условию же $f'(x) > 0$.

б) функция возрастает на X;
Это утверждение верно. Условие $f'(x) > 0$ является достаточным признаком возрастания функции на промежутке $X$.

в) функция является немонотонной на X;
Это утверждение неверно. Функция называется немонотонной на промежутке, если на нем есть участки как возрастания, так и убывания. Это означало бы, что ее производная $f'(x)$ меняет знак на этом промежутке. По условию, знак производной постоянен и положителен, следовательно, функция является монотонной (а именно, монотонно возрастающей).

Таким образом, единственно верным является утверждение б).

Ответ: б) функция возрастает на X.

2. Для функции $y = f(x)$ на промежутке $X$ выполняется неравенство $f'(x) < 0$. Какое из утверждений верно:

а) функция убывает на $X$;

б) функция возрастает на $X$;

в) функция является немонотонной на $X$?

Для ответа на данный вопрос необходимо использовать связь между знаком первой производной функции и её монотонностью.

Согласно одному из ключевых положений математического анализа, для дифференцируемой на промежутке $X$ функции $y = f(x)$ справедливо следующее (достаточное условие монотонности):

- Если производная $f'(x) > 0$ для всех $x$ из промежутка $X$, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

- Если производная $f'(x) < 0$ для всех $x$ из промежутка $X$, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Геометрический смысл этого правила заключается в том, что производная $f'(x)$ равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке $x$. Если производная отрицательна ($f'(x) < 0$), то угол наклона касательной к оси абсцисс находится в интервале от 90° до 180°, касательная направлена вниз, и, следовательно, сама функция убывает.

В условии задачи дано, что для функции $y = f(x)$ на всем промежутке $X$ выполняется неравенство $f'(x) < 0$.

Теперь проанализируем каждое из предложенных утверждений:

а) функция убывает на X;
Это утверждение является прямым следствием правила, описанного выше. Так как производная функции отрицательна на всем промежутке $X$, функция монотонно убывает на этом промежутке. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из промежутка $X$, таких что $x_1 < x_2$, будет выполняться неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Таким образом, это утверждение верно.

б) функция возрастает на X;
Для того чтобы функция возрастала, её производная должна быть положительной ($f'(x) > 0$). Это прямо противоречит условию задачи. Следовательно, это утверждение неверно.

в) функция является немонотонной на X?
Немонотонная функция имеет на рассматриваемом промежутке участки и возрастания, и убывания. Это означало бы, что производная $f'(x)$ должна менять свой знак на промежутке $X$, принимая как положительные, так и отрицательные значения. Однако по условию знак производной постоянен (она всегда отрицательна). Это означает, что функция является строго монотонной (а именно, убывающей). Следовательно, это утверждение неверно.

Ответ: а) функция убывает на X.

3. Что такое точка минимума функции? Что такое точка максимума функции?

Что такое точка минимума функции?

Точка минимума функции — это точка на оси абсцисс (значение аргумента $x$), в которой значение функции меньше или равно значениям во всех соседних точках. Геометрически это соответствует «впадине» на графике функции. Важно отметить, что речь идет о локальном минимуме, то есть значение функции является наименьшим только в определенной окрестности этой точки. На всей области определения функция может иметь и другие точки минимума, а также принимать значения еще меньше, чем в данной точке.

Строгое определение: точка $x_0$ называется точкой локального минимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ с некоторым $\delta > 0$, что для любого $x$ из этой окрестности выполняется неравенство:$f(x) \ge f(x_0)$Если неравенство строгое ($f(x) > f(x_0)$ для $x \ne x_0$), то $x_0$ называется точкой строгого локального минимума.

Для нахождения точек минимума дифференцируемой функции используют производную.

• Необходимое условие: Если $x_0$ — точка минимума, то производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует. Точки, в которых производная равна нулю ($f'(x_0) = 0$), называются стационарными.
• Достаточное условие: Стационарная точка $x_0$ является точкой минимума, если при переходе через нее (слева направо) производная $f'(x)$ меняет знак с «–» на «+». Также, если $f'(x_0) = 0$ и вторая производная в этой точке положительна ($f''(x_0) > 0$), то $x_0$ — точка минимума.

Нужно различать «точку минимума» (это значение аргумента $x_0$) и «минимум функции» (это значение функции в этой точке $f(x_0)$).

Ответ: Точка минимума функции — это значение аргумента $x_0$, для которого существует окрестность, в пределах которой значение функции $f(x_0)$ является наименьшим.

Что такое точка максимума функции?

Точка максимума функции — это точка на оси абсцисс (значение аргумента $x$), в которой значение функции больше или равно значениям во всех соседних точках. Геометрически это выглядит как «вершина» или «пик» на графике функции. Как и минимум, максимум является локальным понятием. Это означает, что значение функции является наибольшим лишь в некоторой окрестности данной точки.

Строгое определение: точка $x_0$ называется точкой локального максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ с некоторым $\delta > 0$, что для любого $x$ из этой окрестности выполняется неравенство:$f(x) \le f(x_0)$Если неравенство строгое ($f(x) < f(x_0)$ для $x \ne x_0$), то $x_0$ называется точкой строгого локального максимума.

Правила нахождения точек максимума с помощью производной аналогичны правилам для точек минимума.

• Необходимое условие: В точке максимума $x_0$ производная $f'(x_0)$ должна быть равна нулю или не существовать.
• Достаточное условие: Стационарная точка $x_0$ является точкой максимума, если при переходе через нее производная $f'(x)$ меняет знак с «+» на «–». Альтернативно, если $f'(x_0) = 0$ и вторая производная в этой точке отрицательна ($f''(x_0) < 0$), то $x_0$ — точка максимума.

Точки минимума и максимума объединяются общим термином — точки экстремума.

Ответ: Точка максимума функции — это значение аргумента $x_0$, для которого существует окрестность, в пределах которой значение функции $f(x_0)$ является наибольшим.

4. Начертите график непрерывной кусочной функции так, чтобы у неё было три точки экстремума. Охарактеризуйте каждую из этих точек — точка максимума или минимума.

Для выполнения задания необходимо построить график непрерывной функции, которая состоит из нескольких частей (кусочная) и имеет три точки экстремума. Самый простой способ — создать функцию, график которой является ломаной линией. Точки излома этой линии будут точками экстремума.

Создадим функцию, имеющую два минимума и один максимум. Для этого выберем координаты трех точек экстремума и соединим их отрезками прямых. Пусть точками экстремума будут:

• Точка минимума $A(-2, -1)$
• Точка максимума $B(0, 1)$
• Точка минимума $C(2, -1)$

График функции будет проходить через эти точки. Чтобы функция была определена на всей числовой прямой, продолжим крайние участки ломаной в бесконечность, сохраняя их наклон. Аналитически такая функция может быть задана следующей формулой:

$f(x) = \begin{cases} -x - 3, & \text{если } x < -2 \\ x + 1, & \text{если } -2 \le x < 0 \\ -x + 1, & \text{если } 0 \le x < 2 \\ x - 3, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

Эта функция является непрерывной на всей числовой оси, так как на стыках интервалов значения функций совпадают:

• При $x=-2$: $\lim_{x\to-2^-}(-x-3) = -(-2)-3 = -1$ и $f(-2)=-2+1=-1$.
• При $x=0$: $\lim_{x\to0^-}(x+1) = 0+1=1$ и $f(0)=-0+1=1$.
• При $x=2$: $\lim_{x\to2^-}(-x+1) = -2+1=-1$, но по нашей формуле $f(2)=2-3=-1$. Значение слева: $\lim_{x\to2^-}(-x+1) = -2+1 = -1$ неверно, должно быть $\lim_{x\to2^-}(-x+1) = -2+1 = -1$. Ошибка в расчетах. Правильный расчет: $\lim_{x\to2^-}(-x+1) = -2+1 = -1$. Всё верно. $\lim_{x\to2^-}(-x + 1) = -2 + 1 = -1$. Значение в точке $f(2) = 2 - 3 = -1$. Предел слева и значение в точке совпадают.

Графически эта функция представляет собой симметричную ломаную линию, похожую на букву "W", с вершинами в указанных точках экстремума. На интервалах $(-\infty, -2)$ и $(0, 2)$ функция убывает, а на интервалах $(-2, 0)$ и $(2, +\infty)$ — возрастает.

Ответ: Примером такой функции является $f(x)$, заданная выше. Ее график — это непрерывная ломаная линия с тремя точками излома, которые являются экстремумами.

Точки экстремума — это точки, в которых происходит смена характера монотонности функции (с возрастания на убывание или наоборот). В нашем случае это точки излома графика.

• Точка $x = -2$: Слева от точки функция убывает (например, $f(-3)=0 > f(-2)=-1$), а справа — возрастает ($f(-1)=0 > f(-2)=-1$). Поскольку происходит смена убывания на возрастание, это точка минимума.
• Точка $x = 0$: Слева от точки функция возрастает ($f(-1)=0 < f(0)=1$), а справа — убывает ($f(1)=0 < f(0)=1$). Поскольку происходит смена возрастания на убывание, это точка максимума.
• Точка $x = 2$: Слева от точки функция убывает ($f(1)=0 > f(2)=-1$), а справа — возрастает ($f(3)=0 > f(2)=-1$). Поскольку происходит смена убывания на возрастание, это точка минимума.

Ответ: Построенная функция имеет три точки экстремума: точка максимума при $x=0$ и две точки минимума при $x=-2$ и $x=2$.

5. Начертите график непрерывной функции, у которой точка $x = 1$ является критической, но не является точкой экстремума.

Для того чтобы начертить график функции, удовлетворяющей заданным условиям, необходимо разобраться в определениях.

• Непрерывная функция — это функция, график которой можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги.
• Критическая точка — это внутренняя точка области определения функции, в которой её производная равна нулю или не существует.
• Точка экстремума (локального максимума или минимума) — это точка, в которой производная меняет свой знак (с плюса на минус для максимума, с минуса на плюс для минимума).

Из этих определений следует, что нам нужно найти функцию, которая в точке $x=1$ имеет производную, равную нулю или не существующую, но при этом знак производной при переходе через эту точку не меняется. То есть функция должна возрастать (или убывать) как до, так и после точки $x=1$.

Простейшим примером такой функции является кубическая парабола, смещенная таким образом, чтобы ее точка перегиба находилась в $x=1$.

Рассмотрим функцию $f(x) = (x - 1)^3$.

1. Непрерывность.
Эта функция является многочленом, следовательно, она непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.

2. Поиск критических точек.
Найдём производную функции:

$f'(x) = \left((x-1)^3\right)' = 3(x-1)^2 \cdot (x-1)' = 3(x-1)^2$

Производная существует на всей числовой прямой. Найдём точки, в которых производная равна нулю:

$f'(x) = 0 \Rightarrow 3(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Таким образом, $x=1$ является единственной критической точкой.

3. Проверка на экстремум.
Определим знак производной $f'(x) = 3(x-1)^2$ слева и справа от точки $x=1$.

• При $x < 1$, например $x=0$, имеем $f'(0) = 3(0-1)^2 = 3 > 0$.
• При $x > 1$, например $x=2$, имеем $f'(2) = 3(2-1)^2 = 3 > 0$.

Поскольку производная положительна как до, так и после точки $x=1$, функция возрастает на всей своей области определения. Знак производной не меняется, значит, точка $x=1$ не является точкой экстремума, а является точкой перегиба с горизонтальной касательной.

График функции $y = (x-1)^3$.

График этой функции получается сдвигом графика $y=x^3$ на 1 единицу вправо. Ключевые точки для построения:

• $x=1, y=(1-1)^3=0$. Точка перегиба $(1,0)$.
• $x=0, y=(0-1)^3=-1$. Точка $(0,-1)$.
• $x=2, y=(2-1)^3=1$. Точка $(2,1)$.

Эскиз графика представлен ниже:

Ответ:
Примером функции, у которой точка $x=1$ является критической, но не является точкой экстремума, служит $f(x)=(x-1)^3$. Её график — это кубическая парабола с точкой перегиба в $(1, 0)$, где касательная горизонтальна ($f'(1)=0$), но функция продолжает возрастать, так как производная $f'(x)=3(x-1)^2$ не меняет знака в окрестности этой точки.

6. Начертите график непрерывной функции, у которой точка $x = 1$ является стационарной, но не является точкой экстремума.

Чтобы решить задачу, необходимо найти и построить график функции $f(x)$, которая удовлетворяет трём условиям:
1. Функция является непрерывной.
2. Точка $x=1$ является стационарной. Это значит, что производная функции в этой точке равна нулю: $f'(1) = 0$.
3. Точка $x=1$ не является точкой экстремума. Это значит, что производная $f'(x)$ не меняет свой знак при переходе через точку $x=1$.

Стационарная точка, которая не является точкой экстремума, представляет собой точку перегиба с горизонтальной касательной. Классическим примером функции, имеющей такую точку, является кубическая парабола.

Рассмотрим в качестве примера функцию $f(x) = (x-1)^3 + 2$.

1. Непрерывность
Функция $f(x) = (x-1)^3 + 2$ является многочленом. Все многочлены непрерывны на всей числовой прямой, поэтому это условие выполнено.

2. Проверка на стационарность в точке $x=1$
Сначала найдём производную функции:
$f'(x) = ((x-1)^3 + 2)' = 3(x-1)^2 \cdot (x-1)' + 0 = 3(x-1)^2$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x=1$:
$f'(1) = 3(1-1)^2 = 3 \cdot 0 = 0$.
Поскольку производная в точке $x=1$ равна нулю, эта точка является стационарной. Геометрически это означает, что касательная к графику функции в точке с абсциссой $x=1$ горизонтальна.

3. Проверка на отсутствие экстремума в точке $x=1$
Исследуем знак производной $f'(x) = 3(x-1)^2$ в окрестности точки $x=1$.
- При $x < 1$ (например, при $x=0$), выражение $(x-1)^2$ положительно, значит $f'(x) = 3(x-1)^2 > 0$.
- При $x > 1$ (например, при $x=2$), выражение $(x-1)^2$ также положительно, значит $f'(x) = 3(x-1)^2 > 0$.
Так как производная не меняет знак при переходе через точку $x=1$ (она остаётся положительной и слева, и справа), функция монотонно возрастает. Следовательно, в точке $x=1$ экстремума (ни максимума, ни минимума) нет.

Таким образом, функция $f(x) = (x-1)^3 + 2$ полностью удовлетворяет условиям задачи. Точка на графике, соответствующая $x=1$, имеет координаты $(1, f(1))$, то есть $(1, (1-1)^3+2) = (1, 2)$.

Ответ:
Ниже представлен график функции $f(x) = (x-1)^3 + 2$. В точке $(1, 2)$ касательная к графику горизонтальна (показана красным пунктиром), что указывает на стационарную точку. При этом функция возрастает как до, так и после этой точки, что подтверждает отсутствие экстремума.

7. Сформулируйте теорему о необходимых условиях экстремума.

7. Сформулируйте теорему о необходимых условиях экстремума.

Эта теорема также известна как теорема Ферма. Она устанавливает связь между существованием локального экстремума у дифференцируемой функции и значением её производной в этой точке.

Формулировка теоремы:

Пусть функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ и имеет в этой точке локальный экстремум (локальный максимум или локальный минимум). Если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то её производная в этой точке равна нулю: $$f'(x_0) = 0$$

Подробное разъяснение:

1. Необходимое, но не достаточное условие.
Теорема утверждает, что если в точке $x_0$ есть экстремум и функция в ней дифференцируема, то производная обязательно равна нулю. Однако обратное неверно: равенство производной нулю в некоторой точке не гарантирует наличие в ней экстремума. Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными. Экстремум в них может быть, а может и не быть.
Пример: для функции $f(x) = x^3$ её производная $f'(x) = 3x^2$ обращается в ноль в точке $x_0 = 0$. Однако в этой точке функция не имеет экстремума, а имеет точку перегиба.

2. Геометрический смысл.
Геометрически условие $f'(x_0) = 0$ означает, что касательная к графику функции в точке $(x_0, f(x_0))$ является горизонтальной, то есть параллельной оси абсцисс ($Ox$).

3. Важность условия дифференцируемости.
Теорема применима только для точек, в которых функция имеет производную. Экстремум может существовать и в точке, где функция не является дифференцируемой.
Пример: функция $f(x) = |x|$ имеет в точке $x_0 = 0$ локальный минимум, но её производная в этой точке не существует.

Из теоремы Ферма следует, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри него, то её локальные экстремумы могут достигаться только в критических точках — точках, где производная равна нулю или не существует.

Ответ: Если функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то её производная в этой точке равна нулю: $f'(x_0) = 0$.

8. Сформулируйте теорему о достаточных условиях экстремума.

Теорема о достаточных условиях экстремума позволяет по поведению производных функции в окрестности критической точки сделать вывод о наличии и характере экстремума (локального минимума или максимума) в этой точке. Существует несколько формулировок, основанных на анализе первой, второй или старших производных.

Достаточное условие экстремума с использованием первой производной

Пусть функция $f(x)$ непрерывна в критической точке $x_0$ (где производная $f'(x_0)$ равна нулю или не существует) и дифференцируема в некоторой проколотой окрестности этой точки.

• Если при переходе через точку $x_0$ (при возрастании $x$) производная $f'(x)$ меняет знак с плюса на минус, то есть $f'(x) > 0$ при $x < x_0$ и $f'(x) < 0$ при $x > x_0$, то $x_0$ является точкой локального максимума.
• Если при переходе через точку $x_0$ производная $f'(x)$ меняет знак с минуса на плюс, то есть $f'(x) < 0$ при $x < x_0$ и $f'(x) > 0$ при $x > x_0$, то $x_0$ является точкой локального минимума.
• Если при переходе через точку $x_0$ производная $f'(x)$ не меняет свой знак, то в точке $x_0$ экстремума нет.

Ответ: Если в критической точке $x_0$ производная $f'(x)$ меняет знак с «+» на «?», то это точка максимума, а если с «?» на «+» — то точка минимума.

Достаточное условие экстремума с использованием второй производной

Пусть функция $f(x)$ дважды дифференцируема в окрестности стационарной точки $x_0$ (точки, в которой $f'(x_0) = 0$), и вторая производная $f''(x)$ непрерывна в точке $x_0$.

• Если $f'(x_0) = 0$ и $f''(x_0) < 0$, то точка $x_0$ является точкой локального максимума.
• Если $f'(x_0) = 0$ и $f''(x_0) > 0$, то точка $x_0$ является точкой локального минимума.

Если $f''(x_0) = 0$, то данное правило не позволяет сделать вывод о наличии экстремума. В этом случае необходимо провести дополнительное исследование, например, с помощью анализа знака первой производной или с помощью производных более высоких порядков.

Ответ: Если в стационарной точке $x_0$ вторая производная $f''(x_0) < 0$, то это точка максимума, а если $f''(x_0) > 0$ — то точка минимума.

Достаточное условие экстремума с использованием производных высших порядков

Это обобщение правила второй производной. Пусть функция $f(x)$ $n$ раз непрерывно дифференцируема в окрестности точки $x_0$ и пусть выполнены условия:

$f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$, а $f^{(n)}(x_0) \neq 0$, где $n \ge 2$.

• Если порядок первой ненулевой производной $n$ — четное число, то в точке $x_0$ функция имеет локальный экстремум:
  • локальный максимум, если $f^{(n)}(x_0) < 0$;
  • локальный минимум, если $f^{(n)}(x_0) > 0$.
• Если порядок первой ненулевой производной $n$ — нечетное число, то в точке $x_0$ экстремума нет (в этой точке находится точка перегиба).

Ответ: Если первая отличная от нуля производная в точке $x_0$ имеет четный порядок $n$, то $x_0$ — точка экстремума (максимума при $f^{(n)}(x_0) < 0$ и минимума при $f^{(n)}(x_0) > 0$). Если порядок $n$ нечетный, экстремума нет.

9. Опишите последовательность своих действий, если вам нужно исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

Исследование функции на монотонность и экстремумы — это стандартная процедура, которая выполняется по следующему алгоритму:

1. Найти область определения функции $D(f)$. Это первый и обязательный шаг, так как все дальнейшие выводы будут справедливы только для точек из области определения.

2. Найти производную функции $f'(x)$. Знак производной определяет характер монотонности функции (возрастание или убывание).

3. Найти критические точки первого рода. Это внутренние точки области определения, в которых производная $f'(x)$ равна нулю или не существует. Для этого необходимо: а) решить уравнение $f'(x) = 0$, его корни называются стационарными точками; б) найти точки, в которых производная не существует, но сама функция определена.

4. Определить промежутки монотонности. Найденные критические точки разбивают область определения на интервалы. На каждом из этих интервалов производная сохраняет свой знак. Для определения знака достаточно вычислить значение $f'(x)$ в любой одной пробной точке интервала. Если на интервале $f'(x) > 0$, то функция $f(x)$ на этом интервале строго возрастает. Если же $f'(x) < 0$, то функция $f(x)$ на этом интервале строго убывает.

5. Определить точки экстремума. Необходимо проанализировать, как меняется знак производной при переходе через каждую критическую точку. Если при переходе через точку $x_0$ (слева направо) знак $f'(x)$ меняется с «+» на «?», то $x_0$ является точкой локального максимума. Если знак $f'(x)$ меняется с «?» на «+», то $x_0$ является точкой локального минимума. Если знак производной не меняется, то в точке $x_0$ экстремума нет.

6. Вычислить значения функции в точках экстремума. Найти значения $y_{max} = f(x_{max})$ и $y_{min} = f(x_{min})$. Эти значения называются экстремумами функции.

7. Сформулировать и записать ответ. В ответе указываются все найденные промежутки возрастания и убывания, а также точки максимума и минимума с соответствующими значениями функции в этих точках.

Ответ: Последовательность действий для исследования функции $f(x)$ на монотонность и экстремумы: 1) Найти область определения $D(f)$. 2) Найти производную $f'(x)$. 3) Найти критические точки (где $f'(x)=0$ или не существует). 4) Определить знаки $f'(x)$ на интервалах, образованных критическими точками, чтобы найти промежутки возрастания ($f'(x)>0$) и убывания ($f'(x)<0$). 5) Проанализировать смену знака $f'(x)$ в критических точках для выявления точек максимума (смена с «+» на «?») и минимума (смена с «?» на «+»). 6) Вычислить значения функции в точках экстремума и записать итоговые выводы.