Номер 5, страница 392, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Начертите график непрерывной функции, у которой точка $x = 1$ является критической, но не является точкой экстремума.

Для того чтобы начертить график функции, удовлетворяющей заданным условиям, необходимо разобраться в определениях.

• Непрерывная функция — это функция, график которой можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги.
• Критическая точка — это внутренняя точка области определения функции, в которой её производная равна нулю или не существует.
• Точка экстремума (локального максимума или минимума) — это точка, в которой производная меняет свой знак (с плюса на минус для максимума, с минуса на плюс для минимума).

Из этих определений следует, что нам нужно найти функцию, которая в точке $x=1$ имеет производную, равную нулю или не существующую, но при этом знак производной при переходе через эту точку не меняется. То есть функция должна возрастать (или убывать) как до, так и после точки $x=1$.

Простейшим примером такой функции является кубическая парабола, смещенная таким образом, чтобы ее точка перегиба находилась в $x=1$.

Рассмотрим функцию $f(x) = (x - 1)^3$.

1. Непрерывность.
Эта функция является многочленом, следовательно, она непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.

2. Поиск критических точек.
Найдём производную функции:

$f'(x) = \left((x-1)^3\right)' = 3(x-1)^2 \cdot (x-1)' = 3(x-1)^2$

Производная существует на всей числовой прямой. Найдём точки, в которых производная равна нулю:

$f'(x) = 0 \Rightarrow 3(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Таким образом, $x=1$ является единственной критической точкой.

3. Проверка на экстремум.
Определим знак производной $f'(x) = 3(x-1)^2$ слева и справа от точки $x=1$.

• При $x < 1$, например $x=0$, имеем $f'(0) = 3(0-1)^2 = 3 > 0$.
• При $x > 1$, например $x=2$, имеем $f'(2) = 3(2-1)^2 = 3 > 0$.

Поскольку производная положительна как до, так и после точки $x=1$, функция возрастает на всей своей области определения. Знак производной не меняется, значит, точка $x=1$ не является точкой экстремума, а является точкой перегиба с горизонтальной касательной.

График функции $y = (x-1)^3$.

График этой функции получается сдвигом графика $y=x^3$ на 1 единицу вправо. Ключевые точки для построения:

• $x=1, y=(1-1)^3=0$. Точка перегиба $(1,0)$.
• $x=0, y=(0-1)^3=-1$. Точка $(0,-1)$.
• $x=2, y=(2-1)^3=1$. Точка $(2,1)$.

Эскиз графика представлен ниже:

Ответ:
Примером функции, у которой точка $x=1$ является критической, но не является точкой экстремума, служит $f(x)=(x-1)^3$. Её график — это кубическая парабола с точкой перегиба в $(1, 0)$, где касательная горизонтальна ($f'(1)=0$), но функция продолжает возрастать, так как производная $f'(x)=3(x-1)^2$ не меняет знака в окрестности этой точки.