Номер 1, страница 392, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Для функции $y = f(x)$ на промежутке $X$ выполняется неравенство $f'(x) > 0$. Какое из утверждений верно:

a) функция убывает на $X$;

б) функция возрастает на $X$;

в) функция является немонотонной на $X$?

Для определения характера поведения функции на промежутке используется ее первая производная. Существует прямая связь между знаком производной и монотонностью функции.

Сформулируем основное правило (достаточный признак монотонности):

• Если производная функции $f'(x)$ положительна ($f'(x) > 0$) для всех значений $x$ из некоторого промежутка $X$, то функция $f(x)$ на этом промежутке строго возрастает.
• Если производная функции $f'(x)$ отрицательна ($f'(x) < 0$) для всех значений $x$ из некоторого промежутка $X$, то функция $f(x)$ на этом промежутке строго убывает.

В условии задачи сказано, что на промежутке $X$ выполняется неравенство $f'(x) > 0$.

Применяя указанное выше правило, мы можем сделать однозначный вывод, что функция $y = f(x)$ является возрастающей на промежутке $X$.

Теперь рассмотрим предложенные варианты ответа:

а) функция убывает на X;
Это утверждение неверно. Для того чтобы функция убывала на промежутке $X$, необходимо, чтобы на этом промежутке выполнялось неравенство $f'(x) < 0$. По условию же $f'(x) > 0$.

б) функция возрастает на X;
Это утверждение верно. Условие $f'(x) > 0$ является достаточным признаком возрастания функции на промежутке $X$.

в) функция является немонотонной на X;
Это утверждение неверно. Функция называется немонотонной на промежутке, если на нем есть участки как возрастания, так и убывания. Это означало бы, что ее производная $f'(x)$ меняет знак на этом промежутке. По условию, знак производной постоянен и положителен, следовательно, функция является монотонной (а именно, монотонно возрастающей).

Таким образом, единственно верным является утверждение б).

Ответ: б) функция возрастает на X.