Страница 433, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Сформулируйте определение числа размещений и числа сочетаний из $n$ элементов по $k$.

Число размещений

Размещениями из $n$ элементов по $k$ (где $k \le n$) называются любые упорядоченные наборы, состоящие из $k$ различных элементов, выбранных из данного множества, содержащего $n$ элементов.

Ключевым свойством размещений является то, что важен не только состав выбранных элементов, но и порядок их расположения. Два размещения считаются различными, если они отличаются либо составом элементов, либо порядком их следования.

Например, если из множества {A, B, C} мы выбираем размещения по 2 элемента, то наборы (A, B) и (B, A) — это два разных размещения.

Число размещений из $n$ по $k$ обозначается как $A_n^k$ и вычисляется по формуле: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$

Ответ: Размещениями из $n$ элементов по $k$ называются упорядоченные подмножества размером $k$, составленные из элементов исходного множества размером $n$. Число всех таких размещений обозначается $A_n^k$ и находится по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Число сочетаний

Сочетаниями из $n$ элементов по $k$ (где $k \le n$) называются любые неупорядоченные наборы, состоящие из $k$ различных элементов, выбранных из данного множества, содержащего $n$ элементов.

В отличие от размещений, в сочетаниях порядок следования элементов не имеет значения. Два сочетания считаются различными только в том случае, если они отличаются составом элементов.

Например, если из множества {A, B, C} мы выбираем сочетания по 2 элемента, то набор {A, B} и {B, A} — это одно и то же сочетание.

Число сочетаний из $n$ по $k$ обозначается как $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$ и вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Можно заметить, что число сочетаний связано с числом размещений: $C_n^k = \frac{A_n^k}{k!}$, так как для каждого набора из $k$ элементов существует $k!$ способов их упорядочить (переставить).

Ответ: Сочетаниями из $n$ элементов по $k$ называются неупорядоченные подмножества (наборы) размером $k$, составленные из элементов исходного множества размером $n$. Число всех таких сочетаний обозначается $C_n^k$ и находится по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

2. Запишите формулы для вычисления числа размещений и числа сочетаний из $n$ элементов по $k$.

Формула для вычисления числа размещений

Размещением из n элементов по k называется любой упорядоченный набор из k различных элементов, выбранных из исходного множества, содержащего n элементов. В размещениях порядок следования элементов является существенным (например, наборы {1, 2} и {2, 1} — это два разных размещения).

Число размещений (без повторений) из n по k обозначается символом $A_n^k$ и вычисляется по следующей формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

где n — общее количество элементов в исходном множестве, k — количество элементов в выбираемом наборе ($0 \le k \le n$), а $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

Ответ: Формула для числа размещений из n элементов по k: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Формула для вычисления числа сочетаний

Сочетанием из n элементов по k называется любой неупорядоченный набор из k различных элементов, выбранных из исходного множества, содержащего n элементов. В сочетаниях, в отличие от размещений, порядок элементов не имеет значения (например, наборы {1, 2} и {2, 1} — это одно и то же сочетание).

Число сочетаний (без повторений) из n по k обозначается символом $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$ и вычисляется по следующей формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где n — общее количество элементов, а k — количество элементов в выбираемом наборе ($0 \le k \le n$). Эта величина также называется биномиальным коэффициентом.

Ответ: Формула для числа сочетаний из n элементов по k: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

3. Запишите полностью треугольник Паскаля до седьмой строки.

Треугольник Паскаля — это числовая таблица в форме треугольника, которая строится по следующему рекурсивному правилу. Нумерация строк начинается с нуля.

• Нулевая (самая верхняя) строка состоит из одного числа — 1.
• Каждая последующая строка начинается и заканчивается единицами.
• Каждый другой элемент строки получается как сумма двух чисел, расположенных непосредственно над ним в предыдущей строке.

Ниже представлено пошаговое построение треугольника Паскаля до седьмой строки включительно, где для каждой строки показано, как её элементы вычисляются на основе предыдущей.

Строка 0:
1

Строка 1:
1 1

Строка 2:
На основе строки 1 (1 1). Внутренний элемент: $1+1=2$.
Результат: 1 2 1

Строка 3:
На основе строки 2 (1 2 1). Внутренние элементы: $1+2=3$ и $2+1=3$.
Результат: 1 3 3 1

Строка 4:
На основе строки 3 (1 3 3 1). Внутренние элементы: $1+3=4$, $3+3=6$, $3+1=4$.
Результат: 1 4 6 4 1

Строка 5:
На основе строки 4 (1 4 6 4 1). Внутренние элементы: $1+4=5$, $4+6=10$, $6+4=10$, $4+1=5$.
Результат: 1 5 10 10 5 1

Строка 6:
На основе строки 5 (1 5 10 10 5 1). Внутренние элементы: $1+5=6$, $5+10=15$, $10+10=20$, $10+5=15$, $5+1=6$.
Результат: 1 6 15 20 15 6 1

Строка 7:
На основе строки 6 (1 6 15 20 15 6 1). Внутренние элементы: $1+6=7$, $6+15=21$, $15+20=35$, $20+15=35$, $15+6=21$, $6+1=7$.
Результат: 1 7 21 35 35 21 7 1

Ответ:

 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1