Страница 369, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Объясните, почему касательная к графику функции $y=\sin x$ в точке $x=0$ составляет с положительным направлением оси абсцисс угол $45^\circ$.

1. Объясните, почему касательная к графику функции $y=\sin x$ в точке $x = 0$ составляет с положительным направлением оси абсцисс угол $45^\circ$.

Угол, который касательная к графику функции образует с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox), можно найти через угловой коэффициент этой касательной. Угловой коэффициент $k$ прямой связан с углом её наклона $\alpha$ соотношением $k = \tan \alpha$.

Согласно геометрическому смыслу производной, угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в точке $x_0$. То есть, $k = f'(x_0)$.

Объединяя эти два факта, получаем: $\tan \alpha = f'(x_0)$.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдем производную заданной функции $f(x) = \sin x$.
$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

2. Вычислим значение производной в точке касания $x_0 = 0$.
$f'(0) = \cos(0) = 1$.

3. Значение производной в этой точке и есть угловой коэффициент касательной:
$k = 1$.

4. Найдем угол наклона $\alpha$ из уравнения $\tan \alpha = k$.
$\tan \alpha = 1$.

Решением этого тригонометрического уравнения (для угла наклона прямой, который обычно рассматривается в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$) является $\alpha = 45^\circ$.

Таким образом, касательная к графику функции $y = \sin x$ в точке $x = 0$ действительно составляет с положительным направлением оси абсцисс угол $45^\circ$.

Ответ: Угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$ в этой точке. Для функции $f(x) = \sin x$ производная равна $f'(x) = \cos x$. В точке $x_0=0$ значение производной $f'(0)=\cos(0)=1$. Угловой коэффициент $k$ связан с углом наклона касательной $\alpha$ формулой $k = \tan\alpha$. Следовательно, $\tan\alpha = 1$, откуда $\alpha = 45^\circ$.

2. Объясните, почему касательная к графику функции $y = \cos x$ в точке $x = \frac{\pi}{2}$ составляет с положительным направлением оси абсцисс угол $135^\circ$.

Геометрический смысл производной функции в точке заключается в том, что её значение равно тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Угол наклона $\alpha$ отсчитывается от положительного направления оси абсцисс. Таким образом, для функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ справедливо равенство: $k = \tan \alpha = f'(x_0)$, где $k$ — угловой коэффициент касательной.

В данной задаче рассматривается функция $y = \cos x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{2}$. Чтобы объяснить, почему угол наклона касательной в этой точке равен $135^\circ$, необходимо найти значение производной и приравнять его к тангенсу угла.

1. Найдём производную функции $y = \cos x$:
$y' = (\cos x)' = -\sin x$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$. Это значение и будет являться угловым коэффициентом $k$ касательной в этой точке:
$k = y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$.

3. Зная, что $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$, получаем:
$k = -1$.

4. Теперь, когда мы знаем, что угловой коэффициент касательной равен $-1$, мы можем найти соответствующий ему угол наклона $\alpha$, решив уравнение:
$\tan \alpha = k = -1$.

Единственным решением этого уравнения в диапазоне углов от $0^\circ$ до $180^\circ$ является $\alpha = 135^\circ$, поскольку $\tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$.

Таким образом, мы показали, что касательная к графику функции $y = \cos x$ в точке $x = \frac{\pi}{2}$ имеет угловой коэффициент $-1$, что соответствует углу наклона $135^\circ$ к положительному направлению оси абсцисс.

Ответ: Значение производной функции $y = \cos x$ в точке $x = \frac{\pi}{2}$ равно $y'(\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$. Угловой коэффициент касательной $k$ в этой точке равен значению производной, то есть $k = -1$. Угол наклона $\alpha$ касательной к положительному направлению оси абсцисс связан с угловым коэффициентом формулой $k = \tan \alpha$. Из уравнения $\tan \alpha = -1$ следует, что $\alpha = 135^\circ$.

3. Сформулируйте правило вычисления производной суммы двух функций.

Правило вычисления производной суммы двух функций, также известное как правило дифференцирования суммы, является одним из основных правил в дифференциальном исчислении.

Словесная формулировка правила

Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме их производных.

Математическая запись (формула)

Если функции $u(x)$ и $v(x)$ имеют производные в точке $x$, то и их сумма $f(x) = u(x) + v(x)$ также имеет производную в этой точке, причем: $$ (u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x) $$ Это правило можно обобщить на любое конечное число слагаемых: $$ (f_1(x) + f_2(x) + \dots + f_n(x))' = f_1'(x) + f_2'(x) + \dots + f_n'(x) $$

Доказательство

Доказательство этого правила основывается на определении производной. Пусть $f(x) = u(x) + v(x)$. По определению производной: $$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} $$ Подставим в эту формулу выражение для $f(x)$: $$ (u(x) + v(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) + v(x + \Delta x)) - (u(x) + v(x))}{\Delta x} $$ Теперь сгруппируем слагаемые в числителе: $$ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) - u(x)) + (v(x + \Delta x) - v(x))}{\Delta x} $$ Разделим дробь на сумму двух дробей: $$ = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} \right) $$ Используя свойство предела суммы (предел суммы равен сумме пределов), получим: $$ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} $$ Первый предел по определению равен производной функции $u(x)$, а второй — производной функции $v(x)$. Следовательно: $$ = u'(x) + v'(x) $$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Производная суммы двух функций равна сумме их производных. Если $u(x)$ и $v(x)$ — дифференцируемые функции, то $(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$.

4. Сформулируйте правило вычисления производной произведения двух функций.

Правило вычисления производной произведения двух функций (также известное как правило Лейбница) гласит: производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первой функции на вторую функцию и произведения первой функции на производную второй функции.

В виде формулы это правило записывается так. Если $u(x)$ и $v(x)$ — дифференцируемые функции, то производная их произведения $f(x) = u(x)v(x)$ равна:

$ (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $

Или в более краткой нотации:

$ (uv)' = u'v + uv' $

Для полноты ответа приведем доказательство этой формулы. Оно основывается на определении производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента.

Пусть $f(x) = u(x)v(x)$. По определению производной:

$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x} $

В числителе дроби прибавим и вычтем слагаемое $u(x)v(x + \Delta x)$. Это преобразование не изменит значения выражения:

$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x + \Delta x) + u(x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x} $

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$ \lim_{\Delta x \to 0} \left( v(x + \Delta x) \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + u(x) \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} \right) $

Используя свойство предела суммы и предела произведения, получаем:

$ \lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} u(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} $

Так как по определению $u'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x}$ и $v'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}$, а из-за непрерывности дифференцируемой функции $v(x)$ следует, что $\lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x) = v(x)$, мы можем подставить эти значения в выражение:

$ v(x) \cdot u'(x) + u(x) \cdot v'(x) $

Переставляя слагаемые, получаем итоговую формулу: $u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$, что и требовалось доказать.

Рассмотрим пример применения правила. Найдем производную функции $f(x) = x^3 \cos(x)$.

Обозначим $u(x) = x^3$ и $v(x) = \cos(x)$.

Их производные равны: $u'(x) = 3x^2$ и $v'(x) = -\sin(x)$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = (3x^2)(\cos(x)) + (x^3)(-\sin(x)) = 3x^2 \cos(x) - x^3 \sin(x) $.

Ответ: Правило вычисления производной произведения двух функций $u(x)$ и $v(x)$ заключается в следующем: производная произведения равна сумме произведения производной первой функции на вторую и произведения первой функции на производную второй. Формула: $(uv)' = u'v + uv'$.

5. Сформулируйте правило вычисления производной частного двух функций.

Правило вычисления производной частного двух функций, также известное как правило частного, формулируется следующим образом:

Если функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы в точке $x$, и при этом функция-знаменатель $v(x)$ не равна нулю в этой точке ($v(x) \neq 0$), то их частное $y(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ также является дифференцируемым в точке $x$. Производная этого частного находится по следующему правилу:

Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность между произведением производной числителя на знаменатель и произведением числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат первоначального знаменателя.

В виде формулы это правило записывается так: $$ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $$ Или, используя более краткую запись: $$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$

Доказательство проводится с использованием определения производной. Пусть дана функция $y(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$. Её производная по определению: $$ y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(x + \Delta x) - y(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{u(x + \Delta x)}{v(x + \Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} $$

Приведем дроби в числителе к общему знаменателю $v(x + \Delta x)v(x)$: $$ y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x) - u(x)v(x + \Delta x)}{\Delta x \cdot v(x + \Delta x)v(x)} $$

Для дальнейшего преобразования используем искусственный прием: прибавим и вычтем в числителе одно и то же выражение $u(x)v(x)$: $$ y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x) - u(x)v(x) + u(x)v(x) - u(x)v(x + \Delta x)}{\Delta x \cdot v(x + \Delta x)v(x)} $$

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки: $$ y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x)[u(x + \Delta x) - u(x)] - u(x)[v(x + \Delta x) - v(x)]}{\Delta x \cdot v(x + \Delta x)v(x)} $$

Разделим почленно числитель на $\Delta x$ и воспользуемся свойствами пределов: $$ y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x)\frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} - u(x)\frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}}{v(x + \Delta x)v(x)} $$

Поскольку по условию функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы, то существуют пределы отношений приращений функций к приращению аргумента, которые и являются их производными: $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} = u'(x) $$ $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} = v'(x) $$ Так как дифференцируемая функция непрерывна, то $\lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x) = v(x)$. Подставляя эти значения в выражение для $y'(x)$, получаем итоговую формулу: $$ y'(x) = \frac{v(x)u'(x) - u(x)v'(x)}{v(x)v(x)} = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ Доказательство завершено.

Найдем производную функции $y = \frac{\sin x}{x^3}$.

В данном случае числитель $u(x) = \sin x$, а знаменатель $v(x) = x^3$. Найдем их производные: $$ u'(x) = (\sin x)' = \cos x $$ $$ v'(x) = (x^3)' = 3x^2 $$

Теперь применим формулу производной частного: $$ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(\cos x)(x^3) - (\sin x)(3x^2)}{(x^3)^2} $$

Упростим полученное выражение: $$ y' = \frac{x^3\cos x - 3x^2\sin x}{x^6} = \frac{x^2(x\cos x - 3\sin x)}{x^6} = \frac{x\cos x - 3\sin x}{x^4} $$

Ответ: Производная частного двух дифференцируемых функций $u$ и $v$ (где $v \neq 0$) вычисляется по формуле: $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $. Словесно: производная частного равна дроби, в числителе которой находится "производная числителя, умноженная на знаменатель, минус числитель, умноженный на производную знаменателя", а в знаменателе — "знаменатель в квадрате".