Номер 2, страница 271, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Вычислите: $i^{-1}$, $\bar{i}$, $(-i)^{-1}$, $\overline{-i}$.

Для вычисления значения выражения $i^{-1} \cdot \overline{i} \cdot (-i)^{-1} \cdot \overline{-i}$ найдем значение каждого сомножителя по отдельности. В комплексных числах $i$ — это мнимая единица, для которой выполняется равенство $i^2 = -1$. Черта сверху над комплексным числом означает операцию комплексного сопряжения: для числа $z = a+bi$ сопряженное число равно $\overline{z} = a-bi$.

1. Найдем $i^{-1}$.
Степень $-1$ означает обратное число: $i^{-1} = \frac{1}{i}$.
Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $i$:
$\frac{1}{i} = \frac{1 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i$.

2. Найдем $\overline{i}$.
Число $i$ можно представить в алгебраической форме как $0 + 1i$. Комплексно сопряженное к нему будет $0 - 1i$, что равно $-i$.
Таким образом, $\overline{i} = -i$.

3. Найдем $(-i)^{-1}$.
Аналогично первому пункту, $(-i)^{-1} = \frac{1}{-i}$.
Умножим числитель и знаменатель на $i$:
$\frac{1}{-i} = \frac{1 \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{-(-1)} = \frac{i}{1} = i$.

4. Найдем $\overline{-i}$.
Число $-i$ можно представить как $0 - 1i$. Комплексно сопряженное к нему будет $0 + 1i$, что равно $i$.
Таким образом, $\overline{-i} = i$.

Теперь подставим все вычисленные значения обратно в исходное выражение:
$i^{-1} \cdot \overline{i} \cdot (-i)^{-1} \cdot \overline{-i} = (-i) \cdot (-i) \cdot (i) \cdot (i)$.

Выполним умножение полученных значений:
$(-i) \cdot (-i) \cdot (i) \cdot (i) = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$.

Альтернативный способ:
Можно сгруппировать множители и использовать свойства операций с комплексными числами: $\overline{z_1} \cdot \overline{z_2} = \overline{z_1 \cdot z_2}$ и $z_1^{-1} \cdot z_2^{-1} = (z_1 \cdot z_2)^{-1}$.
$i^{-1} \cdot \overline{i} \cdot (-i)^{-1} \cdot \overline{-i} = (i^{-1} \cdot (-i)^{-1}) \cdot (\overline{i} \cdot \overline{-i})$
Вычислим значение в каждой скобке:
$i^{-1} \cdot (-i)^{-1} = (i \cdot (-i))^{-1} = (-i^2)^{-1} = (-(-1))^{-1} = 1^{-1} = 1$.
$\overline{i} \cdot \overline{-i} = \overline{i \cdot (-i)} = \overline{-i^2} = \overline{-(-1)} = \overline{1} = 1$.
Результат произведения: $1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1