Номер 2, страница 261, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Что такое универсальная подстановка?

Универсальная тригонометрическая подстановка — это метод, который позволяет свести любое выражение или уравнение, являющееся рациональной функцией от тригонометрических функций $ \sin(x) $ и $ \cos(x) $, к алгебраическому выражению или уравнению. Этот метод особенно полезен при интегрировании и решении сложных тригонометрических уравнений.

Суть метода заключается во введении новой переменной $t$, которая определяется как тангенс половинного угла исходной переменной $x$: $ t = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right) $.

Используя эту замену, основные тригонометрические функции можно выразить через $t$ в виде рациональных дробей. Выведем эти формулы.

1. Выражение для $ \sin(x) $:
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(x) = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) $.
Представим ее в виде дроби, разделив на основное тригонометрическое тождество $ 1 = \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) $:
$ \sin(x) = \frac{2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)} $
Разделим числитель и знаменатель на $ \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) $, при условии, что $ \cos\left(\frac{x}{2}\right) \neq 0 $:
$ \sin(x) = \frac{2\frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}}{1 + \frac{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}} = \frac{2\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \operatorname{tg}^2\left(\frac{x}{2}\right)} $
Подставляя $ t = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right) $, получаем:
$ \sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2} $

2. Выражение для $ \cos(x) $:
Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(x) = \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) $.
Проделаем аналогичные преобразования:
$ \cos(x) = \frac{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1 - \frac{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}}{1 + \frac{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \operatorname{tg}^2\left(\frac{x}{2}\right)} $
Подставляя $ t $, получаем:
$ \cos(x) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} $

3. Выражения для $ \operatorname{tg}(x) $ и $ \operatorname{ctg}(x) $:
$ \operatorname{tg}(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{1-t^2}{1+t^2}} = \frac{2t}{1-t^2} $
$ \operatorname{ctg}(x) = \frac{1}{\operatorname{tg}(x)} = \frac{1-t^2}{2t} $

Важное замечание: Подстановка $ t = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right) $ имеет ограниченную область определения. Она не определена, когда знаменатель $ \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 $, то есть когда $ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k $, что эквивалентно $ x = \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Это означает, что при использовании данной подстановки можно потерять корни этого вида.

Ответ: Универсальная тригонометрическая подстановка — это замена переменной $t = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)$, которая позволяет выразить основные тригонометрические функции через рациональные дроби от $t$: $ \sin(x) = \frac{2t}{1+t^2} $, $ \cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2} $, $ \operatorname{tg}(x) = \frac{2t}{1-t^2} $. Эта подстановка преобразует тригонометрическое уравнение в алгебраическое, но требует отдельной проверки корней вида $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$, при которых она не определена.

Как она применяется при решении тригонометрических уравнений?

Универсальная подстановка применяется для решения уравнений вида $R(\sin x, \cos x) = 0$, где $R$ — рациональная функция. Алгоритм решения включает следующие шаги:

Шаг 1. Проверка "потерянных" корней.
Так как подстановка $ t = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right) $ не определена для $ x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $, необходимо вручную проверить, являются ли эти значения корнями исходного уравнения. Для этого подставляем в уравнение значения $ \sin(x) = \sin(\pi + 2\pi k) = 0 $ и $ \cos(x) = \cos(\pi + 2\pi k) = -1 $. Если уравнение обращается в верное тождество, то $ x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ является одной из серий решений.

Шаг 2. Выполнение подстановки.
В исходном уравнении все тригонометрические функции заменяются их выражениями через $t$:
$ \sin(x) \Rightarrow \frac{2t}{1+t^2} $
$ \cos(x) \Rightarrow \frac{1-t^2}{1+t^2} $
$ \operatorname{tg}(x) \Rightarrow \frac{2t}{1-t^2} $ и так далее.

Шаг 3. Решение алгебраического уравнения.
Полученное уравнение относительно $t$ является алгебраическим (как правило, рациональным или многочленным). Его решают стандартными методами алгебры, находя все возможные значения $t_1, t_2, \ldots$.

Шаг 4. Обратная замена.
Для каждого найденного корня $t_i$ решается простейшее тригонометрическое уравнение:
$ \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right) = t_i $
Отсюда находятся серии решений: $ \frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(t_i) + \pi n $, то есть $ x = 2\operatorname{arctg}(t_i) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Шаг 5. Формирование ответа.
В итоговый ответ записываются все серии решений, полученные на шаге 1 и шаге 4.

Пример: Решить уравнение $ 3\sin(x) - \cos(x) = 3 $.

1. Проверим, являются ли корнями $ x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
При этих значениях $x$ имеем $ \sin(x)=0, \cos(x)=-1 $.
Подставляем в уравнение: $ 3 \cdot 0 - (-1) = 1 \neq 3 $.
Значит, корней такого вида нет, и мы можем применять подстановку, не боясь их потерять.

2. Делаем универсальную подстановку $ t = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right) $:
$ 3 \left( \frac{2t}{1+t^2} \right) - \left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right) = 3 $

3. Решаем полученное уравнение. Умножим обе части на $ 1+t^2 $ (это выражение всегда положительно):
$ 6t - (1-t^2) = 3(1+t^2) $
$ 6t - 1 + t^2 = 3 + 3t^2 $
$ 2t^2 - 6t + 4 = 0 $
$ t^2 - 3t + 2 = 0 $
По теореме Виета находим корни: $ t_1 = 1, t_2 = 2 $.

4. Делаем обратную замену.
а) $ \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right) = 1 $
$ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $
б) $ \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right) = 2 $
$ \frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(2) + \pi m, m \in \mathbb{Z} $
$ x = 2\operatorname{arctg}(2) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $

5. Объединяем все найденные серии решений в ответ.

Ответ: Для решения тригонометрического уравнения с помощью универсальной подстановки необходимо сначала проверить, не являются ли корнями значения $x = \pi + 2\pi k$, при которых подстановка не определена. Затем следует заменить все тригонометрические функции их выражениями через $t = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)$, решить полученное алгебраическое уравнение относительно $t$, и для каждого найденного корня $t_i$ решить уравнение $\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right) = t_i$. В итоговый ответ включаются все найденные серии решений.