Страница 291, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

47.21. a) Шесть пловцов участвуют в двух заплывах на шести дорожках. Дорожки между пловцами в каждом заплыве разыгрываются по жребию. Найдите число всех возможных распределений пловцов по дорожкам.

б) То же, но если в каждом заплыве один из пловцов — победитель отборочных соревнований — плывёт по четвёртой дорожке.

в) То же, но если во втором заплыве участвуют 5 пловцов.

г) То же, но если в обоих заплывах участвует по 4 пловца.

а) В первом заплыве участвуют 6 пловцов, и для них есть 6 дорожек. Распределение 6 пловцов по 6 дорожкам является перестановкой. Число таких перестановок равно $P_6 = 6!$.

Вычислим значение факториала: $6! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720$.

Таким образом, для первого заплыва существует 720 возможных распределений пловцов по дорожкам.

Во втором заплыве условия те же: 6 пловцов и 6 дорожек. Следовательно, для второго заплыва также существует $6! = 720$ вариантов распределения.

Поскольку распределения в заплывах независимы друг от друга, общее число всех возможных распределений находится по правилу произведения: нужно перемножить число вариантов для каждого заплыва.

Общее число распределений $N = 6! \times 6! = 720 \times 720 = 518400$.

Ответ: 518400

б) В этой задаче условия меняются. В каждом заплыве один пловец (победитель отборочных соревнований) заранее получает четвёртую дорожку. Его позиция зафиксирована.

Рассмотрим первый заплыв. Поскольку позиция одного пловца определена, остаётся распределить 5 оставшихся пловцов по 5 оставшимся дорожкам. Число способов сделать это равно числу перестановок из 5 элементов, то есть $P_5 = 5!$.

Вычислим значение факториала: $5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$.

Аналогичная ситуация и во втором заплыве: победитель плывёт по четвёртой дорожке, а остальные 5 пловцов распределяются по 5 оставшимся дорожкам. Число вариантов для второго заплыва также равно $5! = 120$.

Общее число распределений, как и в предыдущем пункте, находится перемножением числа вариантов для каждого заплыва:

Общее число распределений $N = 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$.

Ответ: 14400

в) В этой задаче условия снова меняются. Первый заплыв проходит по стандартным правилам из пункта а), а во втором участвуют только 5 пловцов.

Для первого заплыва, как и в пункте а), число распределений 6 пловцов по 6 дорожкам равно $P_6 = 6! = 720$.

Рассмотрим второй заплыв. В нём участвуют 5 пловцов из 6, и для них доступно 6 дорожек. Сначала нужно выбрать, какие 5 из 6 пловцов будут участвовать. Число способов выбрать 5 пловцов из 6 равно числу сочетаний $C_6^5$.

$C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5!1!} = 6$ способов.

Далее, этих 5 выбранных пловцов нужно распределить по 6 дорожкам. Это является размещением 5 элементов по 6 местам. Число таких размещений равно $A_6^5$.

$A_6^5 = \frac{6!}{(6-5)!} = \frac{6!}{1!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720$ способов.

Таким образом, общее число вариантов для второго заплыва равно произведению числа способов выбрать пловцов и числа способов их рассадить: $N_2 = C_6^5 \times A_6^5 = 6 \times 720 = 4320$.

Общее число распределений для двух заплывов равно произведению числа вариантов для каждого заплыва:

$N = N_1 \times N_2 = 6! \times (C_6^5 \times A_6^5) = 720 \times 4320 = 3110400$.

Ответ: 3110400

г) В этой задаче в обоих заплывах участвует по 4 пловца из 6, и им доступны 6 дорожек.

Рассмотрим первый заплыв. Сначала нужно выбрать 4 пловцов из 6. Число способов сделать это равно $C_6^4$.

$C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ способов.

Затем этих 4 пловцов нужно распределить по 6 дорожкам. Число способов сделать это равно числу размещений $A_6^4$.

$A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ способов.

Общее число вариантов для первого заплыва $N_1$ равно произведению числа способов выбора и числа способов размещения:

$N_1 = C_6^4 \times A_6^4 = 15 \times 360 = 5400$.

Условия для второго заплыва точно такие же, и он не зависит от первого. Поэтому число вариантов для второго заплыва $N_2$ также равно 5400.

Общее число всех возможных распределений находится по правилу произведения:

$N = N_1 \times N_2 = 5400 \times 5400 = 29160000$.

Ответ: 29160000

47.22. Две команды по 5 шахматистов проводят матч из пяти одновременно проходящих партий, в каждой из которых встречаются по одному из шахматистов каждой команды.

a) Найдите число всех возможных распределений встреч в матче.

б) То же, но для двух, независимо проводимых матчей.

в) То же, но если во втором матче участвует только по три лучших шахматиста из каждой команды.

г) То же, что и в пункте б), но если во втором матче капитаны команд обязательно играют между собой.

а) Пусть в первой команде 5 шахматистов, и во второй команде 5 шахматистов. Нам нужно найти количество способов составить 5 пар, где в каждой паре по одному шахматисту из каждой команды. Рассмотрим шахматистов первой команды. Первому шахматисту можно назначить в соперники любого из 5 шахматистов второй команды. Второму шахматисту — любого из оставшихся 4. Третьему — любого из оставшихся 3, и так далее. Таким образом, общее число возможных распределений встреч равно числу перестановок из 5 элементов, то есть $5!$.
$N_a = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
Ответ: 120.

б) В этом случае проводятся два независимых матча. Для каждого из матчей условия аналогичны пункту а), то есть в каждом матче участвуют по 5 шахматистов из каждой команды. Число возможных распределений для первого матча равно $5! = 120$. Число возможных распределений для второго матча также равно $5! = 120$. Поскольку матчи проводятся независимо, общее число возможных распределений является произведением числа распределений для каждого матча.
$N_b = 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$.
Ответ: 14400.

в) Здесь также два независимых матча. Для первого матча, в котором участвуют по 5 шахматистов, число распределений, как и ранее, составляет $N_1 = 5! = 120$. Во втором матче участвуют только по 3 лучших шахматиста из каждой команды. Число возможных распределений для этого матча равно числу перестановок из 3 элементов.
$N_2 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Общее число возможных распределений для двух матчей равно произведению числа распределений для каждого из них.
$N_c = N_1 \times N_2 = 5! \times 3! = 120 \times 6 = 720$.
Ответ: 720.

г) Снова рассматриваем два независимых матча. Число распределений для первого матча (5 на 5 игроков) остается прежним: $N_1 = 5! = 120$. Во втором матче (также 5 на 5 игроков)

47.23. Одинаковый текст приглашения напечатан на семи разных открытках. Их надо разослать директорам школ № 1, 2, ..., 7.

а) Найдите число всех возможных рассылок приглашений.

б) То же, что и в пункте а), но если самую красивую открытку послать директору школы № 1.

в) То же, что и в пункте а), но в школы № 3, 6 и 7 надо дополнительно разослать три разные открытки с приглашениями для заместителей директоров по учебной работе.

г) То же, что и в пункте в), но в оставшиеся школы надо дополнительно разослать разные открытки с приглашениями для заместителей директоров по воспитательной работе.

а) У нас есть 7 разных открыток, которые нужно разослать в 7 разных школ (директорам школ № 1, 2, ..., 7). Каждой школе соответствует одна уникальная открытка. Это задача на нахождение числа перестановок, так как порядок распределения открыток важен (открытки разные).
Число способов распределить 7 разных открыток по 7 разным адресатам равно числу перестановок из 7 элементов, которое обозначается как $P_7$ и вычисляется как $7!$ (7 факториал).
$P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$.
Таким образом, существует 5040 возможных способов рассылки.
Ответ: 5040.

б) В этом случае накладывается дополнительное условие: самая красивая открытка должна быть отправлена директору школы № 1. Это означает, что одна открытка и один получатель уже определены. Их сопоставление фиксировано.
Теперь нам нужно распределить оставшиеся $7 - 1 = 6$ разных открыток между оставшимися $7 - 1 = 6$ директорами школ. Это снова задача на перестановки, но уже для 6 элементов.
Число способов сделать это равно $P_6 = 6!$.
$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.
Ответ: 720.

в) Эта задача состоит из двух независимых частей. Общее число способов находится как произведение числа способов для каждой части (по правилу умножения в комбинаторике).
1. Рассылка 7 разных открыток директорам 7 школ. Как мы нашли в пункте а), число способов для этого равно $7! = 5040$.
2. Дополнительная рассылка трех разных открыток заместителям директоров по учебной работе. Эти открытки нужно разослать в конкретные три школы: № 3, 6 и 7. Так как открытки разные и школы разные, число способов их распределить равно числу перестановок из 3 элементов: $P_3 = 3!$.
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Общее число всех возможных рассылок равно произведению результатов этих двух независимых действий:
$N = 7! \times 3! = 5040 \times 6 = 30240$.
Ответ: 30240.

г) Эта задача расширяет условие пункта в), добавляя еще одно действие. Общее число способов будет произведением числа способов для трех независимых частей.
1. Рассылка 7 разных открыток директорам 7 школ. Число способов: $7! = 5040$.
2. Рассылка 3 разных открыток заместителям директоров по учебной работе в школы № 3, 6 и 7. Число способов: $3! = 6$.
3. Дополнительная рассылка разных открыток заместителям директоров по воспитательной работе в оставшиеся школы. Всего 7 школ. Школы № 3, 6 и 7 уже получили открытки для заместителей. Следовательно, осталось $7 - 3 = 4$ школы (это школы № 1, 2, 4, 5). Для них нужно разослать 4 разные открытки. Число способов сделать это равно числу перестановок из 4 элементов: $P_4 = 4!$.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Общее число всех возможных рассылок равно произведению результатов этих трех независимых действий:
$N = 7! \times 3! \times 4! = 5040 \times 6 \times 24 = 30240 \times 24 = 725760$.
Ответ: 725760.

47.24. В зоопарке надо распределить по одному пять львов по пяти клеткам, четырёх тигров — по четырём другим клеткам и трёх слонов — по трём вольерам.

а) Найдите число всех возможных распределений львов, тигров и слонов в зоопарке.

б) То же, но если есть четыре льва и львица и одного льва (известно какого именно) вместе с львицей надо посадить в одну клетку.

а) Для решения задачи необходимо найти число перестановок для каждой группы животных, поскольку все животные и все клетки/вольеры являются различными. Распределение каждой группы животных является независимым событием, поэтому общее число всех возможных распределений будет равно произведению числа способов распределения для каждой группы.

Число способов распределить 5 львов по 5 клеткам равно числу перестановок из 5 элементов:

$N_{львы} = P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

Число способов распределить 4 тигров по 4 клеткам равно числу перестановок из 4 элементов:

$N_{тигры} = P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

Число способов распределить 3 слонов по 3 вольерам равно числу перестановок из 3 элементов:

$N_{слоны} = P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

Общее число всех возможных распределений находится по правилу произведения:

$N_{общ} = N_{львы} \times N_{тигры} \times N_{слоны} = 120 \times 24 \times 6 = 17280$

Ответ: 17280

б) В этом случае условия для распределения тигров и слонов не меняются, поэтому количество способов их размещения остается прежним:

$N_{тигры} = 4! = 24$

$N_{слоны} = 3! = 6$

Рассмотрим распределение львов. У нас есть 4 льва и 1 львица. Одного конкретного льва и львицу нужно посадить в одну клетку. Будем рассматривать эту пару (лев и львица) как один единый объект. Тогда нам нужно разместить 3 оставшихся львов и эту пару, то есть всего 4 различных объекта, по 5 различным клеткам. Один объект в одну клетку, значит одна клетка останется пустой.

Это задача на нахождение числа размещений. Число способов разместить $k$ различных объектов по $n$ различным местам равно $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В нашем случае $k=4$ (3 льва и 1 пара) и $n=5$ (клеток). Число способов распределить львов:

$N_{львы} = A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

Общее число всех возможных распределений находится по правилу произведения:

$N_{общ} = N_{львы} \times N_{тигры} \times N_{слоны} = 120 \times 24 \times 6 = 17280$

Ответ: 17280