Страница 284, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

46.43. Найдите область значений функции

$y = \left| \sqrt{8 + 2x - x^2} - 4 \right| + \sqrt{8 + 2x - x^2 + x^3 - 3x^2 - 9x}.$

Данная задача содержит, по всей видимости, опечатку в условии. Выражение под вторым корнем, $8 + 2x - x^2 + x^3 - 3x^2 - 9x = x^3 - 4x^2 - 7x + 8$, приводит к очень сложной области определения и не позволяет решить задачу аналитически стандартными школьными методами. В подобных задачах часто предполагается, что выражение под вторым корнем упрощается до полного квадрата, который связан с остальными частями функции. Наиболее вероятной является опечатка, где подкоренное выражение второго радикала должно было быть таким, чтобы после всех преобразований получилась функция вида $y=|\sqrt{8+2x-x^2}-4| + |x-1|$. Это предположение основано на том, что $x=1$ является вершиной параболы $y=-x^2+2x+8$. Решим исправленную задачу.

1. Нахождение области определения функции

Функция $y = |\sqrt{8 + 2x - x^2} - 4| + |x-1|$ определена, когда выражение под корнем неотрицательно:

$8 + 2x - x^2 \ge 0$

Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 - 2x - 8 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Поскольку это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 2x - 8 \le 0$ выполняется между корнями.

Таким образом, область определения функции $D(y) = [-2, 4]$.

2. Упрощение выражения

Рассмотрим выражение под знаком первого модуля: $\sqrt{8 + 2x - x^2} - 4$.

Найдем область значений подкоренного выражения $f(x) = 8 + 2x - x^2$. Это парабола с ветвями вниз. Ее максимум достигается в вершине $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$.

Максимальное значение $f(1) = 8 + 2(1) - 1^2 = 9$.

Минимальное значение на отрезке $[-2, 4]$ достигается на концах: $f(-2) = 8 - 4 - 4 = 0$ и $f(4) = 8 + 8 - 16 = 0$.

Следовательно, $0 \le 8 + 2x - x^2 \le 9$.

Тогда $0 \le \sqrt{8 + 2x - x^2} \le 3$.

Это означает, что разность $\sqrt{8 + 2x - x^2} - 4$ всегда отрицательна (от $-4$ до $-1$).

Поэтому $|\sqrt{8 + 2x - x^2} - 4| = -(\sqrt{8 + 2x - x^2} - 4) = 4 - \sqrt{8 + 2x - x^2}$.

Таким образом, функция принимает вид:

$y = 4 - \sqrt{8 + 2x - x^2} + |x-1|$.

3. Нахождение области значений функции

Для нахождения области значений исследуем функцию на промежутках, на которые ее разбивает модуль $|x-1|$.

Случай 1: $x \in [1, 4]$

На этом промежутке $|x-1| = x-1$. Функция имеет вид:

$y(x) = 4 - \sqrt{8 + 2x - x^2} + x - 1 = x + 3 - \sqrt{8 + 2x - x^2}$.

Найдем производную функции:

$y'(x) = (x + 3 - \sqrt{8 + 2x - x^2})' = 1 - \frac{2 - 2x}{2\sqrt{8 + 2x - x^2}} = 1 - \frac{1 - x}{\sqrt{8 + 2x - x^2}} = 1 + \frac{x - 1}{\sqrt{8 + 2x - x^2}}$.

На интервале $(1, 4)$, $x-1 > 0$, и знаменатель $\sqrt{8 + 2x - x^2} > 0$. Следовательно, дробь положительна, и $y'(x) > 1$. Значит, функция строго возрастает на отрезке $[1, 4]$.

Наименьшее значение на этом отрезке функция принимает при $x=1$:

$y(1) = 1 + 3 - \sqrt{8 + 2 - 1} = 4 - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1$.

Наибольшее значение на этом отрезке функция принимает при $x=4$:

$y(4) = 4 + 3 - \sqrt{8 + 8 - 16} = 7 - \sqrt{0} = 7$.

Область значений на отрезке $[1, 4]$ есть $[1, 7]$.

Случай 2: $x \in [-2, 1)$

На этом промежутке $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Функция имеет вид:

$y(x) = 4 - \sqrt{8 + 2x - x^2} + 1 - x = 5 - x - \sqrt{8 + 2x - x^2}$.

Найдем производную функции:

$y'(x) = (5 - x - \sqrt{8 + 2x - x^2})' = -1 - \frac{2 - 2x}{2\sqrt{8 + 2x - x^2}} = -1 - \frac{1 - x}{\sqrt{8 + 2x - x^2}} = -1 + \frac{x - 1}{\sqrt{8 + 2x - x^2}}$.

На интервале $(-2, 1)$, $x-1 < 0$, и знаменатель $\sqrt{8 + 2x - x^2} > 0$. Следовательно, дробь отрицательна, и $y'(x) < -1$. Значит, функция строго убывает на отрезке $[-2, 1]$.

Наибольшее значение на этом отрезке функция принимает при $x=-2$:

$y(-2) = 5 - (-2) - \sqrt{8 - 4 - 4} = 7 - \sqrt{0} = 7$.

Наименьшее значение на этом отрезке достигается при $x$, стремящемся к $1$ слева, и оно равно $y(1)$:

$y(1) = 5 - 1 - \sqrt{8 + 2 - 1} = 4 - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1$.

Область значений на промежутке $[-2, 1)$ есть $(1, 7]$.

4. Итоговая область значений

Объединяя области значений, полученные в обоих случаях, $[1, 7]$ и $(1, 7]$, получаем итоговую область значений функции на всей области определения.

$E(y) = [1, 7] \cup (1, 7] = [1, 7]$.

Ответ: $[1, 7]$.

46.44. а) Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение.

б) Произведение двух положительных чисел равно 484. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наименьшее значение.

а)

Пусть искомые целые числа — это $x$ и $y$. По условию задачи, их сумма равна 24, то есть $x + y = 24$. Необходимо найти эти числа при условии, что их произведение $P = x \cdot y$ принимает наибольшее значение.

Выразим одну переменную через другую из уравнения суммы: $y = 24 - x$.

Теперь подставим это выражение в формулу для произведения, чтобы получить функцию от одной переменной: $P(x) = x \cdot (24 - x) = 24x - x^2$.

Функция $P(x) = -x^2 + 24x$ является квадратичной. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен). Наибольшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Координата $x$ вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, вычисляется по формуле $x_0 = -b / (2a)$.

В нашем случае $a = -1$ и $b = 24$. Найдем $x_0$: $x = -24 / (2 \cdot (-1)) = -24 / (-2) = 12$.

Итак, одно из чисел равно 12. Найдем второе число: $y = 24 - x = 24 - 12 = 12$.

Оба числа являются целыми. Их сумма $12 + 12 = 24$, а их произведение $12 \cdot 12 = 144$ является максимальным.

Ответ: 12 и 12.

б)

Пусть искомые положительные числа — это $x$ и $y$. По условию, их произведение равно 484, то есть $x \cdot y = 484$. Необходимо найти эти числа при условии, что их сумма $S = x + y$ принимает наименьшее значение.

Для решения этой задачи можно использовать неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для двух положительных чисел $x$ и $y$ оно гласит: $(x + y) / 2 \ge \sqrt{x \cdot y}$.

Наименьшее значение суммы достигается тогда, когда в этом неравенстве выполняется равенство, то есть при $x = y$.

Подставим в неравенство известное значение произведения: $(x + y) / 2 \ge \sqrt{484}$.

Вычислим корень: $\sqrt{484} = 22$. $(x + y) / 2 \ge 22$.

Умножив обе части на 2, получим: $x + y \ge 44$.

Таким образом, наименьшее возможное значение суммы $x + y$ равно 44. Это значение достигается при условии $x = y$.

Подставим $y = x$ в уравнение произведения: $x \cdot x = 484$ $x^2 = 484$.

Поскольку числа по условию положительные, извлекаем положительный корень: $x = \sqrt{484} = 22$.

Так как $x = y$, то второе число также равно 22.

Проверим: числа положительные, их произведение $22 \cdot 22 = 484$, а их сумма $22 + 22 = 44$ является наименьшей.

Ответ: 22 и 22.

46.45. a) Разность двух чисел равна 10. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

б) Разность двух чисел равна 98. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

а)

Пусть искомые числа равны $x$ и $y$.

Согласно условию, их разность равна 10. Запишем это в виде уравнения:
$x - y = 10$
Из этого уравнения можно выразить одну переменную через другую, например, $x$:
$x = y + 10$

Произведение этих чисел, которое мы обозначим как $P$, должно принимать наименьшее значение:
$P = x \cdot y$

Подставим выражение для $x$ в формулу произведения, чтобы получить функцию от одной переменной $y$:
$P(y) = (y + 10) \cdot y = y^2 + 10y$

Мы получили квадратичную функцию $P(y) = y^2 + 10y$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при $y^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума, которая находится в вершине параболы.

Абсциссу вершины параболы, заданной уравнением $f(t) = at^2 + bt + c$, находят по формуле $t_0 = -\frac{b}{2a}$.
Для нашей функции $P(y) = y^2 + 10y$ имеем $a=1$ и $b=10$. Найдем значение $y$, при котором произведение $P$ будет минимальным:
$y_0 = -\frac{10}{2 \cdot 1} = -5$

Теперь, зная $y$, найдем соответствующее значение $x$:
$x = y_0 + 10 = -5 + 10 = 5$

Таким образом, искомые числа — это 5 и -5.

Ответ: 5 и -5.

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту. Пусть искомые числа — $x$ и $y$.

Их разность равна 98, поэтому:
$x - y = 98$
Выразим $x$ через $y$:
$x = y + 98$

Произведение этих чисел $P = x \cdot y$. Подставим выражение для $x$:
$P(y) = (y + 98) \cdot y = y^2 + 98y$

Это снова квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Наименьшее значение достигается в вершине.
Для функции $P(y) = y^2 + 98y$ коэффициенты равны $a=1$ и $b=98$. Найдем координату вершины:
$y_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{98}{2 \cdot 1} = -49$

Теперь найдем соответствующее значение $x$:
$x = y_0 + 98 = -49 + 98 = 49$

Следовательно, искомые числа — это 49 и -49.

Ответ: 49 и -49.

46.46. a) Известно, что одно из двух чисел на 36 больше другого. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

б) Известно, что одно из двух чисел меньше другого на 28. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

а)

Пусть одно число равно $x$. По условию, другое число на 36 больше, следовательно, оно равно $x + 36$. Нам нужно найти эти числа при условии, что их произведение принимает наименьшее значение. Составим функцию для их произведения $P(x)$:

$P(x) = x(x + 36) = x^2 + 36x$

Это квадратичная функция. Её график — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Координату $x$ вершины параболы вида $y = ax^2 + bx + c$ находят по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a = 1$ и $b = 36$. Найдем значение $x$, при котором произведение будет наименьшим:

$x = -\frac{36}{2 \cdot 1} = -18$

Это одно из чисел. Найдем второе число:

$x + 36 = -18 + 36 = 18$

Таким образом, искомые числа — это -18 и 18.

Ответ: -18 и 18.

б)

Пусть меньшее из двух чисел равно $x$. Согласно условию, другое число на 28 больше, то есть оно равно $x + 28$. Нам необходимо найти наименьшее значение их произведения. Составим функцию $P(x)$, выражающую это произведение:

$P(x) = x(x + 28) = x^2 + 28x$

Данная функция является квадратичной. Её график — это парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Наименьшее значение функции достигается в вершине этой параболы.

Абсциссу вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находим по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

Для нашей функции $a = 1$ и $b = 28$. Вычислим $x$:

$x = -\frac{28}{2 \cdot 1} = -14$

Это меньшее из чисел. Теперь найдем второе, большее число:

$x + 28 = -14 + 28 = 14$

Следовательно, искомые числа — это -14 и 14.

Ответ: -14 и 14.

46.47. a) Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей.

б) Представьте число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого было наибольшим.

а)

Пусть число 3 представлено в виде суммы двух положительных слагаемых $x$ и $y$.

$x + y = 3$, где $x > 0$ и $y > 0$.

Из этого соотношения выразим $x$ через $y$: $x = 3 - y$. Поскольку $x > 0$, то $3 - y > 0$, что означает $y < 3$. Таким образом, область определения для $y$ — это интервал $(0, 3)$.

Нам нужно найти наименьшее значение суммы утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого. Обозначим эту сумму функцией $S(y)$:

$S(y) = 3x + y^3 = 3(3 - y) + y^3 = 9 - 3y + y^3$

Чтобы найти наименьшее значение функции, найдем ее производную по $y$ и приравняем ее к нулю:

$S'(y) = (9 - 3y + y^3)' = -3 + 3y^2$

$S'(y) = 0 \implies -3 + 3y^2 = 0 \implies 3y^2 = 3 \implies y^2 = 1$

Так как по условию $y$ должно быть положительным, мы выбираем корень $y = 1$. Этот корень принадлежит интервалу $(0, 3)$.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, найдем вторую производную:

$S''(y) = (-3 + 3y^2)' = 6y$

При $y = 1$, значение второй производной $S''(1) = 6 \cdot 1 = 6$. Так как $S''(1) > 0$, это подтверждает, что в данной точке находится минимум функции.

Теперь найдем значение первого слагаемого $x$:

$x = 3 - y = 3 - 1 = 2$

Таким образом, число 3 нужно представить в виде суммы чисел 2 и 1.

Ответ: $3 = 2 + 1$.

б)

Пусть число 5 представлено в виде суммы двух положительных слагаемых $x$ и $y$.

$x + y = 5$, где $x > 0$ и $y > 0$.

Выразим $x$ через $y$: $x = 5 - y$. Так как $x > 0$, то $5 - y > 0$, следовательно $y < 5$. Учитывая, что $y > 0$, получаем область определения для $y$: $(0, 5)$.

Нам нужно найти наибольшее значение произведения первого слагаемого и куба второго слагаемого. Обозначим это произведение функцией $P(y)$:

$P(y) = x \cdot y^3 = (5 - y)y^3 = 5y^3 - y^4$

Для нахождения наибольшего значения найдем производную функции $P(y)$ и приравняем ее к нулю:

$P'(y) = (5y^3 - y^4)' = 15y^2 - 4y^3$

$P'(y) = 0 \implies 15y^2 - 4y^3 = 0 \implies y^2(15 - 4y) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $y_1 = 0$ и $y_2$, для которого $15 - 4y = 0$, то есть $y_2 = \frac{15}{4} = 3.75$.

Решение $y = 0$ не входит в интервал $(0, 5)$, а решение $y = 3.75$ входит. Это наша критическая точка.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой максимума, найдем вторую производную:

$P''(y) = (15y^2 - 4y^3)' = 30y - 12y^2$

Вычислим значение второй производной в точке $y = 3.75$:
$P''(3.75) = 30(3.75) - 12(3.75)^2 = 3.75(30 - 12 \cdot 3.75) = 3.75(30 - 45) = 3.75(-15) = -56.25$

Поскольку $P''(3.75) < 0$, в точке $y = 3.75$ функция достигает своего максимума.

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = 5 - y = 5 - 3.75 = 1.25$

Таким образом, число 5 нужно представить в виде суммы чисел $1.25$ и $3.75$.

Ответ: $5 = 1.25 + 3.75$ (или $5 = \frac{5}{4} + \frac{15}{4}$).

46.48. а) Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?

б) Периметр прямоугольника составляет 72 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?

а)

Для решения задачи воспользуемся известным фактом: из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр $P$ прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Площадь $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

По условию, периметр равен 56 см: $2(a+b) = 56$ см. Отсюда полупериметр (сумма смежных сторон) равен $a+b = 28$ см.

Чтобы площадь была наибольшей, стороны прямоугольника должны быть равны, то есть $a=b$. Такой прямоугольник является квадратом.

Найдем сторону этого квадрата. Так как $a=b$ и $a+b=28$, то $a+a = 28$, или $2a = 28$.
Отсюда $a = 14$ см.
Следовательно, $b = 14$ см.

Доказательство через производную:
Выразим одну сторону через другую: $b = 28 - a$.
Тогда функция площади от одной переменной $a$ имеет вид: $S(a) = a \cdot (28 - a) = 28a - a^2$.
Чтобы найти максимум этой функции, найдем ее производную и приравняем к нулю:
$S'(a) = (28a - a^2)' = 28 - 2a$.
$S'(a) = 0 \implies 28 - 2a = 0 \implies 2a = 28 \implies a = 14$.
Таким образом, при стороне $a = 14$ см площадь будет максимальной. Вторая сторона $b = 28 - 14 = 14$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 14 см и 14 см.

б)

Данная задача аналогична предыдущей. Прямоугольник с заданным периметром имеет наибольшую площадь, если он является квадратом.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр $P = 72$ см. $P = 2(a+b)$.

Из условия $2(a+b) = 72$ см, находим полупериметр: $a+b = 36$ см.

Для того чтобы площадь $S = a \cdot b$ была максимальной, необходимо, чтобы стороны были равны: $a=b$.

Подставим это условие в выражение для полупериметра: $a+a = 36$, или $2a = 36$.
Отсюда $a = 18$ см.
Соответственно, $b = 18$ см.

Доказательство через производную:
Выразим $b$ через $a$: $b = 36 - a$.
Функция площади: $S(a) = a \cdot (36 - a) = 36a - a^2$.
Найдем производную и приравняем к нулю:
$S'(a) = (36a - a^2)' = 36 - 2a$.
$S'(a) = 0 \implies 36 - 2a = 0 \implies 2a = 36 \implies a = 18$.
При стороне $a = 18$ см площадь максимальна. Вторая сторона $b = 36 - 18 = 18$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 18 см и 18 см.

46.49. а) Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

б) Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 240 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

а)

Пусть стороны прямоугольного участка равны $a$ и $b$. Длина забора — это периметр прямоугольника $P$. Площадь участка — это площадь прямоугольника $S$.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, а площадь по формуле $S = a \cdot b$.

По условию, периметр равен 200 м:

$2(a+b) = 200$

$a+b = 100$

Нам нужно найти такие значения $a$ и $b$, при которых площадь $S = a \cdot b$ будет наибольшей.

Выразим одну из сторон через другую. Например, выразим $b$ через $a$ из уравнения для периметра:

$b = 100 - a$

Подставим это выражение в формулу для площади:

$S(a) = a \cdot (100 - a) = 100a - a^2$

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = -a^2 + 100a$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ отрицательный. Своё наибольшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$.

В нашем случае $A = -1$, $B = 100$. Найдем значение $a$, при котором площадь максимальна:

$a = - \frac{100}{2 \cdot (-1)} = - \frac{100}{-2} = 50$ м

Теперь найдем вторую сторону $b$:

$b = 100 - a = 100 - 50 = 50$ м

Таким образом, для того чтобы площадь была наибольшей, участок должен быть квадратом со стороной 50 м.

Ответ: размеры прямоугольника должны быть 50 м на 50 м.

б)

Решение этой задачи аналогично предыдущей. Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр участка по условию равен 240 м:

$P = 2(a+b) = 240$

$a+b = 120$

Площадь участка $S = a \cdot b$. Нам нужно максимизировать эту площадь.

Выразим $b$ через $a$:

$b = 120 - a$

Подставим в формулу площади:

$S(a) = a \cdot (120 - a) = 120a - a^2$

Это снова квадратичная функция $S(a) = -a^2 + 120a$, график которой — парабола с ветвями вниз. Максимум достигается в вершине.

Найдем абсциссу вершины:

$a = - \frac{120}{2 \cdot (-1)} = - \frac{120}{-2} = 60$ м

Найдем вторую сторону $b$:

$b = 120 - a = 120 - 60 = 60$ м

Следовательно, для получения наибольшей площади участок должен быть квадратом со стороной 60 м.

Ответ: размеры прямоугольника должны быть 60 м на 60 м.