Страница 278, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Исследуйте функцию и постройте её график:

O45.2.

a) $y = \frac{-1}{x^2 + 4x + 4}$

б) $y = \frac{1}{x^2 + 2x + 1}$

Исследуем функцию $y = \frac{-1}{x^2 + 4x + 4}$.

Сначала преобразуем знаменатель, используя формулу квадрата суммы: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$. Таким образом, функция принимает вид $y = \frac{-1}{(x+2)^2}$. Проведем исследование по стандартному плану.

1. Область определения функции.

   Функция определена для всех значений $x$, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

   $(x+2)^2 = 0 \implies x+2 = 0 \implies x = -2$.

   Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Четность и нечетность функции.

   Найдем $y(-x)$: $y(-x) = \frac{-1}{(-x+2)^2} = \frac{-1}{(x-2)^2}$.

   Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида). Однако, график функции симметричен относительно вертикальной прямой $x=-2$.

3. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = \frac{-1}{(0+2)^2} = -\frac{1}{4}$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -1/4)$.

   • С осью Ox (при $y=0$): $\frac{-1}{(x+2)^2} = 0$. Это уравнение не имеет решений, так как числитель не равен нулю. Следовательно, график функции не пересекает ось Ox. Так как знаменатель $(x+2)^2$ всегда положителен (при $x \neq -2$), а числитель отрицателен, то $y < 0$ на всей области определения. График полностью лежит ниже оси Ox.

4. Асимптоты графика.

   • Вертикальная асимптота. В точке разрыва $x=-2$ найдем пределы:

     $\lim_{x \to -2^-} \frac{-1}{(x+2)^2} = \frac{-1}{+0} = -\infty$

     $\lim_{x \to -2^+} \frac{-1}{(x+2)^2} = \frac{-1}{+0} = -\infty$

     Прямая $x=-2$ является вертикальной асимптотой.

   • Горизонтальная асимптота. Найдем пределы при $x \to \pm\infty$:

     $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{-1}{x^2 + 4x + 4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-1/x^2}{1 + 4/x + 4/x^2} = \frac{0}{1} = 0$.

     Прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

   Найдем первую производную функции: $y' = \left( -(x+2)^{-2} \right)' = -(-2)(x+2)^{-3} \cdot (x+2)' = 2(x+2)^{-3} = \frac{2}{(x+2)^3}$.

   Производная не равна нулю ни при каких $x$. Критических точек нет. Знак производной зависит от знака выражения $(x+2)^3$.

   • Если $x < -2$, то $x+2 < 0$, и $y' < 0$. Функция убывает на интервале $(-\infty, -2)$.

   • Если $x > -2$, то $x+2 > 0$, и $y' > 0$. Функция возрастает на интервале $(-2, +\infty)$.

   Точек экстремума у функции нет.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

   Найдем вторую производную: $y'' = \left( 2(x+2)^{-3} \right)' = 2(-3)(x+2)^{-4} \cdot (x+2)' = -6(x+2)^{-4} = \frac{-6}{(x+2)^4}$.

   Знаменатель $(x+2)^4$ всегда положителен при $x \neq -2$. Числитель -6 отрицателен. Таким образом, $y'' < 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что график функции является выпуклым вверх на обоих интервалах $(-\infty, -2)$ и $(-2, +\infty)$.

   Точек перегиба нет.

7. Построение графика.

   На основе проведенного анализа, можно построить график. График состоит из двух ветвей, симметричных относительно вертикальной асимптоты $x=-2$. Обе ветви лежат ниже горизонтальной асимптоты $y=0$. Слева от асимптоты ($x < -2$) график убывает от $y=0$ до $-\infty$. Справа от асимптоты ($x > -2$) график возрастает от $-\infty$ до $y=0$. График проходит через точки $(0, -1/4)$, $(-1, -1)$, $(-3, -1)$, $(-4, -1/4)$.

Ответ: График функции $y = \frac{-1}{(x+2)^2}$ состоит из двух ветвей, расположенных в третьей и четвертой координатных четвертях. Он имеет вертикальную асимптоту $x=-2$ и горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось Ox). Функция убывает на интервале $(-\infty; -2)$ и возрастает на интервале $(-2; +\infty)$. Экстремумов нет. График всюду выпуклый вверх. Пересечение с осью Oy в точке $(0; -1/4)$.

Исследуем функцию $y = \frac{1}{x^2 + 2x + 1}$.

Преобразуем знаменатель по формуле квадрата суммы: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Таким образом, функция принимает вид $y = \frac{1}{(x+1)^2}$. Проведем исследование.

1. Область определения функции.

   Знаменатель обращается в ноль при $(x+1)^2 = 0 \implies x = -1$.

   Область определения: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Четность и нечетность функции.

   Найдем $y(-x)$: $y(-x) = \frac{1}{(-x+1)^2} = \frac{1}{(x-1)^2}$.

   Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида. График симметричен относительно прямой $x=-1$.

3. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = \frac{1}{(0+1)^2} = 1$. Точка пересечения: $(0, 1)$.

   • С осью Ox (при $y=0$): $\frac{1}{(x+1)^2} = 0$. Уравнение не имеет решений. График не пересекает ось Ox. Так как $(x+1)^2 > 0$ при $x \neq -1$, то $y > 0$ на всей области определения. График полностью лежит выше оси Ox.

4. Асимптоты графика.

   • Вертикальная асимптота. В точке разрыва $x=-1$ найдем пределы:

     $\lim_{x \to -1} \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{+0} = +\infty$.

     Прямая $x=-1$ является вертикальной асимптотой.

   • Горизонтальная асимптота. Найдем пределы при $x \to \pm\infty$:

     $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2 + 2x + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1/x^2}{1 + 2/x + 1/x^2} = \frac{0}{1} = 0$.

     Прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

   Найдем первую производную: $y' = \left( (x+1)^{-2} \right)' = -2(x+1)^{-3} \cdot (x+1)' = -2(x+1)^{-3} = \frac{-2}{(x+1)^3}$.

   Производная не равна нулю. Знак производной зависит от знака $(x+1)^3$.

   • Если $x < -1$, то $x+1 < 0$, и $y' = \frac{-2}{\text{отриц.}} > 0$. Функция возрастает на интервале $(-\infty, -1)$.

   • Если $x > -1$, то $x+1 > 0$, и $y' = \frac{-2}{\text{полож.}} < 0$. Функция убывает на интервале $(-1, +\infty)$.

   Точек экстремума нет.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

   Найдем вторую производную: $y'' = \left( -2(x+1)^{-3} \right)' = -2(-3)(x+1)^{-4} = 6(x+1)^{-4} = \frac{6}{(x+1)^4}$.

   Знаменатель $(x+1)^4$ и числитель 6 всегда положительны. Таким образом, $y'' > 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что график функции является выпуклым вниз (вогнутым) на обоих интервалах $(-\infty, -1)$ и $(-1, +\infty)$.

   Точек перегиба нет.

7. Построение графика.

   График состоит из двух ветвей, симметричных относительно вертикальной асимптоты $x=-1$. Обе ветви лежат выше горизонтальной асимптоты $y=0$. Слева от асимптоты ($x < -1$) график возрастает от $y=0$ до $+\infty$. Справа от асимптоты ($x > -1$) график убывает от $+\infty$ до $y=0$. График проходит через точки $(0, 1)$, $(-2, 1)$, $(1, 1/4)$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{(x+1)^2}$ состоит из двух ветвей, расположенных в первой и второй координатных четвертях. Он имеет вертикальную асимптоту $x=-1$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Функция возрастает на интервале $(-\infty; -1)$ и убывает на интервале $(-1; +\infty)$. Экстремумов нет. График всюду выпуклый вниз. Пересечение с осью Oy в точке $(0; 1)$.

45.3. a) $y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$;

б) $y = \frac{x^2 + 4}{x}$.

а) Для нахождения производной функции $y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$, сначала представим ее в виде, более удобном для дифференцирования, используя свойства степеней:

$y = \frac{1}{2}x + 2x^{-1}$

Теперь применим правила дифференцирования. Используем правило для производной суммы функций $(u+v)' = u' + v'$ и правило для производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = (\frac{1}{2}x + 2x^{-1})' = (\frac{1}{2}x)' + (2x^{-1})'$

Находим производную каждого слагаемого:

$(\frac{1}{2}x)' = \frac{1}{2} \cdot (x)' = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

$(2x^{-1})' = 2 \cdot (x^{-1})' = 2 \cdot (-1)x^{-1-1} = -2x^{-2}$

Складываем полученные производные:

$y' = \frac{1}{2} - 2x^{-2}$

Запишем результат, избавившись от отрицательной степени:

$y' = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}$

Ответ: $y' = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}$

б) Для нахождения производной функции $y = \frac{x^2 + 4}{x}$, сначала упростим выражение, разделив числитель почленно на знаменатель:

$y = \frac{x^2}{x} + \frac{4}{x} = x + \frac{4}{x}$

Теперь функция имеет вид, схожий с функцией из пункта а). Представим ее с использованием отрицательной степени:

$y = x + 4x^{-1}$

Найдем производную, используя те же правила дифференцирования:

$y' = (x + 4x^{-1})' = (x)' + (4x^{-1})'$

Находим производную каждого слагаемого:

$(x)' = 1$

$(4x^{-1})' = 4 \cdot (-1)x^{-1-1} = -4x^{-2}$

Складываем полученные производные:

$y' = 1 - 4x^{-2}$

Запишем результат в виде дроби:

$y' = 1 - \frac{4}{x^2}$

Также можно привести к общему знаменателю: $y' = \frac{x^2-4}{x^2}$. Оба варианта являются верными.

Ответ: $y' = 1 - \frac{4}{x^2}$

45.4. а) $y = \frac{2x + 1}{x^2 + 2}$

б) $y = \frac{x - 2}{x^2 + 5}$

а)

Чтобы найти область значений функции $y = \frac{2x + 1}{x^2 + 2}$, рассмотрим это выражение как уравнение относительно $x$ для заданного значения $y$.

$y = \frac{2x + 1}{x^2 + 2}$

Домножим обе части на знаменатель, который всегда положителен ($x^2 + 2 > 0$):

$y(x^2 + 2) = 2x + 1$

$yx^2 + 2y = 2x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$yx^2 - 2x + (2y - 1) = 0$

Это уравнение должно иметь действительные решения для $x$, чтобы значение $y$ принадлежало области значений функции.

1. Если коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $y = 0$, уравнение становится линейным: $-2x + (2 \cdot 0 - 1) = 0 \Rightarrow -2x - 1 = 0 \Rightarrow x = -1/2$. Решение существует, значит $y = 0$ входит в область значений.

2. Если $y \neq 0$, уравнение является квадратным. Оно имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$).

$D = (-2)^2 - 4 \cdot y \cdot (2y - 1) = 4 - 8y^2 + 4y$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$4 - 8y^2 + 4y \ge 0$

Разделим все члены на $-4$ и изменим знак неравенства:

$2y^2 - y - 1 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $2y^2 - y - 1 = 0$:

$y_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$

$y_1 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1$

Парабола $f(y) = 2y^2 - y - 1$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $2y^2 - y - 1 \le 0$ выполняется для значений $y$ между корнями, включая сами корни.

Таким образом, область допустимых значений для $y$ — это отрезок $[-\frac{1}{2}, 1]$.

Ответ: $E(y) = [-\frac{1}{2}; 1]$.

б)

Найдем область значений функции $y = \frac{x - 2}{x^2 + 5}$ аналогичным способом. Выразим $x$ через $y$.

$y(x^2 + 5) = x - 2$

$yx^2 + 5y = x - 2$

$yx^2 - x + (5y + 2) = 0$

Это уравнение относительно $x$. Поскольку знаменатель $x^2 + 5$ никогда не равен нулю, функция определена для всех $x$. Уравнение должно иметь действительные решения для $x$.

1. При $y = 0$ уравнение становится линейным: $-x + 2 = 0$, откуда $x = 2$. Решение есть, $y = 0$ входит в область значений.

2. При $y \neq 0$ уравнение является квадратным. Оно имеет действительные корни при условии, что дискриминант $D \ge 0$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot y \cdot (5y + 2) = 1 - 20y^2 - 8y$

Решим неравенство $1 - 20y^2 - 8y \ge 0$. Умножим на $-1$ и сменим знак:

$20y^2 + 8y - 1 \le 0$

Найдем корни уравнения $20y^2 + 8y - 1 = 0$:

$y_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-1)}}{2 \cdot 20} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 80}}{40} = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{40} = \frac{-8 \pm 12}{40}$

$y_1 = \frac{-8 - 12}{40} = \frac{-20}{40} = -\frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{-8 + 12}{40} = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}$

Ветви параболы $f(y) = 20y^2 + 8y - 1$ направлены вверх, следовательно, неравенство $20y^2 + 8y - 1 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Таким образом, область значений функции — это отрезок $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{10}]$.

Ответ: $E(y) = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{10}]$.

45.5. a) $y = \frac{x}{x^2 - 4}$;

б) $y = \frac{x - 3}{x^2 - 8}$.

а)

Проведем полное исследование функции $y = \frac{x}{x^2 - 4}$.

1. Область определения.

Функция определена для всех $x$, кроме тех, где знаменатель равен нулю.

$x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 4 \Rightarrow x \neq \pm 2$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.

Найдем $y(-x)$: $y(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 - 4} = \frac{-x}{x^2 - 4} = -y(x)$.

Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = \frac{0}{0^2 - 4} = 0$. Точка $(0, 0)$.

Пересечение с осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{x}{x^2 - 4} = 0 \Rightarrow x=0$. Точка $(0, 0)$.

График проходит через начало координат.

4. Асимптоты.

Вертикальные асимптоты: Прямые $x=-2$ и $x=2$ являются вертикальными асимптотами, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль, а числитель нет.

Горизонтальные асимптоты: Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$.

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1/x}{1 - 4/x^2} = \frac{0}{1} = 0$.

Прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

Так как существует горизонтальная асимптота, наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную:

$y' = \left(\frac{x}{x^2 - 4}\right)' = \frac{1 \cdot (x^2 - 4) - x \cdot (2x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{x^2 - 4 - 2x^2}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-x^2 - 4}{(x^2 - 4)^2} = -\frac{x^2 + 4}{(x^2 - 4)^2}$.

Числитель $-(x^2 + 4)$ всегда отрицателен. Знаменатель $(x^2 - 4)^2$ всегда положителен в области определения. Следовательно, $y' < 0$ для всех $x$ из $D(y)$.

Функция убывает на всей области определения: на промежутках $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Точек экстремума нет.

6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

Найдем вторую производную:

$y'' = \left(-\frac{x^2 + 4}{(x^2 - 4)^2}\right)' = - \frac{2x(x^2 - 4)^2 - (x^2 + 4) \cdot 2(x^2 - 4) \cdot 2x}{(x^2 - 4)^4} = - \frac{2x(x^2 - 4) [ (x^2 - 4) - 2(x^2 + 4) ]}{(x^2 - 4)^4}$

$y'' = - \frac{2x(-x^2 - 12)}{(x^2-4)^3} = \frac{2x(x^2 + 12)}{(x^2 - 4)^3}$.

$y'' = 0$ при $x=0$.

Определим знаки $y''$ на интервалах:

При $x \in (-\infty; -2)$, $y'' < 0$ (выпукла вниз / concave down).

При $x \in (-2; 0)$, $y'' > 0$ (выпукла вверх / concave up).

При $x \in (0; 2)$, $y'' < 0$ (выпукла вниз / concave down).

При $x \in (2; +\infty)$, $y'' > 0$ (выпукла вверх / concave up).

В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, значит, $(0, y(0)) = (0, 0)$ является точкой перегиба.

Ответ: Функция $y = \frac{x}{x^2-4}$ является нечетной, убывает на всей области определения $(-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$, не имеет экстремумов. Вертикальные асимптоты $x=-2$, $x=2$, горизонтальная асимптота $y=0$. Точка перегиба $(0,0)$. Функция выпукла вверх (вогнута) на $(-2; 0) \cup (2; +\infty)$ и выпукла вниз (выпукла) на $(-\infty; -2) \cup (0; 2)$.

б)

Проведем полное исследование функции $y = \frac{x - 3}{x^2 - 8}$.

1. Область определения.

$x^2 - 8 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 8 \Rightarrow x \neq \pm \sqrt{8} \Rightarrow x \neq \pm 2\sqrt{2}$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.

$y(-x) = \frac{-x - 3}{(-x)^2 - 8} = \frac{-x-3}{x^2-8}$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = \frac{0-3}{0-8} = \frac{3}{8}$. Точка $(0, 3/8)$.

Пересечение с осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{x-3}{x^2-8} = 0 \Rightarrow x-3=0 \Rightarrow x=3$. Точка $(3, 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальные асимптоты: $x=-2\sqrt{2}$ и $x=2\sqrt{2}$.

Горизонтальные асимптоты: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x-3}{x^2 - 8} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1/x - 3/x^2}{1 - 8/x^2} = \frac{0}{1} = 0$.

Прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой. Наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную:

$y' = \left(\frac{x-3}{x^2-8}\right)' = \frac{1 \cdot (x^2-8) - (x-3) \cdot 2x}{(x^2-8)^2} = \frac{x^2-8 - 2x^2+6x}{(x^2-8)^2} = \frac{-x^2+6x-8}{(x^2-8)^2}$.

$y' = 0$ при $-x^2+6x-8=0 \Rightarrow x^2-6x+8=0$. Корни этого уравнения $x_1=2$ и $x_2=4$.

Знак производной зависит от знака числителя $-x^2+6x-8$ (парабола с ветвями вниз).

При $x \in (-\infty, 2) \cup (4, +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

При $x \in (2, 4)$, $y' > 0$, функция возрастает.

С учетом области определения:

Промежутки убывания: $(-\infty, -2\sqrt{2})$, $(-2\sqrt{2}, 2]$ и $[4, +\infty)$.

Промежутки возрастания: $[2, 2\sqrt{2})$ и $(2\sqrt{2}, 4]$.

В точке $x=2$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка локального минимума. $y(2) = \frac{2-3}{4-8} = \frac{1}{4}$. Точка минимума: $(2, 1/4)$.

В точке $x=4$ производная меняет знак с "+" на "-", это точка локального максимума. $y(4) = \frac{4-3}{16-8} = \frac{1}{8}$. Точка максимума: $(4, 1/8)$.

6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

Найдем вторую производную:

$y'' = \left(\frac{-x^2+6x-8}{(x^2-8)^2}\right)' = \frac{(-2x+6)(x^2-8)^2 - (-x^2+6x-8) \cdot 2(x^2-8)(2x)}{(x^2-8)^4} = \frac{2(x^3 - 9x^2 + 24x - 24)}{(x^2 - 8)^3}$.

$y''=0$, если $x^3 - 9x^2 + 24x - 24 = 0$. Это кубическое уравнение имеет один действительный корень $x_0 \approx 5.35$.

Анализ знака $y''$ показывает:

При $x \in (-\infty; -2\sqrt{2})$, $y'' < 0$ (выпукла вниз).

При $x \in (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$, $y'' > 0$ (выпукла вверх).

При $x \in (2\sqrt{2}; x_0)$, $y'' < 0$ (выпукла вниз).

При $x \in (x_0; +\infty)$, $y'' > 0$ (выпукла вверх).

Точка с абсциссой $x_0$ является точкой перегиба.

Ответ: Функция $y = \frac{x - 3}{x^2 - 8}$ имеет область определения $(-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$. Асимптоты: вертикальные $x = \pm 2\sqrt{2}$, горизонтальная $y=0$. Функция убывает на $(-\infty, -2\sqrt{2})$, $(-2\sqrt{2}, 2]$ и $[4, +\infty)$, возрастает на $[2, 2\sqrt{2})$ и $(2\sqrt{2}, 4]$. Локальный минимум в точке $(2, 1/4)$, локальный максимум в точке $(4, 1/8)$. Имеется одна точка перегиба при $x_0 \approx 5.35$.

45.6. a) $y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$;

б) $y = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}$.

а) Чтобы найти область значений функции $y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$, преобразуем данное выражение. Выделим целую часть в дроби, добавив и вычтя 1 в числителе:

$y = \frac{x^2 + 1 - 1 - 1}{x^2 + 1} = \frac{(x^2 + 1) - 2}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} - \frac{2}{x^2 + 1} = 1 - \frac{2}{x^2 + 1}$

Теперь оценим, какие значения может принимать выражение $\frac{2}{x^2 + 1}$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то знаменатель $x^2 + 1 \ge 1$.

Отсюда для дроби $\frac{1}{x^2 + 1}$ получаем оценку: $0 < \frac{1}{x^2 + 1} \le 1$.

Умножив все части неравенства на 2, получим: $0 < \frac{2}{x^2 + 1} \le 2$.

Мы получили, что из 1 вычитается число, которое строго больше 0 и меньше или равно 2.

Найдем границы для $y$:

Минимальное значение $y$ достигается, когда вычитаемое максимально, то есть равно 2 (при $x=0$): $y_{min} = 1 - 2 = -1$.

Максимальное значение $y$ достигается, когда вычитаемое минимально. Выражение $\frac{2}{x^2+1}$ стремится к 0 при $x \to \pm\infty$, но никогда его не достигает. Следовательно, $y$ будет стремиться к $1 - 0 = 1$, но никогда не будет равно 1.

Таким образом, область значений функции — это промежуток от -1 (включительно) до 1 (не включительно).

Ответ: $E(y) = [-1, 1)$.

б) Чтобы найти область значений функции $y = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}$, используем аналогичный метод. Выделим целую часть, добавив и вычтя 4 в числителе:

$y = \frac{x^2 + 4 - 4 - 4}{x^2 + 4} = \frac{(x^2 + 4) - 8}{x^2 + 4} = \frac{x^2 + 4}{x^2 + 4} - \frac{8}{x^2 + 4} = 1 - \frac{8}{x^2 + 4}$

Оценим значения, которые может принимать выражение $\frac{8}{x^2 + 4}$.

Так как $x^2 \ge 0$, то знаменатель $x^2 + 4 \ge 4$.

Тогда для дроби $\frac{1}{x^2 + 4}$ справедлива оценка: $0 < \frac{1}{x^2 + 4} \le \frac{1}{4}$.

Умножим все части неравенства на 8: $0 < \frac{8}{x^2 + 4} \le \frac{8}{4}$, то есть $0 < \frac{8}{x^2 + 4} \le 2$.

Мы получили, что из 1 вычитается число из полуинтервала $(0, 2]$.

Найдем границы для $y$:

Минимальное значение $y$ достигается, когда вычитаемое максимально, то есть равно 2 (при $x=0$): $y_{min} = 1 - 2 = -1$.

Максимальное значение $y$ достигается, когда вычитаемое минимально. Выражение $\frac{8}{x^2+4}$ стремится к 0 при $x \to \pm\infty$, но не достигает этого значения. Значит, $y$ будет стремиться к $1 - 0 = 1$, но не будет равно 1.

Следовательно, область значений функции — это промежуток от -1 (включительно) до 1 (не включительно).

Ответ: $E(y) = [-1, 1)$.

45.7. а) $y = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}$

б) $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$

а) $y = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

Функция определена для всех $x$, кроме тех, где знаменатель обращается в ноль.

$x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \neq 0$.

Следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность функции.

Проверим значение функции для $-x$:

$y(-x) = \frac{(-x)^2 + 4}{(-x)^2 - 4} = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} = y(x)$.

Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью OY: Положим $x=0$.

$y(0) = \frac{0^2 + 4}{0^2 - 4} = \frac{4}{-4} = -1$.

Точка пересечения с осью OY: $(0, -1)$.

С осью OX: Положим $y=0$.

$\frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} = 0 \Rightarrow x^2 + 4 = 0$.

Уравнение $x^2 = -4$ не имеет действительных корней. Следовательно, график функции не пересекает ось OX.

4. Асимптоты.

Вертикальные асимптоты: Возможны в точках разрыва $x=2$ и $x=-2$.

$\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2+4}{x^2-4} = \frac{8}{+0} = +\infty$

$\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2+4}{x^2-4} = \frac{8}{-0} = -\infty$

Прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой. В силу четности, прямая $x=-2$ также является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные асимптоты: Найдем пределы при $x \to \pm\infty$.

$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+4}{x^2-4} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + 4/x^2}{1 - 4/x^2} = \frac{1}{1} = 1$.

Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки возрастания, убывания и экстремумы.

Найдем первую производную функции:

$y' = \left(\frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}\right)' = \frac{2x(x^2 - 4) - (x^2 + 4) \cdot 2x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3 - 8x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-16x}{(x^2 - 4)^2}$.

Приравняем производную к нулю: $y' = 0 \Rightarrow -16x = 0 \Rightarrow x=0$.

Определим знаки производной на интервалах:

При $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.

При $x \in (0, 2) \cup (2, +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «?», следовательно, это точка локального максимума.

$y_{max} = y(0) = -1$. Точка максимума: $(0, -1)$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Найдем вторую производную:

$y'' = \left(\frac{-16x}{(x^2 - 4)^2}\right)' = -16 \frac{(x^2-4)^2 - x \cdot 2(x^2-4) \cdot 2x}{(x^2-4)^4} = -16 \frac{x^2-4 - 4x^2}{(x^2-4)^3} = \frac{-16(-3x^2-4)}{(x^2-4)^3} = \frac{16(3x^2+4)}{(x^2-4)^3}$.

Числитель $16(3x^2+4)$ всегда положителен. Знак второй производной зависит от знака знаменателя $(x^2-4)^3$.

При $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$, $x^2-4>0$, $y'' > 0$. График функции выпуклый вниз (вогнутый).

При $x \in (-2, 2)$, $x^2-4<0$, $y'' < 0$. График функции выпуклый вверх (выпуклый).

Точек перегиба нет, так как $y'' \neq 0$ ни при каком $x$.

7. Область значений.

На промежутке $(-\infty, -2)$ функция возрастает от $1$ до $+\infty$.

На промежутке $(-2, 2)$ функция имеет локальный максимум $y(0)=-1$. Значения функции на этом интервале от $-\infty$ до $-1$.

На промежутке $(2, +\infty)$ функция убывает от $+\infty$ до $1$.

Объединяя результаты, получаем область значений: $E(y) = (-\infty; -1] \cup (1; +\infty)$.

Ответ: Область значений функции $y = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}$ есть объединение промежутков $(-\infty; -1] \cup (1; +\infty)$.

б) $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) \neq 0$.

Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Четность функции.

$y(-x) = \frac{(-x)^2 + 1}{(-x)^2 - 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = y(x)$.

Функция является четной, ее график симметричен относительно оси OY.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью OY: Положим $x=0$.

$y(0) = \frac{0^2 + 1}{0^2 - 1} = \frac{1}{-1} = -1$.

Точка пересечения с осью OY: $(0, -1)$.

С осью OX: Положим $y=0$.

$\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = 0 \Rightarrow x^2 + 1 = 0$.

Уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней. График не пересекает ось OX.

4. Асимптоты.

Вертикальные асимптоты: В точках разрыва $x=1$ и $x=-1$.

$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{2}{+0} = +\infty$

$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{2}{-0} = -\infty$

Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой. В силу четности, $x=-1$ также является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные асимптоты:

$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + 1/x^2}{1 - 1/x^2} = \frac{1}{1} = 1$.

Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки возрастания, убывания и экстремумы.

Найдем первую производную:

$y' = \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right)' = \frac{2x(x^2 - 1) - (x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}$.

Найдем критические точки: $y' = 0 \Rightarrow -4x = 0 \Rightarrow x=0$.

Определим знаки производной:

При $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.

При $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «?», значит, это точка локального максимума.

$y_{max} = y(0) = -1$. Точка максимума: $(0, -1)$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Найдем вторую производную:

$y'' = \left(\frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}\right)' = -4 \frac{(x^2-1)^2 - x \cdot 2(x^2-1) \cdot 2x}{(x^2-1)^4} = \frac{-4(x^2-1 - 4x^2)}{(x^2-1)^3} = \frac{-4(-3x^2-1)}{(x^2-1)^3} = \frac{4(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}$.

Числитель $4(3x^2+1)$ всегда положителен. Знак $y''$ зависит от знака знаменателя $(x^2-1)^3$.

При $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$, $x^2-1>0$, $y'' > 0$. График выпуклый вниз (вогнутый).

При $x \in (-1, 1)$, $x^2-1<0$, $y'' < 0$. График выпуклый вверх (выпуклый).

Точек перегиба нет.

7. Область значений.

Анализируя поведение функции, приходим к выводу, что область значений функции $E(y) = (-\infty; -1] \cup (1; +\infty)$.

Ответ: Область значений функции $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ есть объединение промежутков $(-\infty; -1] \cup (1; +\infty)$.

45.8. a) $y = 2\sqrt{x} - x;$

б) $y = \sqrt{x + 4} + \frac{2}{3}\sqrt{9 - 3x}.$

а) $y = 2\sqrt{x} - x$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции исследуем ее с помощью производной.

1. Область определения функции.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Таким образом, область определения $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Найдем производную функции.

$y' = (2\sqrt{x} - x)' = (2x^{1/2} - x)' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1$.

3. Найдем критические точки функции.

Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = 0 \implies \frac{1}{\sqrt{x}} = 1 \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1$.

Критическая точка $x=1$ принадлежит области определения функции.

4. Исследуем знак производной.

Разобьем область определения $(0, +\infty)$ точкой $x=1$ на интервалы $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

На интервале $(0, 1)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=0.25$, $y' = \frac{1}{\sqrt{0.25}} - 1 = 2 - 1 = 1 > 0$), значит, функция возрастает.

На интервале $(1, +\infty)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=4$, $y' = \frac{1}{\sqrt{4}} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -0.5 < 0$), значит, функция убывает.

5. Определим точки экстремума.

Поскольку в точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «?», эта точка является точкой максимума.

6. Найдем наибольшее и наименьшее значения.

Наибольшее значение функция достигает в точке максимума $x=1$:

$y_{max} = y(1) = 2\sqrt{1} - 1 = 2 - 1 = 1$.

Так как при $x \to +\infty$ значение функции $y = 2\sqrt{x} - x = \sqrt{x}(2-\sqrt{x}) \to -\infty$, функция не ограничена снизу, и наименьшего значения у нее нет.

Ответ: наибольшее значение функции равно 1, наименьшего значения не существует.

б) $y = \sqrt{x+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3x}$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции исследуем ее на заданном отрезке.

1. Область определения функции.

Выражения под знаками корней должны быть неотрицательными. Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x+4 \ge 0 \\ 9-3x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ -3x \ge -9 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ x \le 3 \end{cases}$.

Таким образом, область определения $D(y) = [-4, 3]$.

2. Найдем производную функции.

$y' = (\sqrt{x+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3x})' = \frac{(x+4)'}{2\sqrt{x+4}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{(9-3x)'}{2\sqrt{9-3x}} = \frac{1}{2\sqrt{x+4}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{-3}{2\sqrt{9-3x}} = \frac{1}{2\sqrt{x+4}} - \frac{1}{\sqrt{9-3x}}$.

3. Найдем критические точки функции.

Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{1}{2\sqrt{x+4}} - \frac{1}{\sqrt{9-3x}} = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{x+4}} = \frac{1}{\sqrt{9-3x}}$.

Отсюда $2\sqrt{x+4} = \sqrt{9-3x}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$4(x+4) = 9-3x$

$4x + 16 = 9 - 3x$

$7x = -7 \implies x = -1$.

Критическая точка $x=-1$ принадлежит области определения $[-4, 3]$.

4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке.

Функция непрерывна на замкнутом отрезке $[-4, 3]$, поэтому свое наибольшее и наименьшее значение она принимает либо в критической точке $x=-1$, либо на концах отрезка $x=-4$ и $x=3$.

При $x = -4$: $y(-4) = \sqrt{-4+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3(-4)} = 0 + \frac{2}{3}\sqrt{9+12} = \frac{2\sqrt{21}}{3}$.

При $x = -1$: $y(-1) = \sqrt{-1+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3(-1)} = \sqrt{3} + \frac{2}{3}\sqrt{9+3} = \sqrt{3} + \frac{2}{3}\sqrt{12} = \sqrt{3} + \frac{2}{3}(2\sqrt{3}) = \sqrt{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}+4\sqrt{3}}{3} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$.

При $x = 3$: $y(3) = \sqrt{3+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3(3)} = \sqrt{7} + \frac{2}{3}\sqrt{0} = \sqrt{7}$.

5. Сравним полученные значения.

Сравним значения $\frac{2\sqrt{21}}{3}$, $\frac{7\sqrt{3}}{3}$ и $\sqrt{7}$. Для удобства сравнения возведем их в квадрат:

$(\frac{2\sqrt{21}}{3})^2 = \frac{4 \cdot 21}{9} = \frac{84}{9} = \frac{28}{3} \approx 9.33$.

$(\frac{7\sqrt{3}}{3})^2 = \frac{49 \cdot 3}{9} = \frac{147}{9} = \frac{49}{3} \approx 16.33$.

$(\sqrt{7})^2 = 7$.

Так как $\frac{49}{3} > \frac{28}{3} > 7$, то $y(-1) > y(-4) > y(3)$.

Следовательно, наибольшее значение функции $y_{max} = y(-1) = \frac{7\sqrt{3}}{3}$, а наименьшее значение $y_{min} = y(3) = \sqrt{7}$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{7\sqrt{3}}{3}$, наименьшее значение равно $\sqrt{7}$.

45.9. a) $y = \sqrt{\frac{x-1}{x}};$

б) $y = (x-3)\sqrt{x}.$

а)

Проведем исследование функции $y = \sqrt{\frac{x-1}{x}}$.

1. Область определения функции (ОДЗ)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. Это приводит к системе неравенств:

Решим неравенство $\frac{x-1}{x} \ge 0$ методом интервалов. Корни числителя: $x-1=0 \implies x=1$. Корень знаменателя: $x=0$. Нанесем эти точки на числовую прямую. Точка $x=1$ будет закрашенной (включена), а точка $x=0$ — выколотой (исключена).

Проверим знаки на полученных интервалах:

• При $x > 1$: $\frac{+}{+} > 0$. Интервал $(1, +\infty)$ подходит.
• При $0 < x < 1$: $\frac{-}{+} < 0$. Интервал $(0, 1)$ не подходит.
• При $x < 0$: $\frac{-}{-} > 0$. Интервал $(-\infty, 0)$ подходит.

Объединяя результаты, получаем область определения: $D(y) = (-\infty, 0) \cup [1, +\infty)$.

2. Производная и критические точки

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции. Удобнее представить функцию как $y = (1 - \frac{1}{x})^{1/2}$.

Критические точки — это точки из области определения, где производная равна нулю или не существует.

• $y' = 0$: уравнение $\frac{1}{2x^2\sqrt{\frac{x-1}{x}}} = 0$ не имеет решений, так как числитель равен 1.
• $y'$ не существует, когда знаменатель равен 0. Это происходит, если $x=0$ (не входит в ОДЗ) или $\frac{x-1}{x}=0$, что дает $x=1$. Точка $x=1$ принадлежит ОДЗ и является критической.

3. Промежутки монотонности и экстремумы

Определим знак производной $y'$ на интервалах области определения: $(-\infty, 0)$ и $(1, +\infty)$.

Для любого $x$ из $D(y)$, где производная определена, $x^2 > 0$ и $\sqrt{\frac{x-1}{x}} > 0$. Значит, знаменатель производной всегда положителен, и сама производная $y' > 0$.

Следовательно, функция строго возрастает на каждом из интервалов своей области определения: на $(-\infty, 0)$ и на $[1, +\infty)$.

Поскольку функция возрастает на $[1, +\infty)$, точка $x=1$ является точкой локального (и глобального) минимума. Точек максимума нет.

Найдем значение в точке минимума: $y_{min} = y(1) = \sqrt{\frac{1-1}{1}} = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $[1, +\infty)$; точка минимума $x=1$, $y_{min}=0$.

б)

Проведем исследование функции $y = (x-3)\sqrt{x}$.

1. Область определения функции (ОДЗ)

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

Область определения: $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Производная и критические точки

Найдем производную, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

Приведем выражение к общему знаменателю:

Критические точки — это точки из ОДЗ, где производная равна нулю или не существует.

• $y' = 0$: $\frac{3(x-1)}{2\sqrt{x}}=0 \implies 3(x-1)=0 \implies x=1$. Точка $x=1$ принадлежит ОДЗ.
• $y'$ не существует: $2\sqrt{x}=0 \implies x=0$. Точка $x=0$ принадлежит ОДЗ.

Критические точки: $x=0$ и $x=1$.

3. Промежутки монотонности и экстремумы

Критические точки разбивают ОДЗ на интервалы $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак производной на этих интервалах. Знак $y'$ зависит от знака числителя $3(x-1)$.

• На интервале $(0, 1)$: $x-1 < 0$, следовательно, $y' < 0$. Функция убывает на отрезке $[0, 1]$.
• На интервале $(1, +\infty)$: $x-1 > 0$, следовательно, $y' > 0$. Функция возрастает на отрезке $[1, +\infty)$.

Анализ смены знака производной в критических точках:

• В точке $x=0$ (граничная точка) функция начинает убывать, значит, это точка локального максимума. $y_{max} = y(0) = (0-3)\sqrt{0} = 0$.
• В точке $x=1$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка локального минимума. $y_{min} = y(1) = (1-3)\sqrt{1} = -2$.

Ответ: функция убывает на промежутке $[0, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, +\infty)$; точка максимума $x=0$, $y_{max}=0$; точка минимума $x=1$, $y_{min}=-2$.

45.10. a) $y = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}};$

б) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}.$

Для нахождения производной функции $y = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае, $u(x) = x$ и $v(x) = \sqrt{1-x^2}$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (x)' = 1$.

Для нахождения производной $v(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$v'(x) = (\sqrt{1-x^2})' = ((1-x^2)^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}(1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (1-x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной частного:

$y' = \frac{1 \cdot \sqrt{1-x^2} - x \cdot (-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}})}{(\sqrt{1-x^2})^2} = \frac{\sqrt{1-x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}$.

Упростим числитель, приведя слагаемые к общему знаменателю:

$\sqrt{1-x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{(\sqrt{1-x^2})^2 + x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Подставим упрощенный числитель обратно в выражение для производной:

$y' = \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{1}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}$.

Для нахождения производной функции $y = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ также воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u(x) = x$ и $v(x) = \sqrt{x^2-1}$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (x)' = 1$.

Для нахождения производной $v(x)$ используем цепное правило:

$v'(x) = (\sqrt{x^2-1})' = ((x^2-1)^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}(x^2-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot (x^2-1)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2-1}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$.

Подставим найденные производные в формулу:

$y' = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2-1} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{(\sqrt{x^2-1})^2} = \frac{\sqrt{x^2-1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}$.

Упростим числитель, приведя слагаемые к общему знаменателю:

$\sqrt{x^2-1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{(\sqrt{x^2-1})^2 - x^2}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{x^2-1-x^2}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{-1}{\sqrt{x^2-1}}$.

Подставим упрощенный числитель обратно в выражение для производной:

$y' = \frac{\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1} = \frac{-1}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}} = -\frac{1}{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}$.

45.11. а) Постройте график функции $y = x^4 - 2x^2 + 3$.

б) При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^4 - 2x^2 + 3 = a$ имеет три корня?

а)

Для построения графика функции $y = x^4 - 2x^2 + 3$ проведем ее исследование.

1. Область определения функции.

   Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел $x$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность функции.

   Проверим, является ли функция четной или нечетной.

   $y(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 3 = x^4 - 2x^2 + 3 = y(x)$.

   Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Нахождение точек экстремума и промежутков монотонности.

   Найдем производную функции $y'$:

   $y' = (x^4 - 2x^2 + 3)' = 4x^3 - 4x$.

   Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

   $4x^3 - 4x = 0$

   $4x(x^2 - 1) = 0$

   $4x(x - 1)(x + 1) = 0$

   Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

   Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось:

   • При $x \in (-\infty; -1)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
   • При $x \in (-1; 0)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
   • При $x \in (0; 1)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
   • При $x \in (1; +\infty)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

   Теперь найдем значения функции в точках экстремума:

   • В точке $x = -1$ производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка локального минимума. $y_{min} = y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$. Точка минимума $(-1, 2)$.
   • В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «–», значит, это точка локального максимума. $y_{max} = y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 3$. Точка максимума $(0, 3)$.
   • В точке $x = 1$ производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка локального минимума. $y_{min} = y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$. Точка минимума $(1, 2)$.

4. Построение графика.

   На основе полученных данных можно построить график. Он симметричен относительно оси Oy, имеет две точки минимума $(-1, 2)$ и $(1, 2)$, а также точку максимума $(0, 3)$. График не пересекает ось Ox, так как минимальное значение функции равно 2. При $x \to \pm\infty$, $y \to +\infty$. График имеет характерную W-образную форму.

Ответ: График функции $y = x^4 - 2x^2 + 3$ — это симметричная относительно оси Oy кривая, имеющая точки минимума $(-1, 2)$ и $(1, 2)$ и точку максимума $(0, 3)$.

б)

Вопрос о количестве корней уравнения $x^4 - 2x^2 + 3 = a$ можно решить графически. Корни этого уравнения — это абсциссы точек пересечения графика функции $y = x^4 - 2x^2 + 3$, построенного в пункте а), и горизонтальной прямой $y = a$.

Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от значения параметра $a$, используя ключевые точки графика, найденные ранее (точки экстремумов):

• Если $a < 2$ (прямая $y=a$ проходит ниже точек минимума), то точек пересечения нет, следовательно, уравнение не имеет корней.
• Если $a = 2$ (прямая $y=a$ касается графика в двух точках минимума), то есть две точки пересечения. Уравнение имеет два корня ($x=-1$ и $x=1$).
• Если $2 < a < 3$ (прямая $y=a$ проходит между точками минимума и точкой максимума), то есть четыре точки пересечения. Уравнение имеет четыре корня.
• Если $a = 3$ (прямая $y=a$ проходит через точку максимума $(0, 3)$), то есть три точки пересечения: одна в точке максимума ($x=0$) и две другие симметрично относительно оси Oy. Уравнение имеет три корня.
• Если $a > 3$ (прямая $y=a$ проходит выше точки максимума), то есть две точки пересечения. Уравнение имеет два корня.

Таким образом, уравнение имеет ровно три корня только в том случае, когда значение параметра $a$ совпадает со значением функции в точке локального максимума.

$a = y_{max} = 3$.

Ответ: $a=3$.

45.12. а) Постройте график функции $y = -x^4 + 2x^2 + 8$.

б) При каких значениях параметра $a$ уравнение $-x^4 + 2x^2 + 8 = a$ не имеет корней?

a) Постройте график функции $y = -x^4 + 2x^2 + 8$.

Для построения графика функции $y = -x^4 + 2x^2 + 8$ исследуем ее свойства. Во-первых, определим область определения. Функция определена для всех действительных чисел $x$, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Во-вторых, проверим функцию на четность. Найдем $y(-x)$: $y(-x) = -(-x)^4 + 2(-x)^2 + 8 = -x^4 + 2x^2 + 8 = y(x)$. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной, и ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Данная функция является биквадратной. Чтобы упростить анализ, введем замену переменной $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$. После замены получим квадратичную функцию от переменной $t$: $y(t) = -t^2 + 2t + 8$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $t^2$ отрицательный). Найдем ее вершину. Координата вершины по оси абсцисс: $t_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$. Это значение удовлетворяет условию $t \ge 0$. Ордината вершины: $y_в = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$. Вершина параболы $y(t)$ находится в точке $(1, 9)$. Это точка максимума для функции $y(t)$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Максимальное значение функции $y(x)$ равно 9 и достигается при $t=1$, то есть при $x^2 = 1$, откуда $x = 1$ и $x = -1$. Следовательно, точки $(-1, 9)$ и $(1, 9)$ являются точками максимума исходной функции. Найдем точку пересечения графика с осью OY. Для этого подставим $x=0$: $y(0) = -0^4 + 2 \cdot 0^2 + 8 = 8$. Точка $(0, 8)$ является точкой пересечения с осью OY, а также точкой локального минимума.

Найдем нули функции (точки пересечения с осью OX), решив уравнение $-x^4 + 2x^2 + 8 = 0$. С заменой $t=x^2$ получаем квадратное уравнение $-t^2 + 2t + 8 = 0$, или $t^2 - 2t - 8 = 0$. Найдем корни через дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$. $t_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2+6}{2} = 4$. $t_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2-6}{2} = -2$. Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним. Из $t_1 = 4$ следует $x^2 = 4$, откуда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Таким образом, график функции пересекает ось OX в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

На основе полученных данных можно построить эскиз графика. Ключевые точки для построения: точки максимума $(-1, 9)$ и $(1, 9)$, точка локального минимума $(0, 8)$ и нули функции $(-2, 0)$ и $(2, 0)$. Учитывая симметрию относительно оси OY и то, что при $x \to \pm \infty$ функция $y \to -\infty$, соединяем точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = -x^4 + 2x^2 + 8$ — это кривая, симметричная относительно оси OY, с двумя точками максимума $(-1, 9)$ и $(1, 9)$, точкой локального минимума $(0, 8)$ и двумя точками пересечения с осью OX: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

б) При каких значениях параметра $a$ уравнение $-x^4 + 2x^2 + 8 = a$ не имеет корней?

Количество корней уравнения $-x^4 + 2x^2 + 8 = a$ равно количеству точек пересечения графика функции $y = -x^4 + 2x^2 + 8$ и горизонтальной прямой $y = a$.

Из пункта а) мы установили, что функция $y = -x^4 + 2x^2 + 8$ имеет наибольшее (максимальное) значение, равное 9. Это означает, что область значений функции — это промежуток $E(y) = (-\infty, 9]$.

Уравнение не будет иметь корней, если прямая $y = a$ не будет иметь ни одной общей точки с графиком функции. Это произойдет в том случае, если значение $a$ будет больше максимального значения функции.

Поскольку максимальное значение функции равно 9, то при $a > 9$ прямая $y = a$ будет расположена полностью выше графика, и, следовательно, пересечений не будет.

Ответ: Уравнение не имеет корней при $a \in (9; +\infty)$.

45.13. Сколько корней имеет заданное уравнение при указанных ограничениях на параметр a:

а) $x^3 - 3x^2 = a$, $-4 < a < 0$;

б) $-x^3 + 3x^2 - 2 = a$, $a < -2$;

в) $3x^2 - x^3 = a$, $0 < a < 4$;

г) $x^3 - 3x^2 + 2 = a$, $a > 2$?

а) Чтобы определить количество корней уравнения $x^3 - 3x^2 = a$, исследуем функцию $f(x) = x^3 - 3x^2$. Количество корней будет равно числу точек пересечения графика этой функции с горизонтальной прямой $y = a$.
Найдем производную функции: $f'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x(x - 2) = 0$, откуда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
Определим интервалы монотонности функции:
- на интервале $(-\infty; 0)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает;
- на интервале $(0; 2)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает;
- на интервале $(2; \infty)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
Точка $x=0$ является точкой локального максимума, а $x=2$ — точкой локального минимума.
Вычислим значения функции в точках экстремума:
- Локальный максимум: $f(0) = 0^3 - 3(0)^2 = 0$.
- Локальный минимум: $f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = 8 - 12 = -4$.
Уравнение будет иметь три корня, когда значение параметра $a$ находится строго между значениями локального минимума и максимума, то есть при $-4 < a < 0$. Это полностью соответствует заданному условию.
Ответ: 3 корня.

б) Рассмотрим уравнение $-x^3 + 3x^2 - 2 = a$. Проанализируем функцию $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2$.
Найдем ее производную: $f'(x) = (-x^3 + 3x^2 - 2)' = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2)$.
Критические точки функции: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Определим интервалы монотонности:
- на интервале $(-\infty; 0)$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает;
- на интервале $(0; 2)$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает;
- на интервале $(2; \infty)$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает.
Следовательно, $x=0$ — точка локального минимума, а $x=2$ — точка локального максимума.
Найдем значения функции в точках экстремума:
- Локальный минимум: $f(0) = -(0)^3 + 3(0)^2 - 2 = -2$.
- Локальный максимум: $f(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 - 2 = -8 + 12 - 2 = 2$.
Уравнение имеет один корень, когда прямая $y=a$ пересекает график функции один раз. Это происходит, когда $a$ меньше значения локального минимума ($a < -2$) или больше значения локального максимума ($a > 2$).
Согласно условию, $a < -2$, что соответствует области, где уравнение имеет один корень.
Ответ: 1 корень.

в) Рассмотрим уравнение $3x^2 - x^3 = a$, которое можно переписать как $-x^3 + 3x^2 = a$. Исследуем функцию $f(x) = -x^3 + 3x^2$.
Найдем производную: $f'(x) = (-x^3 + 3x^2)' = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2)$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Интервалы монотонности:
- на $(-\infty; 0)$ функция убывает ($f'(x) < 0$);
- на $(0; 2)$ функция возрастает ($f'(x) > 0$);
- на $(2; \infty)$ функция убывает ($f'(x) < 0$).
Таким образом, $x=0$ — точка локального минимума, а $x=2$ — точка локального максимума.
Значения в точках экстремума:
- Локальный минимум: $f(0) = -(0)^3 + 3(0)^2 = 0$.
- Локальный максимум: $f(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 = -8 + 12 = 4$.
Три корня существуют, когда значение $a$ находится между значениями экстремумов: $0 < a < 4$. Условие задачи полностью совпадает с этим интервалом.
Ответ: 3 корня.

г) Рассмотрим уравнение $x^3 - 3x^2 + 2 = a$. Исследуем функцию $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.
Найдем производную: $f'(x) = (x^3 - 3x^2 + 2)' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Интервалы монотонности:
- на $(-\infty; 0)$ функция возрастает ($f'(x) > 0$);
- на $(0; 2)$ функция убывает ($f'(x) < 0$);
- на $(2; \infty)$ функция возрастает ($f'(x) > 0$).
Следовательно, $x=0$ — точка локального максимума, а $x=2$ — точка локального минимума.
Значения в точках экстремума:
- Локальный максимум: $f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2$.
- Локальный минимум: $f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$.
Уравнение имеет один корень, когда $a$ больше значения локального максимума ($a > 2$) или меньше значения локального минимума ($a < -2$).
По условию $a > 2$, что соответствует одному корню.
Ответ: 1 корень.

45.14. Сколько корней имеет уравнение $x^3 + ax + 2 = 0$ при различных значениях параметра $a$?

Для определения количества корней уравнения $x^3 + ax + 2 = 0$ в зависимости от параметра $a$, исследуем функцию $f(x) = x^3 + ax + 2$. Количество действительных корней уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с осью абсцисс.

Для анализа функции найдем ее производную: $f'(x) = (x^3 + ax + 2)' = 3x^2 + a$. Поведение функции (возрастание/убывание) зависит от знака производной, который, в свою очередь, зависит от параметра $a$.

Рассмотрим два основных случая.

1. Случай $a \ge 0$.
Если $a \ge 0$, то слагаемое $3x^2$ всегда неотрицательно, поэтому производная $f'(x) = 3x^2 + a \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Это означает, что функция $f(x)$ является монотонно возрастающей на всей числовой прямой.
Так как функция $f(x)$ непрерывна и монотонно возрастает, а ее пределы на бесконечности $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ и $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, ее график пересекает ось $Ox$ ровно один раз. Следовательно, при $a \ge 0$ уравнение имеет ровно один действительный корень.

2. Случай $a < 0$.
Если $a < 0$, производная может менять знак. Найдем критические точки из условия $f'(x) = 0$:
$3x^2 + a = 0 \implies 3x^2 = -a \implies x^2 = -\frac{a}{3}$.
Поскольку $a < 0$, выражение $-\frac{a}{3}$ положительно, и существуют две критические точки: $x_1 = -\sqrt{-\frac{a}{3}}$ (точка локального максимума) и $x_2 = \sqrt{-\frac{a}{3}}$ (точка локального минимума).
Количество корней зависит от знаков значений функции в точках экстремума, $y_{max} = f(x_1)$ и $y_{min} = f(x_2)$.
Количество корней определяется тем, находятся ли точки экстремума по разные стороны от оси абсцисс. Для анализа этого удобно рассмотреть произведение значений в экстремумах $y_{min} \cdot y_{max}$:
$y_{min} \cdot y_{max} = f(\sqrt{-\frac{a}{3}}) \cdot f(-\sqrt{-\frac{a}{3}}) = (2 + \frac{2a}{3}\sqrt{-\frac{a}{3}})(2 - \frac{2a}{3}\sqrt{-\frac{a}{3}}) = 4 - (\frac{2a}{3})^2(-\frac{a}{3}) = 4 + \frac{4a^3}{27}$.

Теперь определим количество корней в зависимости от знака этого произведения:

• Уравнение имеет три корня, если экстремумы лежат по разные стороны от оси $Ox$, то есть $y_{min} \cdot y_{max} < 0$.
  $4 + \frac{4a^3}{27} < 0 \implies a^3 < -27 \implies a < -3$.
• Уравнение имеет два корня (один из них кратный), если один из экстремумов лежит на оси $Ox$, то есть $y_{min} \cdot y_{max} = 0$.
  $4 + \frac{4a^3}{27} = 0 \implies a^3 = -27 \implies a = -3$.
• Уравнение имеет один корень, если оба экстремума лежат по одну сторону от оси $Ox$, то есть $y_{min} \cdot y_{max} > 0$.
  $4 + \frac{4a^3}{27} > 0 \implies a^3 > -27 \implies a > -3$.
  С учетом условия $a<0$, это соответствует интервалу $-3 < a < 0$.

Объединяя результаты для $a \ge 0$ и $a < 0$, получаем итоговый вывод.

Ответ:
при $a < -3$ уравнение имеет 3 корня;
при $a = -3$ уравнение имеет 2 корня;
при $a > -3$ уравнение имеет 1 корень.

Решите уравнение:

45.15. a) $3\sqrt{x+1} = -x^3 + 3x^2 + 6$;

б) $x^3 - 3x = (x+1)^6 + 2.$

а) $3\sqrt{x+1} = -x^3 + 3x^2 + 6$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Преобразуем правую часть уравнения. Для этого найдем целые корни многочлена $P(x) = -x^3 + 3x^2 + 6 - C$ для удобного $C$. Заметим, что правая часть при $x=3$ равна $-27+27+6=6$. Левая часть при $x=3$ равна $3\sqrt{3+1}=3\cdot2=6$. Таким образом, $x=3$ является корнем уравнения. Это позволяет нам предположить, что правую часть можно как-то удачно преобразовать.

Рассмотрим преобразование правой части: $-x^3 + 3x^2 + 6 = -x^3 + 3x^2 - 4 + 10 = -(x^3 - 3x^2 + 4) + 10$. Разложим многочлен $x^3 - 3x^2 + 4$ на множители. Легко проверить, что $x=-1$ является корнем: $(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$. Значит, многочлен делится на $(x+1)$. $(x^3 - 3x^2 + 4) : (x+1) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$. Таким образом, правая часть уравнения равна $-(x+1)(x-2)^2 + 10$.

Исходное уравнение принимает вид: $3\sqrt{x+1} = -(x+1)(x-2)^2 + 10$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x+1}$. Поскольку корень арифметический, $y \ge 0$. Из замены следует, что $x+1 = y^2$, а значит $x = y^2 - 1$. Тогда $x-2 = (y^2-1)-2 = y^2-3$. Подставим новую переменную в преобразованное уравнение: $3y = -y^2(y^2-3)^2 + 10$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $3y = -y^2(y^4 - 6y^2 + 9) + 10$ $3y = -y^6 + 6y^4 - 9y^2 + 10$ $y^6 - 6y^4 + 9y^2 + 3y - 10 = 0$.

Мы знаем, что $x=3$ является корнем, что соответствует $y=\sqrt{3+1}=2$. Проверим, является ли $y=2$ корнем полученного полиномиального уравнения: $2^6 - 6 \cdot 2^4 + 9 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 - 10 = 64 - 6 \cdot 16 + 9 \cdot 4 + 6 - 10 = 64 - 96 + 36 + 6 - 10 = 106 - 106 = 0$. Да, $y=2$ является корнем. Разделим многочлен на $(y-2)$: $(y^6 - 6y^4 + 9y^2 + 3y - 10) : (y-2) = y^5 + 2y^4 - 2y^3 - 4y^2 + y + 5$. Уравнение принимает вид: $(y-2)(y^5 + 2y^4 - 2y^3 - 4y^2 + y + 5) = 0$.

Рассмотрим второй множитель $Q(y) = y^5 + 2y^4 - 2y^3 - 4y^2 + y + 5$. Преобразуем его: $Q(y) = y(y^4 - 2y^2 + 1) + 2y^4 - 4y^2 + 5 = y(y^2-1)^2 + 2(y^4-2y^2+1) + 3 = y(y^2-1)^2 + 2(y^2-1)^2 + 3 = (y+2)(y^2-1)^2 + 3$. Нам нужно решить уравнение $(y+2)(y^2-1)^2 + 3 = 0$. Вспомним, что $y \ge 0$. При этом условии: $y+2 > 0$ $(y^2-1)^2 \ge 0$ Значит, $(y+2)(y^2-1)^2 \ge 0$. Следовательно, $(y+2)(y^2-1)^2 + 3 \ge 3$. Выражение $(y+2)(y^2-1)^2 + 3$ всегда положительно и не может быть равно нулю.

Таким образом, единственным неотрицательным решением для $y$ является $y=2$. Вернемся к исходной переменной: $\sqrt{x+1} = 2$. Возведем обе части в квадрат: $x+1 = 4$, откуда $x=3$. Данное значение удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge -1$).

Ответ: 3

б) $x^3 - 3x = (x+1)^6 + 2$

Рассмотрим левую и правую части уравнения как две функции: $f(x) = x^3 - 3x$ и $g(x) = (x+1)^6 + 2$.

Исследуем функцию $g(x) = (x+1)^6 + 2$. Поскольку $(x+1)^6 \ge 0$ для любого действительного $x$, минимальное значение этого слагаемого равно 0. Следовательно, $g(x) \ge 0+2=2$. Наименьшее значение, равное 2, функция $g(x)$ принимает при $x+1=0$, то есть при $x=-1$.

Исследуем функцию $f(x) = x^3 - 3x$. Найдем ее значение в точке $x=-1$: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$.

Таким образом, при $x=-1$ левая часть уравнения равна 2, и правая часть уравнения равна 2. $f(-1)=2$ и $g(-1)=2$. Следовательно, $x=-1$ является корнем уравнения.

Докажем, что других корней нет. Для этого рассмотрим разность функций $h(x) = g(x) - f(x)$: $h(x) = (x+1)^6 + 2 - (x^3 - 3x) = (x+1)^6 - x^3 + 3x + 2$. Нам нужно решить уравнение $h(x)=0$. Мы уже знаем, что $h(-1)=0$. Исследуем функцию $h(x)$ на монотонность с помощью производной: $h'(x) = 6(x+1)^5 - (3x^2 - 3) = 6(x+1)^5 - 3(x^2 - 1) = 6(x+1)^5 - 3(x-1)(x+1)$. Вынесем общий множитель $3(x+1)$: $h'(x) = 3(x+1)[2(x+1)^4 - (x-1)]$.

Рассмотрим знак второго множителя $\phi(x) = 2(x+1)^4 - (x-1)$. Найдем его производную: $\phi'(x) = 8(x+1)^3 - 1$. Приравняем к нулю: $8(x+1)^3 - 1 = 0 \implies (x+1)^3 = 1/8 \implies x+1 = 1/2 \implies x = -1/2$. В точке $x=-1/2$ функция $\phi(x)$ имеет экстремум. Так как $\phi''(x) = 24(x+1)^2 > 0$ при $x \neq -1$, это точка минимума. Найдем минимальное значение $\phi(x)$: $\phi_{min} = \phi(-1/2) = 2(-1/2+1)^4 - (-1/2-1) = 2(1/2)^4 + 3/2 = 2/16 + 3/2 = 1/8 + 12/8 = 13/8$. Поскольку минимальное значение $\phi(x)$ положительно, $\phi(x) > 0$ для всех $x$.

Вернемся к $h'(x) = 3(x+1)\phi(x)$. Так как $\phi(x) > 0$, знак $h'(x)$ определяется знаком $(x+1)$.

• Если $x > -1$, то $h'(x) > 0$, и функция $h(x)$ строго возрастает.
• Если $x < -1$, то $h'(x) < 0$, и функция $h(x)$ строго убывает.

Это означает, что в точке $x=-1$ функция $h(x)$ достигает своего единственного глобального минимума.

Значение этого минимума равно $h(-1) = 0$. Следовательно, для любого $x \neq -1$ выполняется строгое неравенство $h(x) > h(-1)$, то есть $h(x) > 0$. Таким образом, уравнение $h(x)=0$ имеет единственный корень $x=-1$.

Ответ: -1

45.16. $ \sqrt{x(4x^3 + 3x^2 - 6x + 2.75 - \sin \pi x)} = 0. $

Исходное уравнение имеет вид:

$ \sqrt{x(4x^3 + 3x^2 - 6x + 2,75 - \sin \pi x)} = 0 $

Квадратный корень из выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само подкоренное выражение равно нулю. Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным (область допустимых значений, ОДЗ). Условие равенства нулю автоматически удовлетворяет ОДЗ.

$ x(4x^3 + 3x^2 - 6x + 2,75 - \sin \pi x) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x = 0$

Подставим $x=0$ в исходное уравнение, чтобы проверить, является ли он корнем:

$ \sqrt{0 \cdot (4 \cdot 0^3 + 3 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + 2,75 - \sin(\pi \cdot 0))} = \sqrt{0 \cdot (2,75 - 0)} = \sqrt{0} = 0 $

Равенство $0=0$ верно, следовательно, $x=0$ является корнем уравнения.

Случай 2: $4x^3 + 3x^2 - 6x + 2,75 - \sin \pi x = 0$

Перепишем уравнение в виде:

$ 4x^3 + 3x^2 - 6x + 2,75 = \sin \pi x $

Для решения этого трансцендентного уравнения введем две функции и проанализируем их свойства:

• $ f(x) = 4x^3 + 3x^2 - 6x + 2,75 $ (кубический многочлен)
• $ g(x) = \sin \pi x $ (тригонометрическая функция)

Мы ищем точки пересечения графиков этих функций. Область значений функции $g(x)=\sin \pi x$ есть отрезок $[-1, 1]$.

Найдем экстремумы функции $f(x)$. Для этого найдем её производную:

$ f'(x) = 12x^2 + 6x - 6 = 6(2x^2 + x - 1) $

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$ 2x^2 + x - 1 = 0 $

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 0,5$.

Определим значения функции $f(x)$ в этих точках:

• При $x=-1$: $f(-1) = 4(-1)^3 + 3(-1)^2 - 6(-1) + 2,75 = -4 + 3 + 6 + 2,75 = 7,75$. Это точка локального максимума.
• При $x=0,5$: $f(0,5) = 4(0,5)^3 + 3(0,5)^2 - 6(0,5) + 2,75 = 4(0,125) + 3(0,25) - 3 + 2,75 = 0,5 + 0,75 - 3 + 2,75 = 1$. Это точка локального минимума.

Проверим значение функции $g(x)$ в точке $x=0,5$:

$ g(0,5) = \sin(\pi \cdot 0,5) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $

Поскольку $f(0,5) = 1$ и $g(0,5) = 1$, то $x=0,5$ является решением уравнения $f(x)=g(x)$.

Более того, в точке $x=0,5$ функция $f(x)$ достигает своего локального минимума, а функция $g(x)$ — глобального максимума. Это означает, что их графики касаются в этой точке. Проверим их производные в этой точке:

$f'(0,5) = 6(2(0,5)^2 + 0,5 - 1) = 6(0,5 + 0,5 - 1) = 0$

$g'(x) = \pi \cos(\pi x)$, $g'(0,5) = \pi \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

Поскольку производные равны, касательные к обоим графикам в точке $x=0,5$ горизонтальны, что подтверждает касание.

Теперь исследуем наличие других корней. Рассмотрим неравенство $f(x) \ge g(x)$.

Рассмотрим разность $f(x)-1$. Запишем $2,75 = \frac{11}{4}$ и $1 = \frac{4}{4}$.

$f(x) - 1 = 4x^3 + 3x^2 - 6x + \frac{11}{4} - 1 = 4x^3 + 3x^2 - 6x + \frac{7}{4}$

Мы знаем, что $x=0,5$ является корнем этого выражения, причем двойной кратности, так как $f'(0,5)=0$. Значит, $(x-0,5)^2$ или $(2x-1)^2 = 4x^2-4x+1$ является множителем. Выполнив деление многочленов, получим:

$4x^3 + 3x^2 - 6x + \frac{7}{4} = \frac{1}{4}(16x^3 + 12x^2 - 24x + 7) = \frac{1}{4}(4x^2 - 4x + 1)(4x + 7) = (x-0,5)^2(4x+7)$

Таким образом, уравнение $f(x)=1$ имеет корни $x=0,5$ (двойной) и $x = -7/4 = -1,75$.

Рассмотрим неравенство $f(x) \ge g(x)$ на разных промежутках.

При $x \ge -1,75$:

В этом случае $(4x+7) \ge 0$, а $(x-0,5)^2 \ge 0$. Следовательно, $f(x)-1 = (x-0,5)^2(4x+7) \ge 0$, то есть $f(x) \ge 1$.

В то же время, для любого $x$ значение $g(x) = \sin(\pi x) \le 1$.

Получаем цепочку неравенств: $f(x) \ge 1 \ge g(x)$.

Равенство $f(x)=g(x)$ возможно только тогда, когда обе функции одновременно равны 1. Это происходит при $x=0,5$. Таким образом, на промежутке $x \ge -1,75$ есть только один корень: $x=0,5$.

При $x < -1,75$:

Рассмотрим поведение функций на этом интервале. Проверим поведение на границах некоторого подынтервала. Например, возьмем интервал $(-2, -1,75)$.

• При $x=-1,75$: $f(-1,75)=1$, а $g(-1,75) = \sin(-1,75\pi) = \sin(-\frac{7\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$. Здесь $f(x) > g(x)$.
• При $x=-2$: $f(-2) = 4(-8)+3(4)-6(-2)+2,75 = -32+12+12+2,75 = -5,25$. А $g(-2)=\sin(-2\pi)=0$. Здесь $f(x) < g(x)$.

Поскольку на концах отрезка $[-2, -1,75]$ разность $H(x) = f(x)-g(x)$ принимает значения разных знаков ($H(-2)<0$ и $H(-1,75)>0$) и функция $H(x)$ непрерывна, то по теореме о промежуточном значении на интервале $(-2, -1,75)$ существует по крайней мере один корень уравнения $H(x)=0$.

Можно показать, что на этом интервале производная $H'(x) = f'(x) - g'(x) > 0$, следовательно, функция $H(x)$ монотонно возрастает, и корень единственный. Однако этот корень не может быть выражен через элементарные функции.

В задачах подобного типа, если не указано иное, обычно предполагается найти только те корни, которые можно найти аналитически. В данном случае это корни, полученные из очевидных свойств функций.

Объединяя результаты анализа:

• $x=0$ является корнем.
• $x=0,5$ является корнем.
• Существует еще один иррациональный корень на интервале $(-2, -1,75)$, который не выражается в элементарных функциях.

Если в задаче требуется найти все вещественные корни, то их три. Если же требуется найти только "хорошие" (например, рациональные) корни, то их два.

В стандартной постановке задачи "решить уравнение" обычно подразумевают нахождение всех корней, которые можно выразить аналитически.

Ответ: $x=0$; $x=0,5$.