Страница 276, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

44.59. a) $y = \sin x - \frac{1}{2}x$;

б) $y = \frac{x}{2} - \cos x$;

в) $y = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \cos x$;

г) $y = x - \sin x$.

а) $y = \sin x - \frac{1}{2}x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.

Найдём производную функции: $y' = (\sin x - \frac{1}{2}x)' = \cos x - \frac{1}{2}$.

Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $\cos x - \frac{1}{2} = 0$.

Отсюда $\cos x = \frac{1}{2}$, и критические точки $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Определим интервалы монотонности. Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $\cos x > \frac{1}{2}$. Это происходит на интервалах $(-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n)$.

Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $\cos x < \frac{1}{2}$. Это происходит на интервалах $(\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n)$.

Точки $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ являются точками локального максимума, так как в них производная меняет знак с плюса на минус.

Точки $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ являются точками локального минимума, так как в них производная меняет знак с минуса на плюс.

Ответ: функция возрастает на интервалах $(-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n)$, убывает на интервалах $(\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n)$, точки максимума $x_{max} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, точки минимума $x_{min} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \frac{x}{2} - \cos x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.

Найдём производную функции: $y' = (\frac{x}{2} - \cos x)' = \frac{1}{2} + \sin x$.

Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $\frac{1}{2} + \sin x = 0$.

Отсюда $\sin x = -\frac{1}{2}$, и критические точки $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Определим интервалы монотонности. Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $\sin x > -\frac{1}{2}$. Это происходит на интервалах $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n)$.

Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $\sin x < -\frac{1}{2}$. Это происходит на интервалах $(\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n)$.

Точки $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$ являются точками локального максимума, так как в них производная меняет знак с плюса на минус.

Точки $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ являются точками локального минимума, так как в них производная меняет знак с минуса на плюс.

Ответ: функция возрастает на интервалах $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n)$, убывает на интервалах $(\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n)$, точки максимума $x_{max} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, точки минимума $x_{min} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \cos x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.

Найдём производную функции: $y' = (\frac{1}{\sqrt{2}}x + \cos x)' = \frac{1}{\sqrt{2}} - \sin x$.

Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $\frac{1}{\sqrt{2}} - \sin x = 0$.

Отсюда $\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$, и критические точки $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Определим интервалы монотонности. Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $\sin x < \frac{1}{\sqrt{2}}$. Это происходит на интервалах $(\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{9\pi}{4} + 2\pi n)$.

Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $\sin x > \frac{1}{\sqrt{2}}$. Это происходит на интервалах $(\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n)$.

Точки $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ являются точками локального максимума, так как в них производная меняет знак с плюса на минус.

Точки $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ являются точками локального минимума, так как в них производная меняет знак с минуса на плюс.

Ответ: функция возрастает на интервалах $(\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{9\pi}{4} + 2\pi n)$, убывает на интервалах $(\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n)$, точки максимума $x_{max} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, точки минимума $x_{min} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) $y = x - \sin x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.

Найдём производную функции: $y' = (x - \sin x)' = 1 - \cos x$.

Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $1 - \cos x = 0$.

Отсюда $\cos x = 1$, и критические точки $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Определим знак производной. Так как $-1 \le \cos x \le 1$ для любого $x$, то производная $y' = 1 - \cos x \ge 0$ всегда. Равенство нулю достигается только в изолированных точках $x = 2\pi n$.

Поскольку производная функции неотрицательна на всей числовой прямой и обращается в ноль лишь в отдельных точках, функция является строго возрастающей на всей области определения.

Так как производная не меняет знак, у функции нет точек экстремума. Точки $x = 2\pi n$ являются точками перегиба.

Ответ: функция возрастает на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$, экстремумов нет.

44.60. а) $y = x - \sin 2x$;

б) $y = x + 4 \cos \frac{x}{2}$.

а) Для исследования функции $y = x - \sin 2x$ на монотонность и экстремумы найдем ее производную, определим критические точки и проанализируем знак производной.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Находим производную функции по $x$:

$y' = (x - \sin 2x)' = 1 - (\cos 2x) \cdot (2x)' = 1 - 2\cos 2x$.

Далее находим критические точки, приравнивая производную к нулю. Производная существует на всей области определения.

$y' = 0 \implies 1 - 2\cos 2x = 0$

$2\cos 2x = 1$

$\cos 2x = \frac{1}{2}$

Решениями этого уравнения являются:

$2x = \pm\arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти точки разбивают числовую ось на интервалы. Определим знак производной на этих интервалах. Знак $y'$ зависит от знака выражения $1 - 2\cos 2x$.

Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $1 - 2\cos 2x > 0 \implies \cos 2x < \frac{1}{2}$. Это неравенство выполняется на интервалах $(\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{5\pi}{6} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $1 - 2\cos 2x < 0 \implies \cos 2x > \frac{1}{2}$. Это неравенство выполняется на интервалах $(-\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{\pi}{6} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь определим экстремумы. В точках $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точки локального минимума. В точках $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$ (что эквивалентно $x = \frac{5\pi}{6} + \pi(k-1)$) производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точки локального максимума.

Ответ: функция возрастает на интервалах $(\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{5\pi}{6} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$; убывает на интервалах $(-\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{\pi}{6} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x_{min} = \frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; точки максимума $x_{max} = -\frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) Для исследования функции $y = x + 4\cos^2\frac{x}{2}$ на монотонность и экстремумы, сначала упростим ее выражение, используя формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2}$.

$y = x + 4\left(\frac{1 + \cos\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right)}{2}\right) = x + 2(1 + \cos x) = x + 2 + 2\cos x$.

Теперь исследуем полученную функцию $y = x + 2 + 2\cos x$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Находим производную:

$y' = (x + 2 + 2\cos x)' = 1 - 2\sin x$.

Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

$y' = 0 \implies 1 - 2\sin x = 0$

$\sin x = \frac{1}{2}$

Решениями этого уравнения являются две серии точек:

$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Определим знаки производной на интервалах. Знак $y'$ зависит от знака выражения $1 - 2\sin x$.

Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $1 - 2\sin x > 0 \implies \sin x < \frac{1}{2}$. Это неравенство выполняется на интервалах $(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi(k+1))$, то есть $(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{13\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $1 - 2\sin x < 0 \implies \sin x > \frac{1}{2}$. Это неравенство выполняется на интервалах $(\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Определим экстремумы. В точках $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точки локального максимума. В точках $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точки локального минимума.

Ответ: функция возрастает на интервалах $(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{13\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$; убывает на интервалах $(\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$; точки максимума $x_{max} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x_{min} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

44.61. a) $y = |x - 3| - 2$;

б) $y = |\frac{1}{x} - 1|$;

В) $y = |(x - 2)(x + 3)|$;

Г) $y = (|x| - 2)|x|$.

а) $y = |x - 3| - 2$

Для построения графика этой функции воспользуемся методом преобразования графиков. За основу возьмем график функции $y = |x|$.

1. Строим график базовой функции $y = |x|$. Это "уголок", вершина которого находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх и являются биссектрисами первого и второго координатных углов.

2. Выполняем сдвиг графика $y = |x|$ на 3 единицы вправо по оси Ox. Получаем график функции $y = |x - 3|$. Вершина "уголка" перемещается в точку $(3, 0)$.

3. Выполняем сдвиг графика $y = |x - 3|$ на 2 единицы вниз по оси Oy. Получаем искомый график функции $y = |x - 3| - 2$. Вершина "уголка" перемещается в точку $(3, -2)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• С осью Oy (x=0): $y = |0 - 3| - 2 = 3 - 2 = 1$. Точка пересечения: $(0, 1)$.

• С осью Ox (y=0): $|x - 3| - 2 = 0 \Rightarrow |x - 3| = 2$. Это уравнение распадается на два:
  $x - 3 = 2 \Rightarrow x = 5$.
  $x - 3 = -2 \Rightarrow x = 1$.
  Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой "уголок" (две прямые, сходящиеся в одной точке), вершина которого находится в точке $(3, -2)$, а ветви направлены вверх. График пересекает ось абсцисс в точках $(1, 0)$ и $(5, 0)$ и ось ординат в точке $(0, 1)$.

б) $y = \left|\frac{1}{x} - 1\right|$

Построение также выполним с помощью преобразований, начав с графика функции $y = \frac{1}{x}$.

1. Строим график базовой функции $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола с ветвями в первом и третьем координатных квадрантах. Асимптоты: $x = 0$ (ось Oy) и $y = 0$ (ось Ox).

2. Сдвигаем график $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу вниз по оси Oy. Получаем график функции $y = \frac{1}{x} - 1$. Вертикальная асимптота остается $x=0$, а горизонтальная смещается на $y = -1$. График пересекает ось Ox в точке, где $y=0$, то есть $\frac{1}{x} - 1 = 0 \Rightarrow x=1$. Точка пересечения: $(1, 0)$.

3. Применяем операцию взятия модуля: $y = \left|\frac{1}{x} - 1\right|$. Это означает, что часть графика $y = \frac{1}{x} - 1$, которая находится ниже оси Ox (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox вверх. Часть графика, которая находится выше или на оси Ox, остается без изменений.

   • Часть графика, где $0 < x \le 1$, остается на месте.

   • Части графика, где $x > 1$ и $x < 0$, были ниже оси Ox, поэтому они отразятся вверх.

   • Горизонтальная асимптота $y = -1$ для отражаемых частей графика превращается в асимптоту $y = 1$.

   • В точке $(1, 0)$ образуется "излом" (острый угол).

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=1$. Он состоит из двух ветвей. Одна ветвь находится во втором квадранте и приближается к асимптотам. Другая ветвь находится в первом квадранте, касается оси Ox в точке $(1, 0)$ (образуя "излом") и уходит вверх вдоль оси Oy.

в) $y = |(x - 2)(x + 3)|$

Для построения этого графика сначала построим параболу $y = (x - 2)(x + 3)$, а затем применим операцию модуля.

1. Рассмотрим функцию $f(x) = (x - 2)(x + 3) = x^2 + x - 6$. Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх.

2. Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции): $(x - 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -3$.

3. Найдем вершину параболы. Координата x вершины: $x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + (-3)}{2} = -0.5$. Координата y вершины: $y_v = (-0.5)^2 + (-0.5) - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25$. Вершина находится в точке $(-0.5, -6.25)$.

4. Применяем операцию модуля: $y = |x^2 + x - 6|$. Часть параболы, расположенная ниже оси Ox (между корнями $x=-3$ и $x=2$), симметрично отражается относительно оси Ox. Части параболы, расположенные выше оси, остаются без изменений.

   • Вершина $(-0.5, -6.25)$ отражается в точку $(-0.5, 6.25)$, которая становится точкой локального максимума.

   • В точках пересечения с осью Ox $(-3, 0)$ и $(2, 0)$ образуются "изломы".

Ответ: График получается из параболы $y = x^2 + x - 6$ путем отражения ее части, лежащей ниже оси абсцисс, в верхнюю полуплоскость. График касается оси Ox в точках $(-3, 0)$ и $(2, 0)$, образуя в них изломы. Локальный максимум находится в точке $(-0.5, 6.25)$.

г) $y = (|x| - 2)|x|$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = (|-x| - 2)|-x| = (|x| - 2)|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси Oy.

1. Рассмотрим случай $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и функция принимает вид $y = (x - 2)x = x^2 - 2x$.

2. График функции $y = x^2 - 2x$ — это парабола с ветвями вверх.
   Нули функции: $x(x - 2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 2$.
   Вершина параболы: $x_v = \frac{0+2}{2} = 1$; $y_v = 1^2 - 2(1) = -1$. Вершина в точке $(1, -1)$.

3. Строим эту параболу для $x \ge 0$. Это часть параболы, начинающаяся в точке $(0, 0)$, проходящая через вершину $(1, -1)$ и пересекающая ось Ox в точке $(2, 0)$.

4. Отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy.
   Точка $(0, 0)$ остается на месте.
   Точка $(2, 0)$ отражается в точку $(-2, 0)$.
   Вершина $(1, -1)$ отражается в точку $(-1, -1)$.
   Получается вторая половина графика для $x < 0$.

Итоговый график напоминает букву "W".

Ответ: График функции симметричен относительно оси ординат. Он имеет форму буквы "W". Точки пересечения с осью абсцисс: $(-2, 0)$, $(0, 0)$, $(2, 0)$. Точки локальных минимумов (нижние вершины) находятся в точках $(-1, -1)$ и $(1, -1)$.

44.62. a) $y = |x^3 - 3x|;$

б) $y = |x - x^3|.$

Для решения задачи проведем полное исследование функции $y = |x^3 - 3x|$.

Чтобы построить график функции вида $y = |f(x)|$, необходимо сначала исследовать и построить график функции $f(x) = x^3 - 3x$, а затем ту часть графика, которая находится ниже оси абсцисс (где $f(x) < 0$), симметрично отразить относительно этой оси.

1. Исследование функции $f(x) = x^3 - 3x$:

Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Четность/нечетность: Проверим функцию на четность: $f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -f(x)$. Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.

Нули функции (точки пересечения с осью Ox): Решим уравнение $f(x) = 0$:
$x^3 - 3x = 0$
$x(x^2 - 3) = 0$
$x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0$
Корни уравнения и точки пересечения с осью Ox: $x_1 = -\sqrt{3}$, $x_2 = 0$, $x_3 = \sqrt{3}$.

Интервалы знакопостоянства: Определим знаки функции на интервалах, на которые ее разбивают нули:
- $f(x) > 0$ при $x \in (-\sqrt{3}, 0) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$.
- $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (0, \sqrt{3})$.

Экстремумы и промежутки монотонности:
Найдем производную функции: $f'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0 \implies x = -1$ и $x = 1$.
Определим знаки производной на интервалах:
- При $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
- При $x \in (-1, 1)$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.
- При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
Точка $x = -1$ является точкой локального максимума. Значение функции в этой точке: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$. Координаты максимума: $(-1, 2)$.
Точка $x = 1$ является точкой локального минимума. Значение функции в этой точке: $f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$. Координаты минимума: $(1, -2)$.

2. Построение и свойства графика $y = |x^3 - 3x|$:

График $y = |x^3 - 3x|$ совпадает с графиком $y = x^3 - 3x$ на промежутках, где $x^3 - 3x \ge 0$, то есть при $x \in [-\sqrt{3}, 0] \cup [\sqrt{3}, +\infty)$.
На промежутках, где $x^3 - 3x < 0$, то есть при $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (0, \sqrt{3})$, график $y = |x^3 - 3x|$ является симметричным отражением графика $y = x^3 - 3x$ относительно оси Ox. Это соответствует графику функции $y = -(x^3 - 3x) = 3x - x^3$.
В результате этого преобразования локальный минимум в точке $(1, -2)$ становится локальным максимумом в точке $(1, 2)$.

Итоговые свойства функции $y = |x^3 - 3x|$:
- Функция четная, так как $y(-x) = |(-x)^3 - 3(-x)| = |-x^3 + 3x| = |-(x^3-3x)| = |x^3-3x| = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
- Область значений: $E(y) = [0, +\infty)$.
- Точки локального минимума (в которых производная не существует): $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, 0)$.
- Точки локального максимума: $(-1, 2)$ и $(1, 2)$.
- Функция возрастает на промежутках $[-\sqrt{3}, -1]$, $[0, 1]$ и $[\sqrt{3}, +\infty)$.
- Функция убывает на промежутках $(-\infty, -\sqrt{3}]$, $[-1, 0]$ и $[1, \sqrt{3}]$.

Ответ: Решение задачи заключается в полном исследовании функции $f(x) = x^3 - 3x$ (нахождение нулей, экстремумов, интервалов монотонности) и последующем построении графика функции $y = |f(x)|$ путем симметричного отражения отрицательной части графика $f(x)$ относительно оси Ox. В результате получена четная функция $y = |x^3 - 3x|$ с локальными минимумами в точках $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, 0)$ и локальными максимумами в точках $(-1, 2)$ и $(1, 2)$.

Для решения задачи проведем полное исследование функции $y = |x - x^3|$.

Заметим, что $|x - x^3| = |-(x^3 - x)| = |x^3 - x|$. Таким образом, задача сводится к исследованию функции $y = |x^3 - x|$. Мы применим тот же метод, что и в пункте а): сначала исследуем функцию $g(x) = x^3 - x$.

1. Исследование функции $g(x) = x^3 - x$:

Область определения: $D(g) = (-\infty; +\infty)$.

Четность/нечетность: $g(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -g(x)$. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

Нули функции (пересечение с осью Ox): Решим уравнение $g(x) = 0$:
$x^3 - x = 0$
$x(x^2 - 1) = 0$
$x(x - 1)(x + 1) = 0$
Точки пересечения с осью Ox: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

Интервалы знакопостоянства:
- $g(x) > 0$ при $x \in (-1, 0) \cup (1, +\infty)$.
- $g(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$.

Экстремумы и промежутки монотонности:
Находим производную: $g'(x) = (x^3 - x)' = 3x^2 - 1$.
Находим критические точки: $g'(x) = 0 \implies 3x^2 = 1 \implies x^2 = 1/3 \implies x = \pm 1/\sqrt{3}$.
Определим знаки производной на интервалах:
- При $x \in (-\infty, -1/\sqrt{3})$, $g'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$, $g'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (1/\sqrt{3}, +\infty)$, $g'(x) > 0$, функция возрастает.
Точка $x = -1/\sqrt{3}$ является точкой локального максимума. $g(-1/\sqrt{3}) = (-1/\sqrt{3})^3 - (-1/\sqrt{3}) = -1/(3\sqrt{3}) + 1/\sqrt{3} = 2/(3\sqrt{3})$. Координаты максимума: $(-1/\sqrt{3}, 2/(3\sqrt{3}))$.
Точка $x = 1/\sqrt{3}$ является точкой локального минимума. $g(1/\sqrt{3}) = (1/\sqrt{3})^3 - (1/\sqrt{3}) = 1/(3\sqrt{3}) - 1/\sqrt{3} = -2/(3\sqrt{3})$. Координаты минимума: $(1/\sqrt{3}, -2/(3\sqrt{3}))$.

2. Построение и свойства графика $y = |x - x^3|$:

График $y = |x^3 - x|$ получается путем отражения отрицательной части графика $y = x^3 - x$ относительно оси Ox. Функция $g(x)$ принимает отрицательные значения на интервалах $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$.
В результате этого преобразования локальный минимум в точке $(1/\sqrt{3}, -2/(3\sqrt{3}))$ становится локальным максимумом в точке $(1/\sqrt{3}, 2/(3\sqrt{3}))$.

Итоговые свойства функции $y = |x - x^3|$:
- Функция четная, так как $y(-x) = |(-x) - (-x)^3| = |-x + x^3| = |x - x^3| = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
- Область значений: $E(y) = [0, +\infty)$.
- Точки локального минимума: $(-1, 0)$, $(0, 0)$, $(1, 0)$.
- Точки локального максимума: $(-1/\sqrt{3}, 2/(3\sqrt{3}))$ и $(1/\sqrt{3}, 2/(3\sqrt{3}))$.
- Функция возрастает на промежутках $[-1, -1/\sqrt{3}]$, $[0, 1/\sqrt{3}]$ и $[1, +\infty)$.
- Функция убывает на промежутках $(-\infty, -1]$, $[-1/\sqrt{3}, 0]$ и $[1/\sqrt{3}, 1]$.

Ответ: Решение задачи основано на исследовании вспомогательной нечетной функции $g(x) = x^3 - x$. После нахождения ее нулей, экстремумов и интервалов знакопостоянства, свойства и график функции $y = |x - x^3|$ были определены путем отражения частей графика $g(x)$, лежащих под осью абсцисс. Итоговая функция $y = |x - x^3|$ является четной, имеет локальные минимумы в точках $(-1, 0)$, $(0, 0)$, $(1, 0)$ и локальные максимумы в точках $(-1/\sqrt{3}, 2/(3\sqrt{3}))$ и $(1/\sqrt{3}, 2/(3\sqrt{3}))$.

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы и постройте её график:

44.63. a) $y = 3x^2 - 4x + 5;$

б) $y = 3 + 2x - x^2;$

в) $y = 7 - x - 2x^2;$

г) $y = 5x^2 - 15x - 4.$

а) $y = 3x^2 - 4x + 5$

Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 3 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх.
1. Исследование на монотонность и экстремумы.
Найдем производную функции:
$y' = (3x^2 - 4x + 5)' = 6x - 4$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$6x - 4 = 0 \implies 6x = 4 \implies x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Это точка экстремума (вершина параболы). Так как ветви параболы направлены вверх, это точка минимума.
При $x < \frac{2}{3}$, производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; \frac{2}{3}]$.
При $x > \frac{2}{3}$, производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[\frac{2}{3}; +\infty)$.
$x_{min} = \frac{2}{3}$.
Найдем значение функции в точке минимума:
$y_{min} = 3(\frac{2}{3})^2 - 4(\frac{2}{3}) + 5 = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 5 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + \frac{15}{3} = \frac{11}{3}$.
Точка минимума (вершина параболы): $(\frac{2}{3}; \frac{11}{3})$.
2. Построение графика.
- Вершина параболы: $(\frac{2}{3}; \frac{11}{3}) \approx (0.67; 3.67)$.
- Точка пересечения с осью OY: при $x=0$, $y=5$. Точка $(0; 5)$.
- Точек пересечения с осью OX нет, так как дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 - 60 = -44 < 0$.
График — парабола с вершиной в точке $(\frac{2}{3}; \frac{11}{3})$, ветвями вверх, проходящая через точку $(0; 5)$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; \frac{2}{3}]$ и возрастает на промежутке $[\frac{2}{3}; +\infty)$. Точка минимума $x_{min} = \frac{2}{3}$, $y_{min} = \frac{11}{3}$.

б) $y = 3 + 2x - x^2$

Перепишем функцию в стандартном виде: $y = -x^2 + 2x + 3$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), следовательно, ветви параболы направлены вниз.
1. Исследование на монотонность и экстремумы.
Найдем производную функции:
$y' = (-x^2 + 2x + 3)' = -2x + 2$.
Приравняем производную к нулю:
$-2x + 2 = 0 \implies -2x = -2 \implies x = 1$.
Это точка экстремума. Так как ветви параболы направлены вниз, это точка максимума.
При $x < 1$, производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$.
При $x > 1$, производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $[1; +\infty)$.
$x_{max} = 1$.
Найдем значение функции в точке максимума:
$y_{max} = -1^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.
Точка максимума (вершина параболы): $(1; 4)$.
2. Построение графика.
- Вершина параболы: $(1; 4)$.
- Точка пересечения с осью OY: при $x=0$, $y=3$. Точка $(0; 3)$.
- Точки пересечения с осью OX: решим уравнение $-x^2 + 2x + 3 = 0$ или $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -1$, $x_2 = 3$. Точки $(-1; 0)$ и $(3; 0)$.
График — парабола с вершиной в точке $(1; 4)$, ветвями вниз, пересекающая оси в точках $(-1; 0)$, $(3; 0)$ и $(0; 3)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$ и убывает на промежутке $[1; +\infty)$. Точка максимума $x_{max} = 1$, $y_{max} = 4$.

в) $y = 7 - x - 2x^2$

Перепишем функцию: $y = -2x^2 - x + 7$. Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -2 (отрицательный), ветви направлены вниз.
1. Исследование на монотонность и экстремумы.
Найдем производную:
$y' = (-2x^2 - x + 7)' = -4x - 1$.
Приравняем производную к нулю:
$-4x - 1 = 0 \implies -4x = 1 \implies x = -\frac{1}{4}$.
Это точка экстремума (максимума, так как ветви параболы направлены вниз).
При $x < -\frac{1}{4}$, $y' > 0$, функция возрастает на $(-\infty; -\frac{1}{4}]$.
При $x > -\frac{1}{4}$, $y' < 0$, функция убывает на $[-\frac{1}{4}; +\infty)$.
$x_{max} = -\frac{1}{4}$.
Найдем значение функции в точке максимума:
$y_{max} = -2(-\frac{1}{4})^2 - (-\frac{1}{4}) + 7 = -2(\frac{1}{16}) + \frac{1}{4} + 7 = -\frac{1}{8} + \frac{2}{8} + \frac{56}{8} = \frac{57}{8}$.
Точка максимума (вершина параболы): $(-\frac{1}{4}; \frac{57}{8})$.
2. Построение графика.
- Вершина параболы: $(-\frac{1}{4}; \frac{57}{8}) = (-0.25; 7.125)$.
- Точка пересечения с осью OY: при $x=0$, $y=7$. Точка $(0; 7)$.
- Точки пересечения с осью OX: решим $-2x^2 - x + 7 = 0$. $D = (-1)^2 - 4(-2)(7) = 1 + 56 = 57$. $x = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{-4} = \frac{-1 \mp \sqrt{57}}{4}$. Точки $(\frac{-1 - \sqrt{57}}{4}; 0)$ и $(\frac{-1 + \sqrt{57}}{4}; 0)$.
График — парабола с вершиной в точке $(-0.25; 7.125)$, ветвями вниз, проходящая через точку $(0; 7)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; -\frac{1}{4}]$ и убывает на промежутке $[-\frac{1}{4}; +\infty)$. Точка максимума $x_{max} = -\frac{1}{4}$, $y_{max} = \frac{57}{8}$.

г) $y = 5x^2 - 15x - 4$

Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 5 (положительный), ветви направлены вверх.
1. Исследование на монотонность и экстремумы.
Найдем производную:
$y' = (5x^2 - 15x - 4)' = 10x - 15$.
Приравняем производную к нулю:
$10x - 15 = 0 \implies 10x = 15 \implies x = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
Это точка экстремума (минимума, так как ветви параболы направлены вверх).
При $x < \frac{3}{2}$, $y' < 0$, функция убывает на $(-\infty; \frac{3}{2}]$.
При $x > \frac{3}{2}$, $y' > 0$, функция возрастает на $[\frac{3}{2}; +\infty)$.
$x_{min} = \frac{3}{2}$.
Найдем значение функции в точке минимума:
$y_{min} = 5(\frac{3}{2})^2 - 15(\frac{3}{2}) - 4 = 5(\frac{9}{4}) - \frac{45}{2} - 4 = \frac{45}{4} - \frac{90}{4} - \frac{16}{4} = -\frac{61}{4}$.
Точка минимума (вершина параболы): $(\frac{3}{2}; -\frac{61}{4})$.
2. Построение графика.
- Вершина параболы: $(\frac{3}{2}; -\frac{61}{4}) = (1.5; -15.25)$.
- Точка пересечения с осью OY: при $x=0$, $y=-4$. Точка $(0; -4)$.
- Точки пересечения с осью OX: решим $5x^2 - 15x - 4 = 0$. $D = (-15)^2 - 4(5)(-4) = 225 + 80 = 305$. $x = \frac{15 \pm \sqrt{305}}{10}$. Точки $(\frac{15 - \sqrt{305}}{10}; 0)$ и $(\frac{15 + \sqrt{305}}{10}; 0)$.
График — парабола с вершиной в точке $(1.5; -15.25)$, ветвями вверх, проходящая через точку $(0; -4)$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; \frac{3}{2}]$ и возрастает на промежутке $[\frac{3}{2}; +\infty)$. Точка минимума $x_{min} = \frac{3}{2}$, $y_{min} = -\frac{61}{4}$.

44.64. а) $y = 3x^2 - x^3;$

б) $y = 6x + x^3;$

В) $y = x^3 + 3x^2;$

Г) $y = 3x - x^3.$

а) $y = 3x^2 - x^3$

Находим производную функции: $y' = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2$.

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек: $6x - 3x^2 = 0$, или $3x(2 - x) = 0$. Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

Определяем знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось. Производная $y' = -3x^2 + 6x$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз. Следовательно, $y' > 0$ на интервале $(0, 2)$ и $y' < 0$ на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(2, +\infty)$.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[0, 2]$ и убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2, +\infty)$.

В точке $x=0$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(0) = 3(0)^2 - 0^3 = 0$.

В точке $x=2$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка максимума. $y_{max} = y(2) = 3(2)^2 - 2^3 = 12 - 8 = 4$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 2]$; убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2, +\infty)$; точка минимума $(0, 0)$; точка максимума $(2, 4)$.

б) $y = 6x + x^3$

Находим производную функции: $y' = (6x + x^3)' = 6 + 3x^2$.

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек: $6 + 3x^2 = 0$.

Уравнение $3x^2 = -6$, или $x^2 = -2$, не имеет действительных корней. Следовательно, у функции нет критических точек.

Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то производная $y' = 6 + 3x^2$ всегда положительна ($y' \ge 6$).

Это означает, что функция возрастает на всей своей области определения и не имеет точек экстремума.

Ответ: функция возрастает на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$; экстремумов нет.

в) $y = x^3 + 3x^2$

Находим производную функции: $y' = (x^3 + 3x^2)' = 3x^2 + 6x$.

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек: $3x^2 + 6x = 0$, или $3x(x + 2) = 0$. Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$.

Определяем знаки производной на интервалах. Производная $y' = 3x^2 + 6x$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх.

Следовательно, $y' > 0$ на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(0, +\infty)$, и $y' < 0$ на интервале $(-2, 0)$.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, +\infty)$ и убывает на промежутке $[-2, 0]$.

В точке $x=-2$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка максимума. $y_{max} = y(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 = -8 + 12 = 4$.

В точке $x=0$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(0) = 0^3 + 3(0)^2 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, +\infty)$; убывает на промежутке $[-2, 0]$; точка максимума $(-2, 4)$; точка минимума $(0, 0)$.

г) $y = 3x - x^3$

Находим производную функции: $y' = (3x - x^3)' = 3 - 3x^2$.

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек: $3 - 3x^2 = 0$, или $3(1 - x^2) = 0$. Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

Определяем знаки производной на интервалах. Производная $y' = -3x^2 + 3$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз.

Следовательно, $y' > 0$ на интервале $(-1, 1)$ и $y' < 0$ на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[-1, 1]$ и убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$.

В точке $x=-1$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(-1) = 3(-1) - (-1)^3 = -3 + 1 = -2$.

В точке $x=1$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка максимума. $y_{max} = y(1) = 3(1) - 1^3 = 3 - 1 = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1, 1]$; убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$; точка минимума $(-1, -2)$; точка максимума $(1, 2)$.

44.65. a) $y = x^3 - 3x^2 + 2$;

б) $y = -x^3 + 4x - 3$;

В) $y = -x^3 + 4x^2 - 3$;

Г) $y = x^3 - 3x + 2$.

а) $y = x^3 - 3x^2 + 2$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью OY (при $x=0$): $y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.

   • С осью OX (при $y=0$): $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$. Подбором находим корень $x=1$, так как $1^3 - 3(1)^2 + 2 = 0$. Выполним деление многочлена на $(x-1)$ и получим $x^2 - 2x - 2$. Корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 2 = 0$ находятся по формуле: $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-4(-2)}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$. Таким образом, точки пересечения с осью OX: $(1, 0)$, $(1-\sqrt{3}, 0)$, $(1+\sqrt{3}, 0)$.

3. Четность и нечетность. $y(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 2 = -x^3 - 3x^2 + 2$. Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

4. Промежутки монотонности и экстремумы. Найдем первую производную: $y' = (x^3 - 3x^2 + 2)' = 3x^2 - 6x$.

   Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x-2)=0$. Отсюда $x_1=0$, $x_2=2$.

   Исследуем знак производной на интервалах, образованных критическими точками:

   • На $(-\infty, 0)$: $y'(-1) = 9 > 0$, функция возрастает.
   • На $(0, 2)$: $y'(1) = -3 < 0$, функция убывает.
   • На $(2, +\infty)$: $y'(3) = 9 > 0$, функция возрастает.

   В точке $x=0$ происходит смена знака производной с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(0) = 2$.

   В точке $x=2$ происходит смена знака производной с `-` на `+`, следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = -2$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 - 6x)' = 6x - 6$.

   Найдем точки, в которых $y''=0$: $6x-6=0 \Rightarrow x=1$.

   Исследуем знак второй производной:

   • На $(-\infty, 1)$: $y''(0) = -6 < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
   • На $(1, +\infty)$: $y''(2) = 6 > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

   В точке $x=1$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $y(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 0$. Точка перегиба — $(1, 0)$.

Ответ: Функция возрастает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(2, +\infty)$, убывает на интервале $(0, 2)$. Точка локального максимума $(0, 2)$, точка локального минимума $(2, -2)$. График функции является выпуклым вверх на $(-\infty, 1)$ и выпуклым вниз на $(1, +\infty)$. Точка перегиба — $(1, 0)$.

б) $y = -x^3 + 4x - 3$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью OY (при $x=0$): $y(0) = -3$. Точка $(0, -3)$.

   • С осью OX (при $y=0$): $-x^3 + 4x - 3 = 0 \Leftrightarrow x^3 - 4x + 3 = 0$. Подбором находим корень $x=1$. Делением многочлена на $(x-1)$ получаем $x^2+x-3=0$. Корни: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4(-3)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$. Точки пересечения с осью OX: $(1, 0)$, $(\frac{-1-\sqrt{13}}{2}, 0)$, $(\frac{-1+\sqrt{13}}{2}, 0)$.

3. Четность и нечетность. $y(-x) = -(-x)^3 + 4(-x) - 3 = x^3 - 4x - 3$. Функция общего вида.

4. Промежутки монотонности и экстремумы. $y' = -3x^2 + 4$.

   Критические точки: $-3x^2+4=0 \Rightarrow x^2 = 4/3 \Rightarrow x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

   Исследуем знак производной (парабола с ветвями вниз):

   • На $(-\infty, -2\sqrt{3}/3)$: $y' < 0$, функция убывает.
   • На $(-2\sqrt{3}/3, 2\sqrt{3}/3)$: $y' > 0$, функция возрастает.
   • На $(2\sqrt{3}/3, +\infty)$: $y' < 0$, функция убывает.

   Точка $x = -2\sqrt{3}/3$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(-\frac{2\sqrt{3}}{3}) = -3 - \frac{16\sqrt{3}}{9}$.

   Точка $x = 2\sqrt{3}/3$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(\frac{2\sqrt{3}}{3}) = -3 + \frac{16\sqrt{3}}{9}$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. $y'' = -6x$.

   $y''=0$ при $x=0$.

   • На $(-\infty, 0)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
   • На $(0, +\infty)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

   Точка $x=0$ — точка перегиба. $y(0)=-3$. Точка перегиба — $(0, -3)$.

Ответ: Функция убывает на $(-\infty, -2\sqrt{3}/3) \cup (2\sqrt{3}/3, +\infty)$, возрастает на $(-2\sqrt{3}/3, 2\sqrt{3}/3)$. Точка локального минимума $(-2\sqrt{3}/3, -3 - \frac{16\sqrt{3}}{9})$, точка локального максимума $(2\sqrt{3}/3, -3 + \frac{16\sqrt{3}}{9})$. График выпуклый вниз на $(-\infty, 0)$ и выпуклый вверх на $(0, +\infty)$. Точка перегиба $(0, -3)$.

в) $y = -x^3 + 4x^2 - 3$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью OY (при $x=0$): $y(0) = -3$. Точка $(0, -3)$.

   • С осью OX (при $y=0$): $-x^3 + 4x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x^3 - 4x^2 + 3 = 0$. Корень $x=1$. Делением на $(x-1)$ получаем $x^2-3x-3=0$. Корни: $x = \frac{3 \pm \sqrt{9-4(-3)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$. Точки пересечения с осью OX: $(1, 0)$, $(\frac{3-\sqrt{21}}{2}, 0)$, $(\frac{3+\sqrt{21}}{2}, 0)$.

3. Четность и нечетность. $y(-x) = -(-x)^3 + 4(-x)^2 - 3 = x^3 + 4x^2 - 3$. Функция общего вида.

4. Промежутки монотонности и экстремумы. $y' = -3x^2 + 8x = -x(3x-8)$.

   Критические точки: $x_1=0$, $x_2=8/3$.

   Исследуем знак производной:

   • На $(-\infty, 0)$: $y' < 0$, функция убывает.
   • На $(0, 8/3)$: $y' > 0$, функция возрастает.
   • На $(8/3, +\infty)$: $y' < 0$, функция убывает.

   Точка $x=0$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = -3$.

   Точка $x=8/3$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(8/3) = -(8/3)^3 + 4(8/3)^2 - 3 = 175/27$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. $y'' = -6x + 8$.

   $y''=0$ при $x=8/6=4/3$.

   • На $(-\infty, 4/3)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
   • На $(4/3, +\infty)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

   Точка $x=4/3$ — точка перегиба. $y(4/3) = 47/27$. Точка перегиба — $(4/3, 47/27)$.

Ответ: Функция убывает на $(-\infty, 0) \cup (8/3, +\infty)$, возрастает на $(0, 8/3)$. Точка локального минимума $(0, -3)$, точка локального максимума $(8/3, 175/27)$. График выпуклый вниз на $(-\infty, 4/3)$ и выпуклый вверх на $(4/3, +\infty)$. Точка перегиба $(4/3, 47/27)$.

г) $y = x^3 - 3x + 2$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью OY (при $x=0$): $y(0) = 2$. Точка $(0, 2)$.
   • С осью OX (при $y=0$): $x^3 - 3x + 2 = 0$. Подбором находим корень $x=1$. Делением на $(x-1)$ получаем $x^2+x-2=0$, что раскладывается на $(x-1)(x+2)$. Таким образом, уравнение имеет вид $(x-1)^2(x+2)=0$. Корни: $x=1$ (кратности 2) и $x=-2$. Точки пересечения с осью OX: $(-2, 0)$ и $(1, 0)$ (касание).

3. Четность и нечетность. $y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) + 2 = -x^3 + 3x + 2$. Функция общего вида.

4. Промежутки монотонности и экстремумы. $y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1)$.

   Критические точки: $x^2-1=0 \Rightarrow x = \pm 1$.

   Исследуем знак производной:

   • На $(-\infty, -1)$: $y' > 0$, функция возрастает.
   • На $(-1, 1)$: $y' < 0$, функция убывает.
   • На $(1, +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.

   Точка $x=-1$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 4$.

   Точка $x=1$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 0$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. $y'' = 6x$.

   $y''=0$ при $x=0$.

   • На $(-\infty, 0)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
   • На $(0, +\infty)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.

   Точка $x=0$ — точка перегиба. $y(0)=2$. Точка перегиба — $(0, 2)$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$, убывает на $(-1, 1)$. Точка локального максимума $(-1, 4)$, точка локального минимума $(1, 0)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 0)$ и выпуклый вниз на $(0, +\infty)$. Точка перегиба $(0, 2)$.

44.66. а) $y = 2x^3 + x^2 - 2x - 1;$

б) $y = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x - \frac{11}{3};$

в) $y = x^3 + x^2 - x - 1;$

г) $y = \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x + \frac{5}{3}.$

а) Для функции $y = 2x^3 + x^2 - 2x - 1$ проведем исследование на монотонность и экстремумы.
1. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдем производную функции:
$y' = (2x^3 + x^2 - 2x - 1)' = 6x^2 + 2x - 2$.
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$6x^2 + 2x - 2 = 0$
$3x^2 + x - 1 = 0$
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 1 + 12 = 13$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{6}$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{6}$.
4. Производная $y' = 6x^2 + 2x - 2$ представляет собой параболу с ветвями вверх. Следовательно, $y' > 0$ при $x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{13}}{6}) \cup (\frac{-1 + \sqrt{13}}{6}, +\infty)$ и $y' < 0$ при $x \in (\frac{-1 - \sqrt{13}}{6}, \frac{-1 + \sqrt{13}}{6})$.
Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty, \frac{-1 - \sqrt{13}}{6}]$ и $[\frac{-1 + \sqrt{13}}{6}, +\infty)$, и убывает на промежутке $[\frac{-1 - \sqrt{13}}{6}, \frac{-1 + \sqrt{13}}{6}]$.
5. В точке $x = \frac{-1 - \sqrt{13}}{6}$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума. В точке $x = \frac{-1 + \sqrt{13}}{6}$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума.
6. Вычислим значения функции в точках экстремума:
$x_{max} = \frac{-1 - \sqrt{13}}{6}$, $y_{max} = 2(\frac{-1 - \sqrt{13}}{6})^3 + (\frac{-1 - \sqrt{13}}{6})^2 - 2(\frac{-1 - \sqrt{13}}{6}) - 1 = \frac{13\sqrt{13} - 35}{54}$.
$x_{min} = \frac{-1 + \sqrt{13}}{6}$, $y_{min} = 2(\frac{-1 + \sqrt{13}}{6})^3 + (\frac{-1 + \sqrt{13}}{6})^2 - 2(\frac{-1 + \sqrt{13}}{6}) - 1 = \frac{-13\sqrt{13} - 35}{54}$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, \frac{-1 - \sqrt{13}}{6}]$ и $[\frac{-1 + \sqrt{13}}{6}, +\infty)$, убывает на промежутке $[\frac{-1 - \sqrt{13}}{6}, \frac{-1 + \sqrt{13}}{6}]$. Точка максимума: $(\frac{-1 - \sqrt{13}}{6}, \frac{13\sqrt{13} - 35}{54})$. Точка минимума: $(\frac{-1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{-13\sqrt{13} - 35}{54})$.

б) Для функции $y = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x - \frac{11}{3}$ проведем исследование на монотонность и экстремумы.
1. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдем производную функции:
$y' = (-\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x - \frac{11}{3})' = -x^2 + 2x + 3$.
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$-x^2 + 2x + 3 = 0$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
4. Производная $y' = -x^2 + 2x + 3$ представляет собой параболу с ветвями вниз. Следовательно, $y' > 0$ при $x \in (-1, 3)$ и $y' < 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$.
Таким образом, функция возрастает на промежутке $[-1, 3]$ и убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[3, +\infty)$.
5. В точке $x = -1$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума. В точке $x = 3$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума.
6. Вычислим значения функции в точках экстремума:
$x_{min} = -1$, $y_{min} = -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1) - \frac{11}{3} = \frac{1}{3} + 1 - 3 - \frac{11}{3} = -2 - \frac{10}{3} = -\frac{16}{3}$.
$x_{max} = 3$, $y_{max} = -\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3(3) - \frac{11}{3} = -9 + 9 + 9 - \frac{11}{3} = \frac{16}{3}$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1, 3]$, убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[3, +\infty)$. Точка минимума: $(-1, -\frac{16}{3})$. Точка максимума: $(3, \frac{16}{3})$.

в) Для функции $y = x^3 + x^2 - x - 1$ проведем исследование на монотонность и экстремумы.
1. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдем производную функции:
$y' = (x^3 + x^2 - x - 1)' = 3x^2 + 2x - 1$.
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$3x^2 + 2x - 1 = 0$
Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-2 - 4}{6} = -1$ и $x_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3}$.
4. Производная $y' = 3x^2 + 2x - 1$ представляет собой параболу с ветвями вверх. Следовательно, $y' > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)$ и $y' < 0$ при $x \in (-1, \frac{1}{3})$.
Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[\frac{1}{3}, +\infty)$, и убывает на промежутке $[-1, \frac{1}{3}]$.
5. В точке $x = -1$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума. В точке $x = \frac{1}{3}$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума.
6. Вычислим значения функции в точках экстремума:
$x_{max} = -1$, $y_{max} = (-1)^3 + (-1)^2 - (-1) - 1 = -1 + 1 + 1 - 1 = 0$.
$x_{min} = \frac{1}{3}$, $y_{min} = (\frac{1}{3})^3 + (\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 1 = \frac{1+3-9-27}{27} = -\frac{32}{27}$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[\frac{1}{3}, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1, \frac{1}{3}]$. Точка максимума: $(-1, 0)$. Точка минимума: $(\frac{1}{3}, -\frac{32}{27})$.

г) Для функции $y = \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x + \frac{5}{3}$ проведем исследование на монотонность и экстремумы.
1. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдем производную функции:
$y' = (\frac{x^3}{3} + x^2 - 3x + \frac{5}{3})' = x^2 + 2x - 3$.
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.
4. Производная $y' = x^2 + 2x - 3$ представляет собой параболу с ветвями вверх. Следовательно, $y' > 0$ при $x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$ и $y' < 0$ при $x \in (-3, 1)$.
Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty, -3]$ и $[1, +\infty)$, и убывает на промежутке $[-3, 1]$.
5. В точке $x = -3$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума. В точке $x = 1$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума.
6. Вычислим значения функции в точках экстремума:
$x_{max} = -3$, $y_{max} = \frac{(-3)^3}{3} + (-3)^2 - 3(-3) + \frac{5}{3} = -9 + 9 + 9 + \frac{5}{3} = 9 + \frac{5}{3} = \frac{32}{3}$.
$x_{min} = 1$, $y_{min} = \frac{1^3}{3} + 1^2 - 3(1) + \frac{5}{3} = \frac{1}{3} + 1 - 3 + \frac{5}{3} = \frac{6}{3} - 2 = 2 - 2 = 0$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -3]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутке $[-3, 1]$. Точка максимума: $(-3, \frac{32}{3})$. Точка минимума: $(1, 0)$.

44.67. a) $y = -x^4 + 5x^2 - 4$;

б) $y = x^5 - 5x$;

В) $y = 2x^4 - 9x^2 + 7$;

Г) $y = 5x^3 - 3x^5$.

а) $y = -x^4 + 5x^2 - 4$

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность.
$y(-x) = -(-x)^4 + 5(-x)^2 - 4 = -x^4 + 5x^2 - 4 = y(x)$.
Функция является четной, ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: при $x=0$, $y = -4$. Точка $(0, -4)$.
- С осью Ox: при $y=0$, $-x^4 + 5x^2 - 4 = 0$. Пусть $t=x^2$, $t \ge 0$. Уравнение принимает вид $t^2 - 5t + 4 = 0$. Корни $t_1 = 1, t_2 = 4$.
Возвращаясь к замене: $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$; $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-2, 0)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$, $(2, 0)$.

4. Асимптоты.
Так как функция — многочлен, асимптоты отсутствуют.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.
Найдем первую производную: $y' = -4x^3 + 10x = -2x(2x^2 - 5)$.
Критические точки ($y'=0$): $x=0$, $x=\pm\sqrt{5/2} \approx \pm 1.58$.
- $y' > 0$ при $x \in (-\infty, -\sqrt{5/2}) \cup (0, \sqrt{5/2})$ — функция возрастает.
- $y' < 0$ при $x \in (-\sqrt{5/2}, 0) \cup (\sqrt{5/2}, +\infty)$ — функция убывает.
В точке $x=-\sqrt{5/2}$ — максимум. $y_{max} = y(-\sqrt{5/2}) = -(\frac{5}{2})^2 + 5(\frac{5}{2}) - 4 = \frac{9}{4} = 2.25$.
В точке $x=0$ — минимум. $y_{min} = y(0) = -4$.
В точке $x=\sqrt{5/2}$ — максимум. $y_{max} = y(\sqrt{5/2}) = \frac{9}{4} = 2.25$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $y'' = -12x^2 + 10$.
Точки перегиба ($y''=0$): $x^2 = 10/12 = 5/6 \Rightarrow x = \pm\sqrt{5/6} \approx \pm 0.91$.
- $y'' < 0$ при $x \in (-\infty, -\sqrt{5/6}) \cup (\sqrt{5/6}, +\infty)$ — график выпуклый вверх.
- $y'' > 0$ при $x \in (-\sqrt{5/6}, \sqrt{5/6})$ — график выпуклый вниз.
Точки перегиба: $x = \pm\sqrt{5/6}$. Значение функции в этих точках: $y(\pm\sqrt{5/6}) = -(\frac{5}{6})^2 + 5(\frac{5}{6}) - 4 = -\frac{19}{36}$.

Ответ: Функция четная. Возрастает на $(-\infty; -\sqrt{5/2}]$ и $[0; \sqrt{5/2}]$, убывает на $[-\sqrt{5/2}; 0]$ и $[\sqrt{5/2}; +\infty)$. Точки локального максимума: $(-\sqrt{5/2}, 9/4)$ и $(\sqrt{5/2}, 9/4)$. Точка локального минимума: $(0, -4)$. График выпуклый вниз на $(-\sqrt{5/6}, \sqrt{5/6})$ и выпуклый вверх на $(-\infty; -\sqrt{5/6}) \cup (\sqrt{5/6}; +\infty)$. Точки перегиба: $(\pm\sqrt{5/6}, -19/36)$. Пересечение с осями: $(\pm 1, 0)$, $(\pm 2, 0)$, $(0, -4)$.

б) $y = x^5 - 5x$

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность.
$y(-x) = (-x)^5 - 5(-x) = -x^5 + 5x = -(x^5 - 5x) = -y(x)$.
Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0, 0)$.
- С осью Ox: при $y=0$, $x^5 - 5x = 0 \Rightarrow x(x^4 - 5) = 0$.
Корни: $x=0$, $x = \pm\sqrt[4]{5} \approx \pm 1.5$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-\sqrt[4]{5}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt[4]{5}, 0)$.

4. Асимптоты.
Асимптоты отсутствуют.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.
$y' = 5x^4 - 5 = 5(x^2-1)(x^2+1) = 5(x-1)(x+1)(x^2+1)$.
Критические точки ($y'=0$): $x=\pm 1$.
- $y' > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ — функция возрастает.
- $y' < 0$ при $x \in (-1, 1)$ — функция убывает.
В точке $x=-1$ — максимум. $y_{max} = y(-1) = (-1)^5 - 5(-1) = 4$.
В точке $x=1$ — минимум. $y_{min} = y(1) = 1^5 - 5(1) = -4$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
$y'' = 20x^3$.
Точка перегиба ($y''=0$): $x=0$.
- $y'' < 0$ при $x \in (-\infty, 0)$ — график выпуклый вверх.
- $y'' > 0$ при $x \in (0, +\infty)$ — график выпуклый вниз.
Точка перегиба: $(0, 0)$.

Ответ: Функция нечетная. Возрастает на $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$, убывает на $[-1; 1]$. Точка локального максимума: $(-1, 4)$. Точка локального минимума: $(1, -4)$. График выпуклый вниз на $(0, +\infty)$ и выпуклый вверх на $(-\infty, 0)$. Точка перегиба: $(0, 0)$. Пересечение с осями: $(0, 0)$, $(\pm\sqrt[4]{5}, 0)$.

в) $y = 2x^4 - 9x^2 + 7$

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность.
$y(-x) = 2(-x)^4 - 9(-x)^2 + 7 = 2x^4 - 9x^2 + 7 = y(x)$.
Функция четная, график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: при $x=0$, $y=7$. Точка $(0, 7)$.
- С осью Ox: при $y=0$, $2x^4 - 9x^2 + 7 = 0$. Пусть $t=x^2$, $t \ge 0$. Уравнение $2t^2 - 9t + 7 = 0$. Корни $t = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 56}}{4} = \frac{9 \pm 5}{4}$, то есть $t_1 = 1$, $t_2 = 7/2$.
$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$; $x^2 = 7/2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{7/2}$.
Точки пересечения: $(\pm\sqrt{7/2}, 0)$, $(\pm 1, 0)$.

4. Асимптоты.
Асимптоты отсутствуют.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.
$y' = 8x^3 - 18x = 2x(4x^2 - 9)$.
Критические точки ($y'=0$): $x=0$, $x=\pm 3/2 = \pm 1.5$.
- $y' > 0$ при $x \in (-3/2, 0) \cup (3/2, +\infty)$ — функция возрастает.
- $y' < 0$ при $x \in (-\infty, -3/2) \cup (0, 3/2)$ — функция убывает.
В точке $x=-3/2$ — минимум. $y_{min} = 2(\frac{3}{2})^4 - 9(\frac{3}{2})^2 + 7 = 2\frac{81}{16} - 9\frac{9}{4} + 7 = \frac{81}{8} - \frac{81}{4} + 7 = \frac{81-162+56}{8} = -\frac{25}{8} = -3.125$.
В точке $x=0$ — максимум. $y_{max} = y(0) = 7$.
В точке $x=3/2$ — минимум. $y_{min} = -25/8 = -3.125$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
$y'' = 24x^2 - 18 = 6(4x^2 - 3)$.
Точки перегиба ($y''=0$): $x^2 = 3/4 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}/2 \approx \pm 0.87$.
- $y'' > 0$ при $x \in (-\infty, -\sqrt{3}/2) \cup (\sqrt{3}/2, +\infty)$ — график выпуклый вниз.
- $y'' < 0$ при $x \in (-\sqrt{3}/2, \sqrt{3}/2)$ — график выпуклый вверх.
Точки перегиба: $x = \pm\sqrt{3}/2$. $y(\pm\sqrt{3}/2) = 2(\frac{3}{4})^2 - 9(\frac{3}{4}) + 7 = 2\frac{9}{16} - \frac{27}{4} + 7 = \frac{9}{8} - \frac{54}{8} + \frac{56}{8} = \frac{11}{8} = 1.375$.

Ответ: Функция четная. Убывает на $(-\infty; -3/2]$ и $[0; 3/2]$, возрастает на $[-3/2; 0]$ и $[3/2; +\infty)$. Точки локального минимума: $(\pm 3/2, -25/8)$. Точка локального максимума: $(0, 7)$. График выпуклый вверх на $(-\sqrt{3}/2, \sqrt{3}/2)$ и выпуклый вниз на $(-\infty; -\sqrt{3}/2) \cup (\sqrt{3}/2; +\infty)$. Точки перегиба: $(\pm\sqrt{3}/2, 11/8)$. Пересечение с осями: $(\pm 1, 0)$, $(\pm\sqrt{7/2}, 0)$, $(0, 7)$.

г) $y = 5x^3 - 3x^5$

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность.
$y(-x) = 5(-x)^3 - 3(-x)^5 = -5x^3 + 3x^5 = -(5x^3 - 3x^5) = -y(x)$.
Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0, 0)$.
- С осью Ox: при $y=0$, $5x^3 - 3x^5 = 0 \Rightarrow x^3(5 - 3x^2) = 0$.
Корни: $x=0$, $x^2 = 5/3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{5/3} \approx \pm 1.29$.
Точки пересечения: $(-\sqrt{5/3}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{5/3}, 0)$.

4. Асимптоты.
Асимптоты отсутствуют.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.
$y' = 15x^2 - 15x^4 = 15x^2(1 - x^2) = 15x^2(1-x)(1+x)$.
Критические точки ($y'=0$): $x=0$, $x=\pm 1$.
- $y' < 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ — функция убывает.
- $y' > 0$ при $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$ — функция возрастает. Точка $x=0$ не является точкой экстремума.
В точке $x=-1$ — минимум. $y_{min} = 5(-1)^3 - 3(-1)^5 = -5 + 3 = -2$.
В точке $x=1$ — максимум. $y_{max} = 5(1)^3 - 3(1)^5 = 5 - 3 = 2$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
$y'' = 30x - 60x^3 = 30x(1 - 2x^2)$.
Точки перегиба ($y''=0$): $x=0$, $x^2 = 1/2 \Rightarrow x = \pm 1/\sqrt{2} \approx \pm 0.707$.
- $y'' > 0$ при $x \in (-\infty, -1/\sqrt{2}) \cup (0, 1/\sqrt{2})$ — график выпуклый вниз.
- $y'' < 0$ при $x \in (-1/\sqrt{2}, 0) \cup (1/\sqrt{2}, +\infty)$ — график выпуклый вверх.
Точки перегиба: $x=0$, $x=\pm 1/\sqrt{2}$.
$y(0)=0$.
$y(1/\sqrt{2}) = 5(\frac{1}{\sqrt{2}})^3 - 3(\frac{1}{\sqrt{2}})^5 = \frac{5}{2\sqrt{2}} - \frac{3}{4\sqrt{2}} = \frac{10-3}{4\sqrt{2}} = \frac{7}{4\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{8}$.
$y(-1/\sqrt{2}) = -7\sqrt{2}/8$.

Ответ: Функция нечетная. Убывает на $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$, возрастает на $[-1; 1]$. Точка локального минимума: $(-1, -2)$. Точка локального максимума: $(1, 2)$. График выпуклый вниз на $(-\infty, -1/\sqrt{2}) \cup (0, 1/\sqrt{2})$ и выпуклый вверх на $(-1/\sqrt{2}, 0) \cup (1/\sqrt{2}, +\infty)$. Точки перегиба: $(0, 0)$, $(\pm 1/\sqrt{2}, \pm 7\sqrt{2}/8)$. Пересечение с осями: $(0, 0)$, $(\pm\sqrt{5/3}, 0)$.

44.68. a) $y = (x - 1)^2(x + 2);$

б) $y = \frac{256}{9}x(x - 1)^3;$

В) $y = (x + 2)^2(x - 3);$

Г) $y = x^3(2 - x).$

а) $y = (x - 1)^2(x + 2)$

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная функции.
Найдем производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$y' = ((x-1)^2)'(x+2) + (x-1)^2(x+2)' = 2(x-1)(x-1)'(x+2) + (x-1)^2 \cdot 1$
$y' = 2(x-1)(x+2) + (x-1)^2$
Вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:
$y' = (x-1)(2(x+2) + (x-1)) = (x-1)(2x+4+x-1) = (x-1)(3x+3) = 3(x-1)(x+1)$.

3. Критические точки.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$y' = 0 \implies 3(x-1)(x+1) = 0$
Критическими точками являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

4. Промежутки монотонности.
Критические точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; +\infty)$. Определим знак производной на каждом интервале:

• При $x \in (-\infty; -1)$, например $x=-2$: $y'(-2) = 3(-2-1)(-2+1) = 3(-3)(-1) = 9 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (-1; 1)$, например $x=0$: $y'(0) = 3(0-1)(0+1) = 3(-1)(1) = -3 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (1; +\infty)$, например $x=2$: $y'(2) = 3(2-1)(2+1) = 3(1)(3) = 9 > 0$. Функция возрастает.

5. Точки экстремума.

• В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «?», следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(-1) = (-1-1)^2(-1+2) = (-2)^2 \cdot 1 = 4$.
• В точке $x = 1$ производная меняет знак с «?» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(1) = (1-1)^2(1+2) = 0 \cdot 3 = 0$.

Ответ:
Точка максимума: $(-1, 4)$.
Точка минимума: $(1, 0)$.
Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$.
Функция убывает на промежутке $[-1, 1]$.

б) $y = \frac{256}{9}x(x - 1)^3$

1. Область определения.
Функция является многочленом, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная функции.
$y' = \frac{256}{9} \left( (x)'(x-1)^3 + x((x-1)^3)' \right) = \frac{256}{9} \left( 1 \cdot (x-1)^3 + x \cdot 3(x-1)^2 \right)$
Вынесем общий множитель $(x-1)^2$ за скобки:
$y' = \frac{256}{9}(x-1)^2 ( (x-1) + 3x ) = \frac{256}{9}(x-1)^2(4x - 1)$.

3. Критические точки.
$y' = 0 \implies \frac{256}{9}(x-1)^2(4x - 1) = 0$
Критическими точками являются $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{1}{4}$.

4. Промежутки монотонности.
Интервалы: $(-\infty; 1/4)$, $(1/4; 1)$, $(1; +\infty)$. Знак $y'$ зависит от знака $(4x-1)$, так как множитель $(x-1)^2 \ge 0$.

• При $x \in (-\infty; 1/4)$, $4x-1 < 0$, поэтому $y' < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (1/4; 1)$, $4x-1 > 0$, поэтому $y' > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (1; +\infty)$, $4x-1 > 0$, поэтому $y' > 0$. Функция возрастает.

5. Точки экстремума.

• В точке $x = 1/4$ производная меняет знак с «?» на «+», это точка локального минимума. $y_{min} = y(1/4) = \frac{256}{9} \cdot \frac{1}{4} \left(\frac{1}{4} - 1\right)^3 = \frac{64}{9} \left(-\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{27}{64}\right) = -3$.
• В точке $x = 1$ производная не меняет знак, поэтому экстремума нет. Это точка перегиба с горизонтальной касательной.

Ответ:
Точка минимума: $(1/4, -3)$.
Точек максимума нет.
Функция возрастает на промежутке $[1/4, +\infty)$.
Функция убывает на промежутке $(-\infty, 1/4]$.

в) $y = (x + 2)^2(x - 3)$

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная функции.
$y' = ((x+2)^2)'(x-3) + (x+2)^2(x-3)' = 2(x+2)(x-3) + (x+2)^2$
$y' = (x+2)(2(x-3) + (x+2)) = (x+2)(2x-6+x+2) = (x+2)(3x-4)$.

3. Критические точки.
$y' = 0 \implies (x+2)(3x-4) = 0$
Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = \frac{4}{3}$.

4. Промежутки монотонности.
Интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 4/3)$, $(4/3; +\infty)$.

• При $x \in (-\infty; -2)$, например $x=-3$: $y'(-3) = (-3+2)(3(-3)-4) = (-1)(-13) = 13 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (-2; 4/3)$, например $x=0$: $y'(0) = (0+2)(3(0)-4) = 2(-4) = -8 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (4/3; +\infty)$, например $x=2$: $y'(2) = (2+2)(3(2)-4) = 4(2) = 8 > 0$. Функция возрастает.

5. Точки экстремума.

• В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «?», это точка локального максимума. $y_{max} = y(-2) = (-2+2)^2(-2-3) = 0 \cdot (-5) = 0$.
• В точке $x = 4/3$ производная меняет знак с «?» на «+», это точка локального минимума. $y_{min} = y(4/3) = \left(\frac{4}{3}+2\right)^2\left(\frac{4}{3}-3\right) = \left(\frac{10}{3}\right)^2\left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{100}{9} \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{500}{27}$.

Ответ:
Точка максимума: $(-2, 0)$.
Точка минимума: $(4/3, -500/27)$.
Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[4/3, +\infty)$.
Функция убывает на промежутке $[-2, 4/3]$.

г) $y = x^3(2 - x)$

1. Область определения.
Раскроем скобки для удобства: $y = 2x^3 - x^4$. Это многочлен, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная функции.
$y' = (2x^3 - x^4)' = 6x^2 - 4x^3 = 2x^2(3 - 2x)$.

3. Критические точки.
$y' = 0 \implies 2x^2(3 - 2x) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{3}{2}$.

4. Промежутки монотонности.
Интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 3/2)$, $(3/2; +\infty)$. Знак $y'$ зависит от знака $(3-2x)$, так как $2x^2 \ge 0$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, $3-2x > 0$, поэтому $y' > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (0; 3/2)$, $3-2x > 0$, поэтому $y' > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (3/2; +\infty)$, $3-2x < 0$, поэтому $y' < 0$. Функция убывает.

5. Точки экстремума.

• В точке $x = 3/2$ производная меняет знак с «+» на «?», это точка локального максимума. $y_{max} = y(3/2) = \left(\frac{3}{2}\right)^3\left(2 - \frac{3}{2}\right) = \frac{27}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{27}{16}$.
• В точке $x=0$ производная не меняет знак, экстремума нет.

Ответ:
Точка максимума: $(3/2, 27/16)$.
Точек минимума нет.
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 3/2]$.
Функция убывает на промежутке $[3/2, +\infty)$.

Решите уравнение:

44.69. а) $x^3 + 5 = 15 - x;$

б) $x^5 + 3x^3 + 7x - 11 = 0;$

в) $2x^5 + 3x^3 = 17 - 12x;$

г) $x^5 + 4x^3 + 8x - 13 = 0.$

а) $x^3 + 5 = 15 - x$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы получить уравнение вида $f(x) = 0$:

$x^3 + x + 5 - 15 = 0$

$x^3 + x - 10 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + x - 10$. Для нахождения корней этого многочлена можно воспользоваться методом подбора, проверяя целые делители свободного члена (-10). Возможные целые корни: $±1, ±2, ±5, ±10$.

Проверим значение $x=2$:

$f(2) = 2^3 + 2 - 10 = 8 + 2 - 10 = 0$.

Так как получилось верное равенство, $x=2$ является корнем уравнения.

Чтобы определить, есть ли у уравнения другие действительные корни, исследуем функцию $f(x)$ на монотонность с помощью производной.

$f'(x) = (x^3 + x - 10)' = 3x^2 + 1$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $3x^2 \ge 0$, а значит $f'(x) = 3x^2 + 1 \ge 1 > 0$.

Так как производная функции $f(x)$ всегда положительна, функция является строго возрастающей на всей числовой прямой. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс (т.е. обращаться в ноль) не более одного раза. Следовательно, найденный корень $x=2$ является единственным.

Ответ: $2$

б) $x^5 + 3x^3 + 7x - 11 = 0$

Это уравнение вида $f(x)=0$, где $f(x) = x^5 + 3x^3 + 7x - 11$.

Попробуем найти целые корни подбором среди делителей свободного члена (-11): $±1, ±11$.

Проверим $x=1$:

$f(1) = 1^5 + 3 \cdot 1^3 + 7 \cdot 1 - 11 = 1 + 3 + 7 - 11 = 0$.

Значит, $x=1$ — корень уравнения.

Чтобы доказать, что других действительных корней нет, исследуем функцию на монотонность. Найдем ее производную:

$f'(x) = (x^5 + 3x^3 + 7x - 11)' = 5x^4 + 9x^2 + 7$.

Выражение для производной состоит из слагаемых с четными степенями $x$ и положительной константы. Так как $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любых $x$, то $f'(x) = 5x^4 + 9x^2 + 7 > 0$.

Поскольку производная функции всегда положительна, функция $f(x)$ строго возрастает. Следовательно, уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $1$

в) $2x^5 + 3x^3 = 17 - 12x$

Сначала приведем уравнение к стандартному виду $f(x)=0$, перенеся все члены в левую часть:

$2x^5 + 3x^3 + 12x - 17 = 0$.

Пусть $f(x) = 2x^5 + 3x^3 + 12x - 17$. Попробуем найти корень подбором. Согласно теореме о рациональных корнях, возможные рациональные корни $p/q$ должны удовлетворять условию: $p$ — делитель свободного члена (-17), а $q$ — делитель старшего коэффициента (2).

Проверим простейший возможный целый корень $x=1$:

$f(1) = 2 \cdot 1^5 + 3 \cdot 1^3 + 12 \cdot 1 - 17 = 2 + 3 + 12 - 17 = 0$.

Следовательно, $x=1$ является корнем.

Докажем, что этот корень единственный. Для этого найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x^5 + 3x^3 + 12x - 17)' = 10x^4 + 9x^2 + 12$.

Так как $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$, то $f'(x) = 10x^4 + 9x^2 + 12 > 0$ для всех действительных $x$.

Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой оси и, следовательно, может иметь не более одного корня.

Ответ: $1$

г) $x^5 + 4x^3 + 8x - 13 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^5 + 4x^3 + 8x - 13$.

Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (-13): $±1, ±13$.

Проверим $x=1$:

$f(1) = 1^5 + 4 \cdot 1^3 + 8 \cdot 1 - 13 = 1 + 4 + 8 - 13 = 0$.

Таким образом, $x=1$ — корень уравнения.

Чтобы доказать, что это единственный действительный корень, исследуем функцию на монотонность с помощью производной:

$f'(x) = (x^5 + 4x^3 + 8x - 13)' = 5x^4 + 12x^2 + 8$.

Все слагаемые в производной неотрицательны, а константа положительна: $5x^4 \ge 0$, $12x^2 \ge 0$. Значит, $f'(x) = 5x^4 + 12x^2 + 8 > 0$ для всех $x$.

Поскольку производная всегда положительна, функция $f(x)$ является строго возрастающей. Это означает, что она пересекает ось $Ox$ только в одной точке.

Ответ: $1$

44.70. a) $ \sin 5x - 2 \cos x - 8x = x^5 - 2; $

б) $ 4 \cos 3x + 5 \sin \frac{x}{2} + 15x = 4 - x^3. $

а) Перепишем уравнение $ \sin 5x - 2 \cos x - 8x = x^5 - 2 $ в виде равенства двух функций, сгруппировав слагаемые:

$ \sin 5x - 2 \cos x + 2 = x^5 + 8x $

Рассмотрим две функции: $ f(x) = \sin 5x - 2 \cos x + 2 $ (левая часть) и $ g(x) = x^5 + 8x $ (правая часть). Нам нужно найти значения $x$, при которых $ f(x) = g(x) $.

Легко заметить, что $x=0$ является корнем уравнения. Подставим $x=0$ в обе части:

Левая часть: $ f(0) = \sin(0) - 2 \cos(0) + 2 = 0 - 2 \cdot 1 + 2 = 0 $.

Правая часть: $ g(0) = 0^5 + 8 \cdot 0 = 0 $.

Поскольку $ f(0) = g(0) $, $x=0$ — корень уравнения.

Докажем, что других корней нет. Для этого введем вспомогательную функцию $ h(x) = g(x) - f(x) $.

$ h(x) = x^5 + 8x - (\sin 5x - 2 \cos x + 2) = x^5 + 8x - \sin 5x + 2 \cos x - 2 $

Мы ищем корни уравнения $ h(x) = 0 $. Мы уже знаем, что $ h(0) = 0 $. Исследуем функцию $h(x)$ на монотонность с помощью ее производной:

$ h'(x) = (x^5 + 8x - \sin 5x + 2 \cos x - 2)' = 5x^4 + 8 - 5 \cos(5x) - 2 \sin(x) $

Оценим значение производной. Так как $ -1 \le \cos(5x) \le 1 $ и $ -1 \le \sin(x) \le 1 $, то наименьшее возможное значение для слагаемых $ -5 \cos(5x) $ и $ -2 \sin(x) $ равно $ -5 $ и $ -2 $ соответственно. Тогда:

$ h'(x) = 5x^4 + 8 - 5 \cos(5x) - 2 \sin(x) \ge 5x^4 + 8 - 5 - 2 = 5x^4 + 1 $.

Поскольку $ x^4 \ge 0 $ для любого $x$, то $ 5x^4 \ge 0 $, и, следовательно, $ h'(x) \ge 5x^4 + 1 \ge 1 $. Так как $ h'(x) > 0 $ для всех $x$, функция $h(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Строго монотонная функция может принимать любое свое значение только один раз. Поскольку $ h(0) = 0 $, других корней у уравнения $ h(x) = 0 $ нет.

Ответ: $x=0$.

б) Рассмотрим уравнение $ 4 \cos 3x + 5 \sin \frac{x}{2} + 15x = 4 - x^3 $. Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение вида $ f(x) = 0 $:

$ x^3 + 15x + 4 \cos 3x + 5 \sin \frac{x}{2} - 4 = 0 $

Обозначим левую часть как функцию $ f(x) = x^3 + 15x + 4 \cos 3x + 5 \sin \frac{x}{2} - 4 $.

Найдем корень подбором. Проверим значение $x=0$:

$ f(0) = 0^3 + 15 \cdot 0 + 4 \cos(0) + 5 \sin(0) - 4 = 0 + 0 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot 0 - 4 = 4 - 4 = 0 $.

Следовательно, $x=0$ является корнем данного уравнения.

Докажем, что этот корень единственный. Для этого исследуем функцию $f(x)$ на монотонность, найдя ее производную:

$ f'(x) = (x^3 + 15x + 4 \cos 3x + 5 \sin \frac{x}{2} - 4)' $

$ f'(x) = 3x^2 + 15 - 4 \sin(3x) \cdot 3 + 5 \cos(\frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} = 3x^2 + 15 - 12 \sin(3x) + \frac{5}{2} \cos(\frac{x}{2}) $

Оценим знак производной. Известно, что $ 3x^2 \ge 0 $, $ -1 \le \sin(3x) \le 1 $ и $ -1 \le \cos(\frac{x}{2}) \le 1 $. Тогда:

$ -12 \le -12 \sin(3x) \le 12 $

$ -\frac{5}{2} \le \frac{5}{2} \cos(\frac{x}{2}) \le \frac{5}{2} $

Найдем наименьшее возможное значение для $ f'(x) $:

$ f'(x) = 3x^2 + 15 - 12 \sin(3x) + 2.5 \cos(\frac{x}{2}) \ge 3x^2 + 15 - 12 - 2.5 = 3x^2 + 0.5 $.

Поскольку $ 3x^2 \ge 0 $, то $ 3x^2 + 0.5 \ge 0.5 $. Таким образом, $ f'(x) > 0 $ для всех действительных $x$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей. Строго возрастающая функция пересекает ось $x$ не более чем в одной точке. Так как мы нашли корень $x=0$, он является единственным.

Ответ: $x=0$.