Страница 273, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

44.45. Может ли иметь только одну точку экстремума:

а) чётная функция;

б) нечётная функция;

в) периодическая функция;

г) монотонная функция?

а) чётная функция

Да, может. По определению, чётная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из её области определения. График такой функции симметричен относительно оси ординат. Если у чётной функции есть точка экстремума $x_0 \neq 0$, то из-за симметрии точка $-x_0$ также будет точкой экстремума. Таким образом, если есть хотя бы один экстремум не в нуле, то их будет как минимум два. Однако, если точка экстремума находится в $x_0 = 0$, то симметричная ей точка совпадает с ней самой ($-0 = 0$). В этом случае экстремум может быть единственным. Примером такой функции является парабола $f(x) = x^2$. Эта функция чётная, так как $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. Её единственная точка экстремума (минимум) находится в вершине, в точке $x=0$.

Ответ: да.

б) нечётная функция

Нет, не может. По определению, нечётная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из её области определения. График такой функции симметричен относительно начала координат. Предположим, что у нечётной функции есть точка экстремума $x_0 \neq 0$. Пусть это точка локального максимума. Тогда в некоторой окрестности точки $x_0$ выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$. В силу симметрии, в точке $-x_0$ будет локальный минимум. Действительно, для точки $y$ из окрестности $-x_0$ можно записать $y = -x$, где $x$ находится в окрестности $x_0$. Тогда $f(y) = f(-x) = -f(x)$. Поскольку $f(x) \le f(x_0)$, то $-f(x) \ge -f(x_0)$. А так как $f(-x_0) = -f(x_0)$, получаем $f(y) \ge f(-x_0)$. Это означает, что в точке $-x_0$ функция имеет локальный минимум. Таким образом, если есть экстремум в точке $x_0 \neq 0$, то обязательно есть и второй экстремум в точке $-x_0$. Может ли единственная точка экстремума быть в $x_0 = 0$? Если функция определена в нуле, то для нечётной функции $f(0)=0$. Если бы в точке $x=0$ был экстремум (например, минимум), то в некоторой окрестности нуля должно было бы выполняться $f(x) \ge f(0) = 0$. Но для нечётной функции, если для $x>0$ имеем $f(x) \ge 0$, то для $-x<0$ будет $f(-x) = -f(x) \le 0$. Это противоречит условию локального минимума в точке $0$ (если только функция не равна тождественно нулю в целой окрестности, что дало бы бесконечное число экстремумов). Следовательно, нечётная функция не может иметь ровно одну точку экстремума.

Ответ: нет.

в) периодическая функция

Нет, не может (если функция не является константой). По определению, периодическая функция $f(x)$ с периодом $T>0$ удовлетворяет условию $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. Предположим, у такой функции есть точка экстремума $x_0$. Это означает, что в некоторой окрестности точки $x_0$ функция принимает наибольшее (максимум) или наименьшее (минимум) значение. Из-за периодичности, если в точке $x_0$ есть экстремум, то такой же экстремум (того же типа и с тем же значением) будет и в точках $x_0+T$, $x_0-T$, $x_0+2T$, и в общем виде во всех точках $x_0+kT$ для любого целого числа $k$. Таким образом, если у не являющейся константой периодической функции есть хотя бы одна точка экстремума, то их обязательно будет бесконечное множество. Если же функция является константой, например $f(x)=c$, то каждая точка её области определения является точкой экстремума, и их тоже бесконечно много.

Ответ: нет.

г) монотонная функция

Да, может. Монотонная функция — это функция, которая является либо неубывающей ($x_1 < x_2 \implies f(x_1) \le f(x_2)$), либо невозрастающей ($x_1 < x_2 \implies f(x_1) \ge f(x_2)$). Если строго монотонная функция определена на всей числовой оси $(-\infty, \infty)$, то у неё нет точек локального экстремума. Если нестрого монотонная функция имеет экстремум, то она должна быть постоянной на некотором интервале, что означает наличие бесконечного числа точек экстремума. Однако, если область определения функции ограничена, например, это луч $[a, \infty)$ или отрезок $[a, b]$, то экстремум может существовать на границе области определения. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x}$. Её область определения — $[0, \infty)$. Эта функция является строго возрастающей на своей области определения и, следовательно, монотонной. В точке $x=0$ она имеет единственный экстремум — глобальный минимум, так как $f(0)=0$ и для любого другого $x > 0$ из области определения $f(x) = \sqrt{x} > 0$. Ни в какой другой точке $x_0 > 0$ экстремума нет, так как для $x < x_0$ значение функции меньше $f(x_0)$, а для $x > x_0$ — больше.

Ответ: да.

044.46. По графику функции $y = f(x)$, $x \in \mathbb{R}$, изображённому на заданном рисунке, постройте эскиз графика её производной:

а) рис. 121;

б) рис. 122;

в) рис. 123;

г) рис. 124.

Рис. 121

Рис. 122

Рис. 123

Рис. 124

а) рис. 121;

Для построения эскиза графика производной $y = f'(x)$ воспользуемся геометрическим смыслом производной: значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. Также учтём связь между монотонностью функции и знаком производной.

1. На интервале $(-\infty, a)$ функция $f(x)$ возрастает. Это означает, что касательные к графику имеют положительный угловой коэффициент, следовательно, $f'(x) > 0$ на этом интервале.

2. В точке $x=a$ функция $f(x)$ имеет локальный максимум. Касательная к графику в этой точке горизонтальна, её угловой коэффициент равен нулю. Следовательно, $f'(a) = 0$.

3. На интервале $(a, +\infty)$ функция $f(x)$ убывает. Касательные имеют отрицательный угловой коэффициент, следовательно, $f'(x) < 0$ на этом интервале.

4. График функции $f(x)$ является параболой, ветви которой направлены вниз (функция выпукла вверх). Это означает, что угловой коэффициент касательной уменьшается с ростом $x$. Таким образом, функция $f'(x)$ является убывающей.

Из этих наблюдений следует, что график производной $f'(x)$ — это прямая линия с отрицательным угловым коэффициентом, которая пересекает ось абсцисс в точке $x=a$.

Ответ: Эскиз графика производной — это прямая, проходящая через точку $(a, 0)$ и имеющая отрицательный угловой коэффициент (то есть, убывающая прямая, которая положительна при $x < a$ и отрицательна при $x > a$).

б) рис. 122;

1. На интервале $(-\infty, 0)$ функция $f(x)$ убывает, следовательно, её производная $f'(x) < 0$.

2. В точке $x=0$ функция $f(x)$ имеет локальный минимум. Касательная в этой точке горизонтальна, поэтому $f'(0) = 0$.

3. На интервале $(0, +\infty)$ функция $f(x)$ возрастает, следовательно, её производная $f'(x) > 0$.

4. График функции $f(x)$ является параболой, ветви которой направлены вверх (функция выпукла вниз). Это означает, что угловой коэффициент касательной увеличивается с ростом $x$. Таким образом, функция $f'(x)$ является возрастающей.

Следовательно, график производной $f'(x)$ — это прямая линия с положительным угловым коэффициентом, проходящая через начало координат $(0, 0)$.

Ответ: Эскиз графика производной — это прямая, проходящая через начало координат и имеющая положительный угловой коэффициент (то есть, возрастающая прямая, которая отрицательна при $x < 0$ и положительна при $x > 0$).

в) рис. 123;

1. На интервале $(-\infty, b)$ функция $f(x)$ возрастает, значит $f'(x) > 0$.

2. В точке $x=b$ находится локальный максимум, значит $f'(b) = 0$.

3. На интервале $(b, c)$ функция $f(x)$ убывает, значит $f'(x) < 0$.

4. В точке $x=c$ находится локальный минимум, значит $f'(c) = 0$.

5. На интервале $(c, +\infty)$ функция $f(x)$ возрастает, значит $f'(x) > 0$.

6. Таким образом, график производной $f'(x)$ пересекает ось абсцисс в точках $x=b$ и $x=c$. Он положителен левее $b$ и правее $c$, и отрицателен между $b$ и $c$.

7. Функция $f(x)$ сначала выпукла вверх (до точки перегиба, расположенной между $b$ и $c$), а затем выпукла вниз. Это означает, что производная $f'(x)$ сначала убывает, а затем возрастает. Точка минимума для $f'(x)$ соответствует точке перегиба для $f(x)$.

Такое поведение характерно для параболы, ветви которой направлены вверх.

Ответ: Эскиз графика производной — это парабола, ветви которой направлены вверх, пересекающая ось абсцисс в точках $x=b$ и $x=c$.

г) рис. 124;

График функции $f(x)$ является кусочно-линейным. Производная на каждом линейном участке постоянна и равна угловому коэффициенту этого участка. В точках излома графика производная не существует.

1. На интервале $(-\infty, b)$: График — это прямая. Используя сетку, возьмём точки $(-2, 0)$ и $(0, 2)$, через которые проходит прямая. Угловой коэффициент (производная) равен $k_1 = \frac{2 - 0}{0 - (-2)} = \frac{2}{2} = 1$. Таким образом, $f'(x) = 1$ при $x < b$.

2. На интервале $(b, c)$: График — это горизонтальная прямая $y=const$. Её угловой коэффициент равен 0. Таким образом, $f'(x) = 0$ при $x \in (b, c)$.

3. На интервале $(c, +\infty)$: График — это прямая. Возьмём точки $(c, 3)$ (где $c=5$ по сетке) и $(6, 6)$. Угловой коэффициент равен $k_3 = \frac{6 - 3}{6 - 5} = \frac{3}{1} = 3$. Таким образом, $f'(x) = 3$ при $x > c$.

4. В точках $x=b$ и $x=c$ график $f(x)$ имеет изломы, поэтому в этих точках производная не существует.

График производной будет кусочно-постоянной (ступенчатой) функцией с разрывами в точках $b$ и $c$.

Ответ: Эскиз графика производной — это кусочно-постоянная функция: $f'(x) = 1$ для $x < b$; $f'(x) = 0$ для $x \in (b, c)$; $f'(x) = 3$ для $x > c$. В точках $x=b$ и $x=c$ производная не существует (на графике в этих точках будут разрывы).