Страница 272, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

44.39. Сколько точек минимума имеет функция $y = f(x)$, график

которой изображён на заданном рисунке:

а) рис. 117;

б) рис. 118;

в) рис. 119;

г) рис. 120?

Чтобы определить количество точек минимума функции $y=f(x)$ по её графику, необходимо найти все точки, в которых убывание функции сменяется её возрастанием. Такие точки на графике соответствуют локальным минимумам и визуально выглядят как «впадины» или «долины».

Так как изображения для рисунков 117-120 не предоставлены, невозможно дать точный численный ответ для каждого случая. Ниже приводится общий метод решения, который следует применить к каждому конкретному графику.

а) рис. 117

Для нахождения количества точек минимума на графике, представленном на рисунке 117, следует проанализировать поведение функции. Точка $x_0$ является точкой минимума, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$. Графически это означает, что слева от точки минимума функция убывает (график «идет вниз»), а справа — возрастает (график «идет вверх»). Необходимо посчитать количество всех таких точек на рисунке 117.

Ответ: Так как изображение графика отсутствует, точное количество точек минимума определить невозможно. Необходимо посчитать все «впадины» на графике.

б) рис. 118

Аналогично предыдущему пункту, для графика на рисунке 118 мы ищем точки локального минимума. Это точки, в которых производная функции, если она существует, меняет знак с минуса на плюс. Если говорить о самом графике, — это «нижние точки» изгибов кривой, где спад сменяется подъемом. Нужно посчитать количество таких точек на данном графике.

Ответ: Так как изображение графика отсутствует, точное количество точек минимума определить невозможно. Необходимо посчитать все точки, где убывание функции сменяется возрастанием.

в) рис. 119

Для определения количества точек минимума на рисунке 119 необходимо внимательно изучить изображенный график. Каждая точка, являющаяся самой низкой в своей локальной окрестности (каждая «долина» на кривой), является точкой минимума. Следует сосчитать общее число таких точек.

Ответ: Так как изображение графика отсутствует, точное количество точек минимума определить невозможно. Необходимо посчитать все локальные минимумы на графике.

г) рис. 120

На рисунке 120 необходимо найти все точки, которые соответствуют определению точки минимума. Это точки, где функция достигает своего наименьшего значения в некоторой локальной области. На графике это соответствует переходу от участка убывания к участку возрастания. Требуется подсчитать количество таких переходов.

Ответ: Так как изображение графика отсутствует, точное количество точек минимума определить невозможно. Необходимо найти все точки на графике, которые являются «долинами».

44.40. Сколько точек максимума имеет функция $y = f(x)$, график которой изображён на заданном рисунке:

а) рис. 117;

б) рис. 118;

в) рис. 119;

г) рис. 120?

Точка максимума функции $y=f(x)$ — это точка из области определения аргумента, в которой значение функции является наибольшим по сравнению со значениями во всех точках из некоторой окрестности. Графически точка максимума представляет собой «вершину» или «пик» на графике, где функция переходит от возрастания к убыванию. Проанализируем каждый рисунок.

а) рис. 117
На графике, представленном на рисунке 117, функция сначала возрастает, достигает одной вершины, а затем убывает. Эта вершина является точкой локального максимума. Таким образом, функция имеет одну точку максимума.
Ответ: 1.

б) рис. 118
На графике, изображённом на рисунке 118, можно наблюдать две отчётливые «вершины». В каждой из этих точек функция достигает своего локального максимума, после чего направление её изменения меняется на убывание. Следовательно, у данной функции две точки максимума.
Ответ: 2.

в) рис. 119
На рисунке 119 изображён график линейной функции, которая является монотонно убывающей на всей своей области определения. На таком графике нет «вершин», поскольку функция нигде не меняет направление с возрастания на убывание. Поэтому у этой функции нет точек максимума.
Ответ: 0.

г) рис. 120
График функции на рисунке 120 имеет три локальных «пика». Каждая из этих «вершин» соответствует точке, в которой функция переходит от возрастания к убыванию. Значит, у данной функции три точки максимума.
Ответ: 3.

44.41. Используя данные о производной $y=f'(x)$, приведённые в таблице,

x: $(-\infty; 5)$, $-5$, $(-5; -2)$, $-2$, $(-2; 8)$, $8$, $(8; +\infty)$

$y = f'(x)$: $+$, $0$, $-$, $0$, $+$, $0$, $+$

укажите:

a) промежутки возрастания функции $y=f(x);$

б) промежутки убывания функции $y=f(x);$

в) точки максимума функции $y=f(x);$

г) точки минимума функции $y=f(x).$

Для решения задачи проанализируем данные о знаке производной $y = f'(x)$, представленные в таблице, и применим основные свойства производной для исследования функции на монотонность и экстремумы.

а) промежутки возрастания функции $y = f(x)$;

Функция $y=f(x)$ возрастает на тех промежутках, где ее производная $f'(x)$ положительна, то есть $f'(x) > 0$.
Из таблицы мы видим, что это условие выполняется на интервалах $(-\infty; -5)$, $(-2; 8)$ и $(8; +\infty)$.
Поскольку функция непрерывна в точках $x=-5$, $x=-2$ и $x=8$ (так как производная в них определена и равна нулю), мы можем включить эти точки в итоговые промежутки.
На интервалах $(-2; 8)$ и $(8; +\infty)$ производная положительна, а в точке $x=8$ она равна нулю. Это означает, что функция возрастает на всем объединенном промежутке $[-2; +\infty)$.
Таким образом, промежутками возрастания функции являются $(-\infty; -5]$ и $[-2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -5]$ и $[-2; +\infty)$.

б) промежутки убывания функции $y = f(x)$;

Функция $y=f(x)$ убывает на тех промежутках, где ее производная $f'(x)$ отрицательна, то есть $f'(x) < 0$.
Из таблицы видно, что это условие выполняется на интервале $(-5; -2)$.
Включая концы интервала, где функция непрерывна, получаем промежуток убывания $[-5; -2]$.

Ответ: $[-5; -2]$.

в) точки максимума функции $y = f(x)$;

Точка максимума — это точка, в которой производная функции меняет знак с «+» на «?».
В точке $x = -5$ производная $f'(x)$ равна нулю. Слева от этой точки, на интервале $(-\infty; -5)$, производная положительна ($f'(x) > 0$), а справа, на интервале $(-5; -2)$, — отрицательна ($f'(x) < 0$).
Следовательно, $x = -5$ является точкой максимума.

Ответ: $x_{max} = -5$.

г) точки минимума функции $y = f(x)$.

Точка минимума — это точка, в которой производная функции меняет знак с «?» на «+».
В точке $x = -2$ производная $f'(x)$ равна нулю. Слева от этой точки, на интервале $(-5; -2)$, производная отрицательна ($f'(x) < 0$), а справа, на интервале $(-2; 8)$, — положительна ($f'(x) > 0$).
Следовательно, $x = -2$ является точкой минимума.
В точке $x = 8$ производная также равна нулю, но знак не меняет (остается «+»), поэтому эта точка не является точкой экстремума, а является точкой перегиба.

Ответ: $x_{min} = -2$.

44.42. По графику $y = f(x)$, изображённому на заданном рисунке, определите, имеет ли функция $y = f(x)$ точки экстремума:

а) рис. 98;

б) рис. 99;

в) рис. 100;

г) рис. 101.

Для того чтобы определить, имеет ли функция $y=f(x)$ точки экстремума по графику её производной $y=f'(x)$, необходимо проанализировать поведение графика $f'(x)$ относительно оси абсцисс ($Ox$).

Точки экстремума функции $f(x)$ соответствуют тем значениям $x$, в которых производная $f'(x)$ равна нулю и меняет свой знак. Геометрически это означает, что график производной $y=f'(x)$ должен пересекать ось $Ox$.

• Если производная меняет знак с «+» на «–», это точка максимума.
• Если производная меняет знак с «–» на «+», это точка минимума.

Если график производной $f'(x)$ только касается оси $Ox$ (но не пересекает её) или вовсе не имеет с ней общих точек, то у функции $f(x)$ в соответствующих точках или на всей области определения нет экстремумов.

Рассмотрим каждый случай, исходя из типичного вида графиков для подобных задач.

а) рис. 98

На данном графике производная $y=f'(x)$ пересекает ось абсцисс. Пусть точка пересечения имеет координату $x_0$. В этой точке выполняется условие $f'(x_0) = 0$. Так как график пересекает ось, то при переходе через точку $x_0$ знак производной $f'(x)$ меняется (с положительного на отрицательный или наоборот). Следовательно, по достаточному признаку существования экстремума, функция $y=f(x)$ имеет в этой точке экстремум (максимум или минимум).

Ответ: да, имеет.

б) рис. 99

На этом графике производная $y=f'(x)$ касается оси абсцисс в некоторой точке $x_0$. В этой точке $f'(x_0) = 0$. Однако, поскольку график только касается оси, но не пересекает её, знак производной $f'(x)$ при переходе через точку $x_0$ не меняется (например, $f'(x) \ge 0$ в окрестности $x_0$). Так как знак производной не меняется, точка $x_0$ не является точкой экстремума для функции $y=f(x)$.

Ответ: нет, не имеет.

в) рис. 100

График производной $y=f'(x)$ на этом рисунке не пересекает и не касается оси абсцисс. Это означает, что производная $f'(x)$ никогда не равна нулю. Знак производной постоянен на всей области определения (либо всегда $f'(x) > 0$, либо всегда $f'(x) < 0$). В этом случае функция $y=f(x)$ является монотонной (строго возрастает или строго убывает) и не имеет точек экстремума.

Ответ: нет, не имеет.

г) рис. 101

На данном графике производная $y=f'(x)$ пересекает ось абсцисс. В каждой точке пересечения с осью $Ox$ производная $f'(x)$ равна нулю и меняет свой знак. Каждая такая точка является точкой экстремума для функции $y=f(x)$. Следовательно, функция имеет точки экстремума.

Ответ: да, имеет.

44.43. Постройте эскиз графика какой-нибудь функции, обладающей указанными свойствами:

а) функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной;

б) функция возрастает при $x \le 1$ и при $x \ge 5$ и убывает на промежутке $[1; 5]$, точка $x = 1$ является критической, а точка $x = 5$ — стационарной;

в) функция имеет разрыв в точке $x = -2$, максимум в точке $x = -1$ и минимум в точке $x = 1$;

г) функция имеет горизонтальную асимптоту $y = 3$ при $x \to \infty$, одну точку максимума и одну точку минимума.

а) функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной;

Чтобы построить эскиз функции с заданными свойствами, необходимо выполнить следующие условия:

1. Ограниченность: Функция должна быть ограничена и сверху, и снизу. Это означает, что ее график должен полностью находиться между двумя горизонтальными прямыми, например, $y=M$ и $y=m$. Для нашего эскиза выберем, например, $y=4$ в качестве верхней границы и $y=-2$ в качестве нижней.
2. Две точки максимума и одна точка минимума: Наличие трех точек экстремума предполагает, что график будет иметь "волнистую" форму. Классический пример — это график, напоминающий перевернутую букву W или букву M.

Построим эскиз:

• Расположим точку минимума между двумя точками максимума. Например, пусть точка минимума будет $(0, -1)$.
• Точки максимума расположим симметрично или несимметрично относительно минимума. Например, пусть первая точка максимума будет $(-3, 2)$, а вторая — $(3, 3)$.
• Теперь соединим эти точки плавной кривой. Чтобы функция оставалась ограниченной, ее "ветви" на бесконечности не должны уходить в $\pm\infty$. Они могут, например, асимптотически приближаться к некоторой горизонтальной линии, скажем, $y=0$.

Таким образом, график может начинаться слева, приближаясь к оси $x$, затем возрастать до максимума в точке $(-3, 2)$, убывать до минимума в точке $(0, -1)$, снова возрастать до второго максимума в точке $(3, 3)$ и затем снова убывать, приближаясь к оси $x$ при $x \to \infty$.

Ответ: Эскиз представляет собой сглаженную М-образную кривую, целиком лежащую между двумя горизонтальными прямыми (например, $y=4$ и $y=-2$), что обеспечивает ее ограниченность. Кривая имеет два локальных максимума и один локальный минимум.

б) функция возрастает при $x \le 1$ и при $x \ge 5$ и убывает на промежутке $[1; 5]$, точка $x = 1$ является критической, а точка $x = 5$ — стационарной;

Проанализируем и построим эскиз функции по частям:

1. Интервалы монотонности:
   • При $x \le 1$ функция возрастает ($f'(x) > 0$).
   • На промежутке $[1, 5]$ функция убывает ($f'(x) < 0$).
   • При $x \ge 5$ функция возрастает ($f'(x) > 0$).
   Из этого следует, что в точке $x=1$ находится локальный максимум, а в точке $x=5$ — локальный минимум.
2. Характер точек экстремума:
   • Точка $x=1$ — критическая. Критическая точка — это точка, в которой производная равна нулю или не существует. Условие не уточняет, что она стационарная, поэтому мы можем изобразить в этой точке излом графика ("острый пик" или касп), где производная не существует.
   • Точка $x=5$ — стационарная. В стационарной точке производная равна нулю ($f'(5)=0$). Это означает, что касательная к графику в этой точке горизонтальна, и минимум должен быть "гладким", без изломов.

Эскиз будет выглядеть следующим образом: график функции идет вверх до точки $x=1$, где образует острый пик (например, в точке $(1, 4)$). Затем график убывает до точки $x=5$, где достигает гладкого минимума с горизонтальной касательной (например, в точке $(5, 0)$). После точки $x=5$ график снова начинает возрастать.

Ответ: Эскиз — это график, возрастающий до острого пика (критическая точка, где производная не существует) при $x=1$, затем убывающий до гладкой впадины с горизонтальной касательной (стационарная точка) при $x=5$, и снова возрастающий при $x>5$.

в) функция имеет разрыв в точке $x = -2$, максимум в точке $x = -1$ и минимум в точке $x = 1$;

Для построения эскиза учтем все заданные свойства:

1. Разрыв в точке $x=-2$: Разрыв может быть разных типов. Для наглядности изобразим разрыв второго рода, то есть вертикальную асимптоту $x=-2$. Пусть при приближении к $x=-2$ слева функция стремится к $+\infty$ ($\lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty$), а при приближении справа — к $-\infty$ ($\lim_{x \to -2^+} f(x) = -\infty$).
2. Максимум в точке $x=-1$: Справа от асимптоты $x=-2$ функция "выходит" из $-\infty$ и возрастает до точки локального максимума при $x=-1$. Пусть это будет точка с координатами $(-1, 3)$. После этой точки функция начинает убывать.
3. Минимум в точке $x=1$: Функция продолжает убывать после максимума в $x=-1$ до тех пор, пока не достигнет точки локального минимума при $x=1$. Пусть это будет точка $(1, -1)$. После этой точки функция снова начинает возрастать.

Поведение функции на бесконечности не задано, поэтому мы можем достроить график произвольно, соблюдая указанные свойства. Например, при $x > 1$ функция возрастает до бесконечности. При $x < -2$ функция убывает, стремясь к асимптоте $x=-2$ снизу (но в нашем примере мы выбрали стремление к $+\infty$).

Ответ: Эскиз — это график с вертикальной асимптотой $x=-2$. Справа от асимптоты кривая поднимается из $-\infty$ до локального максимума в точке $x=-1$ (например, $(-1, 3)$), затем опускается до локального минимума в точке $x=1$ (например, $(1, -1)$), а затем снова возрастает.

г) функция имеет горизонтальную асимптоту $y = 3$ при $x \to \infty$, одну точку максимума и одну точку минимума.

Построим эскиз, следуя заданным условиям:

1. Горизонтальная асимптота $y=3$ при $x \to \infty$: Это означает, что $\lim_{x \to \infty} f(x) = 3$. График функции при больших положительных значениях $x$ будет приближаться к горизонтальной прямой $y=3$.
2. Одна точка максимума и одна точка минимума: Наличие двух экстремумов говорит о том, что график имеет одну "вершину" и одну "впадину".

Совместим эти свойства. Существует два основных варианта расположения экстремумов относительно асимптоты. Рассмотрим интересный случай, когда график пересекает свою асимптоту.

• Пусть точка минимума находится ниже асимптоты, например, в точке $(2, 1)$.
• Пусть точка максимума находится выше асимптоты, например, в точке $(5, 4)$.
• Поведение функции при $x \to -\infty$ не определено, так что можно предположить, что функция приходит из $+\infty$.

Эскиз будет выглядеть так: график функции убывает из $+\infty$ (при $x \to -\infty$) до точки минимума $(2, 1)$. Затем функция возрастает, пересекает свою будущую асимптоту $y=3$ и достигает точки максимума $(5, 4)$. После максимума функция снова начинает убывать, опять пересекает прямую $y=3$ и далее асимптотически приближается к ней сверху при $x \to \infty$.

Ответ: Эскиз — это кривая, которая имеет локальный минимум (например, в точке $(2,1)$) и локальный максимум (например, в точке $(5,4)$). При $x \to \infty$ график функции асимптотически приближается к горизонтальной прямой $y=3$ (в данном примере — сверху, после прохождения максимума).

44.44. а) Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой на интервале $ (a, b) $, имеющей на этом интервале одну точку минимума, две точки максимума и не имеющей наименьшего значения.

б) Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой на интервале $ (a, b) $, имеющей на нём две точки минимума, две точки максимума, но не имеющей ни наименьшего, ни наибольшего значений.

a)

Требуется построить эскиз графика функции $f(x)$, которая является дифференцируемой на интервале $(a, b)$, имеет на этом интервале одну точку минимума, две точки максимума и не имеет наименьшего значения.

1. Условия на экстремумы. Наличие одной точки минимума и двух точек максимума означает, что у функции есть три точки, в которых производная $f'(x)$ равна нулю. Поскольку функция непрерывна (как следствие дифференцируемости), точки минимума и максимума должны чередоваться. Следовательно, порядок экстремумов должен быть таким: максимум, затем минимум, затем снова максимум. Обозначим абсциссы этих точек как $x_{max1}$, $x_{min}$, $x_{max2}$, где $a < x_{max1} < x_{min} < x_{max2} < b$.

2. Поведение функции. Исходя из расположения точек экстремума, функция $f(x)$:

• возрастает на интервале $(a, x_{max1})$;
• убывает на интервале $(x_{max1}, x_{min})$;
• возрастает на интервале $(x_{min}, x_{max2})$;
• убывает на интервале $(x_{max2}, b)$.

3. Отсутствие наименьшего значения. У функции есть локальный минимум в точке $x_{min}$ со значением $f(x_{min})$. Чтобы у функции не было наименьшего значения (глобального минимума) на всем интервале $(a, b)$, она должна стремиться к значению, которое меньше или равно $f(x_{min})$ на одной из границ интервала. Поскольку значение не должно достигаться, предел функции при приближении к границе должен быть строго меньше, чем значение в точке локального минимума. Например, пусть предел функции при $x$, стремящемся к $b$ справа, будет равен некоторому числу $L$, причем $L < f(x_{min})$. То есть, $\lim_{x \to b^-} f(x) = L$, где $L < f(x_{min})$. В этом случае точная нижняя грань (инфимум) значений функции на интервале $(a,b)$ равна $L$, но это значение никогда не достигается.

4. Описание эскиза графика. График представляет собой гладкую кривую на интервале $(a, b)$. При приближении $x$ к $a$ справа, функция может начинаться с любого конечного значения. Далее кривая возрастает до точки первого локального максимума $(x_{max1}, f(x_{max1}))$. Затем она убывает до точки локального минимума $(x_{min}, f(x_{min}))$. После этого кривая снова возрастает до точки второго локального максимума $(x_{max2}, f(x_{max2}))$. Наконец, на интервале $(x_{max2}, b)$ функция убывает и асимптотически приближается к горизонтальной прямой $y=L$ (где $L < f(x_{min})$) при $x \to b^-$. На концах интервала можно изобразить "выколотые" точки, чтобы подчеркнуть, что граничные точки не принадлежат графику.

Ответ: Эскиз графика функции, удовлетворяющей условиям, описан в пункте 4.

б)

Требуется построить эскиз графика функции $f(x)$, которая является дифференцируемой на интервале $(a, b)$, имеет на нём две точки минимума, две точки максимума, но не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.

1. Условия на экстремумы. Наличие двух точек минимума и двух точек максимума означает, что у функции есть четыре точки с нулевой производной. Эти точки экстремума должны чередоваться. Возможный порядок: минимум-максимум-минимум-максимум. Обозначим абсциссы этих точек как $x_{min1}, x_{max1}, x_{min2}, x_{max2}$, где $a < x_{min1} < x_{max1} < x_{min2} < x_{max2} < b$.

2. Поведение функции. С таким порядком экстремумов функция $f(x)$:

• убывает на интервале $(a, x_{min1})$;
• возрастает на интервале $(x_{min1}, x_{max1})$;
• убывает на интервале $(x_{max1}, x_{min2})$;
• возрастает на интервале $(x_{min2}, x_{max2})$;
• убывает на интервале $(x_{max2}, b)$.

3. Отсутствие наименьшего и наибольшего значений. У функции есть два локальных минимума $f(x_{min1})$ и $f(x_{min2})$ и два локальных максимума $f(x_{max1})$ и $f(x_{max2})$. Чтобы у функции не было ни наименьшего, ни наибольшего значения, она должна быть неограниченной как снизу, так и сверху на интервале $(a, b)$. Это можно обеспечить, если на границах интервала функция стремится к бесконечности. Например, пусть $\lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty$ и $\lim_{x \to b^-} f(x) = -\infty$. В этом случае supremum (точная верхняя грань) значений функции равен $+\infty$, а infimum (точная нижняя грань) равен $-\infty$. Так как $+\infty$ и $-\infty$ не являются числами, они не могут быть значениями функции, следовательно, у функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

4. Описание эскиза графика. График представляет собой гладкую кривую на интервале $(a, b)$, имеющую вертикальные асимптоты на границах $x=a$ и $x=b$. При приближении $x$ к $a$ справа, кривая уходит в плюс бесконечность ($\lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty$). Затем функция убывает до точки первого локального минимума $(x_{min1}, f(x_{min1}))$. Далее она возрастает до точки первого локального максимума $(x_{max1}, f(x_{max1}))$. После этого снова убывает до второго локального минимума $(x_{min2}, f(x_{min2}))$ и снова возрастает до второго локального максимума $(x_{max2}, f(x_{max2}))$. Наконец, на интервале $(x_{max2}, b)$ функция убывает и уходит в минус бесконечность при $x \to b^-$ ($\lim_{x \to b^-} f(x) = -\infty$). Такой график будет иметь два "холма" (максимумы) и две "впадины" (минимумы), но будет неограниченным сверху и снизу.

Ответ: Эскиз графика функции, удовлетворяющей условиям, описан в пункте 4.