Страница 268, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

44.12. Докажите, что функция монотонна на всей числовой прямой. Укажите характер монотонности.

a) $y = x^5 + 6x^3 - 7;$

б) $y = x - \cos x + 8;$

в) $y = \sin x - 2x - 15;$

г) $y = 11 - 5x - x^3.$

Для доказательства монотонности функции на всей числовой прямой и определения ее характера необходимо исследовать знак ее первой производной. Если производная $y' \ge 0$ (причем равенство нулю достигается лишь в отдельных точках), то функция монотонно возрастает. Если $y' \le 0$ (равенство нулю также в отдельных точках), то функция монотонно убывает.

а) $y = x^5 + 6x^3 - 7$

Найдем производную функции. Область определения функции — вся числовая прямая, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

$y' = (x^5 + 6x^3 - 7)' = 5x^4 + 18x^2$.

Определим знак производной. Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$y' = x^2(5x^2 + 18)$.

Проанализируем знаки множителей:

1. $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Равенство нулю достигается только при $x=0$.

2. Так как $x^2 \ge 0$, то $5x^2 \ge 0$, и следовательно, $5x^2 + 18 \ge 18$. Этот множитель всегда строго положителен.

Произведение неотрицательного множителя $x^2$ и строго положительного множителя $(5x^2 + 18)$ является неотрицательной величиной. Таким образом, $y' \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Производная обращается в ноль только в одной точке $x=0$.

Поскольку производная функции неотрицательна на всей числовой прямой и равна нулю лишь в одной точке, функция является монотонно возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция монотонно возрастает на всей числовой прямой.

б) $y = x - \cos x + 8$

Найдем производную функции. Область определения функции — вся числовая прямая, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

$y' = (x - \cos x + 8)' = 1 - (-\sin x) + 0 = 1 + \sin x$.

Определим знак производной. Область значений функции синус: $-1 \le \sin x \le 1$.

Следовательно, для производной $y' = 1 + \sin x$ имеем:

$1 + (-1) \le 1 + \sin x \le 1 + 1$

$0 \le 1 + \sin x \le 2$

Таким образом, $y' \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Производная обращается в ноль в точках, где $\sin x = -1$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как производная функции неотрицательна на всей числовой прямой и равна нулю в изолированных точках, функция является монотонно возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция монотонно возрастает на всей числовой прямой.

в) $y = \sin x - 2x - 15$

Найдем производную функции. Область определения функции — вся числовая прямая, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

$y' = (\sin x - 2x - 15)' = \cos x - 2$.

Определим знак производной. Область значений функции косинус: $-1 \le \cos x \le 1$.

Следовательно, для производной $y' = \cos x - 2$ имеем:

$-1 - 2 \le \cos x - 2 \le 1 - 2$

$-3 \le \cos x - 2 \le -1$

Таким образом, $y' < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная функции строго отрицательна на всей числовой прямой, функция является монотонно убывающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция монотонно убывает на всей числовой прямой.

г) $y = 11 - 5x - x^3$

Найдем производную функции. Область определения функции — вся числовая прямая, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

$y' = (11 - 5x - x^3)' = -5 - 3x^2$.

Определим знак производной. Вынесем знак минус за скобки:

$y' = -(5 + 3x^2)$.

Рассмотрим выражение в скобках. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $3x^2 \ge 0$.

Следовательно, $5 + 3x^2 \ge 5$. Это выражение всегда строго положительно.

Таким образом, $y' = -(5 + 3x^2)$ является произведением $-1$ и строго положительного числа, а значит, $y' < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная функции строго отрицательна на всей числовой прямой, функция является монотонно убывающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция монотонно убывает на всей числовой прямой.

Докажите, что заданная функция возрастает:

44.13. a) $y = x^5 + 3x - 6$ на $(-\infty; +\infty);

б) $y = 15 - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^3}$ на $(-\infty; 0);

в) $y = x^7 + 7x^3 + 2x - 42$ на $(-\infty; +\infty);

г) $y = 21x - \frac{1}{x^5}$ на $(0; +\infty).

Для доказательства того, что функция является возрастающей на заданном промежутке, необходимо найти ее производную и показать, что она неотрицательна (или строго положительна) на этом промежутке. Если производная функции $f'(x) \geq 0$ для всех $x$ из промежутка (причем $f'(x) = 0$ лишь в отдельных точках), то функция возрастает на этом промежутке. Если $f'(x) > 0$, то функция строго возрастает.

а) $y = x^5 + 3x - 6$ на $(-\infty; +\infty)$

Найдем производную данной функции:

$y' = (x^5 + 3x - 6)' = 5x^4 + 3$.

Проанализируем знак производной. Так как $x^4$ является четной степенью, то $x^4 \geq 0$ для любого действительного числа $x$.

Следовательно, $5x^4 \geq 0$.

Тогда $y' = 5x^4 + 3 \geq 0 + 3 = 3$.

Поскольку производная $y' > 0$ для всех $x$ из промежутка $(-\infty; +\infty)$, функция является возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: Производная функции $y' = 5x^4 + 3$ всегда положительна, следовательно, функция возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = 15 - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^3}$ на $(-\infty; 0)$

Для удобства дифференцирования представим функцию в виде степенных функций: $y = 15 - 2x^{-1} - x^{-3}$.

Найдем производную функции:

$y' = (15 - 2x^{-1} - x^{-3})' = 0 - 2(-1)x^{-2} - (-3)x^{-4} = 2x^{-2} + 3x^{-4}$.

Запишем производную в виде дробей:

$y' = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^4}$.

На промежутке $(-\infty; 0)$ переменная $x$ не равна нулю. Выражения $x^2$ и $x^4$ всегда положительны при $x \neq 0$.

Следовательно, оба слагаемых $\frac{2}{x^2}$ и $\frac{3}{x^4}$ являются положительными. Сумма двух положительных чисел всегда положительна.

Таким образом, $y' > 0$ на промежутке $(-\infty; 0)$, а значит функция возрастает на этом промежутке.

Ответ: Производная функции $y' = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^4}$ положительна на интервале $(-\infty; 0)$, следовательно, функция возрастает на этом интервале.

в) $y = x^7 + 7x^3 + 2x - 42$ на $(-\infty; +\infty)$

Найдем производную функции:

$y' = (x^7 + 7x^3 + 2x - 42)' = 7x^6 + 21x^2 + 2$.

Проанализируем знак производной. Выражения $x^6$ и $x^2$ являются четными степенями, поэтому они всегда неотрицательны: $x^6 \geq 0$ и $x^2 \geq 0$ для любого действительного $x$.

Следовательно, $7x^6 \geq 0$ и $21x^2 \geq 0$.

Тогда их сумма $7x^6 + 21x^2 \geq 0$.

Прибавив 2, получаем: $y' = 7x^6 + 21x^2 + 2 \geq 0 + 0 + 2 = 2$.

Так как производная $y' > 0$ для всех $x$, функция возрастает на всем промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Производная функции $y' = 7x^6 + 21x^2 + 2$ всегда положительна, следовательно, функция возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

г) $y = 21x - \frac{1}{x^5}$ на $(0; +\infty)$

Представим функцию в виде $y = 21x - x^{-5}$.

Найдем производную функции:

$y' = (21x - x^{-5})' = 21 - (-5)x^{-6} = 21 + 5x^{-6}$.

Запишем производную в виде дроби:

$y' = 21 + \frac{5}{x^6}$.

На промежутке $(0; +\infty)$ переменная $x$ принимает положительные значения. Тогда $x^6$ также будет положительным ($x^6 > 0$).

Следовательно, слагаемое $\frac{5}{x^6}$ является положительным.

Сумма положительного числа 21 и положительного слагаемого $\frac{5}{x^6}$ всегда будет положительной.

Таким образом, $y' > 0$ на промежутке $(0; +\infty)$, и функция возрастает на этом промежутке.

Ответ: Производная функции $y' = 21 + \frac{5}{x^6}$ положительна на интервале $(0; +\infty)$, следовательно, функция возрастает на этом интервале.

44.14. a) $y = 7x - \cos 2x$ на $(-\infty; +\infty)$;

б) $y = 10x + \sin 3x$ на $(-\infty; +\infty)$.

а) $y = 7x - \cos 2x$ на $(-\infty; +\infty)$

Для исследования функции на монотонность (возрастание или убывание) необходимо найти ее производную. Если производная функции положительна на некотором интервале, то функция на этом интервале возрастает. Если производная отрицательна, то функция убывает.

Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (7x - \cos 2x)' = (7x)' - (\cos 2x)'$

Производная от $7x$ равна 7. Для нахождения производной от $\cos 2x$ используем правило дифференцирования сложной функции: $(\cos u)' = -u' \cdot \sin u$. В нашем случае $u=2x$, и $u'=2$.

$(\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin 2x$

Подставляем найденные производные в общее выражение:

$y' = 7 - (-2\sin 2x) = 7 + 2\sin 2x$

Теперь оценим знак производной. Область значений функции синус ограничена отрезком $[-1, 1]$, то есть для любого значения $x$ выполняется неравенство:

$-1 \le \sin 2x \le 1$

Умножим все части неравенства на 2:

$-2 \le 2\sin 2x \le 2$

Прибавим 7 ко всем частям неравенства:

$7 - 2 \le 7 + 2\sin 2x \le 7 + 2$

$5 \le 7 + 2\sin 2x \le 9$

Таким образом, $5 \le y' \le 9$. Поскольку производная $y'$ всегда находится в пределах от 5 до 9, она всегда положительна ($y' > 0$) для любого $x \in (-\infty; +\infty)$.

Так как производная функции положительна на всей числовой прямой, функция $y = 7x - \cos 2x$ является строго возрастающей на всем промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = 10x + \sin 3x$ на $(-\infty; +\infty)$

Действуем аналогично предыдущему пункту: находим производную и анализируем ее знак.

Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (10x + \sin 3x)' = (10x)' + (\sin 3x)'$

Производная от $10x$ равна 10. Для нахождения производной от $\sin 3x$ используем правило дифференцирования сложной функции: $(\sin u)' = u' \cdot \cos u$. В нашем случае $u=3x$, и $u'=3$.

$(\sin 3x)' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos 3x$

Подставляем найденные производные в общее выражение:

$y' = 10 + 3\cos 3x$

Теперь оценим знак производной. Область значений функции косинус ограничена отрезком $[-1, 1]$, то есть для любого значения $x$ выполняется неравенство:

$-1 \le \cos 3x \le 1$

Умножим все части неравенства на 3:

$-3 \le 3\cos 3x \le 3$

Прибавим 10 ко всем частям неравенства:

$10 - 3 \le 10 + 3\cos 3x \le 10 + 3$

$7 \le 10 + 3\cos 3x \le 13$

Таким образом, $7 \le y' \le 13$. Поскольку производная $y'$ всегда находится в пределах от 7 до 13, она всегда положительна ($y' > 0$) для любого $x \in (-\infty; +\infty)$.

Так как производная функции положительна на всей числовой прямой, функция $y = 10x + \sin 3x$ является строго возрастающей на всем промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

44.15. а) $y = 2x^3 + 2x^2 + 11x - 35$ на $(-\infty; +\infty);

б) $y = 3x^3 - 6x^2 + 41x - 137$ на $(-\infty; +\infty).

а) Для исследования функции $y = 2x^3 + 2x^2 + 11x - 35$ на монотонность на заданном промежутке $(-\infty; +\infty)$, найдем ее производную. Промежутки возрастания и убывания функции определяются знаком ее производной.
$y' = (2x^3 + 2x^2 + 11x - 35)' = 2 \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot 2x^{2-1} + 11 \cdot 1 - 0 = 6x^2 + 4x + 11$.
Чтобы найти интервалы, на которых производная сохраняет знак, найдем ее нули (критические точки), решив уравнение $y' = 0$:
$6x^2 + 4x + 11 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 6 \cdot 11 = 16 - 264 = -248$.
Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), у уравнения нет действительных корней. Это означает, что производная $y'$ никогда не обращается в ноль.
Графиком производной $y' = 6x^2 + 4x + 11$ является парабола. Так как старший коэффициент $a = 6$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Поскольку парабола не пересекает ось абсцисс (нет корней), она целиком расположена выше этой оси. Следовательно, производная $y'$ положительна при всех значениях $x$.
$y' > 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.
Так как производная функции положительна на всей числовой прямой, функция $y = 2x^3 + 2x^2 + 11x - 35$ является возрастающей на всем промежутке $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

б) Исследуем на монотонность функцию $y = 3x^3 - 6x^2 + 41x - 137$ на промежутке $(-\infty; +\infty)$. Для этого, как и в предыдущем случае, найдем ее производную.
$y' = (3x^3 - 6x^2 + 41x - 137)' = 3 \cdot 3x^{3-1} - 6 \cdot 2x^{2-1} + 41 \cdot 1 - 0 = 9x^2 - 12x + 41$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$9x^2 - 12x + 41 = 0$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 41 = 144 - 1476 = -1332$.
Дискриминант $D < 0$, следовательно, уравнение не имеет действительных корней, и производная $y'$ не меняет свой знак на всей числовой оси.
Графиком производной $y' = 9x^2 - 12x + 41$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как $a=9 > 0$). Поскольку корней нет, парабола находится полностью выше оси Ox. Это означает, что производная всегда положительна.
$y' > 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.
Поскольку производная функции положительна на всей области определения, функция $y = 3x^3 - 6x^2 + 41x - 137$ возрастает на всем промежутке $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

44.16. a) $y = \frac{4x}{4x + 1}$ на $(-\frac{1}{4}; +\infty)$;

б) $y = \frac{2x - 13}{x - 5}$ на $(-\infty; 5)$.

а) Для того чтобы найти множество значений функции $y = \frac{4x}{4x+1}$ на интервале $(-\frac{1}{4}; +\infty)$, исследуем ее поведение на этом интервале.
1. Преобразование функции. Выделим целую часть дроби: $y = \frac{4x+1-1}{4x+1} = \frac{4x+1}{4x+1} - \frac{1}{4x+1} = 1 - \frac{1}{4x+1}$. Графиком этой функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x = -\frac{1}{4}$ и горизонтальной асимптотой $y=1$.
2. Монотонность функции. Найдем производную функции $y(x)$: $y' = \left(1 - \frac{1}{4x+1}\right)' = -( (4x+1)^{-1} )' = -(-1)(4x+1)^{-2} \cdot (4x+1)' = \frac{4}{(4x+1)^2}$. Поскольку знаменатель $(4x+1)^2$ всегда положителен при $x \ne -\frac{1}{4}$, производная $y' > 0$ на всей области определения. Это означает, что функция является строго возрастающей на заданном интервале $(-\frac{1}{4}; +\infty)$.
3. Предельные значения. Так как функция строго возрастает, ее множество значений на интервале будет определяться ее поведением на границах этого интервала. Найдем предел функции при $x$, стремящемся к $-\frac{1}{4}$ справа (левая граница интервала): $\lim_{x \to -1/4^+} y(x) = \lim_{x \to -1/4^+} \left(1 - \frac{1}{4x+1}\right)$. При $x \to -1/4^+$, выражение $4x+1$ стремится к $0$ оставаясь положительным ($4x+1 \to 0^+$). Тогда $\frac{1}{4x+1} \to +\infty$. Следовательно, предел равен: $1 - (+\infty) = -\infty$. Найдем предел функции при $x \to +\infty$ (правая граница интервала): $\lim_{x \to +\infty} y(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{4x+1}\right) = 1 - 0 = 1$.
Поскольку функция непрерывна и строго возрастает на интервале $(-\frac{1}{4}; +\infty)$ от $-\infty$ до $1$, ее множество значений на этом интервале есть $(-\infty; 1)$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 1)$.

б) Для того чтобы найти множество значений функции $y = \frac{2x-13}{x-5}$ на интервале $(-\infty; 5)$, проведем аналогичное исследование.
1. Преобразование функции. Выделим целую часть дроби: $y = \frac{2(x-5)+10-13}{x-5} = \frac{2(x-5)}{x-5} - \frac{3}{x-5} = 2 - \frac{3}{x-5}$. Графиком этой функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x=5$ и горизонтальной асимптотой $y=2$.
2. Монотонность функции. Найдем производную функции $y(x)$: $y' = \left(2 - \frac{3}{x-5}\right)' = -( -3(x-5)^{-2} ) \cdot (x-5)' = \frac{3}{(x-5)^2}$. Поскольку знаменатель $(x-5)^2$ всегда положителен при $x \ne 5$, производная $y' > 0$ на всей области определения. Это означает, что функция является строго возрастающей на заданном интервале $(-\infty; 5)$.
3. Предельные значения. Найдем пределы функции на границах интервала. Найдем предел функции при $x \to -\infty$ (левая граница интервала): $\lim_{x \to -\infty} y(x) = \lim_{x \to -\infty} \left(2 - \frac{3}{x-5}\right) = 2 - 0 = 2$. Найдем предел функции при $x$, стремящемся к $5$ слева (правая граница интервала): $\lim_{x \to 5^-} y(x) = \lim_{x \to 5^-} \left(2 - \frac{3}{x-5}\right)$. При $x \to 5^-$, выражение $x-5$ стремится к $0$ оставаясь отрицательным ($x-5 \to 0^-$). Тогда $\frac{3}{x-5} \to -\infty$. Следовательно, предел равен: $2 - (-\infty) = +\infty$.
Поскольку функция непрерывна и строго возрастает на интервале $(-\infty; 5)$ от $2$ до $+\infty$, ее множество значений на этом интервале есть $(2; +\infty)$.
Ответ: $E(y) = (2; +\infty)$.

Докажите, что заданная функция убывает:

44.17. a) $y = -x^3 - 5x + 3$ на $(-\\infty; +\\infty);

б) $y = -2x^5 - 7x^3 - x + 8$ на $(-\\infty; +\\infty);

в) $y = -x^3 + 3x^2 - 6x + 1$ на $(-\\infty; +\\infty);

г) $y = -4x^3 + 4x^2 - 2x + 9$ на $(-\\infty; +\\infty).

Для доказательства того, что функция убывает на заданном промежутке, достаточно показать, что ее производная на этом промежутке неположительна ( $y' \le 0$ ) и обращается в ноль лишь в отдельных точках. Если производная строго отрицательна ( $y' < 0$ ), то функция строго убывает.

а) $y = -x^3 - 5x + 3$ на $(-\infty; +\infty)$

1. Найдем производную функции:

$y' = (-x^3 - 5x + 3)' = -3x^2 - 5$.

2. Проанализируем знак производной. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $-3x^2 \le 0$.

Следовательно, $y' = -3x^2 - 5 \le 0 - 5 = -5$.

Так как производная $y'$ всегда строго отрицательна ( $y' < 0$ ) для любого $x \in (-\infty; +\infty)$, функция убывает на всей числовой прямой.

Ответ: Производная функции $y' = -3x^2 - 5$ отрицательна при всех значениях $x$, следовательно, функция $y = -x^3 - 5x + 3$ убывает на интервале $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = -2x^5 - 7x^3 - x + 8$ на $(-\infty; +\infty)$

1. Найдем производную функции:

$y' = (-2x^5 - 7x^3 - x + 8)' = -10x^4 - 21x^2 - 1$.

2. Проанализируем знак производной. Выражения $x^4$ и $x^2$ являются неотрицательными для любого действительного $x$, то есть $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$.

Поэтому $-10x^4 \le 0$ и $-21x^2 \le 0$.

Тогда $y' = -10x^4 - 21x^2 - 1 \le 0 + 0 - 1 = -1$.

Так как производная $y'$ всегда строго отрицательна ( $y' < 0$ ) для любого $x \in (-\infty; +\infty)$, функция убывает на всей числовой прямой.

Ответ: Производная функции $y' = -10x^4 - 21x^2 - 1$ отрицательна при всех значениях $x$, следовательно, функция $y = -2x^5 - 7x^3 - x + 8$ убывает на интервале $(-\infty; +\infty)$.

в) $y = -x^3 + 3x^2 - 6x + 1$ на $(-\infty; +\infty)$

1. Найдем производную функции:

$y' = (-x^3 + 3x^2 - 6x + 1)' = -3x^2 + 6x - 6$.

2. Проанализируем знак производной. Производная является квадратичной функцией. Чтобы определить ее знак, выделим полный квадрат:

$y' = -3(x^2 - 2x) - 6 = -3(x^2 - 2x + 1 - 1) - 6 = -3(x-1)^2 + 3 - 6 = -3(x-1)^2 - 3$.

Поскольку $(x-1)^2 \ge 0$ для любого $x$, то $-3(x-1)^2 \le 0$.

Следовательно, $y' = -3(x-1)^2 - 3 \le 0 - 3 = -3$.

Поскольку производная $y'$ всегда строго отрицательна ( $y' < 0$ ) для любого $x \in (-\infty; +\infty)$, функция убывает на всей числовой прямой.

Ответ: Производная функции $y' = -3x^2 + 6x - 6$ отрицательна при всех значениях $x$, следовательно, функция $y = -x^3 + 3x^2 - 6x + 1$ убывает на интервале $(-\infty; +\infty)$.

г) $y = -4x^3 + 4x^2 - 2x + 9$ на $(-\infty; +\infty)$

1. Найдем производную функции:

$y' = (-4x^3 + 4x^2 - 2x + 9)' = -12x^2 + 8x - 2$.

2. Проанализируем знак производной. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Старший коэффициент $a = -12$ отрицателен, значит, ветви параболы направлены вниз. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $-12x^2 + 8x - 2$:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(-12)(-2) = 64 - 96 = -32$.

Так как дискриминант отрицателен ( $D < 0$ ) и ветви параболы направлены вниз, вся парабола лежит ниже оси абсцисс. Это означает, что $y' < 0$ для всех действительных значений $x$.

Поскольку производная всегда отрицательна, функция убывает на всей числовой прямой.

Ответ: Производная функции $y' = -12x^2 + 8x - 2$ отрицательна при всех значениях $x$, следовательно, функция $y = -4x^3 + 4x^2 - 2x + 9$ убывает на интервале $(-\infty; +\infty)$.

44.18. a) $y = \frac{3x + 7}{x + 2}$ на $(-2; +\infty);

б) $y = \frac{-4x + 1}{2x + 1}$ на $(-\infty; -\frac{1}{2})$.

а)

Чтобы исследовать функцию $y = \frac{3x + 7}{x + 2}$ на монотонность на промежутке $(-2; +\infty)$, необходимо найти ее производную и определить знак производной на этом интервале.

Область определения функции задается условием $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. Данный в условии промежуток $(-2; +\infty)$ полностью входит в область определения.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \left(\frac{3x + 7}{x + 2}\right)' = \frac{(3x + 7)'(x + 2) - (3x + 7)(x + 2)'}{(x + 2)^2}$

$y' = \frac{3(x + 2) - (3x + 7) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{3x + 6 - 3x - 7}{(x + 2)^2} = \frac{-1}{(x + 2)^2}$

Проанализируем знак полученной производной. Знаменатель $(x + 2)^2$ всегда положителен для любого $x$ из области определения (т.е. при $x \neq -2$). Числитель равен -1, он всегда отрицателен.

Следовательно, производная $y' = \frac{-1}{(x + 2)^2}$ отрицательна ($y' < 0$) на всей своей области определения, включая интервал $(-2; +\infty)$.

Если производная функции отрицательна на некотором промежутке, то функция на этом промежутке убывает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-2; +\infty)$.

б)

Чтобы исследовать функцию $y = \frac{-4x + 1}{2x + 1}$ на монотонность на промежутке $(-\infty; -\frac{1}{2})$, найдем ее производную.

Область определения функции задается условием $2x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{1}{2}$. Данный в условии промежуток $(-\infty; -\frac{1}{2})$ полностью входит в область определения.

Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного:

$y' = \left(\frac{-4x + 1}{2x + 1}\right)' = \frac{(-4x + 1)'(2x + 1) - (-4x + 1)(2x + 1)'}{(2x + 1)^2}$

$y' = \frac{-4(2x + 1) - (-4x + 1) \cdot 2}{(2x + 1)^2} = \frac{-8x - 4 - (-8x + 2)}{(2x + 1)^2} = \frac{-8x - 4 + 8x - 2}{(2x + 1)^2} = \frac{-6}{(2x + 1)^2}$

Проанализируем знак производной. Знаменатель $(2x + 1)^2$ всегда положителен при $x \neq -\frac{1}{2}$. Числитель равен -6, он всегда отрицателен.

Таким образом, производная $y' = \frac{-6}{(2x + 1)^2}$ отрицательна ($y' < 0$) на всей своей области определения, в том числе и на интервале $(-\infty; -\frac{1}{2})$.

Поскольку производная отрицательна на заданном промежутке, функция на этом промежутке убывает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -\frac{1}{2})$.

44.19. a) $y = 7 \cos x - 5 \sin 3x - 22x$ на $(-\infty; +\infty)$;

б) $y = 3 \cos 7x - 8 \sin \frac{x}{2} - 25x + 1$ на $(-\infty; +\infty)$.

а) Для исследования функции $y = 7 \cos x - 5 \sin 3x - 22x$ на промежутке $(-\infty; +\infty)$ на монотонность и наличие экстремумов, найдем ее производную.

Производная функции $y(x)$ равна: $y'(x) = (7 \cos x - 5 \sin 3x - 22x)' = 7(-\sin x) - 5(\cos 3x) \cdot 3 - 22 = -7 \sin x - 15 \cos 3x - 22$.

Теперь проанализируем знак производной $y'(x)$. Функции синус и косинус являются ограниченными, их значения лежат в диапазоне от -1 до 1: $-1 \le \sin x \le 1$ и $-1 \le \cos 3x \le 1$. Следовательно, для слагаемых в выражении производной верны следующие оценки: $-7 \le -7 \sin x \le 7$ $-15 \le -15 \cos 3x \le 15$

Оценим максимальное значение суммы тригонометрических членов: $-7 \sin x - 15 \cos 3x \le |-7 \sin x| + |-15 \cos 3x| \le 7 \cdot 1 + 15 \cdot 1 = 22$. Равенство в этом выражении, то есть $-7 \sin x - 15 \cos 3x = 22$, могло бы быть достигнуто только в том случае, если слагаемые одновременно принимают свои максимальные значения. Это эквивалентно системе уравнений: $\begin{cases} \sin x = -1 \\ \cos 3x = -1 \end{cases}$ Из первого уравнения следует, что $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ для любого целого $k$. Подставим это значение $x$ во второе уравнение, чтобы проверить, выполняется ли оно: $\cos(3x) = \cos(3(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \cos(-\frac{3\pi}{2} + 6\pi k) = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = 0$. Получаем противоречие $0 = -1$. Это означает, что система уравнений не имеет решений, и, следовательно, одновременное выполнение условий невозможно. Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется строгое неравенство: $-7 \sin x - 15 \cos 3x < 22$.

Теперь мы можем определить знак производной: $y'(x) = (-7 \sin x - 15 \cos 3x) - 22 < 22 - 22 = 0$. Так как $y'(x) < 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, функция $y(x)$ является строго убывающей на всей числовой прямой. Следовательно, у функции нет точек локального максимума или минимума.

Ответ: Функция является строго убывающей на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$ и не имеет экстремумов.

б) Рассмотрим функцию $y = 3 \cos 7x - 8 \sin \frac{x}{2} - 25x + 1$ на промежутке $(-\infty; +\infty)$. Для ее исследования найдем производную.

Производная функции $y(x)$ равна: $y'(x) = (3 \cos 7x - 8 \sin \frac{x}{2} - 25x + 1)' = 3(-\sin 7x) \cdot 7 - 8(\cos \frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} - 25 = -21 \sin 7x - 4 \cos \frac{x}{2} - 25$.

Проанализируем знак производной $y'(x)$. Воспользуемся тем, что функции $\sin 7x$ и $\cos \frac{x}{2}$ ограничены: $-1 \le \sin 7x \le 1$ и $-1 \le \cos \frac{x}{2} \le 1$. Отсюда следуют оценки для слагаемых: $-21 \le -21 \sin 7x \le 21$ $-4 \le -4 \cos \frac{x}{2} \le 4$

Оценим сверху сумму тригонометрических членов производной: $-21 \sin 7x - 4 \cos \frac{x}{2} \le |-21 \sin 7x| + |-4 \cos \frac{x}{2}| \le 21 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 25$. Равенство $-21 \sin 7x - 4 \cos \frac{x}{2} = 25$ возможно только при одновременном выполнении условий: $\begin{cases} \sin 7x = -1 \\ \cos \frac{x}{2} = -1 \end{cases}$ Из второго уравнения получаем $\frac{x}{2} = \pi + 2\pi k$, что дает $x = 2\pi + 4\pi k = 2\pi(1+2k)$ для любого целого $k$. Подставим найденные значения $x$ в первое уравнение: $\sin(7x) = \sin(7(2\pi + 4\pi k)) = \sin(14\pi + 28\pi k) = \sin(2\pi \cdot (7+14k)) = 0$. Мы пришли к противоречию $0 = -1$. Это означает, что система не имеет решений. Следовательно, для любого действительного $x$ имеет место строгое неравенство: $-21 \sin 7x - 4 \cos \frac{x}{2} < 25$.

Это позволяет нам определить знак производной: $y'(x) = (-21 \sin 7x - 4 \cos \frac{x}{2}) - 25 < 25 - 25 = 0$. Поскольку $y'(x) < 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, функция $y(x)$ является строго убывающей на всей своей области определения. Таким образом, у функции нет экстремумов (максимумов или минимумов).

Ответ: Функция является строго убывающей на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$ и не имеет экстремумов.

Определите промежутки монотонности функции:

44.20. a) $y = x^3 + 2x$;

б) $y = 60 + 45x - 3x^2 - x^3$;

в) $y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 40$;

г) $y = -x^5 + 5x$.

Для определения промежутков монотонности функции необходимо найти ее производную, приравнять производную к нулю, чтобы найти критические точки, а затем определить знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения функции. Если производная $y' > 0$ на интервале, то функция возрастает на этом интервале. Если $y' < 0$, то функция убывает.

а) $y = x^3 + 2x$

1. Находим производную функции:

$y' = (x^3 + 2x)' = 3x^2 + 2$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$3x^2 + 2 = 0$

$3x^2 = -2$

$x^2 = -2/3$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Это означает, что критических точек нет.

3. Определяем знак производной на всей числовой оси. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $3x^2 \ge 0$, и следовательно, $y' = 3x^2 + 2 \ge 2$. Таким образом, производная $y'$ положительна при всех значениях $x$.

4. Так как $y' > 0$ на всей области определения, функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = 60 + 45x - 3x^2 - x^3$

1. Находим производную функции:

$y' = (60 + 45x - 3x^2 - x^3)' = 45 - 6x - 3x^2$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$-3x^2 - 6x + 45 = 0$

Разделим обе части на -3:

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -5$, $x_2 = 3$.

3. Критические точки $x = -5$ и $x = 3$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак производной на каждом интервале. Графиком производной $y' = -3x^2 - 6x + 45$ является парабола с ветвями, направленными вниз.

• При $x \in (-\infty; -5)$, например, $x=-6$: $y'(-6) = -3(-6)^2 - 6(-6) + 45 = -108 + 36 + 45 = -27 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (-5; 3)$, например, $x=0$: $y'(0) = 45 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (3; +\infty)$, например, $x=4$: $y'(4) = -3(4)^2 - 6(4) + 45 = -48 - 24 + 45 = -27 < 0$. Функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-5; 3]$ и убывает на промежутках $(-\infty; -5]$ и $[3; +\infty]$.

в) $y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 40$

1. Находим производную функции:

$y' = (2x^3 - 3x^2 - 36x + 40)' = 6x^2 - 6x - 36$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$6x^2 - 6x - 36 = 0$

Разделим обе части на 6:

$x^2 - x - 6 = 0$

Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 3$.

3. Критические точки $x = -2$ и $x = 3$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак производной на каждом интервале. Графиком производной $y' = 6x^2 - 6x - 36$ является парабола с ветвями, направленными вверх.

• При $x \in (-\infty; -2)$, например, $x=-3$: $y'(-3) = 6(-3)^2 - 6(-3) - 36 = 54 + 18 - 36 = 36 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (-2; 3)$, например, $x=0$: $y'(0) = -36 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (3; +\infty)$, например, $x=4$: $y'(4) = 6(4)^2 - 6(4) - 36 = 96 - 24 - 36 = 36 > 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[3; +\infty]$ и убывает на промежутке $[-2; 3]$.

г) $y = -x^5 + 5x$

1. Находим производную функции:

$y' = (-x^5 + 5x)' = -5x^4 + 5$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$-5x^4 + 5 = 0$

$5x^4 = 5$

$x^4 = 1$

Отсюда $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

3. Критические точки $x = -1$ и $x = 1$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной $y' = -5(x^4-1)$ на каждом интервале.

• При $x \in (-\infty; -1)$, например, $x=-2$: $y'(-2) = -5(-2)^4 + 5 = -5(16) + 5 = -75 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (-1; 1)$, например, $x=0$: $y'(0) = -5(0)^4 + 5 = 5 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (1; +\infty)$, например, $x=2$: $y'(2) = -5(2)^4 + 5 = -5(16) + 5 = -75 < 0$. Функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; 1]$ и убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty]$.