Страница 261, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Какие вы знаете методы решения тригонометрических уравнений?

Существует множество методов решения тригонометрических уравнений. Выбор метода зависит от вида уравнения. Основные из них:

1. Сведение к простейшим тригонометрическим уравнениям (алгебраический метод)

Этот метод является основополагающим. Цель — с помощью тригонометрических тождеств и алгебраических преобразований привести исходное уравнение к одному из четырёх простейших видов:

• $\sin(x) = a$, где $|a| \le 1$
• $\cos(x) = a$, где $|a| \le 1$
• $\tan(x) = a$, где $a \in \mathbb{R}$
• $\cot(x) = a$, где $a \in \mathbb{R}$

Общие решения этих уравнений записываются с помощью обратных тригонометрических функций (аркфункций):

• Для $\sin(x) = a$: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
• Для $\cos(x) = a$: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
• Для $\tan(x) = a$: $x = \arctan(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
• Для $\cot(x) = a$: $x = \text{arccot}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: Метод заключается в преобразовании уравнения к простейшему виду ($\sin(x)=a$, $\cos(x)=a$, и т.д.) и использовании стандартных формул для нахождения корней.

2. Метод замены переменной

Если уравнение содержит одну и ту же тригонометрическую функцию (или функции, которые можно выразить через одну), удобно ввести новую переменную. Например, для уравнения $2\sin^2(x) - 5\sin(x) + 2 = 0$, можно сделать замену $t = \sin(x)$. При этом важно учитывать область значений тригонометрической функции, в данном случае $|t| \le 1$.

Уравнение примет вид: $2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Решая это квадратное уравнение, получаем корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 1/2$.

Далее выполняем обратную замену:

• $\sin(x) = 2$ — это уравнение не имеет решений, так как $2 > 1$.
• $\sin(x) = 1/2$ — это простейшее уравнение, его решения: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Метод состоит во введении новой переменной для повторяющейся тригонометрической функции, решении полученного алгебраического уравнения и последующей обратной замене.

3. Метод разложения на множители

Этот метод применяется, когда все члены уравнения можно перенести в одну сторону и разложить полученное выражение на множители. Уравнение вида $F(x) \cdot G(x) = 0$ равносильно совокупности уравнений $F(x) = 0$ и $G(x) = 0$ при условии, что оба выражения $F(x)$ и $G(x)$ определены.

Например, решим уравнение $2\sin(x)\cos(x) - \cos(x) = 0$.

Вынесем $\cos(x)$ за скобки: $\cos(x)(2\sin(x) - 1) = 0$.

Это приводит к совокупности двух уравнений:

• $\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $2\sin(x) - 1 = 0 \implies \sin(x) = 1/2 \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Объединение этих двух серий корней является решением исходного уравнения.

Ответ: Метод заключается в представлении уравнения в виде произведения нескольких сомножителей, равного нулю, и последующем решении более простых уравнений, получаемых приравниванием каждого сомножителя к нулю.

4. Решение однородных тригонометрических уравнений

Однородными называют уравнения вида:

• I степени: $a\sin(x) + b\cos(x) = 0$ (где $a, b \neq 0$)
• II степени: $a\sin^2(x) + b\sin(x)\cos(x) + c\cos^2(x) = 0$

Для их решения обе части уравнения делят на $\cos(x) \neq 0$ (для I степени) или на $\cos^2(x) \neq 0$ (для II степени). Такое деление корректно, так как если бы $\cos(x)$ был равен нулю, то из уравнения следовало бы, что и $\sin(x)$ равен нулю, что невозможно. В результате деления получается алгебраическое уравнение относительно $\tan(x)$.

Например, для $a\sin(x) + b\cos(x) = 0$ после деления на $\cos(x)$ получаем $a\tan(x) + b = 0$, откуда $\tan(x) = -b/a$.

Ответ: Метод решения однородных уравнений заключается в делении на степень синуса или косинуса, что приводит уравнение к алгебраическому относительно тангенса или котангенса.

5. Метод введения вспомогательного угла

Применяется для уравнений вида $a\sin(x) + b\cos(x) = c$.

Идея состоит в том, чтобы разделить обе части уравнения на $\sqrt{a^2+b^2}$:

$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin(x) + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos(x) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Так как $(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})^2 + (\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2 = 1$, то существует такой угол $\varphi$, что $\cos(\varphi) = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ и $\sin(\varphi) = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Тогда уравнение принимает вид: $\cos(\varphi)\sin(x) + \sin(\varphi)\cos(x) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$, что сворачивается по формуле синуса суммы в $\sin(x+\varphi) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Это простейшее уравнение. Условие существования решений: $|c| \le \sqrt{a^2+b^2}$.

Ответ: Метод позволяет преобразовать выражение $a\sin(x) + b\cos(x)$ в синус (или косинус) суммы/разности путем введения вспомогательного угла $\varphi$, сводя уравнение к простейшему.

6. Использование формул понижения степени

Этот метод эффективен для уравнений, содержащих четные степени синуса и косинуса. Используются формулы:

• $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$
• $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$

Например, уравнение $\sin^4(x) + \cos^4(x) = 5/8$ можно решить, преобразовав левую часть: $\sin^4(x) + \cos^4(x) = (\sin^2(x) + \cos^2(x))^2 - 2\sin^2(x)\cos^2(x) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$.

Тогда $1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x) = 5/8$. Отсюда $\sin^2(2x) = 3/4$. Далее снова понижаем степень: $\frac{1 - \cos(4x)}{2} = \frac{3}{4}$, что приводит к простейшему уравнению $\cos(4x) = -1/2$.

Ответ: Метод заключается в замене четных степеней тригонометрических функций на выражения с косинусом двойного угла, что упрощает уравнение.

7. Метод универсальной тригонометрической подстановки

Этот метод позволяет свести любое тригонометрическое уравнение, рациональное относительно $\sin(x)$ и $\cos(x)$, к алгебраическому. Используется замена $t = \tan(x/2)$. При этом:

• $\sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}$
• $\cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

Важный нюанс: эта подстановка не определена для $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Поэтому перед применением метода необходимо проверить, не являются ли эти значения корнями исходного уравнения.

Ответ: Метод сводит тригонометрическое уравнение к рациональному алгебраическому уравнению с помощью подстановки $t = \tan(x/2)$, но требует отдельной проверки корней вида $x = \pi + 2\pi k$.

8. Метод оценки (использование ограниченности функций)

Некоторые уравнения можно решить, используя свойства функций, входящих в них, в частности, их ограниченность. Например, для функций синуса и косинуса справедливо $-1 \le \sin(x) \le 1$ и $-1 \le \cos(x) \le 1$.

Рассмотрим уравнение $\cos(x) + \cos(2x) = 2$.

Левая часть уравнения является суммой двух косинусов, каждый из которых не превышает 1. Сумма будет равна 2 только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны 1. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \cos(x) = 1 \\ \cos(2x) = 1 \end{cases}$

Решая систему, находим общие корни. Из первого уравнения $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Подставляя эти значения во второе уравнение, получаем $\cos(2 \cdot 2\pi k) = \cos(4\pi k) = 1$. Это верное тождество, значит, решения первого уравнения являются и решениями второго.

Ответ: Метод основан на анализе области значений функций в уравнении. Решение ищется в точках, где функции достигают своих максимальных или минимальных значений.

Что такое универсальная подстановка?

Универсальная тригонометрическая подстановка — это метод, который позволяет свести любое выражение или уравнение, являющееся рациональной функцией от тригонометрических функций $ \sin(x) $ и $ \cos(x) $, к алгебраическому выражению или уравнению. Этот метод особенно полезен при интегрировании и решении сложных тригонометрических уравнений.

Суть метода заключается во введении новой переменной $t$, которая определяется как тангенс половинного угла исходной переменной $x$: $ t = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right) $.

Используя эту замену, основные тригонометрические функции можно выразить через $t$ в виде рациональных дробей. Выведем эти формулы.

1. Выражение для $ \sin(x) $:
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(x) = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) $.
Представим ее в виде дроби, разделив на основное тригонометрическое тождество $ 1 = \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) $:
$ \sin(x) = \frac{2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)} $
Разделим числитель и знаменатель на $ \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) $, при условии, что $ \cos\left(\frac{x}{2}\right) \neq 0 $:
$ \sin(x) = \frac{2\frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}}{1 + \frac{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}} = \frac{2\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \operatorname{tg}^2\left(\frac{x}{2}\right)} $
Подставляя $ t = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right) $, получаем:
$ \sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2} $

2. Выражение для $ \cos(x) $:
Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(x) = \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) $.
Проделаем аналогичные преобразования:
$ \cos(x) = \frac{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1 - \frac{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}}{1 + \frac{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \operatorname{tg}^2\left(\frac{x}{2}\right)} $
Подставляя $ t $, получаем:
$ \cos(x) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} $

3. Выражения для $ \operatorname{tg}(x) $ и $ \operatorname{ctg}(x) $:
$ \operatorname{tg}(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{1-t^2}{1+t^2}} = \frac{2t}{1-t^2} $
$ \operatorname{ctg}(x) = \frac{1}{\operatorname{tg}(x)} = \frac{1-t^2}{2t} $

Важное замечание: Подстановка $ t = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right) $ имеет ограниченную область определения. Она не определена, когда знаменатель $ \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 $, то есть когда $ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k $, что эквивалентно $ x = \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Это означает, что при использовании данной подстановки можно потерять корни этого вида.

Ответ: Универсальная тригонометрическая подстановка — это замена переменной $t = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)$, которая позволяет выразить основные тригонометрические функции через рациональные дроби от $t$: $ \sin(x) = \frac{2t}{1+t^2} $, $ \cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2} $, $ \operatorname{tg}(x) = \frac{2t}{1-t^2} $. Эта подстановка преобразует тригонометрическое уравнение в алгебраическое, но требует отдельной проверки корней вида $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$, при которых она не определена.

Как она применяется при решении тригонометрических уравнений?

Универсальная подстановка применяется для решения уравнений вида $R(\sin x, \cos x) = 0$, где $R$ — рациональная функция. Алгоритм решения включает следующие шаги:

Шаг 1. Проверка "потерянных" корней.
Так как подстановка $ t = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right) $ не определена для $ x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $, необходимо вручную проверить, являются ли эти значения корнями исходного уравнения. Для этого подставляем в уравнение значения $ \sin(x) = \sin(\pi + 2\pi k) = 0 $ и $ \cos(x) = \cos(\pi + 2\pi k) = -1 $. Если уравнение обращается в верное тождество, то $ x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ является одной из серий решений.

Шаг 2. Выполнение подстановки.
В исходном уравнении все тригонометрические функции заменяются их выражениями через $t$:
$ \sin(x) \Rightarrow \frac{2t}{1+t^2} $
$ \cos(x) \Rightarrow \frac{1-t^2}{1+t^2} $
$ \operatorname{tg}(x) \Rightarrow \frac{2t}{1-t^2} $ и так далее.

Шаг 3. Решение алгебраического уравнения.
Полученное уравнение относительно $t$ является алгебраическим (как правило, рациональным или многочленным). Его решают стандартными методами алгебры, находя все возможные значения $t_1, t_2, \ldots$.

Шаг 4. Обратная замена.
Для каждого найденного корня $t_i$ решается простейшее тригонометрическое уравнение:
$ \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right) = t_i $
Отсюда находятся серии решений: $ \frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(t_i) + \pi n $, то есть $ x = 2\operatorname{arctg}(t_i) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Шаг 5. Формирование ответа.
В итоговый ответ записываются все серии решений, полученные на шаге 1 и шаге 4.

Пример: Решить уравнение $ 3\sin(x) - \cos(x) = 3 $.

1. Проверим, являются ли корнями $ x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
При этих значениях $x$ имеем $ \sin(x)=0, \cos(x)=-1 $.
Подставляем в уравнение: $ 3 \cdot 0 - (-1) = 1 \neq 3 $.
Значит, корней такого вида нет, и мы можем применять подстановку, не боясь их потерять.

2. Делаем универсальную подстановку $ t = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right) $:
$ 3 \left( \frac{2t}{1+t^2} \right) - \left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right) = 3 $

3. Решаем полученное уравнение. Умножим обе части на $ 1+t^2 $ (это выражение всегда положительно):
$ 6t - (1-t^2) = 3(1+t^2) $
$ 6t - 1 + t^2 = 3 + 3t^2 $
$ 2t^2 - 6t + 4 = 0 $
$ t^2 - 3t + 2 = 0 $
По теореме Виета находим корни: $ t_1 = 1, t_2 = 2 $.

4. Делаем обратную замену.
а) $ \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right) = 1 $
$ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $
б) $ \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right) = 2 $
$ \frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(2) + \pi m, m \in \mathbb{Z} $
$ x = 2\operatorname{arctg}(2) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $

5. Объединяем все найденные серии решений в ответ.

Ответ: Для решения тригонометрического уравнения с помощью универсальной подстановки необходимо сначала проверить, не являются ли корнями значения $x = \pi + 2\pi k$, при которых подстановка не определена. Затем следует заменить все тригонометрические функции их выражениями через $t = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)$, решить полученное алгебраическое уравнение относительно $t$, и для каждого найденного корня $t_i$ решить уравнение $\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right) = t_i$. В итоговый ответ включаются все найденные серии решений.

43.60. a) Найдите наименьшее положительное значение x, при котором касательные к графикам функций $y = 3 \cos \frac{5x}{2}$ и $y = 5 \cos \frac{3x}{2} + 2$ параллельны.

б) Найдите наибольшее отрицательное значение x, при котором касательные к графикам функций $y = 2 - 14 \sin 3x$ и $y = 6 \sin 7x$ параллельны.

а)

Касательные к графикам двух функций параллельны в некоторой точке $x$, если значения их производных в этой точке равны.

Найдем производные для заданных функций $y_1 = 3 \cos\frac{5x}{2}$ и $y_2 = 5 \cos\frac{3x}{2} + 2$.

$y_1' = \left(3 \cos\frac{5x}{2}\right)' = 3 \cdot \left(-\sin\frac{5x}{2}\right) \cdot \left(\frac{5x}{2}\right)' = -3 \sin\frac{5x}{2} \cdot \frac{5}{2} = -\frac{15}{2} \sin\frac{5x}{2}$.

$y_2' = \left(5 \cos\frac{3x}{2} + 2\right)' = 5 \cdot \left(-\sin\frac{3x}{2}\right) \cdot \left(\frac{3x}{2}\right)' + 0 = -\frac{15}{2} \sin\frac{3x}{2}$.

Приравняем производные, чтобы найти значения $x$, при которых касательные параллельны:

$y_1' = y_2' \implies -\frac{15}{2} \sin\frac{5x}{2} = -\frac{15}{2} \sin\frac{3x}{2}$

$\sin\frac{5x}{2} = \sin\frac{3x}{2}$

Это тригонометрическое уравнение имеет две серии решений:

1) $\frac{5x}{2} = \frac{3x}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$\frac{5x}{2} - \frac{3x}{2} = 2\pi k$
$\frac{2x}{2} = 2\pi k$
$x = 2\pi k$

2) $\frac{5x}{2} = \pi - \frac{3x}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$\frac{5x}{2} + \frac{3x}{2} = \pi + 2\pi n$
$4x = \pi(1 + 2n)$
$x = \frac{\pi(1 + 2n)}{4}$

Теперь нам нужно найти наименьшее положительное значение $x$ из этих двух серий решений.

Из первой серии ($x = 2\pi k$): при $k=1$ получаем наименьшее положительное решение $x = 2\pi$.

Из второй серии ($x = \frac{\pi(1 + 2n)}{4}$): при $n=0$ получаем $x = \frac{\pi(1 + 0)}{4} = \frac{\pi}{4}$. Это наименьшее положительное решение в этой серии.

Сравнивая два найденных наименьших положительных решения, $2\pi$ и $\frac{\pi}{4}$, выбираем меньшее из них: $\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

б)

Условие параллельности касательных — равенство производных. Найдем производные для функций $y_1 = 2 - 14 \sin 3x$ и $y_2 = 6 \sin 7x$.

$y_1' = (2 - 14 \sin 3x)' = -14 (\cos 3x) \cdot 3 = -42 \cos 3x$.

$y_2' = (6 \sin 7x)' = 6 (\cos 7x) \cdot 7 = 42 \cos 7x$.

Приравняем производные:

$-42 \cos 3x = 42 \cos 7x$

$\cos 7x = -\cos 3x$

$\cos 7x + \cos 3x = 0$

Используем формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2\cos\frac{7x+3x}{2}\cos\frac{7x-3x}{2} = 0$

$2\cos(5x)\cos(2x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos(5x) = 0$
$5x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5} = \frac{\pi(1+2k)}{10}$

2) $\cos(2x) = 0$
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi(1+2n)}{4}$

Теперь необходимо найти наибольшее отрицательное значение $x$.

Из первой серии ($x = \frac{\pi(1+2k)}{10}$): чтобы $x$ был отрицательным, $1+2k$ должно быть отрицательным. Наибольшее целое $k$, удовлетворяющее этому условию, это $k=-1$. При $k=-1$, $x = \frac{\pi(1-2)}{10} = -\frac{\pi}{10}$.

Из второй серии ($x = \frac{\pi(1+2n)}{4}$): чтобы $x$ был отрицательным, $1+2n$ должно быть отрицательным. Наибольшее целое $n$, удовлетворяющее этому условию, это $n=-1$. При $n=-1$, $x = \frac{\pi(1-2)}{4} = -\frac{\pi}{4}$.

Сравниваем два найденных наибольших отрицательных решения: $-\frac{\pi}{10}$ и $-\frac{\pi}{4}$. Поскольку $-\frac{1}{10} > -\frac{1}{4}$ (или $-0.1 > -0.25$), то наибольшим отрицательным значением является $-\frac{\pi}{10}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{10}$

•43.61. а) Точка A с абсциссой -1 и точка B с абсциссой 1 принадлежат графику функции $y = 2x^3 + 3x^2 - \frac{x}{2} + 1$. Найдите сумму абсцисс всех тех точек, в каждой из которых касательная к этому графику параллельна прямой AB.

б) Точка A с абсциссой -3 и точка B с абсциссой 3 принадлежат графику функции $y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 22x - 28$. Найдите сумму абсцисс всех тех точек, в каждой из которых касательная к этому графику параллельна прямой AB.

a)

Условие задачи состоит в том, чтобы найти сумму абсцисс всех точек, в которых касательная к графику функции $y = 2x^3 + 3x^2 - \frac{x}{2} + 1$ параллельна прямой AB. Точки A и B лежат на графике и имеют абсциссы $x_A = -1$ и $x_B = 1$ соответственно.

1. Найдем координаты точек A и B.
Для точки A с абсциссой $x_A = -1$ найдем ординату $y_A$:
$y_A = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - \frac{-1}{2} + 1 = 2(-1) + 3(1) + \frac{1}{2} + 1 = -2 + 3 + 0.5 + 1 = 2.5$.
Таким образом, координаты точки A: $(-1; 2.5)$.
Для точки B с абсциссой $x_B = 1$ найдем ординату $y_B$:
$y_B = 2(1)^3 + 3(1)^2 - \frac{1}{2} + 1 = 2 + 3 - 0.5 + 1 = 5.5$.
Таким образом, координаты точки B: $(1; 5.5)$.

2. Найдем угловой коэффициент (тангенс угла наклона) прямой AB.
Угловой коэффициент $k_{AB}$ прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{5.5 - 2.5}{1 - (-1)} = \frac{3}{2} = 1.5$.

3. Найдем абсциссы точек, в которых касательная параллельна прямой AB.
Касательная параллельна прямой AB, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $y'(x_0)$ в этой точке. Таким образом, нам нужно решить уравнение $y'(x) = k_{AB}$.
Сначала найдем производную функции $y(x)$: $y'(x) = (2x^3 + 3x^2 - \frac{1}{2}x + 1)' = 6x^2 + 6x - \frac{1}{2}$.
Теперь приравняем производную к угловому коэффициенту прямой AB: $6x^2 + 6x - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
$6x^2 + 6x - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = 0$
$6x^2 + 6x - 2 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2: $3x^2 + 3x - 1 = 0$.

4. Найдем сумму абсцисс.
Корни этого квадратного уравнения $x_1$ и $x_2$ являются искомыми абсциссами. По теореме Виета для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.
В нашем случае $a = 3$, $b = 3$, $c = -1$. Сумма абсцисс равна: $x_1 + x_2 = -\frac{3}{3} = -1$.

Ответ: -1

б)

Условие задачи состоит в том, чтобы найти сумму абсцисс всех точек, в которых касательная к графику функции $y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 22x - 28$ параллельна прямой AB. Точки A и B лежат на графике и имеют абсциссы $x_A = -3$ и $x_B = 3$ соответственно.

1. Найдем координаты точек A и B.
Для точки A с абсциссой $x_A = -3$ найдем ординату $y_A$:
$y_A = \frac{1}{3}(-3)^3 - 2(-3)^2 - 22(-3) - 28 = \frac{1}{3}(-27) - 2(9) + 66 - 28 = -9 - 18 + 66 - 28 = 11$.
Таким образом, координаты точки A: $(-3; 11)$.
Для точки B с абсциссой $x_B = 3$ найдем ординату $y_B$:
$y_B = \frac{1}{3}(3)^3 - 2(3)^2 - 22(3) - 28 = \frac{1}{3}(27) - 2(9) - 66 - 28 = 9 - 18 - 66 - 28 = -103$.
Таким образом, координаты точки B: $(3; -103)$.

2. Найдем угловой коэффициент прямой AB.
$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-103 - 11}{3 - (-3)} = \frac{-114}{6} = -19$.

3. Найдем абсциссы точек, в которых касательная параллельна прямой AB.
Условие параллельности касательной и прямой AB: $y'(x) = k_{AB}$.
Найдем производную функции $y(x)$: $y'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 22x - 28)' = x^2 - 4x - 22$.
Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой AB: $x^2 - 4x - 22 = -19$
$x^2 - 4x - 22 + 19 = 0$
$x^2 - 4x - 3 = 0$.

4. Найдем сумму абсцисс.
По теореме Виета, сумма корней $x_1$ и $x_2$ уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равна $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.
В нашем случае $a = 1$, $b = -4$, $c = -3$. Сумма абсцисс равна: $x_1 + x_2 = -\frac{-4}{1} = 4$.

Ответ: 4

43.62. а) Составьте уравнение общей касательной к графикам функций $y = x^2 - x + 1$ и $y = x^2 + 5x + 4$.

б) Найдите точку пересечения общих касательных к графикам функций $y = x^2$ и $y = -x^2 - 8$.

а)

Пусть уравнение общей касательной имеет вид $y = kx + b$. Эта прямая должна касаться каждого из графиков функций. Условие касания прямой и параболы заключается в том, что система уравнений, составленная из их уравнений, должна иметь ровно одно решение. Это эквивалентно тому, что дискриминант соответствующего квадратного уравнения равен нулю.

1. Касание с графиком функции $y = x^2 - x + 1$:
Приравняем уравнения прямой и параболы:
$x^2 - x + 1 = kx + b$
$x^2 - x - kx + 1 - b = 0$
$x^2 - (1+k)x + (1-b) = 0$
Дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю:
$D_1 = (-(1+k))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1-b) = 0$
$(1+k)^2 - 4(1-b) = 0$
$1 + 2k + k^2 - 4 + 4b = 0$
$k^2 + 2k + 4b - 3 = 0$ (1)

2. Касание с графиком функции $y = x^2 + 5x + 4$:
Приравняем уравнения прямой и параболы:
$x^2 + 5x + 4 = kx + b$
$x^2 + 5x - kx + 4 - b = 0$
$x^2 + (5-k)x + (4-b) = 0$
Дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю:
$D_2 = (5-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4-b) = 0$
$25 - 10k + k^2 - 16 + 4b = 0$
$k^2 - 10k + 4b + 9 = 0$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $k$ и $b$:
$\begin{cases} k^2 + 2k + 4b - 3 = 0 \\ k^2 - 10k + 4b + 9 = 0 \end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого:
$(k^2 + 2k + 4b - 3) - (k^2 - 10k + 4b + 9) = 0$
$12k - 12 = 0$
$12k = 12$
$k = 1$
Подставим найденное значение $k=1$ в первое уравнение системы:
$1^2 + 2(1) + 4b - 3 = 0$
$1 + 2 + 4b - 3 = 0$
$4b = 0$
$b = 0$
Таким образом, уравнение общей касательной: $y = 1 \cdot x + 0$, то есть $y=x$.

Ответ: $y=x$

б)

Сначала найдем уравнения общих касательных к графикам функций $y = x^2$ и $y = -x^2 - 8$. Пусть уравнение касательной имеет вид $y = kx + b$. Аналогично пункту а), составим систему уравнений, исходя из условия равенства нулю дискриминантов.

1. Касание с графиком функции $y = x^2$:
$x^2 = kx + b$
$x^2 - kx - b = 0$
$D_1 = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-b) = 0$
$k^2 + 4b = 0$ (1)

2. Касание с графиком функции $y = -x^2 - 8$:
$-x^2 - 8 = kx + b$
$x^2 + kx + (8+b) = 0$
$D_2 = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8+b) = 0$
$k^2 - 4(8+b) = 0$
$k^2 - 32 - 4b = 0$ (2)

Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} k^2 + 4b = 0 \\ k^2 - 4b - 32 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $k^2 = -4b$. Подставим во второе уравнение:
$(-4b) - 4b - 32 = 0$
$-8b = 32$
$b = -4$
Теперь найдем $k$:
$k^2 = -4b = -4(-4) = 16$
$k = \pm\sqrt{16}$, то есть $k_1 = 4$ и $k_2 = -4$.
Таким образом, мы имеем две общие касательные:
Первая касательная: $y = 4x - 4$
Вторая касательная: $y = -4x - 4$

Теперь найдем точку пересечения этих двух касательных. Для этого приравняем их правые части:
$4x - 4 = -4x - 4$
$8x = 0$
$x = 0$
Подставим найденное значение $x=0$ в уравнение любой из касательных, чтобы найти $y$:
$y = 4(0) - 4 = -4$
Следовательно, точка пересечения общих касательных имеет координаты $(0, -4)$.

Ответ: $(0, -4)$

43.63. Углом между кривыми называют угол между касательными к кривым в точке их пересечения. Под каким углом пересекаются кривые:

а) $y = \frac{1}{x}$ и $y = \sqrt{x}$;

б) $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$?

a)

Для нахождения угла между кривыми $y = \frac{1}{x}$ и $y = \sqrt{x}$ сначала найдем их точку пересечения. Для этого приравняем правые части уравнений:

$\frac{1}{x} = \sqrt{x}$

Область допустимых значений для этого уравнения — $x > 0$. Возведем обе части в квадрат:

$\left(\frac{1}{x}\right)^2 = (\sqrt{x})^2$

$\frac{1}{x^2} = x$

$1 = x^3$, откуда получаем $x_0 = 1$.

Найдем соответствующую ординату, подставив $x_0 = 1$ в любое из уравнений: $y_0 = \sqrt{1} = 1$. Таким образом, точка пересечения кривых — $M(1, 1)$.

Угол между кривыми в точке их пересечения по определению равен углу между касательными к этим кривым в данной точке. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$.

Найдем производные заданных функций:

1. Для кривой $f_1(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$, производная $f_1'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

2. Для кривой $f_2(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$, производная $f_2'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Теперь вычислим угловые коэффициенты касательных в точке пересечения $x_0 = 1$:

$k_1 = f_1'(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$.

$k_2 = f_2'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$.

Тангенс угла $\alpha$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ находится по формуле:

$\tan(\alpha) = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$

Подставим найденные значения:

$\tan(\alpha) = \left| \frac{\frac{1}{2} - (-1)}{1 + (-1) \cdot \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{3}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} \right| = 3$.

Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен $\arctan(3)$.

Ответ: $\arctan(3)$.

б)

Найдем точки пересечения кривых $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$. Приравняем их правые части:

$x^2 = \sqrt{x}$

Область допустимых значений: $x \ge 0$. Возведем обе части в квадрат:

$(x^2)^2 = (\sqrt{x})^2$

$x^4 = x$

$x^4 - x = 0$

$x(x^3 - 1) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие ординаты:

При $x_1 = 0$, $y_1 = 0^2 = 0$. Первая точка пересечения $O(0, 0)$.

При $x_2 = 1$, $y_2 = 1^2 = 1$. Вторая точка пересечения $M(1, 1)$.

Кривые пересекаются в двух точках, поэтому найдем угол пересечения в каждой из них.

Найдем производные функций:

1. Для $g_1(x) = x^2$, производная $g_1'(x) = 2x$.

2. Для $g_2(x) = \sqrt{x}$, производная $g_2'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Случай 1: Точка пересечения $M(1, 1)$

Вычислим угловые коэффициенты касательных в точке $x_2 = 1$:

$k_1 = g_1'(1) = 2 \cdot 1 = 2$.

$k_2 = g_2'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$.

Найдем тангенс угла $\alpha_1$ между касательными:

$\tan(\alpha_1) = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right| = \left| \frac{\frac{1}{2} - 2}{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{-\frac{3}{2}}{1 + 1} \right| = \left| \frac{-\frac{3}{2}}{2} \right| = \frac{3}{4}$.

Угол пересечения в точке $M(1, 1)$ равен $\alpha_1 = \arctan\left(\frac{3}{4}\right)$.

Случай 2: Точка пересечения $O(0, 0)$

Вычислим угловые коэффициенты касательных в точке $x_1 = 0$:

Для кривой $y = x^2$, угловой коэффициент касательной $k_1 = g_1'(0) = 2 \cdot 0 = 0$. Это означает, что касательная к этой кривой в точке $(0, 0)$ — это горизонтальная прямая (ось Ox).

Для кривой $y = \sqrt{x}$, производная $g_2'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ не определена в точке $x = 0$. Найдем предел углового коэффициента при $x$, стремящемся к $0$ справа (так как функция определена для $x \ge 0$):

$\lim_{x \to 0^+} g_2'(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2\sqrt{x}} = +\infty$.

Бесконечный угловой коэффициент означает, что касательная является вертикальной прямой. В точке $(0, 0)$ это ось Oy.

Угол $\alpha_2$ между горизонтальной прямой (ось Ox) и вертикальной прямой (ось Oy) составляет $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

Таким образом, кривые пересекаются в двух точках под разными углами.

Ответ: кривые пересекаются в точке $(1, 1)$ под углом $\arctan\left(\frac{3}{4}\right)$ и в точке $(0, 0)$ под углом $90^\circ$.

43.64. Докажите, что параболы $y = \frac{(x-1)^2}{2}$ и $y = \frac{(x+1)^2}{2}$ перпендикулярны в точке их пересечения.

Для того чтобы доказать, что две кривые перпендикулярны в точке их пересечения, необходимо показать, что их касательные в этой точке перпендикулярны. Условием перпендикулярности двух прямых (не вертикальных и не горизонтальных) является равенство произведения их угловых коэффициентов -1 ($k_1 \cdot k_2 = -1$). Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной этой функции в данной точке.

1. Найдем точку пересечения парабол.

Приравняем уравнения парабол $y = \frac{(x-1)^2}{2}$ и $y = \frac{(x+1)^2}{2}$:$$ \frac{(x-1)^2}{2} = \frac{(x+1)^2}{2} $$Умножим обе части уравнения на 2:$$ (x-1)^2 = (x+1)^2 $$Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:$$ x^2 - 2x + 1 = x^2 + 2x + 1 $$Сократим одинаковые члены в обеих частях уравнения:$$ -2x = 2x $$$$ 4x = 0 $$$$ x = 0 $$Теперь найдем координату $y$, подставив $x = 0$ в уравнение любой из парабол:$$ y = \frac{(0-1)^2}{2} = \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2} $$Таким образом, параболы пересекаются в единственной точке с координатами $\left(0, \frac{1}{2}\right)$.

2. Найдем производные функций.

Найдем производную для первой параболы $y_1(x) = \frac{(x-1)^2}{2}$:$$ y_1'(x) = \left(\frac{1}{2}(x-1)^2\right)' = \frac{1}{2} \cdot 2(x-1)^{2-1} \cdot (x-1)' = x-1 $$Найдем производную для второй параболы $y_2(x) = \frac{(x+1)^2}{2}$:$$ y_2'(x) = \left(\frac{1}{2}(x+1)^2\right)' = \frac{1}{2} \cdot 2(x+1)^{2-1} \cdot (x+1)' = x+1 $$

3. Найдем угловые коэффициенты касательных в точке пересечения.

Вычислим значения производных в точке $x = 0$ (абсцисса точки пересечения), чтобы найти угловые коэффициенты касательных $k_1$ и $k_2$:Угловой коэффициент касательной к первой параболе:$$ k_1 = y_1'(0) = 0 - 1 = -1 $$Угловой коэффициент касательной ко второй параболе:$$ k_2 = y_2'(0) = 0 + 1 = 1 $$

4. Проверим условие перпендикулярности касательных.

Найдем произведение угловых коэффициентов:$$ k_1 \cdot k_2 = (-1) \cdot 1 = -1 $$Поскольку произведение угловых коэффициентов касательных в точке пересечения равно -1, касательные перпендикулярны. Это доказывает, что и сами параболы перпендикулярны в точке их пересечения.

Ответ: Утверждение доказано.

43.65. a) Из какой точки оси y кривая $y = \sqrt{1 + x^2}$ видна под углом $120^\circ$?

б) Найдите множество точек координатной плоскости, из которых парабола $y = x^2$ видна под прямым углом.

а)

Пусть искомая точка на оси $y$ имеет координаты $P(0, y_0)$. Кривая задана уравнением $y = \sqrt{1 + x^2}$. Эта кривая является верхней ветвью гиперболы $y^2 - x^2 = 1$ и симметрична относительно оси $y$.

Если из точки $P$ на оси симметрии кривой можно провести две касательные, то точки касания $T_1$ и $T_2$ также будут симметричны относительно оси $y$. Угол между касательными равен $120^\circ$. В силу симметрии, ось $y$ является биссектрисой этого угла. Следовательно, каждая касательная образует с осью $y$ угол, равный $120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Рассмотрим касательную, проведенную в точку $T(x_t, y_t)$ с $x_t > 0$. Угол, который эта касательная образует с положительным направлением оси $y$, равен $60^\circ$. Пусть $\beta$ — угол, который эта касательная образует с положительным направлением оси $x$. Тогда $\beta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Угловой коэффициент (тангенс угла наклона) этой касательной равен $k = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

С другой стороны, угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_t$ равен значению производной $f'(x_t)$. Найдем производную функции $y = \sqrt{1 + x^2}$: $y' = \left(\sqrt{1 + x^2}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.

В точке касания $(x_t, y_t)$ угловой коэффициент равен $k = \frac{x_t}{\sqrt{1 + x_t^2}}$. Приравнивая два выражения для $k$, получаем: $\frac{x_t}{\sqrt{1 + x_t^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $\frac{x_t^2}{1 + x_t^2} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3x_t^2 = 1 + x_t^2 \Rightarrow 2x_t^2 = 1 \Rightarrow x_t^2 = \frac{1}{2}$. Поскольку мы рассматриваем $x_t > 0$, то $x_t = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Тогда $y_t = \sqrt{1 + x_t^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$. Точка касания $T(\frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{\frac{3}{2}})$.

Уравнение касательной в точке $T$ имеет вид $y - y_t = k(x - x_t)$. Подставим известные значения: $y - \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(x - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

Эта касательная проходит через точку $P(0, y_0)$. Подставим ее координаты в уравнение: $y_0 - \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(0 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ $y_0 - \sqrt{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{6}}$ $y_0 = \sqrt{\frac{3}{2}} - \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} - \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Также можно записать $y_0 = \sqrt{\frac{4}{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$. Таким образом, искомая точка на оси $y$ — это $(0, \sqrt{2/3})$.

Ответ: $(0, \sqrt{2/3})$.

б)

Пусть $P(x_0, y_0)$ — точка, из которой парабола $y = x^2$ видна под прямым углом. Это означает, что две касательные, проведенные из точки $P$ к параболе, перпендикулярны.

Пусть $T(x_t, x_t^2)$ — точка касания на параболе. Производная функции $y=x^2$ равна $y' = 2x$. Угловой коэффициент касательной в точке $T$ равен $k = 2x_t$.

Уравнение касательной в точке $T(x_t, x_t^2)$ имеет вид: $y - x_t^2 = 2x_t(x - x_t)$.

Поскольку касательная проходит через точку $P(x_0, y_0)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной: $y_0 - x_t^2 = 2x_t(x_0 - x_t)$ $y_0 - x_t^2 = 2x_0 x_t - 2x_t^2$ $x_t^2 - 2x_0 x_t + y_0 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно абсциссы точки касания $x_t$. Для того чтобы из точки $P$ можно было провести две различные касательные, это уравнение должно иметь два различных действительных корня, $x_1$ и $x_2$.

Угловые коэффициенты этих двух касательных равны $k_1 = 2x_1$ и $k_2 = 2x_2$.

Условие перпендикулярности двух прямых заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно -1: $k_1 \cdot k_2 = -1$ $(2x_1)(2x_2) = -1$ $4x_1 x_2 = -1$.

Согласно теореме Виета для квадратного уравнения $x_t^2 - 2x_0 x_t + y_0 = 0$, произведение корней $x_1 x_2$ равно свободному члену, то есть $x_1 x_2 = y_0$.

Подставляя это в условие перпендикулярности, получаем: $4y_0 = -1 \Rightarrow y_0 = -1/4$.

Это означает, что любая точка, из которой парабола видна под прямым углом, должна лежать на прямой $y = -1/4$.

Проверим, выполняется ли для точек этой прямой условие существования двух различных касательных. Дискриминант квадратного уравнения должен быть положителен: $D = (-2x_0)^2 - 4(1)(y_0) = 4x_0^2 - 4y_0 > 0$ $x_0^2 - y_0 > 0$.

Подставим $y_0 = -1/4$: $x_0^2 - (-1/4) > 0 \Rightarrow x_0^2 + 1/4 > 0$. Это неравенство справедливо для любого действительного значения $x_0$, так как $x_0^2 \ge 0$.

Следовательно, искомое множество точек — это все точки прямой $y = -1/4$. Эта прямая является директрисой параболы $y=x^2$.

Ответ: множество точек, из которых парабола $y = x^2$ видна под прямым углом, является прямой $y = -1/4$.