Страница 257, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

43.33. Напишите уравнения тех касательных к графику функции $y = \arcsin x$, которые параллельны заданной прямой:

а) $y = 2x - 3$;

б) $y = x + 2$.

а) Касательная к графику функции $y = \arcsin x$ параллельна прямой $y = 2x - 3$, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент прямой $y = 2x - 3$ равен $k=2$. Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $y'(x_0)$.

Найдем производную функции $y = \arcsin x$:

$y' = (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Приравняем производную к заданному угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$\frac{1}{\sqrt{1-x_0^2}} = 2$

Решим полученное уравнение:

$\sqrt{1-x_0^2} = \frac{1}{2}$

Возведем обе части в квадрат:

$1 - x_0^2 = \frac{1}{4}$

$x_0^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$x_0 = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, существует две точки касания. Найдем уравнения касательных для каждой из них, используя общую формулу уравнения касательной $y = y_0 + k(x-x_0)$, где $y_0 = \arcsin(x_0)$.

1. Для точки касания с абсциссой $x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ордината равна $y_0 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$. Уравнение касательной:

$y = \frac{\pi}{3} + 2\left(x - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$y = \frac{\pi}{3} + 2x - \sqrt{3}$

2. Для точки касания с абсциссой $x_0 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ ордината равна $y_0 = \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$. Уравнение касательной:

$y = -\frac{\pi}{3} + 2\left(x - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)$

$y = -\frac{\pi}{3} + 2\left(x + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$y = -\frac{\pi}{3} + 2x + \sqrt{3}$

Ответ: $y = 2x - \sqrt{3} + \frac{\pi}{3}$ и $y = 2x + \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.

б) Прямая $y = x + 2$ имеет угловой коэффициент $k=1$. Искомая касательная будет параллельна этой прямой, если ее угловой коэффициент также равен 1.

Приравняем производную функции $y = \arcsin x$ к 1, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$\frac{1}{\sqrt{1-x_0^2}} = 1$

Решим уравнение:

$\sqrt{1-x_0^2} = 1$

$1 - x_0^2 = 1$

$x_0^2 = 0 \implies x_0 = 0$

Существует одна точка касания с абсциссой $x_0 = 0$.

Найдем ординату этой точки: $y_0 = \arcsin(0) = 0$.

Точка касания — $(0, 0)$.

Напишем уравнение касательной, проходящей через точку $(0,0)$ с угловым коэффициентом $k=1$:

$y - 0 = 1(x - 0)$

$y = x$

Ответ: $y=x$.

В какой точке графика заданной функции $y = f(x)$ касательная параллельна заданной прямой:

43.34. a) $y = 3 + x$, $f(x) = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 10x - 4$;

б) $y = 0$, $f(x) = \frac{x^4}{4} - x^2 + 8$;

в) $y = x - 3$, $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x - 7$;

г) $y = 2$, $f(x) = \frac{5}{4}x^4 - x^3 + 6?

а) Условие параллельности касательной к графику функции $y = f(x)$ и прямой $y = kx + b$ состоит в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$, а угловой коэффициент заданной прямой $y = 3 + x$ (или $y=x+3$) равен $k=1$.
Найдем производную функции $f(x) = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 10x - 4$:
$f'(x) = (\frac{x^3}{3})' - (3x^2)' + (10x)' - (4)' = x^2 - 6x + 10$.
Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой, чтобы найти абсциссу $x_0$ точки касания:
$f'(x_0) = 1$
$x_0^2 - 6x_0 + 10 = 1$
$x_0^2 - 6x_0 + 9 = 0$
$(x_0 - 3)^2 = 0$
$x_0 = 3$.
Теперь найдем ординату $y_0$, подставив $x_0 = 3$ в исходную функцию:
$y_0 = f(3) = \frac{3^3}{3} - 3 \cdot 3^2 + 10 \cdot 3 - 4 = 9 - 27 + 30 - 4 = 8$.
Искомая точка имеет координаты $(3, 8)$.
Ответ: $(3, 8)$.

б) Касательная к графику функции $f(x)$ должна быть параллельна прямой $y=0$. Прямая $y=0$ — это ось абсцисс, ее угловой коэффициент $k=0$. Условие параллельности — равенство углового коэффициента касательной, $f'(x_0)$, и углового коэффициента прямой, $k=0$.
Дана функция $f(x) = \frac{x^4}{4} - x^2 + 8$.
Найдем ее производную:
$f'(x) = (\frac{x^4}{4})' - (x^2)' + (8)' = \frac{4x^3}{4} - 2x = x^3 - 2x$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссы $x_0$ точек касания:
$f'(x_0) = 0$
$x_0^3 - 2x_0 = 0$
$x_0(x_0^2 - 2) = 0$
Отсюда получаем три возможных значения для $x_0$: $x_0 = 0$, $x_0 = \sqrt{2}$, $x_0 = -\sqrt{2}$.
Теперь найдем соответствующие ординаты $y_0$ для каждой абсциссы:
При $x_0 = 0$: $y_0 = f(0) = \frac{0^4}{4} - 0^2 + 8 = 8$. Точка: $(0, 8)$.
При $x_0 = \sqrt{2}$: $y_0 = f(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^4}{4} - (\sqrt{2})^2 + 8 = \frac{4}{4} - 2 + 8 = 1 - 2 + 8 = 7$. Точка: $(\sqrt{2}, 7)$.
При $x_0 = -\sqrt{2}$: $y_0 = f(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^4}{4} - (-\sqrt{2})^2 + 8 = \frac{4}{4} - 2 + 8 = 7$. Точка: $(-\sqrt{2}, 7)$.
Ответ: $(0, 8)$, $(\sqrt{2}, 7)$, $(-\sqrt{2}, 7)$.

в) Касательная к графику функции $f(x)$ должна быть параллельна прямой $y = x - 3$. Угловой коэффициент этой прямой $k=1$.
Дана функция $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x - 7$.
Найдем ее производную:
$f'(x) = (\frac{x^3}{3})' - (x^2)' + (2x)' - (7)' = x^2 - 2x + 2$.
Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой, чтобы найти абсциссу $x_0$ точки касания:
$f'(x_0) = 1$
$x_0^2 - 2x_0 + 2 = 1$
$x_0^2 - 2x_0 + 1 = 0$
$(x_0 - 1)^2 = 0$
$x_0 = 1$.
Найдем ординату $y_0$, подставив $x_0=1$ в исходную функцию:
$y_0 = f(1) = \frac{1^3}{3} - 1^2 + 2(1) - 7 = \frac{1}{3} - 1 + 2 - 7 = \frac{1}{3} - 6 = \frac{1 - 18}{3} = -\frac{17}{3}$.
Искомая точка: $(1, -17/3)$.
Ответ: $(1, -\frac{17}{3})$.

г) Касательная к графику функции $f(x)$ должна быть параллельна прямой $y=2$. Прямая $y=2$ — это горизонтальная прямая, ее угловой коэффициент $k=0$.
Дана функция $f(x) = \frac{5}{4}x^4 - x^3 + 6$.
Найдем ее производную:
$f'(x) = (\frac{5}{4}x^4)' - (x^3)' + (6)' = \frac{5}{4} \cdot 4x^3 - 3x^2 = 5x^3 - 3x^2$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссы $x_0$ точек касания:
$f'(x_0) = 0$
$5x_0^3 - 3x_0^2 = 0$
$x_0^2(5x_0 - 3) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $x_0$: $x_0 = 0$ и $x_0 = \frac{3}{5}$.
Теперь найдем соответствующие ординаты $y_0$ для каждой абсциссы:
При $x_0 = 0$: $y_0 = f(0) = \frac{5}{4}(0)^4 - 0^3 + 6 = 6$. Точка: $(0, 6)$.
При $x_0 = \frac{3}{5}$: $y_0 = f(\frac{3}{5}) = \frac{5}{4}(\frac{3}{5})^4 - (\frac{3}{5})^3 + 6 = \frac{5}{4} \cdot \frac{81}{625} - \frac{27}{125} + 6 = \frac{81}{500} - \frac{27 \cdot 4}{500} + 6 = \frac{81-108}{500} + 6 = -\frac{27}{500} + \frac{3000}{500} = \frac{2973}{500}$. Точка: $(\frac{3}{5}, \frac{2973}{500})$.
Ответ: $(0, 6)$, $(\frac{3}{5}, \frac{2973}{500})$.

43.35. а) $f(x) = \sin x, y = -x;$

Б) $f(x) = \cos 3x, y = 0;$

В) $f(x) = \operatorname{tg} x, y = x;$

Г) $f(x) = \sin \frac{x}{2}, y = -1?;$

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $f(x) = \sin x$ и $y = -x$, необходимо решить уравнение $f(x) = y$, то есть $\sin x = -x$.

Перенесем все члены в одну сторону: $\sin x + x = 0$.

Очевидно, что $x=0$ является корнем данного уравнения, так как $\sin 0 + 0 = 0$.

Чтобы определить, есть ли другие корни, рассмотрим функцию $g(x) = \sin x + x$. Найдем ее производную: $g'(x) = (\sin x + x)' = \cos x + 1$.

Поскольку значение косинуса всегда находится в диапазоне $[-1, 1]$, то есть $\cos x \ge -1$, производная $g'(x) = \cos x + 1 \ge 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $g(x)$ является неубывающей на всей числовой прямой.

Производная обращается в ноль только в точках, где $\cos x = -1$, то есть при $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В остальных точках $g'(x) > 0$. Так как функция является строго возрастающей почти везде (имеет лишь точки перегиба, а не участки постоянства), она может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение 0) не более одного раза.

Поскольку мы уже нашли корень $x=0$, он является единственным.

Ответ: $x=0$.

б) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $f(x) = \cos 3x$ и $y = 0$, нужно решить уравнение $\cos 3x = 0$.

Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого числа $k$.

Следовательно, $3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделив обе части уравнения на 3, получим решение для $x$:

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

в) Для нахождения точек пересечения графиков функций $f(x) = \operatorname{tg} x$ и $y = x$ решим уравнение $\operatorname{tg} x = x$.

Очевидным решением является $x=0$, так как $\operatorname{tg} 0 = 0$.

Чтобы исследовать наличие других решений, рассмотрим функцию $g(x) = \operatorname{tg} x - x$. Ее производная равна $g'(x) = (\operatorname{tg} x - x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - 1 = \sec^2 x - 1 = \operatorname{tg}^2 x$.

Так как $\operatorname{tg}^2 x \ge 0$, функция $g(x)$ является неубывающей на каждом из интервалов своей области определения, то есть на $(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2})$ для $k \in \mathbb{Z}$.

В интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, содержащем решение $x=0$, производная $g'(x) = \operatorname{tg}^2 x > 0$ для всех $x \neq 0$. Это означает, что функция $g(x)$ строго возрастает на этом интервале, и поскольку $g(0) = 0$, других корней в этом интервале нет.

Рассмотрим другие интервалы, например, $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. На границах этого интервала имеем: $\lim_{x \to (\pi/2)^+} g(x) = -\infty$ и $\lim_{x \to (3\pi/2)^-} g(x) = +\infty$. Так как $g(x)$ непрерывна и строго возрастает на этом интервале (производная равна нулю только в точке $x=\pi$), по теореме о промежуточном значении существует ровно один корень.

Аналогичная ситуация повторяется для каждого интервала $(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2})$ при $k \neq 0$. Таким образом, уравнение имеет бесконечное множество решений.

Ответ: $x=0$ и бесконечное множество других корней, которые не могут быть выражены через элементарные функции. Для каждого целого $k \neq 0$ существует ровно один корень в интервале $(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2})$.

г) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $f(x) = \sin \frac{x}{2}$ и $y = -1$, решим уравнение $\sin \frac{x}{2} = -1$.

Синус равен -1, когда его аргумент равен $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ для любого целого числа $k$.

Таким образом, $\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = 2 \cdot (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = -\pi + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

43.36. a) $f(x) = \cos^2 x$, $y = -x + 3$;

б) $f(x) = \text{arcctg} (x^2)$, $y = -3$;

в) $f(x) = \sqrt{\sin x}$, $y = 5$;

г) $f(x) = (\arcsin x)^2$, $y = -5$?

а) Требуется решить уравнение $\cos^2 x = -x + 3$.
Это трансцендентное уравнение, которое, как правило, не решается аналитически в элементарных функциях. Вместо этого докажем существование и единственность решения.
Рассмотрим две функции: $g(x) = \cos^2 x$ и $h(x) = -x + 3$.
Область значений функции $g(x) = \cos^2 x$ — это отрезок $[0, 1]$, так как $-1 \le \cos x \le 1$, и, следовательно, $0 \le \cos^2 x \le 1$.
Для того чтобы уравнение имело решение, значения функции $h(x)$ также должны принадлежать отрезку $[0, 1]$. Получаем двойное неравенство:$0 \le -x + 3 \le 1$.
Решим эту систему неравенств:
1) $-x + 3 \ge 0 \implies 3 \ge x \implies x \le 3$.
2) $-x + 3 \le 1 \implies 2 \le x$.
Таким образом, если решение существует, оно должно находиться в отрезке $[2, 3]$.
Рассмотрим вспомогательную функцию $F(x) = \cos^2 x - (-x + 3) = \cos^2 x + x - 3$. Решения исходного уравнения являются корнями уравнения $F(x) = 0$.
Вычислим значения $F(x)$ на концах отрезка $[2, 3]$:
$F(2) = \cos^2(2) + 2 - 3 = \cos^2(2) - 1 = -\sin^2(2)$. Так как $2$ радиана находится во второй четверти ($\pi/2 < 2 < \pi$), $\sin(2) > 0$, следовательно $F(2) < 0$.
$F(3) = \cos^2(3) + 3 - 3 = \cos^2(3)$. Так как $3$ радиана также находится во второй четверти ($\pi/2 < 3 < \pi$), $\cos(3) \ne 0$, следовательно $\cos^2(3) > 0$ и $F(3) > 0$.
Функция $F(x)$ непрерывна на отрезке $[2, 3]$, и на его концах принимает значения разного знака ($F(2) < 0$ и $F(3) > 0$). По теореме о промежуточном значении, на интервале $(2, 3)$ существует хотя бы один корень уравнения $F(x)=0$.
Для доказательства единственности корня найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = (\cos^2 x + x - 3)' = 2\cos x (-\sin x) + 1 = 1 - \sin(2x)$.
Поскольку область значений функции $\sin(2x)$ — это $[-1, 1]$, то $F'(x) = 1 - \sin(2x) \ge 1 - 1 = 0$.Производная $F'(x)$ всегда неотрицательна, значит, функция $F(x)$ является неубывающей. $F'(x) = 0$ только если $\sin(2x) = 1$, то есть при $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in Z$. Ни одно из этих значений не попадает в отрезок $[2, 3]$. Следовательно, на отрезке $[2, 3]$ производная $F'(x)$ строго положительна, а значит, функция $F(x)$ строго возрастает.
Так как $F(x)$ строго возрастает на $[2, 3]$ и меняет знак с минуса на плюс, она пересекает ось абсцисс ровно один раз. Следовательно, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: Уравнение имеет единственный корень, который находится в интервале $(2, 3)$.

б) Требуется решить уравнение $\arcctg(x^2) = -3$.
Область значений функции арккотангенс, $y = \arcctg(t)$, есть интервал $(0, \pi)$.
В данном случае аргументом арккотангенса является $x^2$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то аргумент $t = x^2$ принадлежит промежутку $[0, +\infty)$.
Функция арккотангенс является убывающей. На промежутке $[0, +\infty)$ ее значения находятся в полуинтервале $(0, \pi/2]$, так как $\arcctg(0) = \pi/2$ и $\lim_{t\to\infty} \arcctg(t) = 0$.
Таким образом, область значений функции $f(x) = \arcctg(x^2)$ есть $(0, \pi/2]$.
Правая часть уравнения равна $-3$. Число $-3$ не принадлежит области значений функции $f(x)$, так как все ее значения положительны.
Следовательно, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: Уравнение не имеет решений.

в) Требуется решить уравнение $\sqrt{\sin x} = 5$.
Рассмотрим область значений функции $f(x) = \sqrt{\sin x}$.
Для того чтобы функция была определена, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\sin x \ge 0$.В области определения функции $\sin x$ принимает значения из отрезка $[0, 1]$.
Следовательно, $\sqrt{\sin x}$ принимает значения из отрезка $[\sqrt{0}, \sqrt{1}]$, то есть $[0, 1]$.
Область значений функции $f(x) = \sqrt{\sin x}$ — это отрезок $[0, 1]$.
В уравнении $\sqrt{\sin x} = 5$ правая часть равна $5$. Число $5$ не принадлежит области значений функции $[0, 1]$.
Другой способ: возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{\sin x})^2 = 5^2$
$\sin x = 25$
Область значений функции синус — отрезок $[-1, 1]$. Так как $25$ не входит в этот отрезок, уравнение $\sin x = 25$ не имеет решений.
Ответ: Уравнение не имеет решений.

г) Вопрос: может ли уравнение $(\arcsin x)^2 = -5$ иметь решение?
Рассмотрим левую часть уравнения: $(\arcsin x)^2$.
Функция $y = \arcsin x$ определена для $x \in [-1, 1]$ и принимает значения из отрезка $[-\pi/2, \pi/2]$.
Для любого $x$ из области определения $\arcsin x$ является действительным числом. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. То есть, $(\arcsin x)^2 \ge 0$ для всех $x \in [-1, 1]$.
Правая часть уравнения равна $-5$, что является отрицательным числом.
Уравнение $(\arcsin x)^2 = -5$ приравнивает неотрицательное число к отрицательному, что невозможно.
Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: Нет, это уравнение не может иметь решений, так как квадрат любого действительного числа (в данном случае $\arcsin x$) не может быть отрицательным.

К графику заданной функции проведите касательную так, чтобы она была параллельна прямой $y = 2 - x$:

43.37. a) $y = \frac{x^3}{3} + \frac{5}{2}x^2 - x$;

б) $y = \frac{x^3}{3} + x^2 - x$.

Условие параллельности двух прямых — равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент прямой $y = 2 - x$ равен $k = -1$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке: $k_{кас} = f'(x_0)$.

Следовательно, нам нужно найти точки $x_0$, в которых производная заданной функции равна $-1$.

Общее уравнение касательной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид: $y = y_0 + f'(x_0)(x - x_0)$.

a) Дана функция $y = \frac{x^3}{3} + \frac{5}{2}x^2 - x$.

1. Найдем производную функции: $y' = (\frac{x^3}{3} + \frac{5}{2}x^2 - x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + \frac{5}{2} \cdot 2x - 1 = x^2 + 5x - 1$.

2. Приравняем производную к угловому коэффициенту $k = -1$, чтобы найти абсциссы точек касания $x_0$: $x_0^2 + 5x_0 - 1 = -1$ $x_0^2 + 5x_0 = 0$ $x_0(x_0 + 5) = 0$ Получаем две точки касания: $x_{0_1} = 0$ и $x_{0_2} = -5$.

3. Найдем уравнения касательных для каждой точки.

Для $x_0 = 0$: Найдем ординату точки касания: $y_0 = \frac{0^3}{3} + \frac{5}{2} \cdot 0^2 - 0 = 0$. Точка касания — $(0, 0)$. Уравнение касательной: $y = 0 + (-1)(x - 0)$ $y = -x$

Для $x_0 = -5$: Найдем ординату точки касания: $y_0 = \frac{(-5)^3}{3} + \frac{5}{2}(-5)^2 - (-5) = -\frac{125}{3} + \frac{5}{2} \cdot 25 + 5 = -\frac{125}{3} + \frac{125}{2} + 5$ $y_0 = \frac{-250 + 375 + 30}{6} = \frac{155}{6}$. Точка касания — $(-5, \frac{155}{6})$. Уравнение касательной: $y = \frac{155}{6} + (-1)(x - (-5))$ $y = \frac{155}{6} - (x + 5)$ $y = \frac{155}{6} - x - 5$ $y = -x + \frac{155 - 30}{6}$ $y = -x + \frac{125}{6}$

Ответ: $y = -x$ и $y = -x + \frac{125}{6}$.

б) Дана функция $y = \frac{x^3}{3} + x^2 - x$.

1. Найдем производную функции: $y' = (\frac{x^3}{3} + x^2 - x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2x - 1 = x^2 + 2x - 1$.

2. Приравняем производную к угловому коэффициенту $k = -1$, чтобы найти абсциссы точек касания $x_0$: $x_0^2 + 2x_0 - 1 = -1$ $x_0^2 + 2x_0 = 0$ $x_0(x_0 + 2) = 0$ Получаем две точки касания: $x_{0_1} = 0$ и $x_{0_2} = -2$.

3. Найдем уравнения касательных для каждой точки.

Для $x_0 = 0$: Найдем ординату точки касания: $y_0 = \frac{0^3}{3} + 0^2 - 0 = 0$. Точка касания — $(0, 0)$. Уравнение касательной: $y = 0 + (-1)(x - 0)$ $y = -x$

Для $x_0 = -2$: Найдем ординату точки касания: $y_0 = \frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 - (-2) = -\frac{8}{3} + 4 + 2 = -\frac{8}{3} + 6$ $y_0 = \frac{-8 + 18}{3} = \frac{10}{3}$. Точка касания — $(-2, \frac{10}{3})$. Уравнение касательной: $y = \frac{10}{3} + (-1)(x - (-2))$ $y = \frac{10}{3} - (x + 2)$ $y = \frac{10}{3} - x - 2$ $y = -x + \frac{10 - 6}{3}$ $y = -x + \frac{4}{3}$

Ответ: $y = -x$ и $y = -x + \frac{4}{3}$.

43.38. a) $y = \frac{3x + 7}{x - 3}$

б) $y = \frac{x + 9}{x + 8}$

Дана функция $y = \frac{3x + 7}{x - 3}$. Это дробно-линейная функция, графиком которой является гипербола. Чтобы дать развернутый ответ, найдем ее область определения и область значений.

Поиск области определения ($D(y)$)

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Для данной функции единственное ограничение состоит в том, что знаменатель дроби не может быть равен нулю.
$x - 3 \neq 0$
$x \neq 3$
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=3$. Прямая $x=3$ является вертикальной асимптотой графика.
Запишем область определения в виде объединения интервалов: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Поиск области значений ($E(y)$)

Чтобы найти область значений, удобнее всего преобразовать исходное выражение, выделив в нем целую часть. Для этого представим числитель $3x + 7$ таким образом, чтобы в нем содержалось выражение из знаменателя $(x-3)$:
$3x + 7 = 3x - 9 + 9 + 7 = 3(x - 3) + 16$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в функцию:
$y = \frac{3(x-3) + 16}{x - 3} = \frac{3(x - 3)}{x - 3} + \frac{16}{x - 3} = 3 + \frac{16}{x - 3}$.
Из полученной формы $y = 3 + \frac{16}{x - 3}$ видно, что второе слагаемое, дробь $\frac{16}{x - 3}$, может принимать любое значение, кроме нуля (так как числитель $16 \neq 0$). Следовательно, значение $y$ может быть любым, кроме $y=3$. Прямая $y=3$ является горизонтальной асимптотой.
Запишем область значений в виде объединения интервалов: $E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Рассмотрим функцию $y = \frac{x + 9}{x + 8}$. Аналогично предыдущему пункту, найдем ее область определения и область значений.

Поиск области определения ($D(y)$)

Знаменатель дроби не должен обращаться в ноль:
$x + 8 \neq 0$
$x \neq -8$
Следовательно, область определения — это все действительные числа, кроме $-8$. Прямая $x=-8$ является вертикальной асимптотой.
$D(y) = (-\infty; -8) \cup (-8; +\infty)$.

Поиск области значений ($E(y)$)

Выделим целую часть, представив числитель $x+9$ через знаменатель $x+8$:
$x+9 = (x+8) + 1$.
Подставим это в функцию:
$y = \frac{(x+8) + 1}{x + 8} = \frac{x+8}{x+8} + \frac{1}{x+8} = 1 + \frac{1}{x+8}$.
Из выражения $y = 1 + \frac{1}{x+8}$ видно, что дробь $\frac{1}{x+8}$ не может быть равна нулю. Таким образом, $y$ не может принимать значение, равное 1. Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.
Область значений функции: $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; -8) \cup (-8; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

43.39. a) $y = -4\sqrt{x+7}$;

б) $y = \sqrt{1-2x}$.

а) Для функции $y = -4\sqrt{x+7}$ найдем область определения и область значений.

1. Область определения (D(y)). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x + 7 \ge 0$

Решая неравенство, получаем:

$x \ge -7$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-7; +\infty)$.

2. Область значений (E(y)). Значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно:

$\sqrt{x+7} \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -4. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-4\sqrt{x+7} \le -4 \cdot 0$

$-4\sqrt{x+7} \le 0$

Поскольку $y = -4\sqrt{x+7}$, то $y \le 0$.

Таким образом, область значений функции: $E(y) = (-\infty; 0]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-7; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; 0]$.

б) Для функции $y = \sqrt{1-2x}$ найдем область определения и область значений.

1. Область определения (D(y)). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$1 - 2x \ge 0$

Решая неравенство, получаем:

$-2x \ge -1$

$x \le \frac{-1}{-2}$

$x \le 0.5$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0.5]$.

2. Область значений (E(y)). Арифметический квадратный корень по определению принимает только неотрицательные значения:

$\sqrt{1-2x} \ge 0$

Поскольку $y = \sqrt{1-2x}$, то $y \ge 0$.

Таким образом, область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0.5]$; область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

43.39. a) $y = 1 + x^{2}$;

б) $y = \sqrt{1 - 2x}$.

43.40. a) $y = \arccos x$;

б) $y = \operatorname{arcctg} x$.

а) $y = \arccos x$

Чтобы найти производную функции $y = \arccos x$, мы воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции. Из определения арккосинуса, если $y = \arccos x$, то $x = \cos y$. Область значений функции арккосинус: $y \in [0, \pi]$.

Продифференцируем неявно равенство $x = \cos y$ по переменной $x$, считая $y$ функцией от $x$: $(x)'_x = (\cos y)'_x$

Производная левой части равна 1. Для правой части используем правило дифференцирования сложной функции: $1 = (\cos y)'_y \cdot y'_x$ $1 = (-\sin y) \cdot y'$

Отсюда выражаем $y'$: $y' = -\frac{1}{\sin y}$

Теперь необходимо выразить $\sin y$ через $x$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$. Отсюда $\sin^2 y = 1 - \cos^2 y$. Поскольку $x = \cos y$, мы можем записать $\sin^2 y = 1 - x^2$.

Так как $y \in [0, \pi]$, то $\sin y \ge 0$. Производная существует при $\sin y \neq 0$, то есть при $y \in (0, \pi)$. На этом интервале $\sin y$ строго положителен, поэтому мы берем положительное значение корня: $\sin y = \sqrt{1 - x^2}$

Подставляем это выражение в формулу для $y'$: $y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Ответ: $y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.

б) $y = \arcctg x$

Аналогично предыдущему пункту, воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции. Из определения арккотангенса, если $y = \arcctg x$, то $x = \ctg y$. Область значений функции арккотангенс: $y \in (0, \pi)$.

Продифференцируем неявно равенство $x = \ctg y$ по переменной $x$: $(x)'_x = (\ctg y)'_x$

Используя правило дифференцирования сложной функции для правой части, получаем: $1 = (\ctg y)'_y \cdot y'_x$ $1 = \left(-\frac{1}{\sin^2 y}\right) \cdot y'$

Выразим $y'$: $y' = -\sin^2 y$

Теперь выразим $\sin^2 y$ через $x$. Используем тригонометрическое тождество: $1 + \ctg^2 y = \frac{1}{\sin^2 y}$. Из этого тождества следует, что $\sin^2 y = \frac{1}{1 + \ctg^2 y}$.

Поскольку $x = \ctg y$, мы можем подставить $x$ в это выражение: $\sin^2 y = \frac{1}{1 + x^2}$

Подставляем полученное выражение в формулу для $y'$: $y' = -\frac{1}{1 + x^2}$

Ответ: $y' = -\frac{1}{1 + x^2}$.

043.41. а) На графике функции $y = x^3 - 3x^2 + x + 1$ найдите точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $45^\circ$. Составьте уравнения этих касательных.

б) На графике функции $y = \frac{3x + 7}{x + 2}$ найдите точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $135^\circ$. Составьте уравнения этих касательных.

а)

Дана функция $y = x^3 - 3x^2 + x + 1$. Угловой коэффициент касательной $k$ к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = y'(x_0)$. Геометрический смысл производной заключается в том, что она равна тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс: $k = \tan(\alpha)$.

По условию задачи, угол наклона касательной составляет $\alpha = 45^\circ$. Найдем угловой коэффициент: $k = \tan(45^\circ) = 1$.

Теперь найдем производную функции $y(x)$: $y' = (x^3 - 3x^2 + x + 1)' = 3x^2 - 6x + 1$.

Чтобы найти абсциссы точек касания, приравняем производную к найденному угловому коэффициенту: $y'(x_0) = 1$ $3x_0^2 - 6x_0 + 1 = 1$ $3x_0^2 - 6x_0 = 0$ $3x_0(x_0 - 2) = 0$ Отсюда получаем две абсциссы точек касания: $x_{0_1} = 0$ и $x_{0_2} = 2$.

Найдем соответствующие ординаты этих точек, подставив найденные значения $x_0$ в исходное уравнение функции: При $x_0 = 0$: $y_0 = 0^3 - 3(0)^2 + 0 + 1 = 1$. Таким образом, первая точка касания – $(0; 1)$. При $x_0 = 2$: $y_0 = 2^3 - 3(2)^2 + 2 + 1 = 8 - 12 + 2 + 1 = -1$. Таким образом, вторая точка касания – $(2; -1)$.

Теперь составим уравнения касательных, используя общую формулу $y = y_0 + k(x - x_0)$. Для точки $(0; 1)$ с угловым коэффициентом $k=1$: $y = 1 + 1 \cdot (x - 0)$ $y = x + 1$

Для точки $(2; -1)$ с угловым коэффициентом $k=1$: $y = -1 + 1 \cdot (x - 2)$ $y = -1 + x - 2$ $y = x - 3$

Ответ: точки касания $(0; 1)$ и $(2; -1)$, уравнения касательных $y = x + 1$ и $y = x - 3$.

б)

Дана функция $y = \frac{3x + 7}{x + 2}$. По условию, касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $\alpha = 135^\circ$. Найдем угловой коэффициент касательной $k$: $k = \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$.

Найдем производную функции $y(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $y' = \left(\frac{3x + 7}{x + 2}\right)' = \frac{(3x + 7)'(x + 2) - (3x + 7)(x + 2)'}{(x + 2)^2} = \frac{3(x + 2) - (3x + 7) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{3x + 6 - 3x - 7}{(x + 2)^2} = \frac{-1}{(x + 2)^2}$.

Приравняем значение производной к угловому коэффициенту $k=-1$, чтобы найти абсциссы точек касания $x_0$: $\frac{-1}{(x_0 + 2)^2} = -1$ $(x_0 + 2)^2 = 1$ Из этого уравнения получаем два случая: 1) $x_0 + 2 = 1 \implies x_{0_1} = -1$ 2) $x_0 + 2 = -1 \implies x_{0_2} = -3$

Найдем ординаты этих точек, подставив значения $x_0$ в исходное уравнение функции: При $x_0 = -1$: $y_0 = \frac{3(-1) + 7}{-1 + 2} = \frac{4}{1} = 4$. Первая точка касания – $(-1; 4)$. При $x_0 = -3$: $y_0 = \frac{3(-3) + 7}{-3 + 2} = \frac{-2}{-1} = 2$. Вторая точка касания – $(-3; 2)$.

Составим уравнения касательных для каждой точки с угловым коэффициентом $k=-1$. Для точки $(-1; 4)$: $y = 4 + (-1) \cdot (x - (-1))$ $y = 4 - (x + 1)$ $y = 4 - x - 1$ $y = -x + 3$

Для точки $(-3; 2)$: $y = 2 + (-1) \cdot (x - (-3))$ $y = 2 - (x + 3)$ $y = 2 - x - 3$ $y = -x - 1$

Ответ: точки касания $(-1; 4)$ и $(-3; 2)$, уравнения касательных $y = -x + 3$ и $y = -x - 1$.