Страница 253, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

43.4. а) $f(x) = \sqrt{x-7}$, $a = 8$;

б) $f(x) = \sqrt{4-5x}$, $a = 0$;

в) $f(x) = \sqrt{10+x}$, $a = -5$;

г) $f(x) = \sqrt{3.5-0.5x}$, $a = -1$.

а) Чтобы найти значение $x$, при котором $f(x) = a$, необходимо решить уравнение $\sqrt{x - 7} = 8$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 7 \ge 0$, откуда $x \ge 7$.

Так как правая часть уравнения ($8$) является неотрицательным числом, можно возвести обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x - 7})^2 = 8^2$

$x - 7 = 64$

Перенесем $-7$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$x = 64 + 7$

$x = 71$

Полученное значение $x=71$ удовлетворяет ОДЗ ($71 \ge 7$), следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: $x = 71$.

б) Необходимо решить уравнение $\sqrt{4 - 5x} = 0$.

Найдем ОДЗ: $4 - 5x \ge 0$, откуда $4 \ge 5x$, что равносильно $x \le \frac{4}{5}$ или $x \le 0.8$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{4 - 5x})^2 = 0^2$

$4 - 5x = 0$

Перенесем $5x$ в правую часть:

$4 = 5x$

$x = \frac{4}{5}$

$x = 0.8$

Значение $x = 0.8$ удовлетворяет ОДЗ ($0.8 \le 0.8$).

Ответ: $x = 0.8$.

в) Необходимо решить уравнение $\sqrt{10 + x} = -5$.

По определению, арифметический квадратный корень из любого действительного числа является неотрицательной величиной. То есть, для любого $x$ из области определения, $\sqrt{10 + x} \ge 0$.

В данном уравнении левая часть неотрицательна, а правая часть равна $-5$, то есть отрицательна. Равенство между неотрицательным и отрицательным числом невозможно.

Следовательно, уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: решений нет.

г) Необходимо решить уравнение $\sqrt{3,5 - 0,5x} = -1$.

Аналогично предыдущему пункту, значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным. Левая часть уравнения, $\sqrt{3,5 - 0,5x}$, всегда больше или равна нулю ($\ge 0$).

Правая часть уравнения равна $-1$, что является отрицательным числом. Неотрицательное число не может равняться отрицательному.

Таким образом, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

43.5. a) $f(x) = \sin x, a = 0;$

В) $f(x) = \cos 3x, a = \frac{\pi}{2};$

б) $f(x) = \operatorname{tg} 2x, a = \frac{\pi}{8};$

Г) $f(x) = \operatorname{ctg} x, a = \frac{\pi}{3}.$

а) Дана функция $f(x) = \sin x$ и точка $a = 0$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$.

Производная синуса: $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Теперь подставим значение $a = 0$ в найденную производную, чтобы найти значение производной в этой точке:

$f'(0) = \cos(0) = 1$.

Ответ: $1$.

б) Дана функция $f(x) = \operatorname{tg} 2x$ и точка $a = \frac{\pi}{8}$.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Пусть $u = 2x$, тогда $f(u) = \operatorname{tg} u$.

$f'(x) = (\operatorname{tg} 2x)' = (\operatorname{tg} u)' \cdot u'(x) = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot (2x)' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot 2 = \frac{2}{\cos^2(2x)}$.

Подставим значение $a = \frac{\pi}{8}$ в производную:

$f'(\frac{\pi}{8}) = \frac{2}{\cos^2(2 \cdot \frac{\pi}{8})} = \frac{2}{\cos^2(\frac{\pi}{4})}$.

Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тогда $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Вычисляем значение производной:

$f'(\frac{\pi}{8}) = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$.

Ответ: $4$.

в) Дана функция $f(x) = \cos 3x$ и точка $a = \frac{\pi}{2}$.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции. Пусть $u = 3x$, тогда $f(u) = \cos u$.

$f'(x) = (\cos 3x)' = (\cos u)' \cdot u'(x) = -\sin u \cdot (3x)' = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x)$.

Подставим значение $a = \frac{\pi}{2}$ в производную:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -3\sin(3 \cdot \frac{\pi}{2}) = -3\sin(\frac{3\pi}{2})$.

Мы знаем, что $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.

Вычисляем значение производной:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -3 \cdot (-1) = 3$.

Ответ: $3$.

г) Дана функция $f(x) = \operatorname{ctg} x$ и точка $a = \frac{\pi}{3}$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$.

Производная котангенса: $f'(x) = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Подставим значение $a = \frac{\pi}{3}$ в производную:

$f'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{3})}$.

Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда $\sin^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.

Вычисляем значение производной:

$f'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $-\frac{4}{3}$.

43.6. a) $f(x) = \sqrt{\text{tg } x}, a = \frac{\pi}{4};$

б) $f(x) = \cos^2 x, a = \frac{\pi}{12};$

в) $f(x) = \text{ctg}^4 x, a = \frac{\pi}{4};$

г) $f(x) = \sqrt{2 - \sin x}, a = \frac{\pi}{2}.$

а) Для функции $f(x) = \sqrt{\tg x}$ в точке $a = \frac{\pi}{4}$.
Сначала найдём производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:$f'(x) = (\sqrt{\tg x})' = \frac{1}{2\sqrt{\tg x}} \cdot (\tg x)' = \frac{1}{2\sqrt{\tg x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{2\cos^2 x \sqrt{\tg x}}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $a = \frac{\pi}{4}$:
$f'(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2\cos^2(\frac{\pi}{4}) \sqrt{\tg(\frac{\pi}{4})}}$.
Мы знаем, что $\tg(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно, $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Подставляем значения:
$f'(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{1}} = \frac{1}{1} = 1$.
Ответ: 1

б) Для функции $f(x) = \cos^2 x$ в точке $a = \frac{\pi}{12}$.
Найдём производную функции по правилу дифференцирования сложной функции:$f'(x) = (\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$.
Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha$, получаем:$f'(x) = -\sin(2x)$.
Вычислим значение производной в точке $a = \frac{\pi}{12}$:
$f'(\frac{\pi}{12}) = -\sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = -\sin(\frac{\pi}{6})$.
Поскольку $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, то:
$f'(\frac{\pi}{12}) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

в) Для функции $f(x) = \ctg^4 x$ в точке $a = \frac{\pi}{4}$.
Найдём производную функции:$f'(x) = (\ctg^4 x)' = 4\ctg^3 x \cdot (\ctg x)' = 4\ctg^3 x \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -\frac{4\ctg^3 x}{\sin^2 x}$.
Вычислим значение производной в точке $a = \frac{\pi}{4}$:
$f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{4\ctg^3(\frac{\pi}{4})}{\sin^2(\frac{\pi}{4})}$.
Мы знаем, что $\ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно, $\sin^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2}$.
Подставляем значения:
$f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{4 \cdot 1^3}{\frac{1}{2}} = -4 \cdot 2 = -8$.
Ответ: -8

г) Для функции $f(x) = \sqrt{2 - \sin x}$ в точке $a = \frac{\pi}{2}$.
Найдём производную функции:$f'(x) = (\sqrt{2 - \sin x})' = \frac{1}{2\sqrt{2 - \sin x}} \cdot (2 - \sin x)' = \frac{1}{2\sqrt{2 - \sin x}} \cdot (-\cos x) = -\frac{\cos x}{2\sqrt{2 - \sin x}}$.
Вычислим значение производной в точке $a = \frac{\pi}{2}$:
$f'(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{2\sqrt{2 - \sin(\frac{\pi}{2})}}$.
Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Подставляем значения:
$f'(\frac{\pi}{2}) = -\frac{0}{2\sqrt{2 - 1}} = -\frac{0}{2\sqrt{1}} = 0$.
Ответ: 0

Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

43.7. а) $f(x) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$, $x_0 = 3$;

б) $f(x) = \cos^2 3x - \sin^2 3x$, $x_0 = \frac{\pi}{6}$;

в) $f(x) = (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$, $x_0 = -\frac{1}{2}$;

г) $f(x) = \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, равен значению производной функции в этой точке. Таким образом, задача сводится к нахождению $f'(x_0)$.

а) Дана функция $f(x) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ и точка $x_0 = 3$.

В первую очередь упростим выражение для функции. Заметим, что это формула разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.
$f(x) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 - 8)' = 3x^2$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:
$f'(3) = 3 \cdot 3^2 = 3 \cdot 9 = 27$.

Ответ: 27.

б) Дана функция $f(x) = \cos^2 3x - \sin^2 3x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.

Упростим функцию, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha$.
$f(x) = \cos(2 \cdot 3x) = \cos(6x)$.

Находим производную сложной функции:
$f'(x) = (\cos(6x))' = -\sin(6x) \cdot (6x)' = -6\sin(6x)$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:
$f'(\frac{\pi}{6}) = -6\sin(6 \cdot \frac{\pi}{6}) = -6\sin(\pi) = -6 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0.

в) Дана функция $f(x) = (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$ и точка $x_0 = -\frac{1}{2}$.

Упростим функцию, используя формулу суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.
$f(x) = (2x)^3 + 1^3 = 8x^3 + 1$.

Находим производную функции:
$f'(x) = (8x^3 + 1)' = 24x^2$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = -\frac{1}{2}$:
$f'(-\frac{1}{2}) = 24 \cdot (-\frac{1}{2})^2 = 24 \cdot \frac{1}{4} = 6$.

Ответ: 6.

г) Дана функция $f(x) = \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Упростим функцию, последовательно применяя формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$:
$f(x) = (\sin x \cos x) \cdot \cos 2x = \frac{1}{2}(2\sin x \cos x) \cdot \cos 2x = \frac{1}{2}\sin 2x \cdot \cos 2x$.
$f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(2\sin 2x \cos 2x) = \frac{1}{4}\sin(4x)$.

Находим производную сложной функции:
$f'(x) = (\frac{1}{4}\sin(4x))' = \frac{1}{4}\cos(4x) \cdot (4x)' = \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot \cos(4x) = \cos(4x)$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:
$f'(\frac{\pi}{4}) = \cos(4 \cdot \frac{\pi}{4}) = \cos(\pi) = -1$.

Ответ: -1.

43.8. a) $f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{x - 1}$, $x_0 = -1$;

б) $f(x) = \sqrt{x^2 - 6x + 9}$, $x_0 = -2$;

В) $f(x) = \frac{x^4 - 3x^3 + x}{x^2}$, $x_0 = -0.1$;

Г) $f(x) = \sqrt[3]{x^3 - 6x^2 + 12x - 8}$, $x_0 = -5$.

а) Чтобы найти значение функции $f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{x - 1}$ в точке $x_0 = -1$, сначала упростим выражение для функции. Заметим, что числитель дроби представляет собой формулу куба разности: $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3$. В нашем случае $a=x$ и $b=1$, поэтому $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x-1)^3$.
Таким образом, при $x \neq 1$ функцию можно записать в виде: $f(x) = \frac{(x-1)^3}{x-1} = (x-1)^2$.
Теперь подставим значение $x_0 = -1$ в упрощенное выражение: $f(-1) = (-1 - 1)^2 = (-2)^2 = 4$.
Ответ: 4

б) Чтобы найти значение функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 6x + 9}$ в точке $x_0 = -2$, сначала упростим подкоренное выражение. Выражение $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=3$, поэтому $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.
Таким образом, функцию можно записать в виде: $f(x) = \sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$.
Теперь подставим значение $x_0 = -2$: $f(-2) = |-2 - 3| = |-5| = 5$.
Ответ: 5

в) Чтобы найти значение функции $f(x) = \frac{x^4 - 3x^3 + x}{x^2}$ в точке $x_0 = -0,1$, упростим выражение, разделив каждый член числителя на знаменатель. Это возможно, так как $x_0 \neq 0$.
$f(x) = \frac{x^4}{x^2} - \frac{3x^3}{x^2} + \frac{x}{x^2} = x^2 - 3x + \frac{1}{x}$.
Теперь подставим значение $x_0 = -0,1$ в упрощенную функцию: $f(-0,1) = (-0,1)^2 - 3(-0,1) + \frac{1}{-0,1} = 0,01 + 0,3 - 10 = 0,31 - 10 = -9,69$.
Ответ: -9,69

г) Чтобы найти значение функции $f(x) = \sqrt[3]{x^3 - 6x^2 + 12x - 8}$ в точке $x_0 = -5$, сначала упростим подкоренное выражение. Выражение $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ является полным кубом разности: $(x-2)^3$.
Таким образом, функцию можно записать в виде: $f(x) = \sqrt[3]{(x-2)^3} = x-2$.
Теперь подставим значение $x_0 = -5$: $f(-5) = -5 - 2 = -7$.
Ответ: -7