Страница 246, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

41.69. Строится мост параболической формы, соединяющий пункты $A$ и $B$, расстояние между которыми равно $200 \text{ м}$. Въезд на мост и съезд с моста должны быть прямолинейными участками пути, эти участки направлены к горизонту под углом $15^\circ$. Указанные прямые должны быть касательными к параболе. Составьте уравнение профиля моста в заданной системе координат (рис. 89).

Рис. 89

Профиль моста представляет собой параболу. Согласно предоставленной системе координат, вершина параболы находится в начале координат (0, 0), а ее ветви направлены вниз. Общее уравнение такой параболы имеет вид:

$y = ax^2$, где коэффициент $a < 0$.

Расстояние между точками A и B, в которых прямолинейные участки сопрягаются с параболой, равно 200 м. В силу симметрии параболы относительно оси OY, абсциссы этих точек равны $x_A = -100$ м и $x_B = 100$ м.

Прямолинейные участки въезда и съезда являются касательными к параболе в точках A и B. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$ в этой точке.

Найдем производную функции $y = ax^2$:

$y' = (ax^2)' = 2ax$.

Указано, что касательные направлены к горизонту под углом 15°. Рассмотрим касательную в точке B с абсциссой $x_B = 100$. Из рисунка видно, что эта касательная образует с положительным направлением оси OX тупой угол, и ее наклон отрицателен. Угол, который она составляет с осью OX, равен $180^\circ - 15^\circ = 165^\circ$. Следовательно, ее угловой коэффициент $k$ равен:

$k = \tan(165^\circ) = \tan(180^\circ - 15^\circ) = -\tan(15^\circ)$.

С другой стороны, угловой коэффициент касательной в точке B ($x_B = 100$) равен значению производной в этой точке:

$y'(100) = 2a \cdot 100 = 200a$.

Приравнивая два выражения для углового коэффициента, получаем уравнение для нахождения параметра $a$:

$200a = -\tan(15^\circ)$

Отсюда $a = -\frac{\tan(15^\circ)}{200}$.

Для нахождения точного значения $\tan(15^\circ)$ воспользуемся формулой тангенса разности углов $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$:

$\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}} = \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3-\sqrt{3})$:

$\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \frac{(3-\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}$.

Итак, $\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$.

Теперь можем найти значение коэффициента $a$:

$a = -\frac{2 - \sqrt{3}}{200}$.

Подставив найденный коэффициент $a$ в исходное уравнение параболы, получаем искомое уравнение профиля моста:

$y = -\frac{2 - \sqrt{3}}{200} x^2$.

Ответ: $y = -\frac{2 - \sqrt{3}}{200} x^2$.

41.70. a) При каких значениях параметра $a$ касательные к графику функции $y = 4x^2 - |a|x$, проведённые в точках его пересечения с осью $x$, образуют между собой угол $60^\circ$?

б) При каких значениях параметра $a$ касательные к графику функции $y = x^2 + |a|x$, проведённые в точках его пересечения с осью $x$, образуют между собой угол $45^\circ$?

а)

1. Найдём точки пересечения графика функции $y = 4x^2 - |a|x$ с осью $x$. Для этого приравняем $y$ к нулю:
$4x^2 - |a|x = 0$
$x(4x - |a|) = 0$
Отсюда получаем две точки пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{|a|}{4}$. Чтобы было две различные точки, необходимо, чтобы $a \ne 0$.

2. Найдём производную функции для определения углового коэффициента касательной. Угловой коэффициент $k$ касательной в точке $x_0$ равен значению производной $y'(x_0)$.
$y' = (4x^2 - |a|x)' = 8x - |a|$

3. Вычислим угловые коэффициенты касательных в точках пересечения.
В точке $x_1 = 0$:
$k_1 = y'(0) = 8 \cdot 0 - |a| = -|a|$
В точке $x_2 = \frac{|a|}{4}$:
$k_2 = y'\left(\frac{|a|}{4}\right) = 8 \cdot \frac{|a|}{4} - |a| = 2|a| - |a| = |a|$

4. Воспользуемся формулой для тангенса угла $\varphi$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$:
$\tan(\varphi) = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}\right|$
По условию, угол $\varphi = 60^\circ$, следовательно, $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.
Подставим значения $k_1$ и $k_2$:
$\sqrt{3} = \left|\frac{|a| - (-|a|)}{1 + (-|a|) \cdot |a|}\right| = \left|\frac{2|a|}{1 - |a|^2}\right|$

5. Решим полученное уравнение относительно $a$. Обозначим $z = |a|$, где $z > 0$.
$\sqrt{3} = \frac{2z}{|1 - z^2|}$
Это уравнение распадается на два случая.
Случай 1: $1 - z^2 > 0$, то есть $0 < z < 1$.
$\sqrt{3} = \frac{2z}{1 - z^2} \implies \sqrt{3}(1 - z^2) = 2z \implies \sqrt{3}z^2 + 2z - \sqrt{3} = 0$
Решая квадратное уравнение, получаем корни $z = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(\sqrt{3})(-\sqrt{3})}}{2\sqrt{3}} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2\sqrt{3}} = \frac{-2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$.
Так как $z > 0$, выбираем корень $z = \frac{-2 + 4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Это значение удовлетворяет условию $0 < z < 1$.
Следовательно, $|a| = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Случай 2: $1 - z^2 < 0$, то есть $z > 1$.
$\sqrt{3} = \frac{2z}{-(1 - z^2)} = \frac{2z}{z^2 - 1} \implies \sqrt{3}(z^2 - 1) = 2z \implies \sqrt{3}z^2 - 2z - \sqrt{3} = 0$
Решая квадратное уравнение, получаем корни $z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(\sqrt{3})(-\sqrt{3})}}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$.
Так как $z > 1$, выбираем корень $z = \frac{2 + 4}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. Это значение удовлетворяет условию $z > 1$.
Следовательно, $|a| = \sqrt{3}$.

Объединяя результаты, получаем, что $|a| = \frac{1}{\sqrt{3}}$ или $|a| = \sqrt{3}$.

Ответ: $a = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}, a = \pm\sqrt{3}$.

б)

1. Найдём точки пересечения графика функции $y = x^2 + |a|x$ с осью $x$:
$x^2 + |a|x = 0$
$x(x + |a|) = 0$
Точки пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -|a|$. При $a \ne 0$ точки различны.

2. Найдём производную функции:
$y' = (x^2 + |a|x)' = 2x + |a|$

3. Вычислим угловые коэффициенты касательных в точках пересечения.
В точке $x_1 = 0$:
$k_1 = y'(0) = 2 \cdot 0 + |a| = |a|$
В точке $x_2 = -|a|$:
$k_2 = y'(-|a|) = 2(-|a|) + |a| = -2|a| + |a| = -|a|$

4. Используем формулу для тангенса угла между прямыми. По условию, угол $\varphi = 45^\circ$, значит, $\tan(45^\circ) = 1$.
$1 = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}\right| = \left|\frac{-|a| - |a|}{1 + |a| \cdot (-|a|)}\right| = \left|\frac{-2|a|}{1 - |a|^2}\right| = \left|\frac{2|a|}{1 - |a|^2}\right|$

5. Решим полученное уравнение. Обозначим $z = |a|$, где $z > 0$.
$1 = \frac{2z}{|1 - z^2|}$
Случай 1: $1 - z^2 > 0$, то есть $0 < z < 1$.
$1 = \frac{2z}{1 - z^2} \implies 1 - z^2 = 2z \implies z^2 + 2z - 1 = 0$
$z = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.
Так как $z > 0$, выбираем корень $z = \sqrt{2} - 1$. Это значение удовлетворяет условию $0 < z < 1$.
Следовательно, $|a| = \sqrt{2} - 1$.

Случай 2: $1 - z^2 < 0$, то есть $z > 1$.
$1 = \frac{2z}{-(1 - z^2)} = \frac{2z}{z^2 - 1} \implies z^2 - 1 = 2z \implies z^2 - 2z - 1 = 0$
$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
Так как $z > 1$, выбираем корень $z = 1 + \sqrt{2}$. Это значение удовлетворяет условию $z > 1$.
Следовательно, $|a| = \sqrt{2} + 1$.

Объединяя результаты, получаем, что $|a| = \sqrt{2} - 1$ или $|a| = \sqrt{2} + 1$.

Ответ: $a = \pm(\sqrt{2}-1), a = \pm(\sqrt{2}+1)$.

Найдите производную функции:

42.1. а) $y = (4x - 9)^7;$

б) $y = \left(12 - \frac{x}{5}\right)^6;$

в) $y = \left(\frac{x}{3} + 2\right)^{12};$

г) $y = (15 - 9x)^{13}.$

а) Для нахождения производной функции $y = (4x - 9)^7$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. В данном случае, внешняя функция — это степенная функция $f(u) = u^7$, а внутренняя — линейная функция $g(x) = 4x - 9$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (u^7)' = 7u^6$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (4x - 9)' = 4$.
Подставляем наши функции в формулу производной сложной функции:
$y' = 7(4x - 9)^{7-1} \cdot (4x - 9)' = 7(4x - 9)^6 \cdot 4 = 28(4x - 9)^6$.
Ответ: $y' = 28(4x - 9)^6$.

б) Для функции $y = \left(12 - \frac{x}{5}\right)^6$ применяем то же правило.
Внешняя функция: $f(u) = u^6$, ее производная $f'(u) = 6u^5$.
Внутренняя функция: $g(x) = 12 - \frac{x}{5}$, ее производная $g'(x) = \left(12 - \frac{1}{5}x\right)' = -\frac{1}{5}$.
Применяем цепное правило:
$y' = 6\left(12 - \frac{x}{5}\right)^{6-1} \cdot \left(12 - \frac{x}{5}\right)' = 6\left(12 - \frac{x}{5}\right)^5 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = -\frac{6}{5}\left(12 - \frac{x}{5}\right)^5$.
Ответ: $y' = -\frac{6}{5}\left(12 - \frac{x}{5}\right)^5$.

в) Находим производную функции $y = \left(\frac{x}{3} + 2\right)^{12}$.
Внешняя функция: $f(u) = u^{12}$, ее производная $f'(u) = 12u^{11}$.
Внутренняя функция: $g(x) = \frac{x}{3} + 2$, ее производная $g'(x) = \left(\frac{1}{3}x + 2\right)' = \frac{1}{3}$.
По цепному правилу:
$y' = 12\left(\frac{x}{3} + 2\right)^{12-1} \cdot \left(\frac{x}{3} + 2\right)' = 12\left(\frac{x}{3} + 2\right)^{11} \cdot \frac{1}{3} = 4\left(\frac{x}{3} + 2\right)^{11}$.
Ответ: $y' = 4\left(\frac{x}{3} + 2\right)^{11}$.

г) Находим производную функции $y = (15 - 9x)^{13}$.
Внешняя функция: $f(u) = u^{13}$, ее производная $f'(u) = 13u^{12}$.
Внутренняя функция: $g(x) = 15 - 9x$, ее производная $g'(x) = (15 - 9x)' = -9$.
По цепному правилу:
$y' = 13(15 - 9x)^{13-1} \cdot (15 - 9x)' = 13(15 - 9x)^{12} \cdot (-9) = -117(15 - 9x)^{12}$.
Ответ: $y' = -117(15 - 9x)^{12}$.

42.2. a) $y = \sin (3x - 9)$;

б) $y = \cos \left(\frac{\pi}{3} - 4x\right)$;

В) $y = \sin (5 - 3x)$;

Г) $y = \cos (9x - 10)$.

а) $y = \sin(3x - 9)$

Для нахождения наименьшего положительного периода функции вида $y = \sin(kx + b)$ или $y = \cos(kx + b)$ используется формула $T_{new} = \frac{T}{|k|}$, где $T$ — основной период исходной функции ($y = \sin(x)$ или $y = \cos(x)$), а $k$ — коэффициент при переменной $x$.

Основной период функции $y = \sin(x)$ равен $T = 2\pi$.

В данной функции $y = \sin(3x - 9)$ коэффициент $k = 3$.

Следовательно, период данной функции равен:

$T_{new} = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

б) $y = \cos\left(\frac{\pi}{3} - 4x\right)$

Основной период функции $y = \cos(x)$ равен $T = 2\pi$.

В данной функции $y = \cos\left(\frac{\pi}{3} - 4x\right)$ можно переписать аргумент как $(-4x + \frac{\pi}{3})$. Коэффициент при $x$ равен $k = -4$.

Период функции вычисляется по формуле $T_{new} = \frac{T}{|k|}$.

Подставляем значения:

$T_{new} = \frac{2\pi}{|-4|} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

в) $y = \sin(5 - 3x)$

Основной период функции $y = \sin(x)$ равен $T = 2\pi$.

В данной функции $y = \sin(5 - 3x)$ можно переписать аргумент как $(-3x + 5)$. Коэффициент при $x$ равен $k = -3$.

Период функции вычисляется по формуле $T_{new} = \frac{T}{|k|}$.

Подставляем значения:

$T_{new} = \frac{2\pi}{|-3|} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

г) $y = \cos(9x - 10)$

Основной период функции $y = \cos(x)$ равен $T = 2\pi$.

В данной функции $y = \cos(9x - 10)$ коэффициент при $x$ равен $k = 9$.

Период функции вычисляется по формуле $T_{new} = \frac{T}{|k|}$.

Подставляем значения:

$T_{new} = \frac{2\pi}{|9|} = \frac{2\pi}{9}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{9}$.

42.3. а) $y = \text{tg} \left(5x - \frac{\pi}{4}\right)$;

В) $y = \text{ctg} \left(\frac{\pi}{6} - 4x\right)$;

б) $y = \sqrt{50 + 0.2x}$;

Г) $y = \sqrt{4 - 9x}$.

а) Дана функция $y = \tg(5x - \frac{\pi}{4})$.

Область определения функции тангенса, $y=\tg(z)$, задается условием, что ее аргумент не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Для данной функции аргумент равен $5x - \frac{\pi}{4}$. Следовательно, должно выполняться условие:

$5x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Решим это выражение относительно $x$:

$5x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю:

$5x \neq \frac{2\pi + \pi}{4} + \pi n$

$5x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi n$

Разделим обе части на 5:

$x \neq \frac{3\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \neq \frac{3\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $y = \sqrt{50 + 0,2x}$.

Область определения функции квадратного корня, $y=\sqrt{z}$, задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $z \ge 0$.

В данном случае подкоренное выражение равно $50 + 0,2x$. Следовательно, должно выполняться неравенство:

$50 + 0,2x \ge 0$

Решим это неравенство относительно $x$:

$0,2x \ge -50$

$x \ge \frac{-50}{0,2}$

$x \ge -250$

Область определения функции — это все значения $x$, которые больше или равны -250.

Ответ: $x \in [-250; +\infty)$.

в) Дана функция $y = \ctg(\frac{\pi}{6} - 4x)$.

Область определения функции котангенса, $y=\ctg(z)$, задается условием, что ее аргумент не должен быть равен $\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Для данной функции аргумент равен $\frac{\pi}{6} - 4x$. Следовательно, должно выполняться условие:

$\frac{\pi}{6} - 4x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Решим это выражение относительно $x$:

$-4x \neq \pi k - \frac{\pi}{6}$

Умножим обе части на -1:

$4x \neq \frac{\pi}{6} - \pi k$

Поскольку $k$ является любым целым числом, то $-k$ также представляет собой любое целое число. Для удобства записи мы можем заменить $-k$ на $n$, где $n \in \mathbb{Z}$:

$4x \neq \frac{\pi}{6} + \pi n$

Разделим обе части на 4:

$x \neq \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

г) Дана функция $y = \sqrt{4 - 9x}$.

Область определения функции квадратного корня, $y=\sqrt{z}$, задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $z \ge 0$.

В данном случае подкоренное выражение равно $4 - 9x$. Следовательно, должно выполняться неравенство:

$4 - 9x \ge 0$

Решим это неравенство относительно $x$:

$-9x \ge -4$

Разделим обе части на -9. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-4}{-9}$

$x \le \frac{4}{9}$

Область определения функции — это все значения $x$, которые меньше или равны $\frac{4}{9}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{4}{9}]$.