Страница 245, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

41.61. a) При каких значениях $x$ верно равенство $y' \cdot y + y^2 = 0$, если $y = 2 \sin x$?

б) При каких значениях $x$ верно равенство $y^2 + (y')^2 = 1$, если $y = \sqrt{x}$?

а)

Дано равенство $y' \cdot y + y^2 = 0$ и функция $y = 2 \sin x$. Чтобы найти значения $x$, при которых равенство верно, нужно найти производную функции, подставить ее и саму функцию в равенство и решить полученное уравнение.

1. Найдем производную функции $y$:
$y' = (2 \sin x)' = 2 \cos x$.

2. Подставим выражения для $y$ и $y'$ в исходное равенство:
$(2 \cos x) \cdot (2 \sin x) + (2 \sin x)^2 = 0$.

3. Упростим полученное тригонометрическое уравнение:
$4 \sin x \cos x + 4 \sin^2 x = 0$
Вынесем за скобки общий множитель $4 \sin x$:
$4 \sin x (\cos x + \sin x) = 0$.

4. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $4 \sin x = 0$
$\sin x = 0$
$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\cos x + \sin x = 0$
$\sin x = -\cos x$
Предполагая, что $\cos x \neq 0$, разделим обе части на $\cos x$:
$\frac{\sin x}{\cos x} = -1$
$\tan x = -1$
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
(Проверим наше предположение: если бы $\cos x = 0$, то из уравнения $\sin x = -\cos x$ следовало бы, что и $\sin x = 0$. Но синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и деление было корректным).

Таким образом, исходное равенство верно при двух сериях значений $x$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано равенство $y^2 + (y')^2 = 1$ и функция $y = \sqrt{x}$.

1. Сначала определим область допустимых значений $x$. Функция $y = \sqrt{x}$ определена при $x \ge 0$.

2. Найдем производную функции $y$:
$y' = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Производная $y'$ определена при $x > 0$. Таким образом, любое решение уравнения должно удовлетворять условию $x > 0$.

3. Подставим выражения для $y$ и $y'$ в исходное равенство:
$(\sqrt{x})^2 + \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2 = 1$.

4. Упростим и решим полученное уравнение относительно $x$:
$x + \frac{1}{4x} = 1$
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на $4x$ (мы можем это сделать, так как $x > 0$, следовательно $4x \neq 0$):
$4x \cdot x + 4x \cdot \frac{1}{4x} = 1 \cdot 4x$
$4x^2 + 1 = 4x$.

5. Перенесем все члены в левую часть и решим квадратное уравнение:
$4x^2 - 4x + 1 = 0$
Это выражение является полным квадратом разности:
$(2x - 1)^2 = 0$
$2x - 1 = 0$
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$.

6. Проверим, удовлетворяет ли найденное значение области допустимых значений. Условие было $x > 0$. Значение $x = \frac{1}{2}$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

●41.62. При каких значениях $a$ и $b$ функция

$y = \begin{cases} 2x - 3, & \text{если } x \le 1, \\ x^2 + ax + b, & \text{если } x > 1: \end{cases}$

а) непрерывна на всей числовой прямой;

б) дифференцируема на всей числовой прямой?

а) непрерывна на всей числовой прямой;

Заданная кусочно-линейная функция определена на всей числовой прямой. На интервалах $(-\infty, 1)$ и $(1, +\infty)$ она задана элементарными функциями (линейной и квадратичной), которые непрерывны на всей своей области определения. Поэтому единственная точка, где непрерывность может быть нарушена, — это точка "стыка" $x=1$.

Для того чтобы функция была непрерывна в точке $x=1$, необходимо и достаточно, чтобы предел функции слева был равен пределу справа и они оба были равны значению функции в этой точке. Формально это записывается как: $\lim_{x\to1-} y(x) = \lim_{x\to1+} y(x) = y(1)$.

1. Найдем значение функции в точке $x=1$. Согласно определению, при $x \le 1$ используется формула $y = 2x - 3$: $y(1) = 2 \cdot 1 - 3 = -1$.

2. Предел слева ($\lim_{x\to1-} y(x)$) будет равен значению функции в точке, так как функция $y=2x-3$ непрерывна. Таким образом, $\lim_{x\to1-} y(x) = -1$.

3. Найдем предел справа. При $x \to 1$ справа ($x > 1$), используется формула $y = x^2 + ax + b$: $\lim_{x\to1+} y(x) = \lim_{x\to1+} (x^2 + ax + b) = 1^2 + a \cdot 1 + b = 1 + a + b$.

4. Приравняем правый предел значению функции в точке $x=1$: $1 + a + b = -1$.

Из этого уравнения получаем условие, связывающее параметры $a$ и $b$: $a + b = -2$.

Ответ: функция непрерывна при всех значениях $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $a + b = -2$.

б) дифференцируема на всей числовой прямой?

Для того чтобы функция была дифференцируема на всей числовой прямой, она должна, во-первых, быть непрерывной. Это значит, что условие из пункта (а), $a + b = -2$, должно выполняться.

Во-вторых, для дифференцируемости в точке $x=1$ необходимо, чтобы производная слева в этой точке была равна производной справа.

1. Найдем производную функции для $x < 1$: $y' = (2x - 3)' = 2$. Следовательно, производная слева в точке $x=1$ (левосторонняя производная) равна $y'_{-}(1) = 2$.

2. Найдем производную функции для $x > 1$: $y' = (x^2 + ax + b)' = 2x + a$. Следовательно, производная справа в точке $x=1$ (правосторонняя производная) равна $y'_{+}(1) = 2 \cdot 1 + a = 2 + a$.

3. Приравняем значения односторонних производных в точке $x=1$: $y'_{-}(1) = y'_{+}(1)$ $2 = 2 + a$.

Из этого уравнения находим значение параметра $a$: $a = 0$.

4. Теперь подставим найденное значение $a=0$ в условие непрерывности $a + b = -2$: $0 + b = -2$ $b = -2$.

Таким образом, функция дифференцируема на всей числовой прямой только при ?????????????? значениях параметров.

Ответ: $a=0$, $b=-2$.

41.63. При каких значениях a и b функция

$y = \begin{cases} \frac{x^2 + 3}{4}, & \text{если } x \leq -1, \\ ax^3 + bx, & \text{если } x > -1: \end{cases}$

a) непрерывна на всей числовой прямой;

б) дифференцируема на всей числовой прямой?

а) непрерывна на всей числовой прямой;

Данная функция $y(x)$ определена кусочно. На интервалах $(-\infty, -1)$ и $(-1, +\infty)$ она задана многочленами, которые являются непрерывными функциями. Следовательно, единственная точка, в которой непрерывность может нарушаться, — это точка "стыка" $x = -1$.

Для того чтобы функция была непрерывна в точке $x = -1$, необходимо и достаточно, чтобы предел функции слева, предел справа и значение функции в этой точке совпадали: $ \lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^+} y(x) = y(-1) $

Найдем значение функции в точке $x = -1$. Согласно определению, при $x \le -1$ используется первая формула: $ y(-1) = \frac{(-1)^2 + 3}{4} = \frac{1+3}{4} = 1 $

Предел слева в точке $x = -1$ также равен значению функции в этой точке: $ \lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{x^2 + 3}{4} = \frac{(-1)^2 + 3}{4} = 1 $

Найдем предел справа в точке $x = -1$. При $x > -1$ используется вторая формула: $ \lim_{x \to -1^+} y(x) = \lim_{x \to -1^+} (ax^3 + bx) = a(-1)^3 + b(-1) = -a - b $

Приравниваем предел слева и предел справа: $ 1 = -a - b $ Отсюда получаем условие на коэффициенты $a$ и $b$: $ a + b = -1 $

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой при любых значениях $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $a + b = -1$.

б) дифференцируема на всей числовой прямой?

Для того чтобы функция была дифференцируема на всей числовой прямой, она должна быть, во-первых, непрерывна на всей прямой, и, во-вторых, ее производная должна существовать в каждой точке.

Из пункта а) мы знаем, что для непрерывности должно выполняться условие: $ a + b = -1 $ (1)

Теперь рассмотрим условие дифференцируемости в точке $x = -1$. Для этого производные слева и справа в этой точке должны быть равны. Найдем производную функции для каждого из интервалов.

При $x < -1$: $ y'(x) = \left(\frac{x^2 + 3}{4}\right)' = \left(\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{4}\right)' = \frac{1}{4} \cdot 2x = \frac{1}{2}x $

При $x > -1$: $ y'(x) = (ax^3 + bx)' = 3ax^2 + b $

Теперь вычислим односторонние производные (пределы производных) в точке $x = -1$:
Производная слева: $ y'(-1^-) = \lim_{x \to -1^-} y'(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}(-1) = -\frac{1}{2} $

Производная справа: $ y'(-1^+) = \lim_{x \to -1^+} y'(x) = \lim_{x \to -1^+} (3ax^2 + b) = 3a(-1)^2 + b = 3a + b $

Для дифференцируемости в точке $x = -1$ необходимо равенство этих производных: $ y'(-1^-) = y'(-1^+) $
$ -\frac{1}{2} = 3a + b $ (2)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$: $ \begin{cases} a + b = -1 \\ 3a + b = -\frac{1}{2} \end{cases} $

Вычтем из второго уравнения первое: $ (3a + b) - (a + b) = -\frac{1}{2} - (-1) $
$ 2a = -\frac{1}{2} + 1 $
$ 2a = \frac{1}{2} $
$ a = \frac{1}{4} $

Теперь найдем $b$ из первого уравнения: $ b = -1 - a = -1 - \frac{1}{4} = -\frac{4}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{5}{4} $

Ответ: функция дифференцируема на всей числовой прямой при $a = \frac{1}{4}$ и $b = -\frac{5}{4}$.

41.64. Найдите вторую производную функции:

а) $y = x^4 + 2x;$

б) $y = x^5 - 3x;$

в) $y = \sin x + 1;$

г) $y = 2 \cos x - 4.$

а) Дана функция $y = x^4 + 2x$.
Чтобы найти вторую производную функции, необходимо сначала найти её первую производную, а затем найти производную от полученного результата.
Найдем первую производную $y'$, используя правило дифференцирования суммы и степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$y' = (x^4 + 2x)' = (x^4)' + (2x)' = 4x^{4-1} + 2 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 4x^3 + 2$.
Теперь найдем вторую производную $y''$, взяв производную от первой производной $y'$:
$y'' = (y')' = (4x^3 + 2)' = (4x^3)' + (2)'$.
Производная от константы $(2)'$ равна нулю. Получаем:
$y'' = 4 \cdot 3x^{3-1} + 0 = 12x^2$.
Ответ: $y'' = 12x^2$.

б) Дана функция $y = x^5 - 3x$.
Сначала найдем первую производную $y'$:
$y' = (x^5 - 3x)' = (x^5)' - (3x)' = 5x^{5-1} - 3 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 5x^4 - 3$.
Затем найдем вторую производную $y''$, дифференцируя $y'$:
$y'' = (y')' = (5x^4 - 3)' = (5x^4)' - (3)'$.
Производная от константы $(3)'$ равна нулю. Следовательно:
$y'' = 5 \cdot 4x^{4-1} - 0 = 20x^3$.
Ответ: $y'' = 20x^3$.

в) Дана функция $y = \sin x + 1$.
Найдем первую производную $y'$, используя правило для производной синуса $(\sin x)' = \cos x$ и производной константы:
$y' = (\sin x + 1)' = (\sin x)' + (1)' = \cos x + 0 = \cos x$.
Теперь найдем вторую производную $y''$, дифференцируя $y' = \cos x$. Используем правило для производной косинуса $(\cos x)' = -\sin x$:
$y'' = (y')' = (\cos x)' = -\sin x$.
Ответ: $y'' = -\sin x$.

г) Дана функция $y = 2\cos x - 4$.
Найдем первую производную $y'$, используя правило для производной косинуса и правило дифференцирования константы, умноженной на функцию:
$y' = (2\cos x - 4)' = (2\cos x)' - (4)' = 2(\cos x)' - 0 = 2(-\sin x) = -2\sin x$.
Далее найдем вторую производную $y''$, взяв производную от $y' = -2\sin x$:
$y'' = (y')' = (-2\sin x)' = -2(\sin x)' = -2\cos x$.
Ответ: $y'' = -2\cos x$.

41.65. Найдите $f'''(0)$, если:

а) $f(x) = 2x^3 - x^2$;

б) $f(x) = x + \cos x$;

в) $f(x) = 4 \sin x - \cos x$;

г) $f(x) = \sin x + \cos x$.

а)

Чтобы найти значение третьей производной функции $f(x) = 2x^3 - x^2$ в точке $x=0$, нужно последовательно найти первую, вторую и третью производные.

1. Первая производная:

$f'(x) = (2x^3 - x^2)' = 2 \cdot 3x^2 - 2x = 6x^2 - 2x$.

2. Вторая производная:

$f''(x) = (6x^2 - 2x)' = 6 \cdot 2x - 2 = 12x - 2$.

3. Третья производная:

$f'''(x) = (12x - 2)' = 12$.

Поскольку третья производная является константой, ее значение в любой точке, включая $x=0$, равно 12.

$f'''(0) = 12$.

Ответ: $12$.

б)

Для функции $f(x) = x + \cos x$ найдем последовательно три производные.

1. Первая производная:

$f'(x) = (x + \cos x)' = 1 - \sin x$.

2. Вторая производная:

$f''(x) = (1 - \sin x)' = 0 - \cos x = -\cos x$.

3. Третья производная:

$f'''(x) = (-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$.

Теперь подставим $x=0$ в выражение для третьей производной:

$f'''(0) = \sin(0) = 0$.

Ответ: $0$.

в)

Для функции $f(x) = 4 \sin x - \cos x$ найдем последовательно три производные.

1. Первая производная:

$f'(x) = (4 \sin x - \cos x)' = 4 \cos x - (-\sin x) = 4 \cos x + \sin x$.

2. Вторая производная:

$f''(x) = (4 \cos x + \sin x)' = 4(-\sin x) + \cos x = -4 \sin x + \cos x$.

3. Третья производная:

$f'''(x) = (-4 \sin x + \cos x)' = -4 \cos x - \sin x$.

Подставим $x=0$ в полученное выражение:

$f'''(0) = -4 \cos(0) - \sin(0) = -4 \cdot 1 - 0 = -4$.

Ответ: $-4$.

г)

Для функции $f(x) = \sin x + \cos x$ найдем последовательно три производные.

1. Первая производная:

$f'(x) = (\sin x + \cos x)' = \cos x - \sin x$.

2. Вторая производная:

$f''(x) = (\cos x - \sin x)' = -\sin x - \cos x$.

3. Третья производная:

$f'''(x) = (-\sin x - \cos x)' = -\cos x - (-\sin x) = -\cos x + \sin x$.

Найдем значение третьей производной в точке $x=0$:

$f'''(0) = -\cos(0) + \sin(0) = -1 + 0 = -1$.

Ответ: $-1$.

41.66. Тело движется по прямой согласно закону $x(t) = \frac{t^4}{4} - \frac{t^3}{3} - 6t^2 + 2t + 1$ (где $t$ — время (в секундах), $x(t)$ — координата (в метрах)). Найдите:

а) ускорение движения в момент времени $t = 3$ с;

б) силу, действующую на тело массой 1 г в момент времени $t = 3$ с.

а) ускорение движения в момент времени t = 3 с;

Закон движения тела задан функцией координаты от времени: $x(t) = \frac{t^4}{4} - \frac{t^3}{3} - 6t^2 + 2t + 1$.

Скорость движения $v(t)$ является первой производной от координаты по времени $x'(t)$, а ускорение $a(t)$ — второй производной от координаты по времени $x''(t)$ (или первой производной от скорости $v'(t)$).

Найдем функцию скорости $v(t)$:
$v(t) = x'(t) = (\frac{t^4}{4} - \frac{t^3}{3} - 6t^2 + 2t + 1)' = \frac{1}{4} \cdot 4t^3 - \frac{1}{3} \cdot 3t^2 - 6 \cdot 2t + 2 = t^3 - t^2 - 12t + 2$.

Теперь найдем функцию ускорения $a(t)$:
$a(t) = v'(t) = (t^3 - t^2 - 12t + 2)' = 3t^2 - 2t - 12$.

Чтобы найти ускорение в момент времени $t = 3$ с, подставим это значение в полученную функцию ускорения:
$a(3) = 3(3)^2 - 2(3) - 12 = 3 \cdot 9 - 6 - 12 = 27 - 18 = 9$ (м/с?).

Ответ: $9 \text{ м/с?}$

б) силу, действующую на тело массой 1 г в момент времени t = 3 с.

Сила $F$, действующая на тело, определяется вторым законом Ньютона: $F = m \cdot a$, где $m$ — масса тела, а $a$ — его ускорение.

Масса тела дана в граммах. Для расчетов в системе СИ (где ускорение измеряется в м/с?), необходимо перевести массу в килограммы:
$m = 1 \text{ г} = 0.001 \text{ кг}$.

Ускорение тела в момент времени $t = 3$ с было найдено в предыдущем пункте: $a(3) = 9 \text{ м/с?}$.

Теперь рассчитаем силу, действующую на тело в этот момент:
$F = m \cdot a(3) = 0.001 \text{ кг} \cdot 9 \text{ м/с?} = 0.009 \text{ Н}$.

Ответ: $0.009 \text{ Н}$

41.67. a) При каких значениях x верно равенство $y'' + y' - y = 0$, если $y = 3 \cos x$?

б) При каких значениях x верно равенство $(y'')^2 + 2y' = y^2 + 1$, если $y = \sin x$?

а)

Для того чтобы определить, при каких значениях $x$ верно равенство $y'' + y' - y = 0$ для функции $y = 3 \cos x$, необходимо найти первую и вторую производные этой функции и подставить их в данное уравнение.

1. Находим первую производную $y'$:
$y' = (3 \cos x)' = 3 \cdot (-\sin x) = -3 \sin x$.

2. Находим вторую производную $y''$:
$y'' = (-3 \sin x)' = -3 \cos x$.

3. Подставляем выражения для $y$, $y'$ и $y''$ в исходное равенство:
$(-3 \cos x) + (-3 \sin x) - (3 \cos x) = 0$.

4. Упрощаем полученное выражение и решаем тригонометрическое уравнение:
$-3 \cos x - 3 \sin x - 3 \cos x = 0$
$-6 \cos x - 3 \sin x = 0$
Разделим обе части на $-3$:
$2 \cos x + \sin x = 0$
$\sin x = -2 \cos x$.

5. Чтобы решить это уравнение, разделим обе его части на $\cos x$. Это возможно, так как если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin x = 0$, что невозможно одновременно (согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$).
$\frac{\sin x}{\cos x} = -2$
$\tan x = -2$.

Решением этого уравнения является серия корней:
$x = \arctan(-2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как функция $\arctan$ нечетная, то $\arctan(-2) = -\arctan(2)$.
$x = -\arctan(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan(2) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Для того чтобы определить, при каких значениях $x$ верно равенство $(y'')^2 + 2y' = y^2 + 1$ для функции $y = \sin x$, мы также найдем первую и вторую производные и подставим их в уравнение.

1. Находим первую производную $y'$:
$y' = (\sin x)' = \cos x$.

2. Находим вторую производную $y''$:
$y'' = (\cos x)' = -\sin x$.

3. Подставляем выражения для $y$, $y'$ и $y''$ в исходное равенство:
$(-\sin x)^2 + 2(\cos x) = (\sin x)^2 + 1$.

4. Упрощаем полученное уравнение:
$\sin^2 x + 2 \cos x = \sin^2 x + 1$.
Вычитаем $\sin^2 x$ из обеих частей равенства:
$2 \cos x = 1$
$\cos x = \frac{1}{2}$.

5. Находим общее решение для $x$:
$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

41.68. а) Докажите, что функция $y = x \sin x$ удовлетворяет соотношению $y'' + y = 2 \cos x$;

б) докажите, что при любых значениях $a$ и $b$ функция $y = a \sin x + b \cos x$ удовлетворяет соотношению $y'' + y = 0$.

а)

Для того чтобы доказать, что функция $y = x \sin x$ удовлетворяет соотношению $y'' + y = 2 \cos x$, необходимо найти первую и вторую производные этой функции и подставить их в данное уравнение.

1. Находим первую производную $y'$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x \sin x)' = (x)' \cdot \sin x + x \cdot (\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$.

2. Находим вторую производную $y''$, продифференцировав $y'$:

$y'' = (\sin x + x \cos x)' = (\sin x)' + (x \cos x)'$.

Для второго слагаемого снова применяем правило дифференцирования произведения:

$y'' = \cos x + ((x)' \cdot \cos x + x \cdot (\cos x)') = \cos x + (1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x)) = \cos x + \cos x - x \sin x = 2 \cos x - x \sin x$.

3. Теперь подставляем полученные выражения для $y''$ и $y$ в левую часть исходного соотношения $y'' + y$:

$y'' + y = (2 \cos x - x \sin x) + (x \sin x)$.

Упрощаем выражение:

$2 \cos x - x \sin x + x \sin x = 2 \cos x$.

Мы получили, что левая часть уравнения $y'' + y$ равна $2 \cos x$, что совпадает с правой частью. Следовательно, функция удовлетворяет данному соотношению.

Ответ: Доказано, что функция $y = x \sin x$ удовлетворяет соотношению $y'' + y = 2 \cos x$.

б)

Для того чтобы доказать, что при любых значениях констант $a$ и $b$ функция $y = a \sin x + b \cos x$ удовлетворяет соотношению $y'' + y = 0$, также найдем ее первую и вторую производные.

1. Находим первую производную $y'$:

$y' = (a \sin x + b \cos x)' = a(\sin x)' + b(\cos x)' = a \cos x - b \sin x$.

2. Находим вторую производную $y''$:

$y'' = (a \cos x - b \sin x)' = a(\cos x)' - b(\sin x)' = a(-\sin x) - b(\cos x) = -a \sin x - b \cos x$.

Вторую производную можно также записать как $y'' = -(a \sin x + b \cos x)$, что равно $-y$.

3. Подставляем выражения для $y''$ и $y$ в левую часть соотношения $y'' + y$:

$y'' + y = (-a \sin x - b \cos x) + (a \sin x + b \cos x)$.

Упрощаем выражение, сокращая взаимно противоположные слагаемые:

$(-a \sin x + a \sin x) + (-b \cos x + b \cos x) = 0 + 0 = 0$.

Мы получили, что левая часть уравнения $y'' + y$ равна $0$, что совпадает с правой частью. Это равенство выполняется для любых значений $a$ и $b$.

Ответ: Доказано, что при любых значениях $a$ и $b$ функция $y = a \sin x + b \cos x$ удовлетворяет соотношению $y'' + y = 0$.