Страница 238, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Найдите производную функции:

41.2. а) $y = x^5$;

б) $y = x^{10}$;

в) $y = x^4$;

г) $y = x^{201}$.

Для нахождения производной степенной функции вида $y = x^n$, где $n$ является постоянным числом, используется основная формула дифференцирования:

$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$

Эта формула гласит, что для нахождения производной нужно умножить функцию на ее показатель степени, а затем уменьшить этот показатель на единицу. Применим это правило для каждого из заданий.

а) Дана функция $y = x^5$.

В этом случае показатель степени $n=5$. Применяем формулу производной степенной функции:

$y' = (x^5)' = 5 \cdot x^{5-1} = 5x^4$.

Ответ: $y' = 5x^4$.

б) Дана функция $y = x^{10}$.

Здесь показатель степени $n=10$. Находим производную по той же формуле:

$y' = (x^{10})' = 10 \cdot x^{10-1} = 10x^9$.

Ответ: $y' = 10x^9$.

в) Дана функция $y = x^4$.

Показатель степени в данном случае $n=4$. Вычисляем производную:

$y' = (x^4)' = 4 \cdot x^{4-1} = 4x^3$.

Ответ: $y' = 4x^3$.

г) Дана функция $y = x^{201}$.

Здесь показатель степени $n=201$. Находим производную, используя правило:

$y' = (x^{201})' = 201 \cdot x^{201-1} = 201x^{200}$.

Ответ: $y' = 201x^{200}$.

41.3. а) $y = \sin x$;

Б) $y = \sqrt{x}$;

В) $y = \cos x$;

Г) $y = x^{10}$.

а) Дана функция $y = \sin x$.

Чтобы найти производную этой функции, воспользуемся табличным значением производной для тригонометрической функции синус. Производная функции $y = \sin x$ равна $y' = \cos x$.

Таким образом, $y' = (\sin x)' = \cos x$.

Ответ: $y' = \cos x$.

б) Дана функция $y = \sqrt{x}$.

Для нахождения производной представим корень в виде степени: $y = x^{1/2}$.

Теперь воспользуемся формулой для производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. В данном случае $n = 1/2$.

Подставляем значение $n$ в формулу:

$y' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2}$.

Преобразуем выражение с отрицательной степенью:

$y' = \frac{1}{2x^{1/2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

в) Дана функция $y = \cos x$.

Для нахождения производной этой функции воспользуемся табличным значением производной для тригонометрической функции косинус. Производная функции $y = \cos x$ равна $y' = -\sin x$.

Таким образом, $y' = (\cos x)' = -\sin x$.

Ответ: $y' = -\sin x$.

г) Дана функция $y = x^{10}$.

Это степенная функция. Для нахождения ее производной воспользуемся формулой $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. В данном случае $n = 10$.

Подставляем значение $n$ в формулу:

$y' = (x^{10})' = 10 \cdot x^{10-1} = 10x^9$.

Ответ: $y' = 10x^9$.

41.4. a) $y = \operatorname{tg} x;$

Б) $y = \operatorname{ctg} x;$

В) $y = \operatorname{tg} x + 4;$

Г) $y = \operatorname{ctg} x + 8.$

а) Для нахождения производной функции $y = \tg x$ воспользуемся определением тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и правилом дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u = \sin x$, тогда $u' = \cos x$.
Пусть $v = \cos x$, тогда $v' = -\sin x$.
Подставим эти значения в формулу производной частного:
$y' = (\tg x)' = \frac{(\sin x)' \cdot \cos x - \sin x \cdot (\cos x)'}{(\cos x)^2} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
Таким образом, получаем: $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

б) Для нахождения производной функции $y = \ctg x$ воспользуемся определением котангенса $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ и правилом дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u = \cos x$, тогда $u' = -\sin x$.
Пусть $v = \sin x$, тогда $v' = \cos x$.
Подставим эти значения в формулу производной частного:
$y' = (\ctg x)' = \frac{(\cos x)' \cdot \sin x - \cos x \cdot (\sin x)'}{(\sin x)^2} = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
Таким образом, получаем: $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

в) Для нахождения производной функции $y = \tg x + 4$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы, согласно которому производная суммы равна сумме производных: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.
$y' = (\tg x + 4)' = (\tg x)' + (4)'$.
Производная тангенса, как мы нашли в пункте а), равна $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Производная константы (числа 4) равна нулю: $(4)' = 0$.
Следовательно, $y' = \frac{1}{\cos^2 x} + 0 = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

г) Для нахождения производной функции $y = \ctg x + 8$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.
$y' = (\ctg x + 8)' = (\ctg x)' + (8)'$.
Производная котангенса, как мы нашли в пункте б), равна $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Производная константы (числа 8) равна нулю: $(8)' = 0$.
Следовательно, $y' = -\frac{1}{\sin^2 x} + 0 = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

41.5. а) $y = x^2 - 7x;$

б) $y = -3x^2 - 13x;$

В) $y = 7x^2 + 3x;$

Г) $y = -x^2 + 8x.$

а)

Дана функция $y = x^2 - 7x$. Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где коэффициенты $a = 1$, $b = -7$, $c = 0$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ $y_0 = y(x_0)$

Найдем абсциссу (координату $x$) вершины: $x_0 = -\frac{-7}{2 \cdot 1} = \frac{7}{2} = 3.5$.

Теперь найдем ординату (координату $y$) вершины, подставив значение $x_0$ в уравнение функции: $y_0 = (3.5)^2 - 7 \cdot 3.5 = 12.25 - 24.5 = -12.25$.

Следовательно, координаты вершины параболы: $(3.5; -12.25)$.

Ответ: $(3.5; -12.25)$.

б)

Дана функция $y = -3x^2 - 13x$. Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -3$, $b = -13$, $c = 0$. Графиком является парабола. Поскольку $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем абсциссу вершины по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$: $x_0 = -\frac{-13}{2 \cdot (-3)} = -\frac{13}{6}$.

Найдем ординату вершины, подставив $x_0$ в функцию: $y_0 = -3 \cdot (-\frac{13}{6})^2 - 13 \cdot (-\frac{13}{6}) = -3 \cdot \frac{169}{36} + \frac{169}{6} = -\frac{169}{12} + \frac{169 \cdot 2}{12} = -\frac{169}{12} + \frac{338}{12} = \frac{169}{12} = 14\frac{1}{12}$.

Следовательно, координаты вершины параболы: $(-\frac{13}{6}; \frac{169}{12})$.

Ответ: $(-\frac{13}{6}; \frac{169}{12})$.

в)

Дана функция $y = 7x^2 + 3x$. Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 7$, $b = 3$, $c = 0$. Графиком является парабола. Поскольку $a = 7 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем абсциссу вершины по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$: $x_0 = -\frac{3}{2 \cdot 7} = -\frac{3}{14}$.

Найдем ординату вершины, подставив $x_0$ в функцию: $y_0 = 7 \cdot (-\frac{3}{14})^2 + 3 \cdot (-\frac{3}{14}) = 7 \cdot \frac{9}{196} - \frac{9}{14} = \frac{9}{28} - \frac{9 \cdot 2}{28} = \frac{9}{28} - \frac{18}{28} = -\frac{9}{28}$.

Следовательно, координаты вершины параболы: $(-\frac{3}{14}; -\frac{9}{28})$.

Ответ: $(-\frac{3}{14}; -\frac{9}{28})$.

г)

Дана функция $y = -x^2 + 8x$. Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -1$, $b = 8$, $c = 0$. Графиком является парабола. Поскольку $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем абсциссу вершины по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$: $x_0 = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = -\frac{8}{-2} = 4$.

Найдем ординату вершины, подставив $x_0$ в функцию: $y_0 = -(4)^2 + 8 \cdot 4 = -16 + 32 = 16$.

Следовательно, координаты вершины параболы: $(4; 16)$.

Ответ: $(4; 16)$.

41.6. а) $y = x^3 + 2x^5;$

б) $y = x^4 - x^9;$

В) $y = x^3 + 4x^{100};$

Г) $y = x^4 - 7x^9.$

а)

Для нахождения производной функции $y = x^3 + 2x^5$ мы будем использовать правило дифференцирования суммы и формулу производной степенной функции.
Правило производной суммы: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.
Формула производной степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.
Применяя эти правила, получаем:
$y' = (x^3 + 2x^5)' = (x^3)' + (2x^5)'$.
Находим производную каждого слагаемого отдельно:
$(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.
$(2x^5)' = 2 \cdot (x^5)' = 2 \cdot 5x^{5-1} = 10x^4$.
Теперь сложим результаты:
$y' = 3x^2 + 10x^4$.

Ответ: $y' = 3x^2 + 10x^4$.

б)

Для нахождения производной функции $y = x^4 - x^9$ мы будем использовать правило дифференцирования разности и формулу производной степенной функции.
Правило производной разности: $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$.
Применяем правила:
$y' = (x^4 - x^9)' = (x^4)' - (x^9)'$.
Находим производную каждого слагаемого:
$(x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$.
$(x^9)' = 9x^{9-1} = 9x^8$.
Теперь вычитаем вторую производную из первой:
$y' = 4x^3 - 9x^8$.

Ответ: $y' = 4x^3 - 9x^8$.

в)

Для нахождения производной функции $y = x^3 + 4x^{100}$ мы снова используем правило дифференцирования суммы и формулу производной степенной функции.
$y' = (x^3 + 4x^{100})' = (x^3)' + (4x^{100})'$.
Находим производную каждого слагаемого:
$(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.
$(4x^{100})' = 4 \cdot (x^{100})' = 4 \cdot 100x^{100-1} = 400x^{99}$.
Складываем результаты:
$y' = 3x^2 + 400x^{99}$.

Ответ: $y' = 3x^2 + 400x^{99}$.

г)

Для нахождения производной функции $y = x^4 - 7x^9$ мы используем правило дифференцирования разности и формулу производной степенной функции.
$y' = (x^4 - 7x^9)' = (x^4)' - (7x^9)'$.
Находим производную каждого слагаемого:
$(x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$.
$(7x^9)' = 7 \cdot (x^9)' = 7 \cdot 9x^{9-1} = 63x^8$.
Вычитаем вторую производную из первой:
$y' = 4x^3 - 63x^8$.

Ответ: $y' = 4x^3 - 63x^8$.

41.7. a) $y = 12x + \sqrt{x};$

б) $y = -2x^2 - \frac{1}{x};$

В) $y = \sqrt{x} - 5x^2;$

Г) $y = 10x^2 + \frac{1}{x}.$

а) $y = 12x + \sqrt{x}$

Для нахождения производной функции $y$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы и формулами производных степенной функции.

Производная суммы функций равна сумме производных этих функций: $(u+v)' = u' + v'$.

В нашем случае $u = 12x$ и $v = \sqrt{x}$.

Найдем производную первого слагаемого: $(12x)' = 12 \cdot (x)' = 12 \cdot 1 = 12$.

Найдем производную второго слагаемого. Представим $\sqrt{x}$ в виде степенной функции $x^{\frac{1}{2}}$.

Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = n x^{n-1}$:

$(\sqrt{x})' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Теперь сложим полученные производные:

$y' = (12x + \sqrt{x})' = (12x)' + (\sqrt{x})' = 12 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = 12 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

б) $y = -2x^2 - \frac{1}{x}$

Для нахождения производной функции $y$ воспользуемся правилом дифференцирования разности и формулами производных степенной функции.

Производная разности функций равна разности производных: $(u-v)' = u' - v'$.

В данном случае $u = -2x^2$ и $v = \frac{1}{x}$.

Найдем производную первого слагаемого, используя формулу $(x^n)' = n x^{n-1}$:

$(-2x^2)' = -2 \cdot (x^2)' = -2 \cdot 2x = -4x$.

Найдем производную второго слагаемого. Представим $\frac{1}{x}$ в виде $x^{-1}$.

Используем ту же формулу $(x^n)' = n x^{n-1}$:

$(\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Теперь вычтем производные:

$y' = (-2x^2 - \frac{1}{x})' = (-2x^2)' - (\frac{1}{x})' = -4x - (-\frac{1}{x^2}) = -4x + \frac{1}{x^2}$.

Ответ: $y' = -4x + \frac{1}{x^2}$.

в) $y = \sqrt{x} - 5x^2$

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования разности и формулами производных степенной функции.

Производная разности функций равна разности производных: $(u-v)' = u' - v'$.

Здесь $u = \sqrt{x}$ и $v = 5x^2$.

Производная первого слагаемого (как в пункте а):

$(\sqrt{x})' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная второго слагаемого:

$(5x^2)' = 5 \cdot (x^2)' = 5 \cdot 2x = 10x$.

Вычтем производные:

$y' = (\sqrt{x} - 5x^2)' = (\sqrt{x})' - (5x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 10x$.

Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 10x$.

г) $y = 10x^2 + \frac{1}{x}$

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования суммы и формулами производных степенной функции.

Производная суммы функций равна сумме производных: $(u+v)' = u' + v'$.

В этом случае $u = 10x^2$ и $v = \frac{1}{x}$.

Найдем производную первого слагаемого:

$(10x^2)' = 10 \cdot (x^2)' = 10 \cdot 2x = 20x$.

Найдем производную второго слагаемого (как в пункте б):

$(\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Сложим полученные производные:

$y' = (10x^2 + \frac{1}{x})' = (10x^2)' + (\frac{1}{x})' = 20x + (-\frac{1}{x^2}) = 20x - \frac{1}{x^2}$.

Ответ: $y' = 20x - \frac{1}{x^2}$.

41.8. a) $y = 6\sqrt{x} + \frac{3}{x}$;

б) $y = -2\sqrt{x} - \frac{1}{x}$;

В) $y = 10\sqrt{x} + \frac{5}{x}$;

Г) $y = -8\sqrt{x} - \frac{1}{x}$.

а)

Дана функция $y = 6\sqrt{x} + \frac{3}{x}$.

Область определения функции определяется условиями $x \ge 0$ (из-за корня) и $x \ne 0$ (из-за знаменателя). Таким образом, область определения: $x > 0$.

Для нахождения производной перепишем функцию в виде степеней:

$y = 6x^{1/2} + 3x^{-1}$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$ и формулу для производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (6x^{1/2} + 3x^{-1})' = (6x^{1/2})' + (3x^{-1})'$

$y' = 6 \cdot (\frac{1}{2}x^{1/2 - 1}) + 3 \cdot (-1 \cdot x^{-1 - 1})$

$y' = 3x^{-1/2} - 3x^{-2}$

Запишем результат в исходном виде с корнями и дробями:

$y' = \frac{3}{x^{1/2}} - \frac{3}{x^2} = \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x^2}$

Ответ: $y' = \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x^2}$.

б)

Дана функция $y = -2\sqrt{x} - \frac{1}{x}$.

Область определения функции: $x > 0$.

Перепишем функцию в виде степеней:

$y = -2x^{1/2} - x^{-1}$

Найдем производную, используя те же правила дифференцирования:

$y' = (-2x^{1/2} - x^{-1})' = (-2x^{1/2})' - (x^{-1})'$

$y' = -2 \cdot (\frac{1}{2}x^{1/2 - 1}) - (-1 \cdot x^{-1 - 1})$

$y' = -1x^{-1/2} + x^{-2}$

Запишем результат в исходном виде:

$y' = -\frac{1}{x^{1/2}} + \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

в)

Дана функция $y = 10\sqrt{x} + \frac{5}{x}$.

Область определения функции: $x > 0$.

Перепишем функцию в виде степеней:

$y = 10x^{1/2} + 5x^{-1}$

Найдем производную:

$y' = (10x^{1/2} + 5x^{-1})' = (10x^{1/2})' + (5x^{-1})'$

$y' = 10 \cdot (\frac{1}{2}x^{1/2 - 1}) + 5 \cdot (-1 \cdot x^{-1 - 1})$

$y' = 5x^{-1/2} - 5x^{-2}$

Запишем результат в исходном виде:

$y' = \frac{5}{x^{1/2}} - \frac{5}{x^2} = \frac{5}{\sqrt{x}} - \frac{5}{x^2}$

Ответ: $y' = \frac{5}{\sqrt{x}} - \frac{5}{x^2}$.

г)

Дана функция $y = -8\sqrt{x} - \frac{1}{x}$.

Область определения функции: $x > 0$.

Перепишем функцию в виде степеней:

$y = -8x^{1/2} - x^{-1}$

Найдем производную:

$y' = (-8x^{1/2} - x^{-1})' = (-8x^{1/2})' - (x^{-1})'$

$y' = -8 \cdot (\frac{1}{2}x^{1/2 - 1}) - (-1 \cdot x^{-1 - 1})$

$y' = -4x^{-1/2} + x^{-2}$

Запишем результат в исходном виде:

$y' = -\frac{4}{x^{1/2}} + \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2} - \frac{4}{\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{1}{x^2} - \frac{4}{\sqrt{x}}$.

41.9. a) $y = \cos x + 2x;$

б) $y = 3\sin x + \cos x;$

В) $y = \sin x - 3x;$

Г) $y = 2\cos x + \sin x.$

а) $y = \cos x + 2x$

Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем ее производную.Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.Производная функции:

$y' = (\cos x + 2x)' = -\sin x + 2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$-\sin x + 2 = 0 \Rightarrow \sin x = 2$.

Это уравнение не имеет решений, так как множество значений функции синус $[-1; 1]$.Следовательно, у функции нет критических точек, и ее производная сохраняет знак на всей области определения.Определим знак производной. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то для производной $y' = 2 - \sin x$ получаем:

$2 - 1 \le 2 - \sin x \le 2 - (-1)$

$1 \le y' \le 3$

Так как $y' > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, функция является монотонно возрастающей на всей числовой прямой и не имеет точек экстремума.

Ответ: функция возрастает на $(-\infty; +\infty)$, точек экстремума нет.

б) $y = 3\sin x + \cos x$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.Найдем производную:

$y' = (3\sin x + \cos x)' = 3\cos x - \sin x$.

Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:

$3\cos x - \sin x = 0$.

Если предположить, что $\cos x \ne 0$, можно разделить уравнение на $\cos x$:

$3 - \tan x = 0 \Rightarrow \tan x = 3$.

Решения этого уравнения: $x = \arctan 3 + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. (Заметим, что если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и $3(0) - (\pm 1) \ne 0$, так что наше предположение было верным).

Для определения характера экстремумов найдем вторую производную:

$y'' = (3\cos x - \sin x)' = -3\sin x - \cos x$.

Исследуем знак второй производной в критических точках. Если $\tan x = 3$, то $\sin x = \pm\frac{3}{\sqrt{10}}$ и $\cos x = \pm\frac{1}{\sqrt{10}}$.

1. Для точек $x = \arctan 3 + 2\pi n$ (I четверть), $\sin x = \frac{3}{\sqrt{10}}$ и $\cos x = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

$y'' = -3\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right) - \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{-9-1}{\sqrt{10}} = -\sqrt{10} < 0$. Значит, это точки максимума.

2. Для точек $x = \arctan 3 + (2n+1)\pi$ (III четверть), $\sin x = -\frac{3}{\sqrt{10}}$ и $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{10}}$.

$y'' = -3\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right) - \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = \frac{9+1}{\sqrt{10}} = \sqrt{10} > 0$. Значит, это точки минимума.

Функция возрастает на интервалах от минимума к максимуму и убывает от максимума к минимуму.

Ответ: точки максимума $x = \arctan 3 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x = \arctan 3 + (2n+1)\pi, n \in \mathbb{Z}$; интервалы возрастания $(\arctan 3 + (2n-1)\pi, \arctan 3 + 2n\pi), n \in \mathbb{Z}$; интервалы убывания $(\arctan 3 + 2n\pi, \arctan 3 + (2n+1)\pi), n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \sin x - 3x$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.Найдем производную:

$y' = (\sin x - 3x)' = \cos x - 3$.

Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:

$\cos x - 3 = 0 \Rightarrow \cos x = 3$.

Уравнение не имеет решений, так как $-1 \le \cos x \le 1$.Поскольку критических точек нет, производная сохраняет свой знак на всей оси.Оценим знак производной. Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то:

$-1 - 3 \le \cos x - 3 \le 1 - 3$

$-4 \le y' \le -2$

Так как $y' < 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, функция является монотонно убывающей на всей числовой прямой и не имеет точек экстремума.

Ответ: функция убывает на $(-\infty; +\infty)$, точек экстремума нет.

г) $y = 2\cos x + \sin x$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.Найдем производную:

$y' = (2\cos x + \sin x)' = -2\sin x + \cos x$.

Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:

$\cos x - 2\sin x = 0$.

Разделив на $\cos x \ne 0$ (что справедливо, так как $\cos x = 0$ не является решением), получим:

$1 - 2\tan x = 0 \Rightarrow \tan x = \frac{1}{2}$.

Критические точки: $x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Для определения типа экстремумов найдем вторую производную:

$y'' = (\cos x - 2\sin x)' = -\sin x - 2\cos x$.

Исследуем знак $y''$ в критических точках. Если $\tan x = \frac{1}{2}$, то $\sin x = \pm\frac{1}{\sqrt{5}}$ и $\cos x = \pm\frac{2}{\sqrt{5}}$.

1. Для точек $x = \arctan(\frac{1}{2}) + 2\pi n$ (I четверть), $\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}}$ и $\cos x = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

$y'' = -\frac{1}{\sqrt{5}} - 2\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = -\frac{5}{\sqrt{5}} = -\sqrt{5} < 0$. Это точки максимума.

2. Для точек $x = \arctan(\frac{1}{2}) + (2n+1)\pi$ (III четверть), $\sin x = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ и $\cos x = -\frac{2}{\sqrt{5}}$.

$y'' = -\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) - 2\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = \frac{1+4}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} > 0$. Это точки минимума.

Ответ: точки максимума $x = \arctan\frac{1}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x = \arctan\frac{1}{2} + (2n+1)\pi, n \in \mathbb{Z}$; интервалы возрастания $(\arctan\frac{1}{2} + (2n-1)\pi, \arctan\frac{1}{2} + 2n\pi), n \in \mathbb{Z}$; интервалы убывания $(\arctan\frac{1}{2} + 2n\pi, \arctan\frac{1}{2} + (2n+1)\pi), n \in \mathbb{Z}$.

41.10. a) $y = \frac{1}{3}\sin x - 3\operatorname{ctg} x;$

б) $y = 2\operatorname{tg} x + \sqrt{3}\cos x;$

В) $y = \frac{\cos x}{5} + 1,4\operatorname{ctg} x;$

Г) $y = 6\operatorname{tg} x - \sin x.$

а) Дана функция $y = \frac{1}{3}\sin x - 3\ctg x$.

Для нахождения производной $y'$ применяем правило дифференцирования разности функций $(u-v)'=u'-v'$ и правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot u)'=c \cdot u'$.

$y' = (\frac{1}{3}\sin x - 3\ctg x)' = (\frac{1}{3}\sin x)' - (3\ctg x)' = \frac{1}{3}(\sin x)' - 3(\ctg x)'$.

Используем табличные производные тригонометрических функций: $(\sin x)' = \cos x$ и $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Подставляем значения производных в выражение:

$y' = \frac{1}{3}\cos x - 3 \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = \frac{1}{3}\cos x + \frac{3}{\sin^2 x}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{3}\cos x + \frac{3}{\sin^2 x}$.

б) Дана функция $y = 2\tg x + \sqrt{3}\cos x$.

Для нахождения производной $y'$ применяем правило дифференцирования суммы функций $(u+v)'=u'+v'$ и правило вынесения константы за знак производной.

$y' = (2\tg x + \sqrt{3}\cos x)' = (2\tg x)' + (\sqrt{3}\cos x)' = 2(\tg x)' + \sqrt{3}(\cos x)'$.

Используем табличные производные тригонометрических функций: $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ и $(\cos x)' = -\sin x$.

Подставляем значения производных в выражение:

$y' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + \sqrt{3} \cdot (-\sin x) = \frac{2}{\cos^2 x} - \sqrt{3}\sin x$.

Ответ: $y' = \frac{2}{\cos^2 x} - \sqrt{3}\sin x$.

в) Дана функция $y = \frac{\cos x}{5} + 1,4\ctg x$.

Для нахождения производной $y'$ представим функцию в виде $y = \frac{1}{5}\cos x + 1,4\ctg x$ и применим правило дифференцирования суммы.

$y' = (\frac{1}{5}\cos x + 1,4\ctg x)' = (\frac{1}{5}\cos x)' + (1,4\ctg x)' = \frac{1}{5}(\cos x)' + 1,4(\ctg x)'$.

Используем табличные производные тригонометрических функций: $(\cos x)' = -\sin x$ и $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Подставляем значения производных в выражение:

$y' = \frac{1}{5} \cdot (-\sin x) + 1,4 \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -\frac{1}{5}\sin x - \frac{1,4}{\sin^2 x}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{5}\sin x - \frac{1,4}{\sin^2 x}$.

г) Дана функция $y = 6\tg x - \sin x$.

Для нахождения производной $y'$ применяем правило дифференцирования разности функций.

$y' = (6\tg x - \sin x)' = (6\tg x)' - (\sin x)' = 6(\tg x)' - (\sin x)'$.

Используем табличные производные тригонометрических функций: $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ и $(\sin x)' = \cos x$.

Подставляем значения производных в выражение:

$y' = 6 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} - \cos x = \frac{6}{\cos^2 x} - \cos x$.

Ответ: $y' = \frac{6}{\cos^2 x} - \cos x$.

41.11. a) $y = x^5 + 9x^{20} + 1;$

б) $y = x^7 - 4x^{16} - 3;$

В) $y = x^6 + 13x^{10} + 12;$

Г) $y = x^9 - 6x^{21} - 36.$

а) Дана функция $y = x^5 + 9x^{20} + 1$.

Для нахождения производной этой функции воспользуемся основными правилами дифференцирования. Производная суммы функций равна сумме их производных: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$. Производная степенной функции находится по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$. Производная произведения константы на функцию равна произведению константы на производную функции: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$. Производная константы равна нулю: $(c)' = 0$.

Применим эти правила для каждого слагаемого в выражении:

Производная от $x^5$: $(x^5)' = 5x^{5-1} = 5x^4$.

Производная от $9x^{20}$: $(9x^{20})' = 9 \cdot (x^{20})' = 9 \cdot 20x^{20-1} = 180x^{19}$.

Производная от $1$: $(1)' = 0$.

Теперь сложим полученные производные:

$y' = (x^5 + 9x^{20} + 1)' = (x^5)' + (9x^{20})' + (1)' = 5x^4 + 180x^{19} + 0$.

Упрощая, получаем окончательный результат: $y' = 5x^4 + 180x^{19}$.

Ответ: $y' = 5x^4 + 180x^{19}$.

б) Дана функция $y = x^7 - 4x^{16} - 3$.

Используя те же правила дифференцирования, найдем производную для каждого члена функции.

Производная от $x^7$: $(x^7)' = 7x^{7-1} = 7x^6$.

Производная от $-4x^{16}$: $(-4x^{16})' = -4 \cdot (x^{16})' = -4 \cdot 16x^{16-1} = -64x^{15}$.

Производная от $-3$: $(-3)' = 0$.

Сложим результаты, чтобы найти производную исходной функции:

$y' = (x^7 - 4x^{16} - 3)' = 7x^6 - 64x^{15} - 0 = 7x^6 - 64x^{15}$.

Ответ: $y' = 7x^6 - 64x^{15}$.

в) Дана функция $y = x^6 + 13x^{10} + 12$.

Находим производную, дифференцируя каждое слагаемое по отдельности, используя формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Производная от $x^6$: $(x^6)' = 6x^{6-1} = 6x^5$.

Производная от $13x^{10}$: $(13x^{10})' = 13 \cdot (x^{10})' = 13 \cdot 10x^{10-1} = 130x^9$.

Производная от $12$: $(12)' = 0$.

Суммируя производные, получаем:

$y' = (x^6 + 13x^{10} + 12)' = 6x^5 + 130x^9 + 0 = 6x^5 + 130x^9$.

Ответ: $y' = 6x^5 + 130x^9$.

г) Дана функция $y = x^9 - 6x^{21} - 36$.

Для нахождения производной применим правило дифференцирования суммы и правило для степенной функции к каждому члену полинома.

Производная от $x^9$: $(x^9)' = 9x^{9-1} = 9x^8$.

Производная от $-6x^{21}$: $(-6x^{21})' = -6 \cdot (x^{21})' = -6 \cdot 21x^{21-1} = -126x^{20}$.

Производная от $-36$: $(-36)' = 0$.

Объединяя результаты, находим производную всей функции:

$y' = (x^9 - 6x^{21} - 36)' = 9x^8 - 126x^{20} - 0 = 9x^8 - 126x^{20}$.

Ответ: $y' = 9x^8 - 126x^{20}$.

41.12. a) $y = (x^2 - 1)(x^4 + 2)$;

б) $y = (x^2 + 3)(x^6 - 1)$;

В) $y = (x^2 + 3)(x^4 - 1)$;

Г) $y = (x^2 - 2)(x^7 + 4)$.

а) Для нахождения производной функции $y = (x^2 - 1)(x^4 + 2)$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^2 - 1$ и $v(x) = x^4 + 2$.
Найдем их производные:
$u'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$
$v'(x) = (x^4 + 2)' = 4x^3$
Теперь подставим найденные производные в формулу:
$y' = u'v + uv' = 2x(x^4 + 2) + (x^2 - 1)(4x^3)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y' = 2x^5 + 4x + 4x^5 - 4x^3 = 6x^5 - 4x^3 + 4x$
Ответ: $y' = 6x^5 - 4x^3 + 4x$.

б) Для функции $y = (x^2 + 3)(x^6 - 1)$ применим правило производной произведения.
Пусть $u(x) = x^2 + 3$ и $v(x) = x^6 - 1$.
Их производные:
$u'(x) = (x^2 + 3)' = 2x$
$v'(x) = (x^6 - 1)' = 6x^5$
Подставим в формулу $(uv)' = u'v + uv'$:
$y' = 2x(x^6 - 1) + (x^2 + 3)(6x^5)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$y' = 2x^7 - 2x + 6x^7 + 18x^5 = 8x^7 + 18x^5 - 2x$
Ответ: $y' = 8x^7 + 18x^5 - 2x$.

в) Для функции $y = (x^2 + 3)(x^4 - 1)$ используем правило производной произведения.
Пусть $u(x) = x^2 + 3$ и $v(x) = x^4 - 1$.
Найдем их производные:
$u'(x) = (x^2 + 3)' = 2x$
$v'(x) = (x^4 - 1)' = 4x^3$
Подставим в формулу $(uv)' = u'v + uv'$:
$y' = 2x(x^4 - 1) + (x^2 + 3)(4x^3)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y' = 2x^5 - 2x + 4x^5 + 12x^3 = 6x^5 + 12x^3 - 2x$
Ответ: $y' = 6x^5 + 12x^3 - 2x$.

г) Для функции $y = (x^2 - 2)(x^7 + 4)$ воспользуемся правилом производной произведения.
Пусть $u(x) = x^2 - 2$ и $v(x) = x^7 + 4$.
Их производные:
$u'(x) = (x^2 - 2)' = 2x$
$v'(x) = (x^7 + 4)' = 7x^6$
Подставим в формулу $(uv)' = u'v + uv'$:
$y' = 2x(x^7 + 4) + (x^2 - 2)(7x^6)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$y' = 2x^8 + 8x + 7x^8 - 14x^6 = 9x^8 - 14x^6 + 8x$
Ответ: $y' = 9x^8 - 14x^6 + 8x$.

41.13. а) $y = \sqrt{x}(2x - 4);$

б) $y = (x^3 + 1) \cdot \sqrt{x};$

В) $y = \sqrt{x}(8x - 10);$

Г) $y = \sqrt{x} \cdot (x^4 + 2).$

а) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{x}(2x - 4)$ сначала упростим выражение. Для этого представим корень как степень $x^{1/2}$ и раскроем скобки.

$y = x^{1/2}(2x - 4) = 2x^{1/2} \cdot x^1 - 4x^{1/2} = 2x^{1/2+1} - 4x^{1/2} = 2x^{3/2} - 4x^{1/2}$.

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования разности функций.

$y' = (2x^{3/2} - 4x^{1/2})' = 2 \cdot (x^{3/2})' - 4 \cdot (x^{1/2})' = 2 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2-1} - 4 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = 3x^{1/2} - 2x^{-1/2}$.

Преобразуем полученное выражение, вернувшись к обозначению корня, и приведем к общему знаменателю.

$y' = 3\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{3x - 2}{\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = \frac{3x - 2}{\sqrt{x}}$.

б) Для функции $y = (x^3 + 1)\sqrt{x}$ также сначала упростим выражение, раскрыв скобки.

$y = (x^3 + 1)x^{1/2} = x^3 \cdot x^{1/2} + 1 \cdot x^{1/2} = x^{3+1/2} + x^{1/2} = x^{7/2} + x^{1/2}$.

Находим производную по правилу дифференцирования степенной функции и суммы функций.

$y' = (x^{7/2} + x^{1/2})' = \frac{7}{2}x^{7/2-1} + \frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{7}{2}x^{5/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}$.

Для упрощения выражения вынесем за скобки общий множитель $\frac{1}{2}x^{-1/2}$.

$y' = \frac{1}{2}x^{-1/2}(7x^{5/2 - (-1/2)} + 1) = \frac{1}{2}x^{-1/2}(7x^{6/2} + 1) = \frac{1}{2}x^{-1/2}(7x^3 + 1)$.

Запишем итоговый результат в виде дроби.

$y' = \frac{7x^3 + 1}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = \frac{7x^3 + 1}{2\sqrt{x}}$.

в) Найдем производную функции $y = \sqrt{x}(8x - 10)$. Сначала упростим выражение.

$y = x^{1/2}(8x - 10) = 8x^{1+1/2} - 10x^{1/2} = 8x^{3/2} - 10x^{1/2}$.

Дифференцируем полученную функцию по правилам дифференцирования.

$y' = (8x^{3/2} - 10x^{1/2})' = 8 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2-1} - 10 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = 12x^{1/2} - 5x^{-1/2}$.

Преобразуем выражение и приведем к общему знаменателю.

$y' = 12\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} = \frac{12\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{5}{\sqrt{x}} = \frac{12x - 5}{\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = \frac{12x - 5}{\sqrt{x}}$.

г) Найдем производную функции $y = \sqrt{x}(x^4 + 2)$. Сначала упростим выражение.

$y = x^{1/2}(x^4 + 2) = x^{1/2} \cdot x^4 + 2x^{1/2} = x^{4+1/2} + 2x^{1/2} = x^{9/2} + 2x^{1/2}$.

Дифференцируем, используя правило для степенной функции и суммы.

$y' = (x^{9/2} + 2x^{1/2})' = \frac{9}{2}x^{9/2-1} + 2 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{9}{2}x^{7/2} + x^{-1/2}$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}x^{-1/2}$ за скобки для упрощения.

$y' = \frac{1}{2}x^{-1/2}(9x^{7/2 - (-1/2)} + 2) = \frac{1}{2}x^{-1/2}(9x^{8/2} + 2) = \frac{1}{2}x^{-1/2}(9x^4 + 2)$.

Запишем итоговый ответ в виде дроби.

$y' = \frac{9x^4 + 2}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = \frac{9x^4 + 2}{2\sqrt{x}}$.

41.14. a) $y = x \cdot \sin x;$

б) $y = \sqrt{x} \cdot \cos x;$

В) $y = x \cdot \cos x;$

Г) $y = \sqrt{x} \cdot \sin x.$

а) Дана функция $y = x \cdot \sin x$. Для нахождения её производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

В данном случае, пусть $u = x$ и $v = \sin x$.

Найдём производные функций $u$ и $v$ по отдельности:

$u' = (x)' = 1$

$v' = (\sin x)' = \cos x$

Теперь подставим полученные выражения в формулу для производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$.

Ответ: $y' = \sin x + x \cos x$.

б) Дана функция $y = \sqrt{x} \cdot \cos x$. Для нахождения её производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

В данном случае, пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \cos x$. Область определения исходной функции: $x \ge 0$.

Найдём производные функций $u$ и $v$ по отдельности:

$u' = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v' = (\cos x)' = -\sin x$

Теперь подставим полученные выражения в формулу для производной произведения. Производная будет определена для $x > 0$.

$y' = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \cos x + \sqrt{x} \cdot (-\sin x) = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \sin x$.

Ответ: $y' = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \sin x$.

в) Дана функция $y = x \cdot \cos x$. Для нахождения её производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

В данном случае, пусть $u = x$ и $v = \cos x$.

Найдём производные функций $u$ и $v$ по отдельности:

$u' = (x)' = 1$

$v' = (\cos x)' = -\sin x$

Теперь подставим полученные выражения в формулу для производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x \sin x$.

Ответ: $y' = \cos x - x \sin x$.

г) Дана функция $y = \sqrt{x} \cdot \sin x$. Для нахождения её производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

В данном случае, пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \sin x$. Область определения исходной функции: $x \ge 0$.

Найдём производные функций $u$ и $v$ по отдельности:

$u' = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v' = (\sin x)' = \cos x$

Теперь подставим полученные выражения в формулу для производной произведения. Производная будет определена для $x > 0$.

$y' = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin x + \sqrt{x} \cdot \cos x = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cos x$.

Ответ: $y' = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cos x$.