Страница 231, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Вычислите:

39.23. а) $ \lim_{x\to 1} (x^2 - 3x + 5) $;

б) $ \lim_{x\to \frac{1}{2}} \frac{2x + 3}{4x + 2} $;

в) $ \lim_{x\to -1} (x^2 + 6x - 8) $;

г) $ \lim_{x\to -\frac{1}{3}} \frac{7x - 14}{21x + 2} $.

а) Для вычисления предела $\lim_{x\to1} (x^2 - 3x + 5)$ нужно найти значение, к которому стремится функция $f(x) = x^2 - 3x + 5$ при $x$, стремящемся к 1. Поскольку данная функция является многочленом, она непрерывна на всей числовой оси. Это означает, что предел функции в точке равен значению функции в этой точке. Следовательно, мы можем просто подставить значение $x=1$ в выражение: $\lim_{x\to1} (x^2 - 3x + 5) = 1^2 - 3 \cdot 1 + 5 = 1 - 3 + 5 = 3$.
Ответ: 3

б) Нужно вычислить предел $\lim_{x\to\frac{1}{2}} \frac{2x+3}{4x+2}$. Функция $f(x) = \frac{2x+3}{4x+2}$ является рациональной функцией (отношением двух многочленов). Такая функция непрерывна во всех точках, где ее знаменатель не обращается в ноль. Проверим значение знаменателя в точке $x = \frac{1}{2}$: $4x + 2 = 4 \cdot \frac{1}{2} + 2 = 2 + 2 = 4$. Так как знаменатель не равен нулю, мы можем найти предел путем прямой подстановки значения $x = \frac{1}{2}$ в функцию: $\lim_{x\to\frac{1}{2}} \frac{2x+3}{4x+2} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} + 3}{4 \cdot \frac{1}{2} + 2} = \frac{1 + 3}{2 + 2} = \frac{4}{4} = 1$.
Ответ: 1

в) Вычислим предел $\lim_{x\to-1} (x^2 + 6x - 8)$. Функция $f(x) = x^2 + 6x - 8$ является многочленом, поэтому она непрерывна для всех действительных значений $x$. Для нахождения предела достаточно подставить значение $x = -1$ в выражение: $\lim_{x\to-1} (x^2 + 6x - 8) = (-1)^2 + 6 \cdot (-1) - 8 = 1 - 6 - 8 = -13$.
Ответ: -13

г) Найдем значение предела $\lim_{x\to-\frac{1}{3}} \frac{7x-14}{21x+2}$. Это предел рациональной функции. Сначала проверим, не обращается ли знаменатель в ноль в точке $x = -\frac{1}{3}$: $21x + 2 = 21 \cdot (-\frac{1}{3}) + 2 = -7 + 2 = -5$. Знаменатель не равен нулю, следовательно, функция непрерывна в этой точке. Можем найти предел прямой подстановкой: $\lim_{x\to-\frac{1}{3}} \frac{7x-14}{21x+2} = \frac{7 \cdot (-\frac{1}{3}) - 14}{21 \cdot (-\frac{1}{3}) + 2} = \frac{-\frac{7}{3} - 14}{-7 + 2} = \frac{-\frac{7}{3} - \frac{42}{3}}{-5} = \frac{-\frac{49}{3}}{-5} = \frac{49}{3 \cdot 5} = \frac{49}{15}$.
Ответ: $\frac{49}{15}$

39.24. a) $\lim_{x \to 5} \sqrt{x+4}$;

Б) $\lim_{x \to 0} \frac{2x-1}{x^2+3x-4}$;

В) $\lim_{x \to 3.5} \sqrt{2x-6}$;

Г) $\lim_{x \to -1} \frac{5-2x}{3x^2-2x+4}$.

а)

Для вычисления предела $\lim_{x \to 5} \sqrt{x+4}$ необходимо проверить, непрерывна ли функция $f(x) = \sqrt{x+4}$ в точке $x=5$. Область определения функции задается условием $x+4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$. Поскольку точка $x=5$ принадлежит области определения функции, и функция является элементарной, она непрерывна в этой точке. Следовательно, значение предела равно значению функции в этой точке. Выполним прямую подстановку:
$\lim_{x \to 5} \sqrt{x+4} = \sqrt{5+4} = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: 3.

б)

Рассмотрим предел $\lim_{x \to 0} \frac{2x-1}{x^2+3x-4}$. Функция $f(x) = \frac{2x-1}{x^2+3x-4}$ является рациональной. Рациональные функции непрерывны во всех точках своей области определения. Область определения - это все значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Проверим значение знаменателя в точке $x=0$:
$x^2+3x-4 = 0^2 + 3 \cdot 0 - 4 = -4$.
Так как знаменатель не равен нулю при $x=0$, функция непрерывна в этой точке. Значит, для нахождения предела можно подставить значение $x=0$ в функцию:
$\lim_{x \to 0} \frac{2x-1}{x^2+3x-4} = \frac{2 \cdot 0 - 1}{0^2+3 \cdot 0-4} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

в)

Для вычисления предела $\lim_{x \to 3,5} \sqrt{2x-6}$ проверим непрерывность функции $f(x)=\sqrt{2x-6}$ в точке $x=3,5$. Область определения функции задается условием $2x-6 \ge 0$, то есть $2x \ge 6$, или $x \ge 3$. Точка $x=3,5$ входит в область определения ($3,5 > 3$), и функция является элементарной, следовательно, она непрерывна в этой точке. Вычислим предел прямой подстановкой:
$\lim_{x \to 3,5} \sqrt{2x-6} = \sqrt{2 \cdot 3,5 - 6} = \sqrt{7-6} = \sqrt{1} = 1$.
Ответ: 1.

г)

Рассмотрим предел $\lim_{x \to -1} \frac{5-2x}{3x^2-2x+4}$. Функция $f(x) = \frac{5-2x}{3x^2-2x+4}$ является рациональной функцией. Она непрерывна во всех точках, где ее знаменатель не обращается в ноль. Проверим значение знаменателя в точке $x=-1$:
$3x^2-2x+4 = 3(-1)^2 - 2(-1) + 4 = 3 \cdot 1 + 2 + 4 = 9$.
Знаменатель не равен нулю, значит, функция непрерывна в точке $x=-1$. Для вычисления предела подставим значение $x=-1$ в выражение:
$\lim_{x \to -1} \frac{5-2x}{3x^2-2x+4} = \frac{5-2(-1)}{3(-1)^2-2(-1)+4} = \frac{5+2}{3+2+4} = \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{7}{9}$.

39.25. a) $\lim_{x \to 4} \frac{\sin \pi x}{x - 1};$

б) $\lim_{x \to 2} \frac{\sin \frac{\pi}{x}}{2x + 1};$

В) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos \pi x}{x + 2};$

Г) $\lim_{x \to 2} \frac{\cos \frac{2\pi}{x}}{3x - 1}.$

а) Найдем предел функции $\lim_{x \to 4} \frac{\sin \pi x}{x - 1}$.

Функции в числителе $f(x) = \sin(\pi x)$ и в знаменателе $g(x) = x - 1$ являются непрерывными. Точка $x=4$ входит в область определения дроби, так как знаменатель в этой точке не равен нулю. Поэтому для нахождения предела можно просто подставить предельное значение $x = 4$ в выражение.

Вычислим значение числителя при $x = 4$:
$\sin(\pi \cdot 4) = \sin(4\pi) = 0$.

Вычислим значение знаменателя при $x = 4$:
$4 - 1 = 3$.

Так как при подстановке мы получили определенное значение, предел равен значению функции в этой точке:

$\lim_{x \to 4} \frac{\sin \pi x}{x - 1} = \frac{0}{3} = 0$.

Ответ: $0$.

б) Найдем предел функции $\lim_{x \to 2} \frac{\sin \frac{\pi}{x}}{2x + 1}$.

Функция под знаком предела является отношением двух непрерывных функций. Проверим, обращается ли знаменатель в ноль в точке $x = 2$.

Вычислим значение числителя при $x = 2$:
$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Вычислим значение знаменателя при $x = 2$:
$2 \cdot 2 + 1 = 5$.

Знаменатель не равен нулю. Следовательно, предел можно найти прямой подстановкой:

$\lim_{x \to 2} \frac{\sin \frac{\pi}{x}}{2x + 1} = \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{2 \cdot 2 + 1} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

в) Найдем предел функции $\lim_{x \to 0} \frac{\cos \pi x}{x + 2}$.

Как и в предыдущих случаях, функции в числителе и знаменателе непрерывны. Проверим значение знаменателя в точке $x = 0$.

Вычислим значение числителя при $x = 0$:
$\cos(\pi \cdot 0) = \cos(0) = 1$.

Вычислим значение знаменателя при $x = 0$:
$0 + 2 = 2$.

Так как знаменатель не равен нулю, предел находится прямой подстановкой значения $x = 0$:

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos \pi x}{x + 2} = \frac{\cos(0)}{0 + 2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) Найдем предел функции $\lim_{x \to 2} \frac{\cos \frac{2\pi}{x}}{3x - 1}$.

Функция под знаком предела является непрерывной в точке $x=2$, если знаменатель в этой точке не обращается в ноль. Выполним прямую подстановку.

Вычислим значение числителя при $x = 2$:
$\cos\left(\frac{2\pi}{2}\right) = \cos(\pi) = -1$.

Вычислим значение знаменателя при $x = 2$:
$3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5$.

Знаменатель не равен нулю, неопределенности нет. Предел равен значению функции в точке:

$\lim_{x \to 2} \frac{\cos \frac{2\pi}{x}}{3x - 1} = \frac{\cos(\frac{2\pi}{2})}{3 \cdot 2 - 1} = \frac{\cos(\pi)}{5} = -\frac{1}{5}$.

Ответ: $-\frac{1}{5}$.

39.26. a) $ \lim_{x \to 0,5} (2 \arcsin x + 3 \arccos x); $

б) $ \lim_{x \to -0,5} \frac{\arccos x + \pi \sin \pi x}{\pi \cos \pi x + 2 \arcsin x}; $

в) $ \lim_{x \to \sqrt{3}^{-}} (2 \operatorname{arctg} x - \operatorname{arcctg} x); $

г) $ \lim_{x \to -1} \frac{2 \operatorname{arcctg} x + \pi x}{\cos x - \cos (-x) + \operatorname{arctg} x}. $

а) $\lim_{x \to 0,5} (2 \arcsin x + 3 \arccos x)$

Функции $y = \arcsin x$ и $y = \arccos x$ являются непрерывными на отрезке $[-1, 1]$. Точка $x = 0,5$ принадлежит этому отрезку, следовательно, функция $f(x) = 2 \arcsin x + 3 \arccos x$ также непрерывна в этой точке. Для нахождения предела можно просто подставить значение $x = 0,5$ в выражение.

Находим значения обратных тригонометрических функций:

$\arcsin(0,5) = \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$

$\arccos(0,5) = \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$

Подставляем найденные значения в исходное выражение:

$\lim_{x \to 0,5} (2 \arcsin x + 3 \arccos x) = 2 \cdot \frac{\pi}{6} + 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{\pi + 3\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$

Ответ: $\frac{4\pi}{3}$.

б) $\lim_{x \to -0,5} \frac{\arccos x + \pi \sin \pi x}{\pi \cos \pi x + 2 \arcsin x}$

Все функции, входящие в выражение, непрерывны в точке $x = -0,5$. Для нахождения предела попробуем выполнить прямую подстановку значения $x = -0,5 = -1/2$.

Вычислим значение числителя:

$\arccos(-0,5) + \pi \sin(\pi \cdot (-0,5)) = \arccos(-\frac{1}{2}) + \pi \sin(-\frac{\pi}{2}) = \frac{2\pi}{3} + \pi(-1) = \frac{2\pi}{3} - \pi = -\frac{\pi}{3}$

Вычислим значение знаменателя:

$\pi \cos(\pi \cdot (-0,5)) + 2 \arcsin(-0,5) = \pi \cos(-\frac{\pi}{2}) + 2 \arcsin(-\frac{1}{2}) = \pi \cdot 0 + 2 \cdot (-\frac{\pi}{6}) = -\frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}$

Поскольку знаменатель не равен нулю, предел равен отношению значений числителя и знаменателя в этой точке:

$\lim_{x \to -0,5} \frac{\arccos x + \pi \sin \pi x}{\pi \cos \pi x + 2 \arcsin x} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{-\frac{\pi}{3}} = 1$

Ответ: $1$.

в) $\lim_{x \to \sqrt{3}} (2 \operatorname{arctg} x - \operatorname{arcctg} x)$

Функции $y = \operatorname{arctg} x$ и $y = \operatorname{arcctg} x$ непрерывны на всей числовой оси, а значит, и в точке $x = \sqrt{3}$. Следовательно, предел можно найти путем прямой подстановки.

Находим значения обратных тригонометрических функций:

$\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$

$\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$

Подставляем значения в выражение:

$\lim_{x \to \sqrt{3}} (2 \operatorname{arctg} x - \operatorname{arcctg} x) = 2 \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) $\lim_{x \to -1} \frac{2 \operatorname{arcctg} x + \pi x}{\cos x - \cos(-x) + \operatorname{arctg} x}$

Упростим знаменатель дроби, используя свойство четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos x$.

$\cos x - \cos(-x) + \operatorname{arctg} x = \cos x - \cos x + \operatorname{arctg} x = \operatorname{arctg} x$

Теперь предел имеет вид:

$\lim_{x \to -1} \frac{2 \operatorname{arcctg} x + \pi x}{\operatorname{arctg} x}$

Все функции в новом выражении непрерывны в точке $x = -1$. Выполним прямую подстановку.

Вычислим значение числителя при $x = -1$:

$2 \operatorname{arcctg}(-1) + \pi(-1) = 2 \cdot \frac{3\pi}{4} - \pi = \frac{3\pi}{2} - \pi = \frac{\pi}{2}$

Вычислим значение знаменателя при $x = -1$:

$\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$

Знаменатель не равен нулю, поэтому предел равен отношению значений:

$\lim_{x \to -1} \frac{2 \operatorname{arcctg} x + \pi x}{\operatorname{arctg} x} = \frac{\frac{\pi}{2}}{-\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{2} \cdot (-\frac{4}{\pi}) = -2$

Ответ: $-2$.

39.27. a) $lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 - x};$

Б) $lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{x^2 + x};$

В) $lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 3x}{x - 3};$

Г) $lim_{x \to 5} \frac{x + 5}{x^2 + 5x}.$

а) Для нахождения предела $lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 - x}$ сначала попробуем подставить предельное значение $x=0$ в выражение. Получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы ее раскрыть, преобразуем выражение, вынеся общий множитель $x$ в знаменателе за скобки.
$lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 - x} = lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x(x - 1)}$
Сократим дробь на $x$, так как $x$ стремится к нулю, но не равен ему.
$lim_{x \to 0} \frac{x}{x - 1}$
Теперь подставим $x=0$ в упрощенное выражение:
$\frac{0}{0 - 1} = \frac{0}{-1} = 0$
Ответ: 0

б) Найдем предел $lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{x^2 + x}$. При подстановке $x = -1$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{-1+1}{(-1)^2 + (-1)} = \frac{0}{1-1} = \frac{0}{0}$. Разложим знаменатель на множители, вынеся $x$ за скобку.
$lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{x(x + 1)}$
Сократим дробь на общий множитель $(x+1)$, так как $x \to -1$, а значит $x \neq -1$.
$lim_{x \to -1} \frac{1}{x}$
Подставим $x = -1$ в полученное выражение:
$\frac{1}{-1} = -1$
Ответ: -1

в) Найдем предел $lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 3x}{x - 3}$. Подстановка $x=3$ дает неопределенность $\frac{3^2 - 3 \cdot 3}{3 - 3} = \frac{9-9}{0} = \frac{0}{0}$. Для раскрытия неопределенности вынесем общий множитель $x$ в числителе за скобки.
$lim_{x \to 3} \frac{x(x - 3)}{x - 3}$
Сократим дробь на $(x-3)$, поскольку $x \to 3$, но $x \neq 3$.
$lim_{x \to 3} x$
Теперь значение предела очевидно:
$3$
Ответ: 3

г) Найдем предел $lim_{x \to 5} \frac{x + 5}{x^2 + 5x}$. В данном случае при подстановке $x=5$ неопределенности не возникает, поэтому мы можем просто подставить значение в выражение.
$lim_{x \to 5} \frac{x + 5}{x^2 + 5x} = \frac{5 + 5}{5^2 + 5 \cdot 5} = \frac{10}{25 + 25} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$
Также можно было сначала упростить выражение, разложив знаменатель на множители:
$lim_{x \to 5} \frac{x + 5}{x(x + 5)} = lim_{x \to 5} \frac{1}{x} = \frac{1}{5}$
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: $\frac{1}{5}$

39.28. a) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$;

б) $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4}{2 + x}$;

в) $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$;

г) $\lim_{x \to -3} \frac{3 + x}{x^2 - 9}$.

а)

Найдем предел функции $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$.

При подстановке предельного значения $x = 1$ в выражение, мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$

Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Теперь подставим разложенный числитель обратно в выражение под знаком предела:

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}$

Поскольку $x$ стремится к $1$, но не равен $1$ ($x \neq 1$), мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 1)$:

$\lim_{x \to 1} (x + 1)$

Теперь можно выполнить подстановку $x = 1$ в полученное выражение:

$1 + 1 = 2$

Ответ: $2$

б)

Найдем предел функции $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4}{2 + x}$.

При подстановке $x = -2$ в выражение, получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{(-2)^2 - 4}{2 + (-2)} = \frac{4 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Подставим разложенное выражение в предел:

$\lim_{x \to -2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{2 + x}$

Так как $x \to -2$, то $x \neq -2$. Учитывая, что $x + 2 = 2 + x$, мы можем сократить дробь на $(x + 2)$:

$\lim_{x \to -2} (x - 2)$

Подставляем предельное значение $x = -2$:

$-2 - 2 = -4$

Ответ: $-4$

в)

Найдем предел функции $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$.

При подстановке $x = 5$ в выражение, получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{5^2 - 25}{5 - 5} = \frac{25 - 25}{0} = \frac{0}{0}$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:

$x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$

Подставим разложенное выражение в предел:

$\lim_{x \to 5} \frac{(x - 5)(x + 5)}{x - 5}$

Так как $x \to 5$, то $x \neq 5$, и мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 5)$:

$\lim_{x \to 5} (x + 5)$

Подставляем предельное значение $x = 5$:

$5 + 5 = 10$

Ответ: $10$

г)

Найдем предел функции $\lim_{x \to -3} \frac{3 + x}{x^2 - 9}$.

При подстановке $x = -3$ в выражение, получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{3 + (-3)}{(-3)^2 - 9} = \frac{0}{9 - 9} = \frac{0}{0}$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов:

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

Подставим разложенное выражение в предел:

$\lim_{x \to -3} \frac{3 + x}{(x - 3)(x + 3)}$

Так как $x \to -3$, то $x \neq -3$. Учитывая, что $x + 3 = 3 + x$, мы можем сократить дробь на $(x + 3)$:

$\lim_{x \to -3} \frac{1}{x - 3}$

Подставляем предельное значение $x = -3$:

$\frac{1}{-3 - 3} = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}$

Ответ: $-\frac{1}{6}$

39.29. a) $lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1};$

б) $lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{2x^2 - x - 6};$

В) $lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{x^2 - 2x - 3};$

Г) $lim_{x \to 9} \frac{x^2 - 11x + 18}{x - 9}.$

а) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2+2x-3}{x-1}$

При подстановке предельного значения $x=1$ в числитель и знаменатель дроби возникает неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $1^2+2 \cdot 1 - 3 = 0$ и $1-1=0$. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2+2x-3=0$. Его корнями являются $x_1=1$ и $x_2=-3$. Тогда квадратный трехчлен можно представить в виде $x^2+2x-3 = (x-1)(x-(-3)) = (x-1)(x+3)$.

Теперь предел можно переписать и сократить дробь:

$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+3)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+3)$

После сокращения неопределенность исчезает, и мы можем подставить значение $x=1$:

$1+3=4$

Ответ: 4

б) $\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{2x^2-x-6}$

При подстановке $x=2$ в числитель и знаменатель получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $2-2=0$ и $2(2^2)-2-6 = 2 \cdot 4 - 2 - 6 = 8-8=0$. Разложим на множители знаменатель, решив уравнение $2x^2-x-6=0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1+48=49$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{1+\sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1+7}{4} = 2$ и $x_2 = \frac{1-\sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1-7}{4} = -\frac{3}{2}$.

Тогда знаменатель можно представить в виде $2x^2-x-6 = 2(x-2)(x+\frac{3}{2}) = (x-2)(2x+3)$.

Перепишем предел и выполним сокращение:

$\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(2x+3)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{2x+3}$

Подставляем $x=2$ в полученное выражение:

$\frac{1}{2 \cdot 2+3} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$

в) $\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x^2-2x-3}$

При подстановке $x=-1$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$, так как $-1+1=0$ и $(-1)^2-2(-1)-3 = 1+2-3=0$. Разложим знаменатель $x^2-2x-3$ на множители. Корнями уравнения $x^2-2x-3=0$ являются $x_1=-1$ и $x_2=3$. Следовательно, $x^2-2x-3 = (x-(-1))(x-3) = (x+1)(x-3)$.

Подставим разложение в предел и сократим дробь:

$\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{(x+1)(x-3)} = \lim_{x \to -1} \frac{1}{x-3}$

Теперь подставим $x=-1$ в упрощенное выражение:

$\frac{1}{-1-3} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$

г) $\lim_{x \to 9} \frac{x^2-11x+18}{x-9}$

При подстановке $x=9$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$, так как $9^2-11 \cdot 9 + 18 = 81-99+18=0$ и $9-9=0$. Разложим числитель $x^2-11x+18$ на множители. По теореме Виета, сумма корней уравнения $x^2-11x+18=0$ равна 11, а их произведение равно 18. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 9. Таким образом, $x^2-11x+18 = (x-2)(x-9)$.

Перепишем предел с разложенным на множители числителем:

$\lim_{x \to 9} \frac{(x-2)(x-9)}{x-9} = \lim_{x \to 9} (x-2)$

После сокращения подставим $x=9$:

$9-2=7$

Ответ: 7

39.30. a) $\lim_{x\to -2} \frac{x+2}{x^3+8}$;

б) $\lim_{x\to -1} \frac{1+x^3}{1-x^2}$;

в) $\lim_{x\to 3} \frac{x-3}{x^3-27}$;

г) $\lim_{x\to 4} \frac{16-x^2}{64-x^3}$.

а) $\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{x^3 + 8}$

При подстановке предельного значения $x = -2$ в числитель и знаменатель дроби, мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Числитель: $-2 + 2 = 0$.

Знаменатель: $(-2)^3 + 8 = -8 + 8 = 0$.

Для раскрытия этой неопределенности необходимо разложить знаменатель на множители. Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 2$, поэтому:

$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 2^2) = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.

Теперь подставим это выражение обратно в предел:

$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}$

Так как $x$ стремится к -2, но не равен ему ($x \neq -2$), мы можем сократить дробь на общий множитель $(x + 2)$:

$\lim_{x \to -2} \frac{1}{x^2 - 2x + 4}$

Теперь можно подставить значение $x = -2$ в полученное выражение:

$\frac{1}{(-2)^2 - 2(-2) + 4} = \frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$

б) $\lim_{x \to -1} \frac{1 + x^3}{1 - x^2}$

Подстановка $x = -1$ приводит к неопределенности вида $\frac{0}{0}$.

Числитель: $1 + (-1)^3 = 1 - 1 = 0$.

Знаменатель: $1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0$.

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Для числителя используем формулу суммы кубов, а для знаменателя — формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Числитель: $1 + x^3 = (1 + x)(1 - x + x^2)$.

Знаменатель: $1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$.

Подставляем разложения в предел:

$\lim_{x \to -1} \frac{(1 + x)(1 - x + x^2)}{(1 - x)(1 + x)}$

Сокращаем на общий множитель $(1 + x)$, так как $x \neq -1$:

$\lim_{x \to -1} \frac{1 - x + x^2}{1 - x}$

Подставляем $x = -1$ в упрощенное выражение:

$\frac{1 - (-1) + (-1)^2}{1 - (-1)} = \frac{1 + 1 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

в) $\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^3 - 27}$

При подстановке $x = 3$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Числитель: $3 - 3 = 0$.

Знаменатель: $3^3 - 27 = 27 - 27 = 0$.

Раскроем неопределенность, разложив знаменатель на множители по формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

$x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 3^2) = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$.

Подставим разложение в предел:

$\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}$

Сокращаем на $(x - 3)$, так как $x \neq 3$:

$\lim_{x \to 3} \frac{1}{x^2 + 3x + 9}$

Теперь подставим $x = 3$:

$\frac{1}{3^2 + 3 \cdot 3 + 9} = \frac{1}{9 + 9 + 9} = \frac{1}{27}$

Ответ: $\frac{1}{27}$

г) $\lim_{x \to 4} \frac{16 - x^2}{64 - x^3}$

Подстановка $x = 4$ дает неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Числитель: $16 - 4^2 = 16 - 16 = 0$.

Знаменатель: $64 - 4^3 = 64 - 64 = 0$.

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это разность квадратов, а знаменатель — разность кубов.

Числитель: $16 - x^2 = 4^2 - x^2 = (4 - x)(4 + x)$.

Знаменатель: $64 - x^3 = 4^3 - x^3 = (4 - x)(4^2 + 4x + x^2) = (4 - x)(16 + 4x + x^2)$.

Подставим разложения в предел:

$\lim_{x \to 4} \frac{(4 - x)(4 + x)}{(4 - x)(16 + 4x + x^2)}$

Сокращаем на общий множитель $(4 - x)$, так как $x \neq 4$:

$\lim_{x \to 4} \frac{4 + x}{16 + 4x + x^2}$

Подставляем $x = 4$ в оставшееся выражение:

$\frac{4 + 4}{16 + 4 \cdot 4 + 4^2} = \frac{8}{16 + 16 + 16} = \frac{8}{48}$

Упростим дробь:

$\frac{8}{48} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$