Страница 224, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

38.35. Найдите сумму ($x \neq \frac{\pi n}{2}$):

a) $\sin x + \sin^2 x + \sin^3 x + \sin^4 x + \dots$;

б) $\cos x - \cos^2 x + \cos^3 x - \cos^4 x + \dots$;

в) $\cos^2 x + \cos^4 x + \cos^6 x + \cos^8 x + \dots$;

г) $1 - \sin^3 x + \sin^6 x - \sin^9 x + \dots$.

Для нахождения суммы в каждом из пунктов мы будем использовать формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула применима при условии $|q| < 1$.

Условие $x \neq \frac{\pi n}{2}$ (где $n$ — целое число) гарантирует, что $|\sin x| < 1$ и $|\cos x| < 1$, что обеспечивает сходимость всех рассматриваемых рядов.

а) $ \sin x + \sin^2 x + \sin^3 x + \sin^4 x + ... $

Это бесконечная геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = \sin x$, а знаменатель $q = \frac{\sin^2 x}{\sin x} = \sin x$. Так как $|\sin x| < 1$, ряд сходится. Сумма прогрессии равна: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\sin x}{1 - \sin x}$.

Ответ: $ \frac{\sin x}{1 - \sin x} $.

б) $ \cos x - \cos^2 x + \cos^3 x - \cos^4 x + ... $

Это бесконечная геометрическая прогрессия. Первый член $b_1 = \cos x$, а знаменатель $q = \frac{-\cos^2 x}{\cos x} = -\cos x$. Так как $|\cos x| < 1$, то и $|-\cos x| < 1$, следовательно, ряд сходится. Сумма прогрессии равна: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\cos x}{1 - (-\cos x)} = \frac{\cos x}{1 + \cos x}$.

Ответ: $ \frac{\cos x}{1 + \cos x} $.

в) $ \cos^2 x + \cos^4 x + \cos^6 x + \cos^8 x + ... $

Это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = \cos^2 x$ и знаменателем $q = \frac{\cos^4 x}{\cos^2 x} = \cos^2 x$. Условие сходимости $|q| < 1$ выполняется, так как $|\cos x| < 1$ влечет за собой $\cos^2 x < 1$. Найдем сумму: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\cos^2 x}{1 - \cos^2 x}$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$. Тогда сумма равна: $S = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x$.

Ответ: $ \cot^2 x $.

г) $ 1 - \sin^3 x + \sin^6 x - \sin^9 x + ... $

Это бесконечная геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{-\sin^3 x}{1} = -\sin^3 x$. Условие сходимости $|q| < 1$ выполняется, так как $|\sin x| < 1$ влечет за собой $|-\sin^3 x| = |\sin x|^3 < 1$. Сумма прогрессии равна: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{1}{1 - (-\sin^3 x)} = \frac{1}{1 + \sin^3 x}$.

Ответ: $ \frac{1}{1 + \sin^3 x} $.

Решите уравнение, если известно, что $|x| < 1:$

38.36. a) $x + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^n + ... = 4;$

б) $2x - 4x^2 + 8x^3 - 16x^4 + ... = \frac{3}{8}$

а) $x + x^2 + x^3 + x^4 + \dots + x^n + \dots = 4$

Левая часть уравнения представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = x$, а знаменатель прогрессии $q = \frac{x^2}{x} = x$.

По условию $|x| < 1$, следовательно, прогрессия является сходящейся (бесконечно убывающей), и ее сумму можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

В данном случае сумма $S = 4$, первый член $b_1 = x$ и знаменатель $q = x$. Подставим эти значения в формулу:

$\frac{x}{1 - x} = 4$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$x = 4(1 - x)$

$x = 4 - 4x$

$x + 4x = 4$

$5x = 4$

$x = \frac{4}{5}$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение условию $|x| < 1$:

$|\frac{4}{5}| = \frac{4}{5}$, и так как $\frac{4}{5} < 1$, условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{4}{5}$.

б) $2x - 4x^2 + 8x^3 - 16x^4 + \dots = \frac{3}{8}$

Левая часть этого уравнения также является суммой членов бесконечной геометрической прогрессии. Найдем ее первый член и знаменатель.

Первый член $b_1 = 2x$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{-4x^2}{2x} = -2x$.

Сумма этой прогрессии существует, если выполняется условие сходимости $|q| < 1$, то есть $|-2x| < 1$.

$|-2| \cdot |x| < 1$

$2|x| < 1$

$|x| < \frac{1}{2}$

Это условие является более строгим, чем исходное условие задачи ($|x|<1$). Найденное решение должно удовлетворять именно условию $|x| < \frac{1}{2}$.

Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

В данном случае сумма $S = \frac{3}{8}$, первый член $b_1 = 2x$ и знаменатель $q = -2x$. Подставим эти значения в формулу:

$\frac{2x}{1 - (-2x)} = \frac{3}{8}$

$\frac{2x}{1 + 2x} = \frac{3}{8}$

Решим это уравнение, используя основное свойство пропорции:

$8 \cdot (2x) = 3 \cdot (1 + 2x)$

$16x = 3 + 6x$

$16x - 6x = 3$

$10x = 3$

$x = \frac{3}{10}$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $x$ условию сходимости ряда $|x| < \frac{1}{2}$:

$|\frac{3}{10}| = \frac{3}{10}$. Так как $\frac{3}{10} = 0.3$, а $\frac{1}{2} = 0.5$, то $0.3 < 0.5$. Условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{3}{10}$.

38.37. a) $\frac{1}{x} + x + x^2 + x^3 + x^4 + \dots + x^n + \dots = \frac{7}{2};$

б) $2x + 1 + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \dots = \frac{13}{6}.$

а)

В левой части уравнения находится сумма члена $\frac{1}{x}$ и бесконечной геометрической прогрессии $x + x^2 + x^3 + ...$. Для этой прогрессии первый член $b_1 = x$, а знаменатель $q = \frac{x^2}{x} = x$. Сумма бесконечной геометрической прогрессии существует, если ее знаменатель по модулю меньше единицы, то есть $|q| < 1$, что в данном случае означает $|x| < 1$. Сумма вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Таким образом, сумма ряда $x + x^2 + x^3 + ...$ равна $S = \frac{x}{1-x}$.

Теперь подставим найденную сумму в исходное уравнение: $$ \frac{1}{x} + \frac{x}{1-x} = \frac{7}{2} $$ Для решения этого уравнения необходимо учесть область допустимых значений: $x \neq 0$ и $x \neq 1$. Эти условия уже содержатся в требовании $|x| < 1$ за исключением $x=0$. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(1-x)$: $$ \frac{1 \cdot (1-x) + x \cdot x}{x(1-x)} = \frac{7}{2} $$ $$ \frac{1 - x + x^2}{x - x^2} = \frac{7}{2} $$ Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение): $$ 2(1 - x + x^2) = 7(x - x^2) $$ $$ 2 - 2x + 2x^2 = 7x - 7x^2 $$ Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ 2x^2 + 7x^2 - 2x - 7x + 2 = 0 $$ $$ 9x^2 - 9x + 2 = 0 $$ Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9 $$ Корни уравнения: $$ x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9+3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $$ $$ x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9-3}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} $$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию сходимости $|x| < 1$: Для $x_1 = \frac{2}{3}$: $|\frac{2}{3}| < 1$, условие выполняется. Для $x_2 = \frac{1}{3}$: $|\frac{1}{3}| < 1$, условие выполняется. Оба корня являются решениями.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$ или $x = \frac{2}{3}$.

б)

Левую часть уравнения можно разбить на выражение $2x+1$ и бесконечный ряд $x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + ...$. Этот ряд является бесконечной геометрической прогрессией. Ее первый член $b_1 = x^2$, а знаменатель $q = \frac{-x^3}{x^2} = -x$. Прогрессия сходится при $|q| < 1$, то есть $|-x| < 1$, что равносильно $|x| < 1$. Сумма этой прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$: $$ S = \frac{x^2}{1 - (-x)} = \frac{x^2}{1+x} $$

Подставим выражение для суммы ряда в исходное уравнение: $$ 2x + 1 + \frac{x^2}{1+x} = \frac{13}{6} $$ Область допустимых значений: $x \neq -1$, что учтено в условии $|x|<1$. Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю $6(1+x)$: $$ 2x + 1 - \frac{13}{6} + \frac{x^2}{1+x} = 0 $$ $$ \frac{12x(1+x)}{6(1+x)} + \frac{6(1+x)}{6(1+x)} - \frac{13(1+x)}{6(1+x)} + \frac{6x^2}{6(1+x)} = 0 $$ $$ 12x(1+x) + 6(1+x) - 13(1+x) + 6x^2 = 0 $$ $$ 12x+12x^2 + 6+6x - 13-13x + 6x^2 = 0 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ (12x^2+6x^2) + (12x+6x-13x) + (6-13) = 0 $$ $$ 18x^2 + 5x - 7 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $$ D = 5^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-7) = 25 + 504 = 529 = 23^2 $$ Найдем корни: $$ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{529}}{2 \cdot 18} = \frac{-5+23}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} $$ $$ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{529}}{2 \cdot 18} = \frac{-5-23}{36} = \frac{-28}{36} = -\frac{7}{9} $$

Проверим выполнение условия сходимости $|x| < 1$: Для $x_1 = \frac{1}{2}$: $|\frac{1}{2}| < 1$, корень подходит. Для $x_2 = -\frac{7}{9}$: $|-\frac{7}{9}| < 1$, корень также подходит. Оба значения являются решениями.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$ или $x = -\frac{7}{9}$.

38.38. Решите уравнение:

a) $\sin x + \sin^2 x + \sin^3 x + \dots + \sin^n x + \dots = 5;$

б) $\cos x - \cos^2 x + \cos^3 x - \dots + (-1)^{n-1}\cos^n x + \dots = 2;$

в) $1 + \sin^2 x + \sin^4 x + \dots + (\sin x)^{2n-2} + \dots = \frac{4}{3};$

г) $7\cos^3 x + 7\cos^6 x + \dots + 7(\cos x)^{3n} + \dots = 1.$

а)

Левая часть уравнения $ \sin x + \sin^2 x + \sin^3 x + \ldots = 5 $ представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $ b_1 = \sin x $, а знаменатель $ q = \sin x $. Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле $ S = \frac{b_1}{1-q} $ при условии сходимости, то есть $ |q| < 1 $. В данном случае, $ |\sin x| < 1 $.

Подставим значения в формулу суммы и приравняем к 5:

$ \frac{\sin x}{1 - \sin x} = 5 $

Решим полученное уравнение:

$ \sin x = 5(1 - \sin x) $
$ \sin x = 5 - 5\sin x $
$ 6\sin x = 5 $
$ \sin x = \frac{5}{6} $

Проверим условие сходимости: $ |\frac{5}{6}| < 1 $. Условие выполняется, следовательно, решение существует.

Теперь найдем $ x $:

$ x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б)

Левая часть уравнения $ \cos x - \cos^2 x + \cos^3 x - \ldots = 2 $ является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $ b_1 = \cos x $, знаменатель $ q = -\cos x $. Условие сходимости ряда: $ |q| < 1 $, то есть $ |-\cos x| < 1 $ или $ |\cos x| < 1 $.

Формула суммы: $ S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\cos x}{1 - (-\cos x)} = \frac{\cos x}{1 + \cos x} $.

Приравняем сумму к 2:

$ \frac{\cos x}{1 + \cos x} = 2 $

Решим это уравнение:

$ \cos x = 2(1 + \cos x) $
$ \cos x = 2 + 2\cos x $
$ -\cos x = 2 $
$ \cos x = -2 $

Полученное уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $ [-1, 1] $. Кроме того, если бы решение существовало, оно бы не удовлетворяло условию сходимости $ |\cos x| < 1 $, поскольку $ |-2| \not< 1 $. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

в)

Левая часть уравнения $ 1 + \sin^2 x + \sin^4 x + \ldots = \frac{4}{3} $ — это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $ b_1 = 1 $, знаменатель $ q = \sin^2 x $. Условие сходимости: $ |q| < 1 $, то есть $ |\sin^2 x| < 1 $. Поскольку $ \sin^2 x \ge 0 $, условие равносильно $ \sin^2 x < 1 $, что означает $ \sin x \neq \pm 1 $.

Сумма прогрессии: $ S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{1}{1 - \sin^2 x} $. Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, получаем $ 1 - \sin^2 x = \cos^2 x $. Тогда сумма равна $ S = \frac{1}{\cos^2 x} $.

Составим уравнение:

$ \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{4}{3} $

Отсюда находим $ \cos^2 x $: $ \cos^2 x = \frac{3}{4} $

Из этого следует, что $ \cos x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} $. Проверим условие сходимости. Если $ \cos^2 x = \frac{3}{4} $, то $ \sin^2 x = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $. Так как $ \frac{1}{4} < 1 $, условие $ |\sin^2 x| < 1 $ выполняется.

Решим уравнения $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

1) $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Эти две серии решений можно объединить в одну формулу:

$ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

г)

Рассмотрим уравнение $ 7\cos^3 x + 7\cos^6 x + \ldots + 7(\cos x)^{3n} + \ldots = 1 $. Вынесем 7 за скобки: $ 7(\cos^3 x + \cos^6 x + \ldots) = 1 $. Выражение в скобках является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $ b_1 = \cos^3 x $, а знаменатель $ q = \frac{\cos^6 x}{\cos^3 x} = \cos^3 x $. Условие сходимости: $ |q| < 1 $, то есть $ |\cos^3 x| < 1 $.

Сумма прогрессии в скобках: $ S' = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\cos^3 x}{1 - \cos^3 x} $.

Подставим это в исходное уравнение:

$ 7 \cdot \frac{\cos^3 x}{1 - \cos^3 x} = 1 $

Решим полученное уравнение:

$ 7\cos^3 x = 1 - \cos^3 x $
$ 8\cos^3 x = 1 $
$ \cos^3 x = \frac{1}{8} $

Проверим условие сходимости: $ |\frac{1}{8}| < 1 $. Условие выполнено.

Из $ \cos^3 x = \frac{1}{8} $ следует $ \cos x = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} $.

Решим уравнение $ \cos x = \frac{1}{2} $:

$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

39.1. Какая из функций, графики которых изображены на рисунках 68–71, имеет предел при $x \to +\infty$? при $x \to -\infty$? при $x \to \infty$?

Для ответа на вопросы необходимо проанализировать поведение каждой из функций при $x$, стремящемся к $+\infty$, $-\infty$ и $\infty$. Существование конечного предела функции на бесконечности означает, что ее график неограниченно приближается к некоторой горизонтальной прямой, называемой горизонтальной асимптотой.

...имеет предел при $x \to +\infty$?

Предел функции существует при $x \to +\infty$, если ее график при движении вправо по оси абсцисс (когда $x$ неограниченно возрастает) приближается к некоторой горизонтальной прямой $y=L$.
- На рисунке 68 график при $x \to +\infty$ асимптотически приближается к некоторой горизонтальной прямой $y=L_1$, где $L_1 > 0$. Следовательно, предел существует.
- На рисунке 69 график при $x \to +\infty$ асимптотически приближается к оси абсцисс ($y=0$). Следовательно, предел существует.
- На рисунке 70 график при $x \to +\infty$ также асимптотически приближается к оси абсцисс ($y=0$). Следовательно, предел существует.
- На рисунке 71 график представляет собой периодическую функцию, значения которой колеблются в некотором диапазоне и не стремятся к одному конкретному числу. Следовательно, предел не существует.
Ответ: функции, графики которых изображены на рисунках 68, 69 и 70.

...имеет предел при $x \to -\infty$?

Предел функции существует при $x \to -\infty$, если ее график при движении влево по оси абсцисс (когда $x$ неограниченно убывает) приближается к некоторой горизонтальной прямой $y=M$.
- На рисунке 68 график при $x \to -\infty$ асимптотически приближается к некоторой горизонтальной прямой $y=L_2$, где $L_2 < 0$. Следовательно, предел существует.
- На рисунке 69 график при $x \to -\infty$ асимптотически приближается к оси абсцисс ($y=0$). Следовательно, предел существует.
- На рисунке 70 при $x \to -\infty$ значения функции неограниченно возрастают ($f(x) \to +\infty$). Следовательно, конечный предел не существует.
- На рисунке 71 график, как и при $x \to +\infty$, колеблется и не стремится к конкретному значению. Следовательно, предел не существует.
Ответ: функции, графики которых изображены на рисунках 68 и 69.

...имеет предел при $x \to \infty$?

Предел функции существует при $x \to \infty$, если существуют и равны между собой пределы при $x \to +\infty$ и при $x \to -\infty$. То есть, должно выполняться условие $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = L$. Графически это означает, что график функции и справа, и слева приближается к одной и той же горизонтальной асимптоте.
- На рисунке 68 пределы при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$ существуют, но они не равны (один положителен, другой отрицателен). Значит, предел при $x \to \infty$ не существует.
- На рисунке 69 пределы при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$ существуют и оба равны нулю. Значит, предел при $x \to \infty$ существует (и равен 0).
- На рисунке 70 предел при $x \to -\infty$ не существует. Значит, предел при $x \to \infty$ не существует.
- На рисунке 71 пределы при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$ не существуют. Значит, предел при $x \to \infty$ не существует.
Ответ: функция, график которой изображен на рисунке 69.

39.2. Выясните, имеет ли функция $y = f(x)$ предел при $x \rightarrow +\infty$, при $x \rightarrow -\infty$ и чему он равен, если:

а) прямая $y = 3$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-\infty; 4]$;

б) прямая $y = -2$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[-6; +\infty)$;

в) прямая $y = -5$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-\infty; 3]$;

г) прямая $y = 5$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[4; +\infty).$

Рис. 68

Рис. 69

Рис. 70

Рис. 71

а) Утверждение, что прямая $y = 3$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-\infty; 4]$, относится к поведению функции при $x \to -\infty$. По определению горизонтальной асимптоты, это означает, что предел функции $f(x)$ при $x \to -\infty$ существует и равен 3. То есть, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3$. Наличие или значение предела при $x \to +\infty$ из этого условия определить нельзя.
Ответ: да, функция имеет предел при $x \to -\infty$, и он равен 3.

б) Утверждение, что прямая $y = -2$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[-6; +\infty)$, относится к поведению функции при $x \to +\infty$. По определению горизонтальной асимптоты, это означает, что предел функции $f(x)$ при $x \to +\infty$ существует и равен -2. То есть, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -2$. Наличие или значение предела при $x \to -\infty$ из этого условия определить нельзя.
Ответ: да, функция имеет предел при $x \to +\infty$, и он равен -2.

в) Утверждение, что прямая $y = -5$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-\infty; 3]$, относится к поведению функции при $x \to -\infty$. По определению горизонтальной асимптоты, это означает, что предел функции $f(x)$ при $x \to -\infty$ существует и равен -5. То есть, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -5$. Наличие или значение предела при $x \to +\infty$ из этого условия определить нельзя.
Ответ: да, функция имеет предел при $x \to -\infty$, и он равен -5.

г) Утверждение, что прямая $y = 5$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[4; +\infty)$, относится к поведению функции при $x \to +\infty$. По определению горизонтальной асимптоты, это означает, что предел функции $f(x)$ при $x \to +\infty$ существует и равен 5. То есть, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 5$. Наличие или значение предела при $x \to -\infty$ из этого условия определить нельзя.
Ответ: да, функция имеет предел при $x \to +\infty$, и он равен 5.