Страница 227, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте график какой-нибудь функции $y = h(x)$, $x \in \mathbb{R}$, обладающей указанными свойствами:

39.8. a) $\lim_{x \to \infty} h(x) = 4$ и функция возрастает;

б) $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 5$ и функция убывает;

в) $\lim_{x \to -\infty} h(x) = -2$ и функция возрастает;

г) $\lim_{x \to \infty} h(x) = -3$ и функция убывает.

39.9. а) $lim_{x \to -\infty} h(x) = 1$ и функция ограничена сверху;

б) $lim_{x \to \infty} h(x) = 1$ и функция ограничена снизу;

в) $lim_{x \to \infty} h(x) = 1$ и функция ограничена сверху;

г) $lim_{x \to -\infty} h(x) = 1$ и функция ограничена снизу.

а) Требуется найти функцию $h(x)$, которая удовлетворяет двум условиям: предел функции при $x$, стремящемся к минус бесконечности, равен 1 ($\lim_{x \to -\infty} h(x) = 1$), и функция ограничена сверху.

Рассмотрим в качестве примера функцию $h(x) = 1 - e^x$. Проверим, удовлетворяет ли она заданным условиям.

1. Найдём предел функции при $x \to -\infty$:

$\lim_{x \to -\infty} (1 - e^x) = 1 - \lim_{x \to -\infty} e^x = 1 - 0 = 1$.

Первое условие выполнено.

2. Проверим, ограничена ли функция сверху. Функция $e^x$ принимает строго положительные значения для любого действительного $x$, то есть $e^x > 0$. Следовательно, $-e^x < 0$, и $h(x) = 1 - e^x < 1$ для всех $x$. Это означает, что функция ограничена сверху, например, числом 1. Второе условие также выполнено.

Ответ: $h(x) = 1 - e^x$.

б) Требуется найти функцию $h(x)$, для которой $\lim_{x \to \infty} h(x) = 1$ и функция ограничена снизу.

Рассмотрим в качестве примера функцию $h(x) = 1 + e^{-x}$. Проверим её на соответствие условиям.

1. Найдём предел функции при $x \to \infty$:

$\lim_{x \to \infty} (1 + e^{-x}) = 1 + \lim_{x \to \infty} e^{-x} = 1 + 0 = 1$.

Первое условие выполнено.

2. Проверим, ограничена ли функция снизу. Функция $e^{-x}$ строго положительна для всех действительных $x$, то есть $e^{-x} > 0$. Отсюда следует, что $h(x) = 1 + e^{-x} > 1$ для всех $x$. Значит, функция ограничена снизу, например, числом 1. Второе условие выполнено.

Ответ: $h(x) = 1 + e^{-x}$.

в) Требуется найти функцию $h(x)$, для которой $\lim_{x \to \infty} h(x) = 1$ и функция ограничена сверху.

Рассмотрим в качестве примера функцию $h(x) = 1 - e^{-x}$. Проверим, выполняются ли для неё заданные условия.

1. Найдём предел функции при $x \to \infty$:

$\lim_{x \to \infty} (1 - e^{-x}) = 1 - \lim_{x \to \infty} e^{-x} = 1 - 0 = 1$.

Первое условие выполнено.

2. Проверим, ограничена ли функция сверху. Так как $e^{-x} > 0$ для любого действительного $x$, то $-e^{-x} < 0$. Следовательно, $h(x) = 1 - e^{-x} < 1$ для всех $x$. Это означает, что функция ограничена сверху числом 1. Второе условие также выполнено.

Ответ: $h(x) = 1 - e^{-x}$.

г) Требуется найти функцию $h(x)$, для которой $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 1$ и функция ограничена снизу.

Рассмотрим в качестве примера функцию $h(x) = 1 + e^x$. Проверим выполнение условий.

1. Найдём предел функции при $x \to -\infty$:

$\lim_{x \to -\infty} (1 + e^x) = 1 + \lim_{x \to -\infty} e^x = 1 + 0 = 1$.

Первое условие выполнено.

2. Проверим, ограничена ли функция снизу. Поскольку $e^x > 0$ для всех действительных $x$, то $h(x) = 1 + e^x > 1$ для всех $x$. Это означает, что функция ограничена снизу, например, числом 1. Второе условие выполнено.

Ответ: $h(x) = 1 + e^x$.

39.10. Постройте график непрерывной на $(-\infty; +\infty)$ функции $y = f(x)$, обладающей следующими свойствами:

a) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$; $f(x) > 0$ на $(-\infty; 0)$; $E(f) = [-5; 5]$, функция убывает на $[2; 7]$;

б) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 5$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$, $E(f) = [-3; 5)$, $f(x) < 0$ на $(0; +\infty)$, функция возрастает на $[3; +\infty)$ и убывает на $[0; 3]$.

a) Проанализируем заданные свойства для построения графика непрерывной функции $y = f(x)$.
Условие $lim_{x\to-\infty} f(x) = 0$ и $lim_{x\to+\infty} f(x) = 0$ означает, что ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой графика функции на обеих бесконечностях. Условие $f(x) > 0$ на $(-\infty; 0)$ говорит о том, что на этом интервале график функции лежит выше оси $Ox$. В сочетании с пределом при $x \to -\infty$, это означает, что функция приближается к оси $Ox$ сверху.
Область значений $E(f) = [-5; 5]$ означает, что наибольшее значение функции равно 5, а наименьшее равно -5. Так как $f(x) > 0$ для $x < 0$, точка максимума, в которой $f(x) = 5$, должна находиться на интервале $(-\infty; 0)$. Пусть, для примера, это будет точка с абсциссой $x_{max} = -2$.
Так как функция непрерывна на $(-\infty; +\infty)$, положительна на $(-\infty; 0)$ и принимает отрицательные значения (до -5), она должна пересечь ось $Ox$. Из условия $f(x) > 0$ на $(-\infty; 0)$ следует, что пересечение может произойти только при $x \ge 0$. Для обеспечения непрерывности и простоты, положим, что $f(0) = 0$.
Минимальное значение $f(x) = -5$ должно достигаться в некоторой точке $x_{min} > 0$. Функция убывает на отрезке $[2; 7]$. Это означает, что точка минимума $x_{min}$ может лежать на этом отрезке или правее. Для простоты выберем $x_{min} = 7$, тогда $f(7) = -5$. Это согласуется с условием убывания на $[2; 7]$. После достижения минимума в точке $x_{min}$, функция должна возрастать, чтобы асимптотически приблизиться к $y=0$ при $x \to +\infty$.

Ответ: Один из возможных графиков функции имеет следующий вид: при $x \to -\infty$ график асимптотически приближается к оси $Ox$ ($y=0$) сверху. На интервале $(-\infty, 0)$ функция положительна, возрастает до точки локального максимума, например, $(-2, 5)$, а затем убывает до точки $(0, 0)$. На интервале $(0, +\infty)$ функция отрицательна, убывает до точки глобального минимума, например, $(7, -5)$, а затем возрастает, асимптотически приближаясь к оси $Ox$ ($y=0$) снизу. Условие убывания на отрезке $[2, 7]$ выполнено.

б) Проанализируем заданные свойства для построения графика непрерывной функции $y = f(x)$.
Условие $lim_{x\to-\infty} f(x) = 5$ означает, что прямая $y=5$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$. Условие $lim_{x\to+\infty} f(x) = 0$ означает, что ось $Ox$ ($y=0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$.
Область значений $E(f) = [-3; 5)$ означает, что наименьшее значение функции равно -3, а значение 5 не достигается. То, что 5 не достигается, в сочетании с пределом при $x \to -\infty$ говорит о том, что функция приближается к асимптоте $y=5$ снизу.
Условия, что функция убывает на $[0; 3]$ и возрастает на $[3; +\infty)$, означают, что в точке $x=3$ функция имеет локальный минимум. Поскольку на $(-\infty, 0)$ значения функции стремятся к 5 (и всегда меньше 5), а на $[0, +\infty)$ минимальное значение достигается в точке $x=3$, то точка $(3, f(3))$ является точкой глобального минимума. Следовательно, $f(3) = -3$.
Условие $f(x) < 0$ на $(0; +\infty)$ означает, что для всех положительных $x$ график лежит ниже оси $Ox$. Так как на $[3, +\infty)$ функция возрастает от -3 к 0, это условие выполняется. На $(0, 3)$ функция убывает к -3. Чтобы условие $f(x) < 0$ выполнялось на всем интервале $(0, +\infty)$, необходимо, чтобы $f(0) \le 0$. Для простоты выберем $f(0)=0$.
На основе анализа, график можно построить следующим образом: на интервале $(-\infty, 0)$ функция убывает от значений, близких к 5, до $f(0)=0$. На интервале $[0, 3]$ она продолжает убывать до минимума в точке $(3, -3)$. На интервале $[3, +\infty)$ она возрастает от -3 и приближается к асимптоте $y=0$ снизу.

Ответ: Один из возможных графиков функции имеет следующий вид: при $x \to -\infty$ график асимптотически приближается к прямой $y=5$ снизу. Функция убывает на всем промежутке $(-\infty, 3]$, проходя через точку $(0, 0)$ и достигая глобального минимума в точке $(3, -3)$. На промежутке $[3, +\infty)$ функция возрастает, асимптотически приближаясь к оси $Ox$ ($y=0$) снизу. При этом $f(x) > 0$ для $x<0$ и $f(x) \le 0$ для $x \ge 0$, что удовлетворяет условию $f(x) < 0$ на $(0, +\infty)$.

Вычислите:

39.11. а) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x^2} + \frac{3}{x^3}\right);$

б) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7}{x^5} - \frac{2}{x^3}\right);$

В) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2}{x^2} + \frac{8}{x^3}\right);$

Г) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9}{x^3} - \frac{5}{x^7}\right).$

а) Для вычисления данного предела воспользуемся свойством предела суммы: предел суммы двух функций равен сумме их пределов, если они существуют.
$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x^2} + \frac{3}{x^3}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} + \lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^3}$
Теперь вычислим каждый предел по отдельности. Используем основное свойство предела для дробей, где знаменатель стремится к бесконечности: $\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0$ для любой константы $c$ и любого $n > 0$.
Для первого слагаемого: $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0$, так как степень $x$ в знаменателе $2 > 0$.
Для второго слагаемого: $\lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^3} = 0$, так как степень $x$ в знаменателе $3 > 0$.
Складывая результаты, получаем: $0 + 0 = 0$.
Ответ: 0

б) Для вычисления этого предела воспользуемся свойством предела разности: предел разности двух функций равен разности их пределов.
$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7}{x^5} - \frac{2}{x^3}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^5} - \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^3}$
Применим правило $\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0$ для $n > 0$.
Для уменьшаемого: $\lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^5} = 0$, так как $5 > 0$.
Для вычитаемого: $\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^3} = 0$, так как $3 > 0$.
Вычитая результаты, получаем: $0 - 0 = 0$.
Ответ: 0

в) Вычислим предел, используя свойство предела суммы.
$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2}{x^2} + \frac{8}{x^3}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^2} + \lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^3}$
Поскольку при $x \to \infty$ любая функция вида $\frac{c}{x^n}$ (где $n > 0$) стремится к нулю, имеем:
$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^2} = 0$ (так как $2 > 0$)
$\lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^3} = 0$ (так как $3 > 0$)
Сумма этих пределов равна: $0 + 0 = 0$.
Ответ: 0

г) Вычислим предел, используя свойство предела разности.
$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9}{x^3} - \frac{5}{x^7}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^3} - \lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^7}$
Используем тот же принцип, что и в предыдущих пунктах: $\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0$ при $n > 0$.
$\lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^3} = 0$ (так как $3 > 0$)
$\lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^7} = 0$ (так как $7 > 0$)
Разность этих пределов равна: $0 - 0 = 0$.
Ответ: 0

39.12. a) $ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{2}{x^9} + 1\right); $

Б) $ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{6}{x^5} + \frac{4}{x^2} + 9\right); $

б) $ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{4}{x^3} - \frac{7}{x} - 21\right); $

г) $ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{7}{x^2} - 7\right). $

а)

Для вычисления предела $\lim_{x\to\infty} \left(\frac{2}{x^9} + 1\right)$, воспользуемся свойством предела суммы, которое гласит, что предел суммы равен сумме пределов: $$ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{2}{x^9} + 1\right) = \lim_{x\to\infty} \frac{2}{x^9} + \lim_{x\to\infty} 1 $$ Рассмотрим каждый предел отдельно.
Первый предел: $\lim_{x\to\infty} \frac{2}{x^9}$. Это предел вида $\lim_{x\to\infty} \frac{C}{x^n}$, где $C$ - константа, а $n > 0$. При $x$, стремящемся к бесконечности, знаменатель $x^9$ также стремится к бесконечности. Следовательно, вся дробь стремится к нулю. $$ \lim_{x\to\infty} \frac{2}{x^9} = 0 $$ Второй предел: $\lim_{x\to\infty} 1$. Предел константы равен самой константе. $$ \lim_{x\to\infty} 1 = 1 $$ Складываем полученные значения: $$ 0 + 1 = 1 $$ Ответ: 1

б)

Вычислим предел $\lim_{x\to\infty} \left(\frac{4}{x^3} - \frac{7}{x} - 21\right)$. Используем свойство линейности предела (предел суммы/разности равен сумме/разности пределов): $$ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{4}{x^3} - \frac{7}{x} - 21\right) = \lim_{x\to\infty} \frac{4}{x^3} - \lim_{x\to\infty} \frac{7}{x} - \lim_{x\to\infty} 21 $$ Рассмотрим каждый предел по отдельности.
Пределы дробей, где $x$ в знаменателе, стремятся к нулю при $x \to \infty$: $$ \lim_{x\to\infty} \frac{4}{x^3} = 0 $$ $$ \lim_{x\to\infty} \frac{7}{x} = 0 $$ Предел константы равен самой константе: $$ \lim_{x\to\infty} 21 = 21 $$ Подставляем найденные значения в исходное выражение: $$ 0 - 0 - 21 = -21 $$ Ответ: -21

в)

Найдем предел $\lim_{x\to\infty} \left(\frac{6}{x^5} + \frac{4}{x^2} + 9\right)$. Применим свойство предела суммы: $$ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{6}{x^5} + \frac{4}{x^2} + 9\right) = \lim_{x\to\infty} \frac{6}{x^5} + \lim_{x\to\infty} \frac{4}{x^2} + \lim_{x\to\infty} 9 $$ Вычислим каждый предел.
Слагаемые, содержащие $x$ в знаменателе, при $x \to \infty$ стремятся к нулю: $$ \lim_{x\to\infty} \frac{6}{x^5} = 0 $$ $$ \lim_{x\to\infty} \frac{4}{x^2} = 0 $$ Предел постоянной величины равен этой величине: $$ \lim_{x\to\infty} 9 = 9 $$ Суммируем результаты: $$ 0 + 0 + 9 = 9 $$ Ответ: 9

г)

Рассмотрим предел $\lim_{x\to\infty} \left(\frac{7}{x^2} - 7\right)$. Используем свойство предела разности: $$ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{7}{x^2} - 7\right) = \lim_{x\to\infty} \frac{7}{x^2} - \lim_{x\to\infty} 7 $$ Вычислим каждый из пределов.
Предел первого слагаемого, где знаменатель стремится к бесконечности, равен нулю: $$ \lim_{x\to\infty} \frac{7}{x^2} = 0 $$ Предел константы равен самой константе: $$ \lim_{x\to\infty} 7 = 7 $$ Находим разность: $$ 0 - 7 = -7 $$ Ответ: -7

39.13. a) $\lim_{x \to \infty} \left(12 - \frac{1}{x^2}\right) \cdot \frac{16}{x^7};$

б) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5}{x^3} + 1\right) \cdot \left(-\frac{8}{x^2} - 2\right);$

в) $\lim_{x \to \infty} \left(4 + \frac{1}{x^3}\right) \cdot \frac{2}{x^5};$

г) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7}{x^6} - 2\right) \cdot \left(-\frac{6}{x^{10}} - 3\right).$

а) Для вычисления предела $\lim_{x\to\infty} \left(12 - \frac{1}{x^2}\right) \cdot \frac{16}{x^7}$ воспользуемся свойством предела произведения, которое гласит, что предел произведения равен произведению пределов (если они существуют и конечны).

$\lim_{x\to\infty} \left(12 - \frac{1}{x^2}\right) \cdot \frac{16}{x^7} = \lim_{x\to\infty} \left(12 - \frac{1}{x^2}\right) \cdot \lim_{x\to\infty} \frac{16}{x^7}$

Вычислим каждый предел отдельно. При $x \to \infty$, любая константа, деленная на $x$ в положительной степени, стремится к нулю. То есть, $\lim_{x\to\infty} \frac{c}{x^n} = 0$ при $n > 0$.

Предел первого множителя:
$\lim_{x\to\infty} \left(12 - \frac{1}{x^2}\right) = \lim_{x\to\infty} 12 - \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^2} = 12 - 0 = 12$

Предел второго множителя:
$\lim_{x\to\infty} \frac{16}{x^7} = 16 \cdot \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^7} = 16 \cdot 0 = 0$

Теперь перемножим полученные значения пределов:
$12 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

б) Рассмотрим предел $\lim_{x\to\infty} \left(\frac{5}{x^3} + 1\right) \cdot \left(-\frac{8}{x^2} - 2\right)$.

Используя свойство предела произведения, разделим предел на произведение двух пределов:

$\lim_{x\to\infty} \left(\frac{5}{x^3} + 1\right) \cdot \lim_{x\to\infty} \left(-\frac{8}{x^2} - 2\right)$

Вычислим предел каждого сомножителя.

Предел первого сомножителя:
$\lim_{x\to\infty} \left(\frac{5}{x^3} + 1\right) = \lim_{x\to\infty} \frac{5}{x^3} + \lim_{x\to\infty} 1 = 0 + 1 = 1$

Предел второго сомножителя:
$\lim_{x\to\infty} \left(-\frac{8}{x^2} - 2\right) = \lim_{x\to\infty} \left(-\frac{8}{x^2}\right) - \lim_{x\to\infty} 2 = 0 - 2 = -2$

Перемножим результаты:
$1 \cdot (-2) = -2$

Ответ: -2

в) Найдем значение предела $\lim_{x\to\infty} \left(4 + \frac{1}{x^3}\right) \cdot \frac{2}{x^5}$.

Применим свойство предела произведения:

$\lim_{x\to\infty} \left(4 + \frac{1}{x^3}\right) \cdot \frac{2}{x^5} = \lim_{x\to\infty} \left(4 + \frac{1}{x^3}\right) \cdot \lim_{x\to\infty} \frac{2}{x^5}$

Вычислим каждый предел отдельно.

Предел первого множителя:
$\lim_{x\to\infty} \left(4 + \frac{1}{x^3}\right) = \lim_{x\to\infty} 4 + \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^3} = 4 + 0 = 4$

Предел второго множителя:
$\lim_{x\to\infty} \frac{2}{x^5} = 2 \cdot \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^5} = 2 \cdot 0 = 0$

Произведение пределов:
$4 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

г) Вычислим предел $\lim_{x\to\infty} \left(\frac{7}{x^6} - 2\right) \cdot \left(-\frac{6}{x^{10}} - 3\right)$.

Воспользуемся свойством предела произведения:

$\lim_{x\to\infty} \left(\frac{7}{x^6} - 2\right) \cdot \left(-\frac{6}{x^{10}} - 3\right) = \lim_{x\to\infty} \left(\frac{7}{x^6} - 2\right) \cdot \lim_{x\to\infty} \left(-\frac{6}{x^{10}} - 3\right)$

Найдем предел каждого сомножителя.

Предел первого сомножителя:
$\lim_{x\to\infty} \left(\frac{7}{x^6} - 2\right) = \lim_{x\to\infty} \frac{7}{x^6} - \lim_{x\to\infty} 2 = 0 - 2 = -2$

Предел второго сомножителя:
$\lim_{x\to\infty} \left(-\frac{6}{x^{10}} - 3\right) = \lim_{x\to\infty} \left(-\frac{6}{x^{10}}\right) - \lim_{x\to\infty} 3 = 0 - 3 = -3$

Перемножим полученные значения:
$(-2) \cdot (-3) = 6$

Ответ: 6