Страница 223, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

38.28. Найдите сумму геометрической прогрессии ($b_n$), если:

а) $b_n = \frac{25}{3^n};$

б) $b_n = (-1)^n \frac{13}{2^{n-1}};$

в) $b_n = \frac{45}{3^n};$

г) $b_n = (-1)^{n-1} \frac{7}{6^{n-2}}.$

а) Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $|q|<1$.
Дан n-ый член прогрессии $b_n = \frac{25}{3^n}$.
Найдем первый член $b_1$ и знаменатель $q$.
Первый член: $b_1 = \frac{25}{3^1} = \frac{25}{3}$.
Второй член: $b_2 = \frac{25}{3^2} = \frac{25}{9}$.
Знаменатель: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{25/9}{25/3} = \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{25} = \frac{1}{3}$.
Так как $|q| = \frac{1}{3} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.
Найдем ее сумму:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{25/3}{1 - 1/3} = \frac{25/3}{2/3} = \frac{25}{2} = 12.5$.
Ответ: $12.5$.

б) Дан n-ый член прогрессии $b_n = (-1)^n \frac{13}{2^{n-1}}$.
Найдем первый член $b_1$ и знаменатель $q$.
Первый член: $b_1 = (-1)^1 \frac{13}{2^{1-1}} = -1 \cdot \frac{13}{2^0} = -13$.
Второй член: $b_2 = (-1)^2 \frac{13}{2^{2-1}} = 1 \cdot \frac{13}{2^1} = \frac{13}{2}$.
Знаменатель: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{13/2}{-13} = -\frac{1}{2}$.
Так как $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.
Найдем ее сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{-13}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{-13}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-13}{3/2} = -13 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{26}{3}$.
Ответ: $-\frac{26}{3}$.

в) Дан n-ый член прогрессии $b_n = \frac{45}{3^n}$.
Найдем первый член $b_1$ и знаменатель $q$.
Первый член: $b_1 = \frac{45}{3^1} = 15$.
Второй член: $b_2 = \frac{45}{3^2} = \frac{45}{9} = 5$.
Знаменатель: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
Так как $|q| = \frac{1}{3} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.
Найдем ее сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{15}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{15}{2/3} = 15 \cdot \frac{3}{2} = \frac{45}{2} = 22.5$.
Ответ: $22.5$.

г) Дан n-ый член прогрессии $b_n = (-1)^{n-1} \frac{7}{6^{n-2}}$.
Найдем первый член $b_1$ и знаменатель $q$.
Первый член: $b_1 = (-1)^{1-1} \frac{7}{6^{1-2}} = (-1)^0 \frac{7}{6^{-1}} = 1 \cdot (7 \cdot 6^1) = 42$.
Второй член: $b_2 = (-1)^{2-1} \frac{7}{6^{2-2}} = (-1)^1 \frac{7}{6^0} = -1 \cdot 7 = -7$.
Знаменатель: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-7}{42} = -\frac{1}{6}$.
Так как $|q| = |-\frac{1}{6}| = \frac{1}{6} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.
Найдем ее сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{42}{1 - (-\frac{1}{6})} = \frac{42}{1 + \frac{1}{6}} = \frac{42}{7/6} = 42 \cdot \frac{6}{7} = 6 \cdot 6 = 36$.
Ответ: $36$.

38.29. a) Найдите сумму геометрической прогрессии, если известно, что сумма первого и третьего её членов равна 29, а второго и четвёртого — 11,6.

б) Чему равен пятый член геометрической прогрессии, если известно, что он в 4 раза меньше куба третьего члена прогрессии, а сумма прогрессии равна 4,5?

а) Обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а ее знаменатель как $q$. Члены прогрессии определяются формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условию, сумма первого и третьего членов равна 29:

$b_1 + b_3 = 29$

$b_1 + b_1 q^2 = 29$

$b_1(1 + q^2) = 29$ (1)

Сумма второго и четвертого членов равна 11,6:

$b_2 + b_4 = 11,6$

$b_1 q + b_1 q^3 = 11,6$

$b_1 q(1 + q^2) = 11,6$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Чтобы найти $q$, разделим уравнение (2) на уравнение (1). Это можно сделать, так как из первого уравнения видно, что его левая часть не равна нулю (иначе 29 было бы равно 0).

$\frac{b_1 q(1 + q^2)}{b_1 (1 + q^2)} = \frac{11,6}{29}$

$q = \frac{11,6}{29} = 0,4$

Теперь, зная знаменатель $q$, мы можем найти первый член $b_1$ из уравнения (1):

$b_1(1 + (0,4)^2) = 29$

$b_1(1 + 0,16) = 29$

$b_1(1,16) = 29$

$b_1 = \frac{29}{1,16} = \frac{2900}{116} = 25$

Прогрессия является бесконечно убывающей, так как $|q| = 0,4 < 1$. Найдем ее сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:

$S = \frac{25}{1 - 0,4} = \frac{25}{0,6} = \frac{250}{6} = \frac{125}{3}$

Ответ: $S = \frac{125}{3}$.

б) Пусть $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — ее знаменатель. Так как задана сумма прогрессии, имеется в виду сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, для которой выполняется условие $|q| < 1$.

Из условия известно, что пятый член ($b_5$) в 4 раза меньше куба третьего члена ($b_3$):

$b_5 = \frac{(b_3)^3}{4}$

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$b_1 q^4 = \frac{(b_1 q^2)^3}{4}$

$b_1 q^4 = \frac{b_1^3 q^6}{4}$

Поскольку сумма прогрессии не равна нулю, $b_1 \neq 0$. Предполагая, что $q \neq 0$ (нетривиальный случай), мы можем сократить обе части уравнения на $b_1 q^4$:

$1 = \frac{b_1^2 q^2}{4}$

$(b_1 q)^2 = 4$, что означает $b_1 q = 2$ или $b_1 q = -2$.

Сумма прогрессии равна 4,5, или $\frac{9}{2}$:

$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{9}{2}$

Теперь рассмотрим два возможных случая для $b_1 q$.

Случай 1: $b_1 q = 2 \implies b_1 = \frac{2}{q}$. Подставим в формулу суммы:

$\frac{2/q}{1-q} = \frac{9}{2} \implies \frac{2}{q-q^2} = \frac{9}{2} \implies 4 = 9q - 9q^2 \implies 9q^2 - 9q + 4 = 0$.

Дискриминант этого квадратного уравнения $D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 81 - 144 = -63$. Так как $D < 0$, действительных решений для $q$ в этом случае нет.

Случай 2: $b_1 q = -2 \implies b_1 = -\frac{2}{q}$. Подставим в формулу суммы:

$\frac{-2/q}{1-q} = \frac{9}{2} \implies \frac{-2}{q-q^2} = \frac{9}{2} \implies -4 = 9q - 9q^2 \implies 9q^2 - 9q - 4 = 0$.

Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 81 + 144 = 225 = 15^2$. Находим корни:

$q = \frac{9 \pm 15}{18}$.

$q_1 = \frac{9+15}{18} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$. Этот корень не подходит, так как $|q_1| > 1$.

$q_2 = \frac{9-15}{18} = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}$. Этот корень подходит, так как $|q_2| < 1$.

Таким образом, знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{3}$.

Найдем первый член $b_1$:

$b_1 = -\frac{2}{q} = -\frac{2}{-1/3} = 6$.

Вопрос задачи — найти пятый член прогрессии $b_5$.

$b_5 = b_1 q^4 = 6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^4 = 6 \cdot \frac{1}{81} = \frac{6}{81} = \frac{2}{27}$.

Ответ: $b_5 = \frac{2}{27}$.

38.30. a) Найти геометрическую прогрессию, если известно, что её сумма равна 24, а сумма первых трёх членов равна 21.

б) Найдите седьмой член геометрической прогрессии, если известно, что её сумма равна 31,25, а сумма первых трёх членов равна 31.

а)

Пусть $b_1$ — первый член искомой геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Поскольку у прогрессии существует конечная сумма, она является бесконечно убывающей, а значит, её знаменатель удовлетворяет условию $|q| < 1$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S$ определяется формулой:

$S = \frac{b_1}{1-q}$

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n$ определяется формулой:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Согласно условию задачи, мы имеем систему из двух уравнений:

1. Сумма прогрессии равна 24: $S = \frac{b_1}{1-q} = 24$.

2. Сумма первых трёх членов равна 21: $S_3 = \frac{b_1(1-q^3)}{1-q} = 21$.

Мы можем переписать второе уравнение, используя первое. Заметим, что $S_3 = S \cdot (1-q^3)$. Подставим известное значение $S = 24$:

$24 \cdot (1-q^3) = 21$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $q$:

$1-q^3 = \frac{21}{24}$

$1-q^3 = \frac{7}{8}$

$q^3 = 1 - \frac{7}{8}$

$q^3 = \frac{1}{8}$

$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Значение $q = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $|q| < 1$.

Теперь, используя первое уравнение, найдем $b_1$:

$b_1 = S \cdot (1-q) = 24 \cdot (1 - \frac{1}{2}) = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$

Таким образом, мы определили геометрическую прогрессию: её первый член равен 12, а знаменатель равен 1/2. Последовательность её членов: 12, 6, 3, ...

Ответ: Первый член прогрессии $b_1 = 12$, знаменатель $q = \frac{1}{2}$.

б)

Действуем аналогично пункту а). Пусть $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии ($|q| < 1$).

Из условия имеем систему уравнений:

1. Сумма прогрессии равна 31,25: $S = \frac{b_1}{1-q} = 31,25 = \frac{125}{4}$.

2. Сумма первых трёх членов равна 31: $S_3 = \frac{b_1(1-q^3)}{1-q} = 31$.

Подставим $S$ из первого уравнения в выражение для $S_3 = S \cdot (1-q^3)$:

$\frac{125}{4} \cdot (1-q^3) = 31$

Решим уравнение для нахождения $q$:

$1-q^3 = 31 \cdot \frac{4}{125}$

$1-q^3 = \frac{124}{125}$

$q^3 = 1 - \frac{124}{125}$

$q^3 = \frac{1}{125}$

$q = \sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{1}{5}$

Теперь найдем первый член $b_1$:

$b_1 = S \cdot (1-q) = \frac{125}{4} \cdot (1 - \frac{1}{5}) = \frac{125}{4} \cdot \frac{4}{5} = 25$

Задача требует найти седьмой член прогрессии, $b_7$. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для $n=7$ имеем:

$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6$

Подставим найденные значения $b_1 = 25$ и $q = \frac{1}{5}$:

$b_7 = 25 \cdot (\frac{1}{5})^6 = 5^2 \cdot \frac{1}{5^6} = \frac{5^2}{5^6} = \frac{1}{5^4} = \frac{1}{625}$

Ответ: $b_7 = \frac{1}{625}$.

38.31. а) Составьте геометрическую прогрессию, если известно, что её сумма равна 18, а сумма квадратов её членов равна 162.

б) Найдите сумму квадратов членов геометрической прогрессии, если известно, что её сумма равна 2, а сумма кубов её членов равна $1\frac{1}{7}$.

а)

Пусть искомая геометрическая прогрессия имеет первый член $b_1$ и знаменатель $q$. Поскольку сумма её членов конечна, прогрессия является бесконечно убывающей, что означает $|q| < 1$.

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $S = \frac{b_1}{1-q}$

По условию задачи, сумма членов прогрессии равна 18, следовательно: $\frac{b_1}{1-q} = 18$ (1)

Рассмотрим последовательность квадратов членов исходной прогрессии: $b_1^2, (b_1q)^2, (b_1q^2)^2, \dots$ или $b_1^2, b_1^2q^2, b_1^2q^4, \dots$. Это также геометрическая прогрессия с первым членом $b_1^2$ и знаменателем $q^2$. Так как $|q| < 1$, то и $|q^2| < 1$, значит, эта прогрессия тоже является бесконечно убывающей. Её сумма $S_2$ равна: $S_2 = \frac{b_1^2}{1-q^2}$

По условию, сумма квадратов членов равна 162: $\frac{b_1^2}{1-q^2} = 162$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$: $\begin{cases} \frac{b_1}{1-q} = 18 \\ \frac{b_1^2}{1-q^2} = 162 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b_1$: $b_1 = 18(1-q)$

Подставим это выражение во второе уравнение, предварительно разложив знаменатель на множители: $\frac{(18(1-q))^2}{(1-q)(1+q)} = 162$

$\frac{18^2 (1-q)^2}{(1-q)(1+q)} = 162$

Поскольку $|q| < 1$, то $1-q \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(1-q)$: $\frac{324(1-q)}{1+q} = 162$

Разделим обе части уравнения на 162: $\frac{2(1-q)}{1+q} = 1$

$2(1-q) = 1+q$

$2 - 2q = 1 + q$

$2 - 1 = q + 2q$

$1 = 3q$

$q = \frac{1}{3}$

Найденное значение знаменателя удовлетворяет условию $|q| < 1$.

Теперь найдем первый член прогрессии, подставив значение $q$ в выражение для $b_1$: $b_1 = 18(1 - \frac{1}{3}) = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$

Таким образом, мы составили геометрическую прогрессию: её первый член $b_1 = 12$, а знаменатель $q = \frac{1}{3}$.

Ответ: искомая геометрическая прогрессия имеет первый член $b_1=12$ и знаменатель $q=\frac{1}{3}$. Её члены: $12, 4, \frac{4}{3}, \frac{4}{9}, \dots$

б)

Пусть данная геометрическая прогрессия имеет первый член $b_1$ и знаменатель $q$. Так как её сумма конечна, она является бесконечно убывающей, то есть $|q| < 1$.

Сумма её членов $S = \frac{b_1}{1-q}$. По условию, $S=2$: $\frac{b_1}{1-q} = 2$ (1)

Последовательность кубов членов исходной прогрессии $b_1^3, b_1^3q^3, b_1^3q^6, \dots$ также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом $b_1^3$ и знаменателем $q^3$. Сумма кубов $S_3$ равна: $S_3 = \frac{b_1^3}{1-q^3}$

По условию, сумма кубов равна $1\frac{1}{7} = \frac{8}{7}$: $\frac{b_1^3}{1-q^3} = \frac{8}{7}$ (2)

Нам нужно найти сумму квадратов членов прогрессии, $S_2 = \frac{b_1^2}{1-q^2}$.

Для этого решим систему уравнений (1) и (2) относительно $b_1$ и $q$. Из уравнения (1) выразим $b_1$: $b_1 = 2(1-q)$

Подставим это выражение в уравнение (2): $\frac{(2(1-q))^3}{1-q^3} = \frac{8}{7}$

$\frac{8(1-q)^3}{1-q^3} = \frac{8}{7}$

Разделим обе части на 8 и используем формулу разности кубов $1-q^3 = (1-q)(1+q+q^2)$: $\frac{(1-q)^3}{(1-q)(1+q+q^2)} = \frac{1}{7}$

Сократим дробь на $(1-q)$: $\frac{(1-q)^2}{1+q+q^2} = \frac{1}{7}$

$7(1-q)^2 = 1+q+q^2$

$7(1 - 2q + q^2) = 1+q+q^2$

$7 - 14q + 7q^2 = 1+q+q^2$

Приведем подобные члены, чтобы получить квадратное уравнение: $6q^2 - 15q + 6 = 0$

Разделим уравнение на 3: $2q^2 - 5q + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. Корни уравнения: $q_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ $q_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Поскольку прогрессия бесконечно убывающая, должно выполняться условие $|q| < 1$. Этому условию удовлетворяет только $q = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем первый член $b_1$: $b_1 = 2(1-q) = 2(1 - \frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Зная $b_1=1$ и $q=\frac{1}{2}$, мы можем найти сумму квадратов членов прогрессии: $S_2 = \frac{b_1^2}{1-q^2} = \frac{1^2}{1 - (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$.

Вычислите:

38.32. а) $2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots$;

б) $49 + 7 + 1 + \frac{1}{7} + \ldots$;

в) $\frac{3}{2} - 1 + \frac{2}{3} - \frac{4}{9} + \ldots$;

г) $125 + 25 + 5 + 1 + \ldots$

а) Данная сумма является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 2$. Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{2}$. Поскольку модуль знаменателя меньше единицы ($|q| < 1$), сумма существует и вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.
Подставим наши значения в формулу:
$S = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: 4.

б) Данная сумма является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 49$. Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{7}{49} = \frac{1}{7}$. Поскольку $|q| < 1$, сумма вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.
Подставим наши значения в формулу:
$S = \frac{49}{1 - \frac{1}{7}} = \frac{49}{\frac{7-1}{7}} = \frac{49}{\frac{6}{7}} = 49 \cdot \frac{7}{6} = \frac{343}{6}$.
Ответ: $\frac{343}{6}$.

в) Данная сумма является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = \frac{3}{2}$. Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1}{\frac{3}{2}} = -\frac{2}{3}$. Поскольку $|q| = |-\frac{2}{3}| < 1$, сумма вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.
Подставим наши значения в формулу:
$S = \frac{\frac{3}{2}}{1 - (-\frac{2}{3})} = \frac{\frac{3}{2}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3+2}{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{10}$.
Ответ: $\frac{9}{10}$.

г) Данная сумма является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 125$. Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{25}{125} = \frac{1}{5}$. Поскольку $|q| < 1$, сумма вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.
Подставим наши значения в формулу:
$S = \frac{125}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{125}{\frac{5-1}{5}} = \frac{125}{\frac{4}{5}} = 125 \cdot \frac{5}{4} = \frac{625}{4}$.
Ответ: $\frac{625}{4}$.

38.33. a) $-6 + \frac{2}{3} - \frac{2}{27} + \frac{2}{243} - \dots;$

б) $3 + \sqrt{3} + 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots;$

в) $49 - 14 + 4 - \frac{8}{7} + \dots;$

г) $4 + 2\sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} + \dots$

а)

Данная сумма представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Чтобы найти эту сумму, сначала определим первый член прогрессии $b_1$ и ее знаменатель $q$.

Первый член прогрессии: $b_1 = -6$.

Знаменатель прогрессии найдем, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2/3}{-6} = -\frac{2}{3 \cdot 6} = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9}$.

Для проверки найдем отношение третьего члена ко второму:

$\frac{b_3}{b_2} = \frac{-2/27}{2/3} = -\frac{2}{27} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{27} = -\frac{1}{9}$.

Поскольку модуль знаменателя $|q| = |-\frac{1}{9}| = \frac{1}{9} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Подставим найденные значения:

$S = \frac{-6}{1 - (-\frac{1}{9})} = \frac{-6}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{-6}{\frac{10}{9}} = -6 \cdot \frac{9}{10} = -\frac{54}{10} = -5.4$.

Ответ: $-5.4$.

б)

Данная сумма представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Определим ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Первый член прогрессии: $b_1 = 3$.

Знаменатель прогрессии:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Проверим отношение следующих членов: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Поскольку $|q| = |\frac{1}{\sqrt{3}}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Найдем ее сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Подставим значения:

$S = \frac{3}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{3}+1)$:

$S = \frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 3\sqrt{3} \cdot 1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 \cdot 3 + 3\sqrt{3}}{3-1} = \frac{9+3\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$.

в)

Данная сумма представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Определим ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Первый член прогрессии: $b_1 = 49$.

Знаменатель прогрессии:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-14}{49} = -\frac{2 \cdot 7}{7 \cdot 7} = -\frac{2}{7}$.

Проверим отношение следующих членов: $\frac{4}{-14} = -\frac{2}{7}$.

Поскольку $|q| = |-\frac{2}{7}| = \frac{2}{7} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Найдем ее сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Подставим значения:

$S = \frac{49}{1 - (-\frac{2}{7})} = \frac{49}{1 + \frac{2}{7}} = \frac{49}{\frac{7+2}{7}} = \frac{49}{\frac{9}{7}} = 49 \cdot \frac{7}{9} = \frac{343}{9}$.

Ответ: $\frac{343}{9}$.

г)

Данная сумма представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Определим ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Первый член прогрессии: $b_1 = 4$.

Знаменатель прогрессии:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Проверим отношение следующих членов: $\frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку $|q| = |\frac{\sqrt{2}}{2}| < 1$ (так как $\sqrt{2} \approx 1.414$), прогрессия является бесконечно убывающей. Найдем ее сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Подставим значения:

$S = \frac{4}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{2-\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2+\sqrt{2})$:

$S = \frac{8(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{8(2+\sqrt{2})}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{8(2+\sqrt{2})}{4-2} = \frac{8(2+\sqrt{2})}{2} = 4(2+\sqrt{2}) = 8+4\sqrt{2}$.

Ответ: $8+4\sqrt{2}$.

38.34. а) $2 + 4 + 6 + ... + 20 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...;$

б) $1 + 3 + 5 + ... + 99 + \frac{2}{5} - \frac{4}{25} + \frac{8}{125} - ...;$

в) $21 + 24 + 27 + ... + 51 + \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{27} - ...;$

г) $1 + 4 + 7 + ... + 100 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ...$

а) Данное выражение представляет собой сумму двух последовательностей: конечной арифметической прогрессии $2 + 4 + 6 + \ldots + 20$ и бесконечной геометрической прогрессии $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots$. Вычислим сумму каждой из них.

1. Для арифметической прогрессии имеем: первый член $a_1 = 2$, разность $d = 2$, последний член $a_n = 20$. Найдем количество членов $n$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$20 = 2 + (n-1) \cdot 2$
$18 = 2(n-1)$
$n-1 = 9 \Rightarrow n = 10$.
Сумма $S_1$ этой прогрессии равна: $S_1 = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2 + 20}{2} \cdot 10 = 11 \cdot 10 = 110$.

2. Для бесконечной геометрической прогрессии имеем: первый член $b_1 = \frac{1}{2}$ и знаменатель $q = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$. Так как $|q| = \frac{1}{2} < 1$, прогрессия является сходящейся. Ее сумма $S_2$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S_2 = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$.

3. Общая сумма равна $S_1 + S_2 = 110 + 1 = 111$.

Ответ: $111$

б) Выражение состоит из суммы конечной арифметической прогрессии $1 + 3 + 5 + \ldots + 99$ и суммы бесконечной знакочередующейся геометрической прогрессии $\frac{2}{5} - \frac{4}{25} + \frac{8}{125} - \ldots$.

1. Для арифметической прогрессии: $a_1 = 1$, $d = 2$, $a_n = 99$. Найдем количество членов $n$:
$99 = 1 + (n-1) \cdot 2$
$98 = 2(n-1)$
$n-1 = 49 \Rightarrow n = 50$.
Сумма $S_1 = \frac{1 + 99}{2} \cdot 50 = 50 \cdot 50 = 2500$.

2. Для бесконечной геометрической прогрессии: $b_1 = \frac{2}{5}$, знаменатель $q = \frac{-4/25}{2/5} = -\frac{4}{25} \cdot \frac{5}{2} = -\frac{2}{5}$. Так как $|q| = \frac{2}{5} < 1$, сумма $S_2$ существует:
$S_2 = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\frac{2}{5}}{1 - (-\frac{2}{5})} = \frac{\frac{2}{5}}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{7}{5}} = \frac{2}{7}$.

3. Общая сумма равна $S_1 + S_2 = 2500 + \frac{2}{7} = 2500\frac{2}{7}$.

Ответ: $2500\frac{2}{7}$

в) Выражение состоит из суммы конечной арифметической прогрессии $21 + 24 + 27 + \ldots + 51$ и суммы бесконечной знакочередующейся геометрической прогрессии $\frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{27} - \ldots$.

1. Для арифметической прогрессии: $a_1 = 21$, $d = 3$, $a_n = 51$. Найдем количество членов $n$:
$51 = 21 + (n-1) \cdot 3$
$30 = 3(n-1)$
$n-1 = 10 \Rightarrow n = 11$.
Сумма $S_1 = \frac{21 + 51}{2} \cdot 11 = \frac{72}{2} \cdot 11 = 36 \cdot 11 = 396$.

2. Для бесконечной геометрической прогрессии: $b_1 = \frac{1}{3}$, знаменатель $q = \frac{-1/9}{1/3} = -\frac{1}{3}$. Так как $|q| = \frac{1}{3} < 1$, сумма $S_2$ существует:
$S_2 = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\frac{1}{3}}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{4}$.

3. Общая сумма равна $S_1 + S_2 = 396 + \frac{1}{4} = 396.25$.

Ответ: $396.25$

г) Выражение состоит из суммы конечной арифметической прогрессии $1 + 4 + 7 + \ldots + 100$ и суммы бесконечной геометрической прогрессии $0,1 + 0,01 + 0,001 + \ldots$.

1. Для арифметической прогрессии: $a_1 = 1$, $d = 3$, $a_n = 100$. Найдем количество членов $n$:
$100 = 1 + (n-1) \cdot 3$
$99 = 3(n-1)$
$n-1 = 33 \Rightarrow n = 34$.
Сумма $S_1 = \frac{1 + 100}{2} \cdot 34 = 101 \cdot 17 = 1717$.

2. Для бесконечной геометрической прогрессии: $b_1 = 0,1$, знаменатель $q = \frac{0,01}{0,1} = 0,1$. Так как $|q| = 0,1 < 1$, сумма $S_2$ существует:
$S_2 = \frac{b_1}{1-q} = \frac{0,1}{1 - 0,1} = \frac{0,1}{0,9} = \frac{1}{9}$.

3. Общая сумма равна $S_1 + S_2 = 1717 + \frac{1}{9} = 1717\frac{1}{9}$.

Ответ: $1717\frac{1}{9}$