Страница 217, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

37.47. При каких значениях параметра p последовательность:

a) $y_n = \frac{2n + p}{3n - 1}$ ограничена сверху числом 1;

б) $y_n = \frac{p + 5n}{3n + 1}$ ограничена снизу числом 1?

a) Последовательность $y_n = \frac{2n + p}{3n - 1}$ ограничена сверху числом 1, если для любого натурального числа $n \ge 1$ выполняется неравенство $y_n \le 1$.

Запишем это неравенство:

$\frac{2n + p}{3n - 1} \le 1$

Поскольку $n$ — натуральное число и $n \ge 1$, знаменатель $3n - 1$ всегда положителен ($3n - 1 \ge 3(1) - 1 = 2 > 0$). Следовательно, мы можем умножить обе части неравенства на $3n - 1$, не меняя знака неравенства:

$2n + p \le 3n - 1$

Выразим параметр $p$:

$p \le 3n - 1 - 2n$

$p \le n - 1$

Это неравенство должно выполняться для всех натуральных чисел $n \ge 1$. Чтобы это условие соблюдалось, параметр $p$ должен быть не больше, чем наименьшее значение выражения $n - 1$ при $n \ge 1$.

Выражение $n - 1$ является возрастающей функцией от $n$. Его наименьшее значение достигается при наименьшем возможном значении $n$, то есть при $n=1$.

$\min_{n \ge 1} (n - 1) = 1 - 1 = 0$

Следовательно, для выполнения условия для всех $n \ge 1$ необходимо, чтобы $p \le 0$.

Ответ: $p \le 0$

б) Последовательность $y_n = \frac{p + 5n}{3n + 1}$ ограничена снизу числом 1, если для любого натурального числа $n \ge 1$ выполняется неравенство $y_n \ge 1$.

Запишем это неравенство:

$\frac{p + 5n}{3n + 1} \ge 1$

Поскольку $n$ — натуральное число и $n \ge 1$, знаменатель $3n + 1$ всегда положителен ($3n + 1 \ge 3(1) + 1 = 4 > 0$). Следовательно, мы можем умножить обе части неравенства на $3n + 1$, не меняя знака неравенства:

$p + 5n \ge 3n + 1$

Выразим параметр $p$:

$p \ge 3n + 1 - 5n$

$p \ge 1 - 2n$

Это неравенство должно выполняться для всех натуральных чисел $n \ge 1$. Чтобы это условие соблюдалось, параметр $p$ должен быть не меньше, чем наибольшее значение выражения $1 - 2n$ при $n \ge 1$.

Выражение $1 - 2n$ является убывающей функцией от $n$. Его наибольшее значение достигается при наименьшем возможном значении $n$, то есть при $n=1$.

$\max_{n \ge 1} (1 - 2n) = 1 - 2(1) = -1$

Следовательно, для выполнения условия для всех $n \ge 1$ необходимо, чтобы $p \ge -1$.

Ответ: $p \ge -1$

37.48. Определите, является последовательность $(x_n)$ убывающей или возрастающей:

а) $x_n = 3n + 2;$

б) $x_n = \frac{5}{n + 3};$

в) $x_n = 6^{1-n};$

г) $x_n = \left(-\frac{1}{5}\right)^{2n-1}.$

а) Дана последовательность $x_n = 3n + 2$. Чтобы определить, является ли она возрастающей или убывающей, сравним $(n+1)$-й и $n$-й члены.Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = 3(n+1) + 2 = 3n + 3 + 2 = 3n + 5$.Рассмотрим разность последующего и предыдущего членов:$x_{n+1} - x_n = (3n + 5) - (3n + 2) = 3n + 5 - 3n - 2 = 3$.Так как разность $x_{n+1} - x_n = 3$ является положительным числом для любого натурального $n$, то $x_{n+1} > x_n$. Следовательно, последовательность является возрастающей.Ответ: возрастающая.

б) Дана последовательность $x_n = \frac{5}{n + 3}$.Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = \frac{5}{(n+1) + 3} = \frac{5}{n + 4}$.Рассмотрим разность $x_{n+1} - x_n$:$x_{n+1} - x_n = \frac{5}{n+4} - \frac{5}{n+3} = \frac{5(n+3) - 5(n+4)}{(n+4)(n+3)} = \frac{5n + 15 - 5n - 20}{(n+4)(n+3)} = \frac{-5}{(n+4)(n+3)}$.Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), знаменатель $(n+4)(n+3)$ всегда положителен. Числитель равен -5, то есть отрицателен. Таким образом, вся дробь отрицательна.Так как $x_{n+1} - x_n < 0$ для любого натурального $n$, то $x_{n+1} < x_n$. Следовательно, последовательность является убывающей.Ответ: убывающая.

в) Дана последовательность $x_n = 6^{1-n}$.Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = 6^{1-(n+1)} = 6^{1-n-1} = 6^{-n}$.Все члены последовательности $x_n = \frac{6}{6^n}$ положительны при любом натуральном $n$. Рассмотрим их отношение:$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{6^{-n}}{6^{1-n}} = 6^{-n - (1-n)} = 6^{-n - 1 + n} = 6^{-1} = \frac{1}{6}$.Так как отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{1}{6}$ и $0 < \frac{1}{6} < 1$, то $x_{n+1} < x_n$ для любого натурального $n$. Следовательно, последовательность является убывающей.Ответ: убывающая.

г) Дана последовательность $x_n = \left(-\frac{1}{5}\right)^{2n-1}$.Поскольку для любого натурального $n$ показатель степени $2n-1$ является нечетным числом, все члены последовательности $x_n$ отрицательны, так как основание $\left(-\frac{1}{5}\right)$ отрицательно.Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = \left(-\frac{1}{5}\right)^{2(n+1)-1} = \left(-\frac{1}{5}\right)^{2n+1}$.Рассмотрим разность $x_{n+1} - x_n$:$x_{n+1} - x_n = \left(-\frac{1}{5}\right)^{2n+1} - \left(-\frac{1}{5}\right)^{2n-1}$.Вынесем общий множитель $\left(-\frac{1}{5}\right)^{2n-1}$:$x_{n+1} - x_n = \left(-\frac{1}{5}\right)^{2n-1} \cdot \left(\left(-\frac{1}{5}\right)^2 - 1\right) = \left(-\frac{1}{5}\right)^{2n-1} \cdot \left(\frac{1}{25} - 1\right) = \left(-\frac{1}{5}\right)^{2n-1} \cdot \left(-\frac{24}{25}\right)$.Первый множитель $\left(-\frac{1}{5}\right)^{2n-1}$ отрицателен, так как это отрицательное число в нечетной степени.Второй множитель $\left(-\frac{24}{25}\right)$ также отрицателен.Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.Следовательно, $x_{n+1} - x_n > 0$ для любого натурального $n$, и $x_{n+1} > x_n$. Последовательность является возрастающей.Ответ: возрастающая.

37.49. Объясните, является последовательность $(y_n)$ убывающей или возрастающей, если для любого номера $n$ выполняется неравенство:

a) $y_{n+1} - y_n > 0;$

б) $\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1 (y_n > 0);$

в) $y_{n+1} - y_n < 0;$

г) $\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1 (y_n < 0).$

Для определения, является ли последовательность возрастающей или убывающей, необходимо сравнить каждый последующий член последовательности $y_{n+1}$ с предыдущим $y_n$.

• Если $y_{n+1} > y_n$ для всех $n$, последовательность является возрастающей.
• Если $y_{n+1} < y_n$ для всех $n$, последовательность является убывающей.

а)

Дано неравенство $y_{n+1} - y_n > 0$.
Перенесем $y_n$ в правую часть неравенства. Знак неравенства при этом не меняется.
$y_{n+1} > y_n$
Это означает, что каждый следующий член последовательности больше предыдущего. Согласно определению, такая последовательность является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

б)

Дано неравенство $\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1$ при условии, что все члены последовательности положительны, то есть $y_n > 0$.
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на $y_n$. Так как $y_n$ — положительное число, знак неравенства не изменится.
$\frac{y_{n+1}}{y_n} \cdot y_n < 1 \cdot y_n$
$y_{n+1} < y_n$
Это означает, что каждый следующий член последовательности меньше предыдущего. Согласно определению, такая последовательность является убывающей.
Ответ: убывающая.

в)

Дано неравенство $y_{n+1} - y_n < 0$.
Перенесем $y_n$ в правую часть неравенства.
$y_{n+1} < y_n$
Это означает, что каждый следующий член последовательности меньше предыдущего. Согласно определению, такая последовательность является убывающей.
Ответ: убывающая.

г)

Дано неравенство $\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1$ при условии, что все члены последовательности отрицательны, то есть $y_n < 0$.
Умножим обе части неравенства на $y_n$. Так как $y_n$ — отрицательное число, при умножении на него знак неравенства меняется на противоположный.
$\frac{y_{n+1}}{y_n} \cdot y_n > 1 \cdot y_n$ (знак < поменялся на >)
$y_{n+1} > y_n$
Это означает, что каждый следующий член последовательности больше предыдущего (например, -2 > -3). Согласно определению, такая последовательность является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

37.50. Выясните, какие из приведённых последовательностей являются монотонными; укажите характер монотонности:

a) $y_n = 5^{-n}$

б) $y_n = \cos \frac{\pi}{n+5}$

в) $y_n = \frac{2}{3n+1}$

г) $y_n = \sqrt{n+8}$

а) $y_n = 5^{-n}$

Чтобы определить характер монотонности последовательности, сравним её $(n+1)$-й член с $n$-м членом.

Запишем $(n+1)$-й член последовательности: $y_{n+1} = 5^{-(n+1)} = 5^{-n-1}$.

Представим члены последовательности в виде дроби: $y_n = \frac{1}{5^n}$ и $y_{n+1} = \frac{1}{5^{n+1}}$.

Так как для любого натурального $n$ выполняется неравенство $n+1 > n$, а показательная функция с основанием $5 > 1$ является возрастающей, то $5^{n+1} > 5^n$.

Поскольку знаменатели дробей положительны, то из $5^{n+1} > 5^n$ следует, что $\frac{1}{5^{n+1}} < \frac{1}{5^n}$.

Таким образом, $y_{n+1} < y_n$ для любого натурального $n$. Это означает, что последовательность является строго убывающей.

Ответ: последовательность является монотонной (строго убывающей).

б) $y_n = \cos\frac{\pi}{n+5}$

Рассмотрим аргумент косинуса, последовательность $x_n = \frac{\pi}{n+5}$.

С увеличением $n$ знаменатель $n+5$ увеличивается. Так как числитель $\pi$ - положительная константа, то последовательность $x_n$ является убывающей, то есть $x_{n+1} < x_n$.

Определим, в каком интервале находятся значения $x_n$. Для $n=1$, $x_1 = \frac{\pi}{1+5} = \frac{\pi}{6}$. С ростом $n$, $x_n$ стремится к нулю. Следовательно, для всех $n \geq 1$, значения $x_n$ принадлежат интервалу $(0, \frac{\pi}{6}]$.

На интервале $[0, \pi]$ функция $f(t) = \cos(t)$ является убывающей. Интервал $(0, \frac{\pi}{6}]$ является частью интервала $[0, \pi]$.

Так как последовательность аргументов $x_n$ убывает ($x_{n+1} < x_n$), а функция косинус на соответствующем интервале также убывает, то значения функции будут возрастать. То есть, из $x_{n+1} < x_n$ следует, что $\cos(x_{n+1}) > \cos(x_n)$.

Таким образом, $y_{n+1} > y_n$ для любого натурального $n$. Это означает, что последовательность является строго возрастающей.

Ответ: последовательность является монотонной (строго возрастающей).

в) $y_n = \frac{2}{3n+1}$

Сравним $(n+1)$-й и $n$-й члены последовательности.

$y_n = \frac{2}{3n+1}$ и $y_{n+1} = \frac{2}{3(n+1)+1} = \frac{2}{3n+4}$.

С увеличением $n$ знаменатель $3n+1$ увеличивается. То есть, $3n+4 > 3n+1$ для любого натурального $n$.

Так как числители дробей равны и положительны, а знаменатели также положительны, то дробь с большим знаменателем будет меньше.

Следовательно, $\frac{2}{3n+4} < \frac{2}{3n+1}$, что означает $y_{n+1} < y_n$.

Последовательность является строго убывающей.

Ответ: последовательность является монотонной (строго убывающей).

г) $y_n = \sqrt{n+8}$

Сравним $(n+1)$-й и $n$-й члены последовательности.

$y_n = \sqrt{n+8}$ и $y_{n+1} = \sqrt{(n+1)+8} = \sqrt{n+9}$.

С увеличением $n$ подкоренное выражение $n+8$ увеличивается. То есть, $n+9 > n+8$ для любого натурального $n$.

Функция $f(t) = \sqrt{t}$ является возрастающей для всех $t \geq 0$. Поскольку $n+9 > n+8 \geq 9$ для $n \geq 1$, то из этого следует, что $\sqrt{n+9} > \sqrt{n+8}$.

Таким образом, $y_{n+1} > y_n$ для любого натурального $n$.

Последовательность является строго возрастающей.

Ответ: последовательность является монотонной (строго возрастающей).

37.51. Исследуйте на монотонность последовательность:

а) $y_n = -2n + 1$;

б) $y_n = 3n^2 + n - 1$;

в) $y_n = \cos\frac{1}{n}$;

г) $y_n = \frac{n}{n^2 + 1}$.

а) $y_n = -2n + 1$

Для исследования последовательности на монотонность найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами последовательности: $y_{n+1} - y_n$.

$(n+1)$-й член последовательности равен:

$y_{n+1} = -2(n+1) + 1 = -2n - 2 + 1 = -2n - 1$.

Тогда разность равна:

$y_{n+1} - y_n = (-2n - 1) - (-2n + 1) = -2n - 1 + 2n - 1 = -2$.

Так как разность $y_{n+1} - y_n = -2$ является отрицательным числом для любого натурального $n$, то для всех $n$ выполняется неравенство $y_{n+1} < y_n$. Следовательно, последовательность является строго убывающей.

Ответ: последовательность является строго убывающей.

б) $y_n = 3n^2 + n - 1$

Найдем разность $y_{n+1} - y_n$.

$(n+1)$-й член последовательности равен:

$y_{n+1} = 3(n+1)^2 + (n+1) - 1 = 3(n^2 + 2n + 1) + n + 1 - 1 = 3n^2 + 6n + 3 + n = 3n^2 + 7n + 3$.

Вычислим разность:

$y_{n+1} - y_n = (3n^2 + 7n + 3) - (3n^2 + n - 1) = 3n^2 + 7n + 3 - 3n^2 - n + 1 = 6n + 4$.

Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то выражение $6n + 4$ всегда будет положительным: $6n + 4 > 0$.

Поскольку $y_{n+1} - y_n > 0$, то $y_{n+1} > y_n$. Следовательно, последовательность является строго возрастающей.

Ответ: последовательность является строго возрастающей.

в) $y_n = \cos \frac{1}{n}$

Рассмотрим последовательность, стоящую в аргументе косинуса: $x_n = \frac{1}{n}$. Так как при увеличении $n$ знаменатель дроби увеличивается, сама дробь уменьшается. То есть, $n+1 > n \implies \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$. Значит, последовательность $x_n$ является строго убывающей.

Для натуральных $n \ge 1$ члены последовательности $x_n$ находятся в интервале $(0, 1]$, так как $0 < \frac{1}{n} \le 1$.

Функция $f(t) = \cos t$ на интервале $[0, \pi]$ (а значит и на содержащемся в нем интервале $(0, 1]$) является строго убывающей. Это означает, что меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Поскольку $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$, и оба значения лежат в интервале, где косинус убывает, мы получаем:

$\cos\left(\frac{1}{n+1}\right) > \cos\left(\frac{1}{n}\right)$.

Таким образом, $y_{n+1} > y_n$. Следовательно, последовательность является строго возрастающей.

Ответ: последовательность является строго возрастающей.

г) $y_n = \frac{n}{n^2 + 1}$

Для исследования на монотонность рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$.

$y_{n+1} - y_n = \frac{n+1}{(n+1)^2 + 1} - \frac{n}{n^2 + 1} = \frac{n+1}{n^2 + 2n + 2} - \frac{n}{n^2 + 1}$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$y_{n+1} - y_n = \frac{(n+1)(n^2+1) - n(n^2+2n+2)}{(n^2+2n+2)(n^2+1)} = \frac{(n^3+n^2+n+1) - (n^3+2n^2+2n)}{(n^2+2n+2)(n^2+1)}$.

Упростим числитель:

$n^3+n^2+n+1 - n^3-2n^2-2n = -n^2-n+1 = -(n^2+n-1)$.

Знаменатель $(n^2+2n+2)(n^2+1)$ всегда положителен для натуральных $n$, так как каждый множитель положителен.

Рассмотрим знак числителя $-(n^2+n-1)$. Для любого натурального $n \ge 1$: $n^2 \ge 1$ и $n \ge 1$, поэтому их сумма $n^2+n \ge 2$. Тогда $n^2+n-1 \ge 1 > 0$.

Следовательно, числитель $-(n^2+n-1)$ всегда отрицателен для $n \ge 1$.

Так как числитель дроби отрицателен, а знаменатель положителен, то вся дробь отрицательна: $y_{n+1} - y_n < 0$. Это означает, что $y_{n+1} < y_n$. Следовательно, последовательность является строго убывающей.

Ответ: последовательность является строго убывающей.

37.52. Докажите, что заданная последовательность возрастает:

a) $y_n = n^3 + 2n;$

б) $y_n = \frac{n^2}{n^2 + 10};$

в) $y_n = \frac{n + 1}{n + 7};$

г) $y_n = \frac{n^4 + 3n^2 + 1}{n^4 + 3n^2 + 6}.$

Чтобы доказать, что последовательность $(y_n)$ возрастает, нужно показать, что для любого натурального числа $n$ выполняется неравенство $y_{n+1} > y_n$. Это эквивалентно доказательству того, что разность $y_{n+1} - y_n$ положительна, то есть $y_{n+1} - y_n > 0$.

а) Дана последовательность $y_n = n^3 + 2n$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$y_{n+1} = (n+1)^3 + 2(n+1) = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + (2n + 2) = n^3 + 3n^2 + 5n + 3$.

Теперь рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$:

$y_{n+1} - y_n = (n^3 + 3n^2 + 5n + 3) - (n^3 + 2n) = 3n^2 + 3n + 3$.

Поскольку $n$ — натуральное число, $n \ge 1$. Следовательно, $n^2 \ge 1$ и $n \ge 1$.

Выражение $3n^2 + 3n + 3$ состоит из положительных слагаемых, поэтому оно всегда положительно для любого натурального $n$. Например, при $n \ge 1$, $3n^2 + 3n + 3 \ge 3(1)^2 + 3(1) + 3 = 9 > 0$.

Так как $y_{n+1} - y_n > 0$, последовательность $y_n$ возрастает.

Ответ: Доказано.

б) Дана последовательность $y_n = \frac{n^2}{n^2 + 10}$.

Преобразуем выражение для $n$-го члена последовательности, выделив целую часть:

$y_n = \frac{n^2 + 10 - 10}{n^2 + 10} = 1 - \frac{10}{n^2 + 10}$.

Аналогично запишем $(n+1)$-й член:

$y_{n+1} = 1 - \frac{10}{(n+1)^2 + 10}$.

Чтобы доказать, что последовательность возрастает, покажем, что $y_{n+1} > y_n$:

$1 - \frac{10}{(n+1)^2 + 10} > 1 - \frac{10}{n^2 + 10}$

Вычтем 1 из обеих частей:

$-\frac{10}{(n+1)^2 + 10} > -\frac{10}{n^2 + 10}$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{10}{(n+1)^2 + 10} < \frac{10}{n^2 + 10}$

Поскольку оба знаменателя положительны, мы можем "перевернуть" дроби, снова изменив знак неравенства:

$\frac{(n+1)^2 + 10}{10} > \frac{n^2 + 10}{10}$

$(n+1)^2 + 10 > n^2 + 10$

$(n+1)^2 > n^2$

$n^2 + 2n + 1 > n^2$

$2n + 1 > 0$.

Это неравенство верно для всех натуральных $n$, так как $n \ge 1$. Следовательно, последовательность $y_n$ возрастает.

Ответ: Доказано.

в) Дана последовательность $y_n = \frac{n+1}{n+7}$.

Преобразуем выражение для $n$-го члена последовательности:

$y_n = \frac{n+7-6}{n+7} = 1 - \frac{6}{n+7}$.

Тогда $(n+1)$-й член равен:

$y_{n+1} = 1 - \frac{6}{(n+1)+7} = 1 - \frac{6}{n+8}$.

Докажем неравенство $y_{n+1} > y_n$:

$1 - \frac{6}{n+8} > 1 - \frac{6}{n+7}$

$-\frac{6}{n+8} > -\frac{6}{n+7}$

$\frac{6}{n+8} < \frac{6}{n+7}$

Так как числители и знаменатели положительны для натуральных $n$, это неравенство эквивалентно следующему:

$n+8 > n+7$

$8 > 7$.

Последнее неравенство является верным. Значит, и исходное неравенство $y_{n+1} > y_n$ верно. Следовательно, последовательность возрастает.

Ответ: Доказано.

г) Дана последовательность $y_n = \frac{n^4 + 3n^2 + 1}{n^4 + 3n^2 + 6}$.

Преобразуем выражение для $n$-го члена последовательности:

$y_n = \frac{(n^4 + 3n^2 + 6) - 5}{n^4 + 3n^2 + 6} = 1 - \frac{5}{n^4 + 3n^2 + 6}$.

Рассмотрим вспомогательную последовательность $x_n = n^4 + 3n^2 + 6$. Докажем, что она возрастает. Для этого найдем разность $x_{n+1} - x_n$.

$x_{n+1} = (n+1)^4 + 3(n+1)^2 + 6$.

$x_{n+1} - x_n = \left( (n+1)^4 + 3(n+1)^2 + 6 \right) - \left( n^4 + 3n^2 + 6 \right)$

$x_{n+1} - x_n = ((n+1)^4 - n^4) + 3((n+1)^2 - n^2)$.

$(n+1)^4 - n^4 = (n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1) - n^4 = 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1$.

$3((n+1)^2 - n^2) = 3(n^2 + 2n + 1 - n^2) = 3(2n+1) = 6n+3$.

$x_{n+1} - x_n = (4n^3 + 6n^2 + 4n + 1) + (6n+3) = 4n^3 + 6n^2 + 10n + 4$.

Для любого натурального $n \ge 1$ все слагаемые в этом выражении положительны, значит, их сумма $x_{n+1} - x_n > 0$. Таким образом, последовательность $x_n$ возрастает, то есть $x_{n+1} > x_n$.

Теперь вернемся к $y_n = 1 - \frac{5}{x_n}$. Нам нужно доказать, что $y_{n+1} > y_n$.

$1 - \frac{5}{x_{n+1}} > 1 - \frac{5}{x_n}$

$-\frac{5}{x_{n+1}} > -\frac{5}{x_n}$

$\frac{5}{x_{n+1}} < \frac{5}{x_n}$

Так как $x_n$ положительна для всех натуральных $n$, это неравенство равносильно $x_{n+1} > x_n$.

Поскольку мы уже доказали, что последовательность $x_n$ возрастает, это неравенство верно. Следовательно, последовательность $y_n$ также возрастает.

Ответ: Доказано.

37.53. Докажите, что заданная последовательность убывает:

а) $y_n = \frac{3n + 5}{3n - 1}$;

б) $y_n = \frac{1}{n^3 + 2n}$;

в) $y_n = \frac{n^2 + 15}{n^2 + 2}$;

г) $y_n = \frac{n^4 + 2n^2 + 7}{n^2 + 2n^2 - 1}$.

a) Для того чтобы доказать, что последовательность $y_n = \frac{3n + 5}{3n - 1}$ убывает, нужно показать, что для любого натурального $n$ выполняется неравенство $y_{n+1} < y_n$. Один из способов это сделать — преобразовать выражение для общего члена последовательности, выделив целую часть.

$y_n = \frac{3n - 1 + 6}{3n - 1} = \frac{3n - 1}{3n - 1} + \frac{6}{3n - 1} = 1 + \frac{6}{3n - 1}$.

Рассмотрим знаменатель дроби $3n - 1$. Поскольку $n$ — натуральное число, то с увеличением $n$ значение выражения $3n - 1$ также увеличивается. Так как знаменатель $3n - 1$ — положительная возрастающая функция от $n$ (для $n \ge 1$), а числитель 6 — положительная константа, то значение дроби $\frac{6}{3n - 1}$ с ростом $n$ уменьшается.

Таким образом, последовательность $y_n$ является суммой константы (1) и убывающей последовательности $\frac{6}{3n - 1}$, а значит, сама является убывающей.

Более строго: для любого натурального $n$ имеем $n+1 > n$, следовательно, $3(n+1) - 1 > 3n - 1$, то есть $3n+2 > 3n-1$. Так как обе части неравенства положительны, то $\frac{1}{3n+2} < \frac{1}{3n-1}$. Умножив на 6, получим $\frac{6}{3n+2} < \frac{6}{3n-1}$. Прибавив 1 к обеим частям, получим $1 + \frac{6}{3n+2} < 1 + \frac{6}{3n-1}$, что и означает $y_{n+1} < y_n$.

Ответ: доказано.

б) Для последовательности $y_n = \frac{1}{n^3 + 2n}$ докажем, что она является убывающей. Для этого рассмотрим поведение знаменателя $z_n = n^3 + 2n$.

Поскольку $n$ — натуральное число, то с ростом $n$ оба слагаемых в знаменателе, $n^3$ и $2n$, возрастают. Сумма двух возрастающих последовательностей также является возрастающей последовательностью. Следовательно, последовательность знаменателей $z_n = n^3 + 2n$ возрастает.

Также заметим, что для всех натуральных $n$, знаменатель $n^3 + 2n$ положителен.

Последовательность $y_n = \frac{1}{z_n}$ является обратной к последовательности положительных возрастающих чисел. Следовательно, сама последовательность $y_n$ является убывающей.

Формально: поскольку $z_n$ возрастает, то для любого натурального $n$ имеем $z_{n+1} > z_n$. Так как $z_n > 0$, мы можем разделить на $z_n z_{n+1}$ (положительное число), получив $\frac{1}{z_n} > \frac{1}{z_{n+1}}$, что равносильно $y_n > y_{n+1}$.

Ответ: доказано.

в) Для последовательности $y_n = \frac{n^2 + 15}{n^2 + 2}$ докажем, что она является убывающей. Как и в пункте а), преобразуем выражение для общего члена, выделив целую часть.

$y_n = \frac{n^2 + 2 + 13}{n^2 + 2} = \frac{n^2 + 2}{n^2 + 2} + \frac{13}{n^2 + 2} = 1 + \frac{13}{n^2 + 2}$.

Рассмотрим знаменатель дроби $n^2 + 2$. С увеличением натурального $n$, значение $n^2$ увеличивается, а значит, и значение $n^2 + 2$ также увеличивается. Таким образом, последовательность знаменателей $z_n = n^2 + 2$ является возрастающей.

Поскольку знаменатель $n^2 + 2$ — положительная возрастающая функция от $n$, а числитель 13 — положительная константа, то значение дроби $\frac{13}{n^2 + 2}$ с ростом $n$ уменьшается.

Последовательность $y_n$ является суммой константы (1) и убывающей последовательности, следовательно, она также является убывающей. Это доказывает, что $y_{n+1} < y_n$ для всех натуральных $n$.

Ответ: доказано.

г) В условии для последовательности $y_n = \frac{n^4 + 2n^2 + 7}{n^2 + 2n^2 - 1}$ скорее всего допущена опечатка. Если записать знаменатель как $3n^2 - 1$, то последовательность $y_n = \frac{n^4 + 2n^2 + 7}{3n^2 - 1}$ не будет убывающей для всех натуральных $n$. Предположим, что в знаменателе в первом слагаемом степень также равна 4, то есть формула имеет вид $y_n = \frac{n^4 + 2n^2 + 7}{n^4 + 2n^2 - 1}$. Докажем, что эта (исправленная) последовательность убывает.

Преобразуем выражение для общего члена, выделив целую часть:

$y_n = \frac{(n^4 + 2n^2 - 1) + 8}{n^4 + 2n^2 - 1} = \frac{n^4 + 2n^2 - 1}{n^4 + 2n^2 - 1} + \frac{8}{n^4 + 2n^2 - 1} = 1 + \frac{8}{n^4 + 2n^2 - 1}$.

Рассмотрим знаменатель дроби $z_n = n^4 + 2n^2 - 1$. Для $n \ge 1$ он положителен, так как $z_1 = 1+2-1 = 2 > 0$. Последовательность $z_n$ является возрастающей для натуральных $n$, так как она является суммой возрастающих последовательностей $n^4$ и $2n^2$ минус константа.

Поскольку знаменатель $z_n = n^4 + 2n^2 - 1$ является положительной возрастающей последовательностью, дробь $\frac{8}{n^4 + 2n^2 - 1}$ является убывающей последовательностью.

Следовательно, последовательность $y_n = 1 + \frac{8}{n^4 + 2n^2 - 1}$, как сумма константы и убывающей последовательности, также является убывающей.

Ответ: доказано (при условии исправления опечатки в формуле).