Страница 210, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

37.1. Являются ли числовыми последовательностями следующие функции:

а) $y = 3x^2 + 5, x \in \mathbf{Z};$

б) $y = \sin x, x \in [0; 2\pi];$

в) $y = 7 - x^2, x \in \mathbf{Q};$

г) $y = \cos \frac{x}{2}, x \in \mathbf{N}?$

Числовая последовательность — это функция, область определения которой есть множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Каждому натуральному числу $n$ (номеру члена последовательности) ставится в соответствие некоторое число $y_n$ (член последовательности). Таким образом, мы должны проверить, является ли область определения ($x$) каждой из предложенных функций множеством натуральных чисел.

а) Функция задана формулой $y = 3x^2 + 5$ с областью определения $x \in Z$.

Область определения — множество целых чисел $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$. Это множество не является множеством натуральных чисел $N$, поскольку содержит ноль и отрицательные числа. Следовательно, данная функция не является числовой последовательностью в стандартном определении.

Ответ: Нет.

б) Функция задана формулой $y = \sin x$ с областью определения $x \in [0; 2\pi]$.

Область определения — это отрезок $[0; 2\pi]$, который включает в себя все действительные числа от $0$ до $2\pi$. Это множество является непрерывным (континуальным), а не дискретным множеством натуральных чисел. Следовательно, данная функция не является числовой последовательностью.

Ответ: Нет.

в) Функция задана формулой $y = 7 - x^2$ с областью определения $x \in Q$.

Область определения — множество рациональных чисел $Q$. Это множество содержит не только натуральные числа, но и дроби, отрицательные числа, ноль. Так как область определения не совпадает с множеством натуральных чисел $N$, данная функция не является числовой последовательностью.

Ответ: Нет.

г) Функция задана формулой $y = \cos\frac{x}{2}$ с областью определения $x \in N$.

Область определения — множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Это полностью соответствует определению числовой последовательности. Каждому натуральному числу $x=n$ ставится в соответствие значение функции $y_n = \cos\frac{n}{2}$.

Ответ: Да.

37.2. Приведите примеры последовательностей, заданных:

а) с помощью формулы n-го члена;

б) словесно;

в) рекуррентным способом.

а) с помощью формулы n-го члена

Задать последовательность с помощью формулы n-го члена (аналитически) — это значит указать формулу, по которой для любого натурального числа n можно вычислить соответствующий ему член последовательности $a_n$. Этот способ позволяет найти любой член последовательности напрямую, зная лишь его номер.

В качестве примера рассмотрим последовательность квадратов натуральных чисел. Формула n-го члена для неё выглядит так: $a_n = n^2$.
Используя эту формулу, найдём первые несколько членов последовательности:
при $n=1$, первый член $a_1 = 1^2 = 1$;
при $n=2$, второй член $a_2 = 2^2 = 4$;
при $n=3$, третий член $a_3 = 3^2 = 9$.
Таким образом, мы получаем последовательность: 1, 4, 9, 16, 25, ...

Ответ: Примером последовательности, заданной с помощью формулы n-го члена, является последовательность квадратов натуральных чисел $a_n = n^2$, которая имеет вид: 1, 4, 9, 16, ...

б) словесно

Словесный способ задания последовательности — это описание её членов с помощью слов. Описание должно быть точным и недвусмысленным, чтобы можно было определить любой член последовательности. Этот способ часто используется для последовательностей, которые трудно или невозможно задать простой формулой.

В качестве примера рассмотрим последовательность простых чисел. Словесное описание: "последовательность, состоящая из всех простых чисел, расположенных в порядке возрастания".
Напомним, что простое число — это натуральное число больше единицы, которое делится только на 1 и на само себя.
Следуя этому правилу, получаем члены последовательности:
первое простое число — 2;
второе простое число — 3;
третье простое число — 5;
четвертое простое число — 7.
Таким образом, последовательность имеет вид: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

Ответ: Примером последовательности, заданной словесно, является "последовательность простых чисел в порядке возрастания": 2, 3, 5, 7, 11, ...

в) рекуррентным способом

Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности через один или несколько предыдущих членов. Для этого необходимо задать начальные условия (один или несколько первых членов) и рекуррентную формулу.

Классическим примером является последовательность Фибоначчи. Она задаётся следующим образом:
1. Начальные условия: первый и второй члены равны 1, то есть $a_1 = 1$, $a_2 = 1$.
2. Рекуррентная формула: каждый следующий член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, то есть $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ при $n \ge 3$.
Вычислим первые несколько членов, используя это правило:
$a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2$;
$a_4 = a_3 + a_2 = 2 + 1 = 3$;
$a_5 = a_4 + a_3 = 3 + 2 = 5$.
Так мы получаем последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

Ответ: Примером последовательности, заданной рекуррентным способом, является последовательность Фибоначчи, где $a_1 = 1$, $a_2 = 1$ и $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ для $n \ge 3$. Последовательность имеет вид: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

37.3. Задайте последовательность аналитически и найдите её первые пять членов, если:

a) каждому натуральному числу ставится в соответствие противоположное ему число;

б) каждому натуральному числу ставится в соответствие квадратный корень из этого числа;

в) каждому натуральному числу ставится в соответствие число -5;

г) каждому натуральному числу ставится в соответствие половина его квадрата.

По заданной формуле $n$-го члена вычислите первые пять членов последовательности $(y_n)$:

а) По условию, каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие противоположное ему число. Это значит, что $n$-й член последовательности, который мы обозначим как $a_n$, равен $-n$.

Аналитически данная последовательность задается формулой: $a_n = -n$.

Теперь найдем первые пять членов этой последовательности, подставляя последовательно $n=1, 2, 3, 4, 5$:

$a_1 = -1$

$a_2 = -2$

$a_3 = -3$

$a_4 = -4$

$a_5 = -5$

Ответ: последовательность задается аналитически формулой $a_n = -n$, а ее первые пять членов: -1, -2, -3, -4, -5.

б) Каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие квадратный корень из этого числа. Следовательно, формула $n$-го члена последовательности имеет вид: $a_n = \sqrt{n}$.

Вычислим первые пять членов:

$a_1 = \sqrt{1} = 1$

$a_2 = \sqrt{2}$

$a_3 = \sqrt{3}$

$a_4 = \sqrt{4} = 2$

$a_5 = \sqrt{5}$

Ответ: последовательность задается аналитически формулой $a_n = \sqrt{n}$, а ее первые пять членов: 1, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, 2, $\sqrt{5}$.

в) Каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие число -5. Это означает, что все члены последовательности равны -5, независимо от их номера $n$. Такая последовательность называется стационарной (постоянной).

Аналитическая формула последовательности: $a_n = -5$.

Первые пять членов последовательности:

$a_1 = -5$

$a_2 = -5$

$a_3 = -5$

$a_4 = -5$

$a_5 = -5$

Ответ: последовательность задается аналитически формулой $a_n = -5$, а ее первые пять членов: -5, -5, -5, -5, -5.

г) Каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие половина его квадрата. Квадрат числа $n$ равен $n^2$, а его половина — $\frac{n^2}{2}$.

Таким образом, аналитическая формула последовательности: $a_n = \frac{n^2}{2}$.

Вычислим первые пять членов последовательности:

$a_1 = \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2}$

$a_2 = \frac{2^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$a_3 = \frac{3^2}{2} = \frac{9}{2}$

$a_4 = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$a_5 = \frac{5^2}{2} = \frac{25}{2}$

Ответ: последовательность задается аналитически формулой $a_n = \frac{n^2}{2}$, а ее первые пять членов: $\frac{1}{2}$, 2, $\frac{9}{2}$, 8, $\frac{25}{2}$.

37.4. а) $y_n = 2n^2 - n;$

б) $y_n = \frac{(-1)^n}{n^2 + 1};$

В) $y_n = \frac{3n - 1}{2n};$

Г) $y_n = \frac{(-1)^n + 2}{3n - 2}.$

а) Для последовательности $y_n = 2n^2 - n$ найдем предел при $n \to \infty$. Вычислим предел: $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} (2n^2 - n)$. Мы имеем неопределенность вида $\infty - \infty$. Чтобы ее раскрыть, вынесем за скобки старшую степень $n$: $\lim_{n \to \infty} n^2(2 - \frac{n}{n^2}) = \lim_{n \to \infty} n^2(2 - \frac{1}{n})$. При $n \to \infty$, выражение $\frac{1}{n}$ стремится к 0. Следовательно, выражение в скобках стремится к $2 - 0 = 2$. Поскольку $n^2$ стремится к $\infty$, а выражение в скобках стремится к 2, их произведение стремится к бесконечности. $\lim_{n \to \infty} n^2(2 - \frac{1}{n}) = \infty \cdot 2 = \infty$. Таким образом, последовательность расходится.
Ответ: $\infty$.

б) Для последовательности $y_n = \frac{(-1)^n}{n^2 + 1}$ найдем предел при $n \to \infty$. Числитель $(-1)^n$ является ограниченной величиной, так как принимает значения 1 и -1. То есть, $|(-1)^n| \le 1$. Знаменатель $n^2 + 1$ при $n \to \infty$ стремится к бесконечности: $\lim_{n \to \infty} (n^2 + 1) = \infty$. Предел отношения ограниченной последовательности к бесконечно большой равен нулю. Для строгого доказательства воспользуемся теоремой о двух милиционерах (теоремой о сжатии). Так как $-1 \le (-1)^n \le 1$ для любого натурального $n$, и $n^2+1 > 0$, то справедливо неравенство: $-\frac{1}{n^2 + 1} \le \frac{(-1)^n}{n^2 + 1} \le \frac{1}{n^2 + 1}$. Найдем пределы левой и правой частей неравенства: $\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{n^2 + 1}\right) = 0$ и $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 + 1} = 0$. Поскольку последовательность $y_n$ заключена между двумя последовательностями, сходящимися к одному и тому же пределу (0), то и сама последовательность $y_n$ сходится к этому пределу. $\lim_{n \to \infty} y_n = 0$.
Ответ: 0.

в) Для последовательности $y_n = \frac{3n - 1}{2n}$ найдем предел при $n \to \infty$. Здесь мы имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $n$, то есть на $n$: $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3n - 1}{2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n}{n} - \frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 - \frac{1}{n}}{2}$. Поскольку при $n \to \infty$ член $\frac{1}{n}$ стремится к 0, получаем: $\frac{3 - 0}{2} = \frac{3}{2}$. Следовательно, последовательность сходится.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

г) Для последовательности $y_n = \frac{(-1)^n + 2}{3n - 2}$ найдем предел при $n \to \infty$. Рассмотрим числитель $(-1)^n + 2$. При четных $n$ он равен $1+2=3$, а при нечетных $n$ он равен $-1+2=1$. В любом случае, числитель является ограниченной величиной: $1 \le (-1)^n + 2 \le 3$. Знаменатель $3n - 2$ при $n \to \infty$ стремится к бесконечности. Как и в пункте б), предел отношения ограниченной последовательности к бесконечно большой равен нулю. Применим теорему о сжатии. Для $n \ge 1$ знаменатель $3n-2$ положителен. $1 \le (-1)^n + 2 \le 3 \implies \frac{1}{3n - 2} \le \frac{(-1)^n + 2}{3n - 2} \le \frac{3}{3n - 2}$. Найдем пределы ограничивающих последовательностей: $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{3n - 2} = 0$ и $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{3n - 2} = 0$. Так как $y_n$ находится между двумя последовательностями, сходящимися к 0, то по теореме о сжатии, предел $y_n$ также равен 0. $\lim_{n \to \infty} y_n = 0$.
Ответ: 0.

37.5. a) $y_n = 3 \cos \frac{2\pi}{n}$;

Б) $y_n = \text{tg} \left( (-1)^n \frac{\pi}{4} \right)$;

В) $y_n = 1 - \cos^2 \frac{\pi}{n}$;

Г) $y_n = \sin n\pi - \cos n\pi$.

а) $y_n = 3 \cos\frac{2\pi}{n}$

Для нахождения предела последовательности $y_n$ при $n \to \infty$, рассмотрим поведение аргумента функции косинус. Аргумент косинуса равен $\frac{2\pi}{n}$. Когда $n$ стремится к бесконечности ($n \to \infty$), знаменатель дроби растет, а вся дробь стремится к нулю: $\lim_{n \to \infty} \frac{2\pi}{n} = 0$. Функция $f(x) = \cos(x)$ является непрерывной на всей числовой оси, в том числе и в точке $x=0$. Поэтому предел функции равен значению функции в точке, к которой стремится ее аргумент: $\lim_{n \to \infty} \cos\frac{2\pi}{n} = \cos\left(\lim_{n \to \infty} \frac{2\pi}{n}\right) = \cos(0) = 1$. Теперь мы можем найти предел исходной последовательности, используя свойство предела произведения: $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} 3 \cos\frac{2\pi}{n} = 3 \cdot \left(\lim_{n \to \infty} \cos\frac{2\pi}{n}\right) = 3 \cdot 1 = 3$. Последовательность сходится к 3.

Ответ: 3.

б) $y_n = \text{tg}\left((-1)^n \frac{\pi}{4}\right)$

Рассмотрим поведение этой последовательности в зависимости от четности $n$. Множитель $(-1)^n$ принимает значение 1 для четных $n$ и -1 для нечетных $n$. 1. Если $n$ — четное число, то есть $n = 2k$ для некоторого натурального $k$, то $(-1)^n = (-1)^{2k} = 1$. Тогда член последовательности $y_{2k} = \text{tg}\left(1 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$. Таким образом, подпоследовательность, состоящая из четных членов, является постоянной последовательностью $1, 1, 1, \dots$ и ее предел равен 1. 2. Если $n$ — нечетное число, то есть $n = 2k-1$ для некоторого натурального $k$, то $(-1)^n = (-1)^{2k-1} = -1$. Тогда член последовательности $y_{2k-1} = \text{tg}\left(-1 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$. Таким образом, подпоследовательность, состоящая из нечетных членов, является постоянной последовательностью $-1, -1, -1, \dots$ и ее предел равен -1. Для того чтобы последовательность имела предел, необходимо, чтобы все ее подпоследовательности сходились к одному и тому же значению. Поскольку мы нашли две подпоследовательности, которые сходятся к разным пределам (1 и -1), исходная последовательность $y_n$ не имеет предела, то есть она расходится.

Ответ: последовательность расходится.

в) $y_n = 1 - \cos^2\frac{2\pi}{n}$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$. Применим это тождество к нашей последовательности: $y_n = \sin^2\left(\frac{2\pi}{n}\right)$. Теперь найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$. Как и в пункте а), аргумент функции синус стремится к нулю: $\lim_{n \to \infty} \frac{2\pi}{n} = 0$. Функция $f(x) = \sin(x)$ является непрерывной, поэтому: $\lim_{n \to \infty} \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) = \sin(0) = 0$. Поскольку функция $g(x) = x^2$ также непрерывна, предел квадрата функции равен квадрату предела: $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \sin^2\left(\frac{2\pi}{n}\right) = \left(\lim_{n \to \infty} \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)^2 = 0^2 = 0$. Последовательность сходится к 0.

Ответ: 0.

г) $y_n = \sin n\pi - \cos n\pi$

Рассмотрим значения тригонометрических функций для целых значений $n$. 1. Функция $\sin(x)$ принимает значение 0 при $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число. Следовательно, для любого натурального $n$, $\sin n\pi = 0$. 2. Значение $\cos n\pi$ зависит от четности $n$: - Если $n$ — четное число ($n=2k$), то $\cos n\pi = \cos(2k\pi) = 1$. - Если $n$ — нечетное число ($n=2k-1$), то $\cos n\pi = \cos((2k-1)\pi) = -1$. В общем виде это можно записать как $\cos n\pi = (-1)^n$. Подставим эти значения в формулу для $y_n$: $y_n = \sin n\pi - \cos n\pi = 0 - (-1)^n = -(-1)^n$. Теперь рассмотрим подпоследовательности для четных и нечетных $n$: - Для четных $n$, $y_n = -(-1)^n = -(1) = -1$. Предел этой подпоследовательности равен -1. - Для нечетных $n$, $y_n = -(-1)^n = -(-1) = 1$. Предел этой подпоследовательности равен 1. Так как существуют две подпоследовательности, сходящиеся к разным пределам (-1 и 1), исходная последовательность $y_n$ не имеет предела и является расходящейся.

Ответ: последовательность расходится.