Страница 209, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

36.20. Вычислите и изобразите на комплексной плоскости:

а) $\sqrt[3]{64}$;

б) $\sqrt[3]{-27}$;

в) $\sqrt[3]{125i}$;

г) $\sqrt[3]{-512i}$.

а) $\sqrt[3]{64}$

Для извлечения корня n-й степени из комплексного числа необходимо представить его в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r$ — модуль числа, а $\varphi$ — его аргумент. Затем используется формула Муавра для корней:

$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, \dots, n-1$.

В данном случае $n=3$.

1. Представление в тригонометрической форме:

Число $z = 64$ является действительным. Его модуль $r = |64| = 64$, а аргумент $\varphi = 0$.

Следовательно, $z = 64(\cos 0 + i \sin 0)$.

2. Вычисление корней:

Применяем формулу Муавра для $n=3$, $r=64$, $\varphi=0$:

$w_k = \sqrt[3]{64} \left( \cos \frac{0 + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{0 + 2\pi k}{3} \right) = 4 \left( \cos \frac{2\pi k}{3} + i \sin \frac{2\pi k}{3} \right)$, где $k=0, 1, 2$.

• При $k=0$: $w_0 = 4(\cos 0 + i \sin 0) = 4(1 + 0 \cdot i) = 4$.
• При $k=1$: $w_1 = 4\left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right) = 4\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2 + 2i\sqrt{3}$.
• При $k=2$: $w_2 = 4\left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right) = 4\left(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2 - 2i\sqrt{3}$.

3. Изображение на комплексной плоскости:

Корни $w_0, w_1, w_2$ являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = 4$. Координаты вершин: $(4, 0)$, $(-2, 2\sqrt{3})$ и $(-2, -2\sqrt{3})$.

Ответ: $w_0 = 4$, $w_1 = -2 + 2i\sqrt{3}$, $w_2 = -2 - 2i\sqrt{3}$.

б) $\sqrt[3]{-27}$

1. Представление в тригонометрической форме:

Число $z = -27$ является действительным. Его модуль $r = |-27| = 27$, а аргумент $\varphi = \pi$.

Следовательно, $z = 27(\cos \pi + i \sin \pi)$.

2. Вычисление корней:

Применяем формулу Муавра для $n=3$, $r=27$, $\varphi=\pi$:

$w_k = \sqrt[3]{27} \left( \cos \frac{\pi + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\pi + 2\pi k}{3} \right) = 3 \left( \cos \frac{\pi(1+2k)}{3} + i \sin \frac{\pi(1+2k)}{3} \right)$, где $k=0, 1, 2$.

• При $k=0$: $w_0 = 3\left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
• При $k=1$: $w_1 = 3\left(\cos \frac{3\pi}{3} + i \sin \frac{3\pi}{3}\right) = 3(\cos \pi + i \sin \pi) = 3(-1 + 0 \cdot i) = -3$.
• При $k=2$: $w_2 = 3\left(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{2} - i\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

3. Изображение на комплексной плоскости:

Корни $w_0, w_1, w_2$ являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = 3$. Координаты вершин: $(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$, $(-3, 0)$ и $(\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: $w_0 = \frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2}$, $w_1 = -3$, $w_2 = \frac{3}{2} - i\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

в) $\sqrt[3]{125i}$

1. Представление в тригонометрической форме:

Число $z = 125i$ является чисто мнимым. Его модуль $r = |125i| = 125$, а аргумент $\varphi = \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, $z = 125\left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right)$.

2. Вычисление корней:

Применяем формулу Муавра для $n=3$, $r=125$, $\varphi=\frac{\pi}{2}$:

$w_k = \sqrt[3]{125} \left( \cos \frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3} \right) = 5 \left( \cos \frac{\pi(1+4k)}{6} + i \sin \frac{\pi(1+4k)}{6} \right)$, где $k=0, 1, 2$.

• При $k=0$: $w_0 = 5\left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right) = 5\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = \frac{5\sqrt{3}}{2} + i\frac{5}{2}$.
• При $k=1$: $w_1 = 5\left(\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}\right) = 5\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = -\frac{5\sqrt{3}}{2} + i\frac{5}{2}$.
• При $k=2$: $w_2 = 5\left(\cos \frac{9\pi}{6} + i \sin \frac{9\pi}{6}\right) = 5\left(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}\right) = 5(0 - 1 \cdot i) = -5i$.

3. Изображение на комплексной плоскости:

Корни $w_0, w_1, w_2$ являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = 5$. Координаты вершин: $(\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2})$, $(-\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2})$ и $(0, -5)$.

Ответ: $w_0 = \frac{5\sqrt{3}}{2} + i\frac{5}{2}$, $w_1 = -\frac{5\sqrt{3}}{2} + i\frac{5}{2}$, $w_2 = -5i$.

г) $\sqrt[3]{-512i}$

1. Представление в тригонометрической форме:

Число $z = -512i$ является чисто мнимым. Его модуль $r = |-512i| = 512$, а аргумент $\varphi = \frac{3\pi}{2}$.

Следовательно, $z = 512\left(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}\right)$.

2. Вычисление корней:

Применяем формулу Муавра для $n=3$, $r=512$, $\varphi=\frac{3\pi}{2}$:

$w_k = \sqrt[3]{512} \left( \cos \frac{\frac{3\pi}{2} + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\frac{3\pi}{2} + 2\pi k}{3} \right) = 8 \left( \cos \frac{\pi(3+4k)}{6} + i \sin \frac{\pi(3+4k)}{6} \right)$, где $k=0, 1, 2$.

• При $k=0$: $w_0 = 8\left(\cos \frac{3\pi}{6} + i \sin \frac{3\pi}{6}\right) = 8\left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right) = 8(0 + 1 \cdot i) = 8i$.
• При $k=1$: $w_1 = 8\left(\cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6}\right) = 8\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right) = -4\sqrt{3} - 4i$.
• При $k=2$: $w_2 = 8\left(\cos \frac{11\pi}{6} + i \sin \frac{11\pi}{6}\right) = 8\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right) = 4\sqrt{3} - 4i$.

3. Изображение на комплексной плоскости:

Корни $w_0, w_1, w_2$ являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = 8$. Координаты вершин: $(0, 8)$, $(-4\sqrt{3}, -4)$ и $(4\sqrt{3}, -4)$.

Ответ: $w_0 = 8i$, $w_1 = -4\sqrt{3} - 4i$, $w_2 = 4\sqrt{3} - 4i$.

36.21. Произвольно отметьте на комплексной плоскости число $z_0$, у которого $\vert z_0 \vert = 1$ и $\frac{\pi}{2} < \arg(z_0) < \pi$.

а) Изобразите корень уравнения $z^3 = z_0$, принадлежащий первой координатной четверти.

б) Изобразите корень уравнения $z^3 = z_0$, принадлежащий четвёртой координатной четверти.

в) Изобразите множество $\sqrt[3]{z_0}$.

г) Объясните, почему у уравнения $z^3 = z_0$ нет корней, расположенных в третьей четверти.

Для решения задачи представим комплексное число $z_0$ в тригонометрической форме. По условию, модуль числа $|z_0| = 1$, а его аргумент $\arg(z_0)$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < \arg(z_0) < \pi$. Обозначим $\arg(z_0) = \phi$.

Таким образом, $z_0 = 1 \cdot (\cos\phi + i\sin\phi)$, где $\frac{\pi}{2} < \phi < \pi$. Геометрически это означает, что число $z_0$ лежит на единичной окружности во второй координатной четверти.

Нам нужно найти корни уравнения $z^3 = z_0$, которые являются кубическими корнями из числа $z_0$. Воспользуемся общей формулой для нахождения корней n-ой степени из комплексного числа: $z_k = \sqrt[n]{|z_0|} \left(\cos\frac{\phi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right)$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.

В нашем случае $n=3$, $|z_0|=1$. Корни уравнения имеют вид: $z_k = \cos\frac{\phi + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\phi + 2\pi k}{3}$, где $k = 0, 1, 2$.

Все три корня также лежат на единичной окружности, так как их модуль равен 1. Найдем, в каких четвертях они расположены, проанализировав их аргументы $\alpha_k = \frac{\phi + 2\pi k}{3}$.

Поскольку $\frac{\pi}{2} < \phi < \pi$, то $\frac{\pi}{6} < \frac{\phi}{3} < \frac{\pi}{3}$.

• При $k=0$: $\alpha_0 = \frac{\phi}{3}$. Из неравенства выше следует, что $\frac{\pi}{6} < \alpha_0 < \frac{\pi}{3}$. Так как $0 < \alpha_0 < \frac{\pi}{2}$, этот корень $z_0$ расположен в первой координатной четверти.
• При $k=1$: $\alpha_1 = \frac{\phi + 2\pi}{3} = \frac{\phi}{3} + \frac{2\pi}{3}$. Тогда $\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} < \alpha_1 < \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}$, что дает $\frac{5\pi}{6} < \alpha_1 < \pi$. Так как $\frac{\pi}{2} < \alpha_1 < \pi$, этот корень $z_1$ расположен во второй координатной четверти.
• При $k=2$: $\alpha_2 = \frac{\phi + 4\pi}{3} = \frac{\phi}{3} + \frac{4\pi}{3}$. Тогда $\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} < \alpha_2 < \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3}$, что дает $\frac{9\pi}{6} < \alpha_2 < \frac{5\pi}{3}$, то есть $\frac{3\pi}{2} < \alpha_2 < \frac{5\pi}{3}$. Так как $\frac{3\pi}{2} < \alpha_2 < 2\pi$, этот корень $z_2$ расположен в четвёртой координатной четверти.

а) Изобразите корень уравнения $z^3 = z_0$, принадлежащий первой координатной четверти.

Как было показано выше, корень, принадлежащий первой координатной четверти, соответствует значению $k=0$. Его аргумент $\alpha_0 = \frac{\arg(z_0)}{3}$. Поскольку $\frac{\pi}{2} < \arg(z_0) < \pi$, аргумент этого корня находится в пределах $\frac{\pi}{6} < \alpha_0 < \frac{\pi}{3}$.

Для его изображения нужно:
1. На комплексной плоскости отметить единичную окружность.
2. Выбрать произвольную точку $z_0$ на дуге единичной окружности во второй четверти (угол $\phi$ от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$).
3. Изобразить точку $z_a$ на единичной окружности в первой четверти так, чтобы её аргумент был равен трети аргумента точки $z_0$. Эта точка и будет искомым корнем.

Ответ: Корень, принадлежащий первой координатной четверти, — это число $z_0 = \cos(\frac{\phi}{3}) + i\sin(\frac{\phi}{3})$, где $\phi = \arg(z_0)$. Он расположен на единичной окружности в первой четверти, его аргумент находится в интервале $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3})$.

б) Изобразите корень уравнения $z^3 = z_0$, принадлежащий четвёртой координатной четверти.

Корень, принадлежащий четвёртой координатной четверти, соответствует значению $k=2$. Его аргумент $\alpha_2 = \frac{\arg(z_0) + 4\pi}{3}$. Поскольку $\frac{\pi}{2} < \arg(z_0) < \pi$, аргумент этого корня находится в пределах $\frac{3\pi}{2} < \alpha_2 < \frac{5\pi}{3}$.

Для его изображения нужно:
1. Найти корень $z_a$ из пункта (а).
2. Повернуть вектор, соответствующий $z_a$, на угол $\frac{4\pi}{3}$ против часовой стрелки. Полученная точка $z_b$ на единичной окружности и будет искомым корнем. Она будет расположена в четвертой четверти.

Ответ: Корень, принадлежащий четвёртой координатной четверти, — это число $z_2 = \cos(\frac{\phi+4\pi}{3}) + i\sin(\frac{\phi+4\pi}{3})$, где $\phi = \arg(z_0)$. Он расположен на единичной окружности в четвёртой четверти, его аргумент находится в интервале $(\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3})$.

в) Изобразите множество $\sqrt[3]{z_0}$.

Множество $\sqrt[3]{z_0}$ состоит из всех трёх корней уравнения $z^3 = z_0$. Мы определили их расположение: $z_0$ в первой четверти, $z_1$ во второй четверти и $z_2$ в четвертой четверти. Все они лежат на единичной окружности. Аргументы соседних корней отличаются на $\frac{2\pi}{3}$.

Геометрически эти три точки являются вершинами правильного (равностороннего) треугольника, вписанного в единичную окружность. Одна вершина этого треугольника находится в первой четверти, вторая — во второй, третья — в четвёртой.

Ответ: Множество $\sqrt[3]{z_0}$ — это три точки на единичной окружности, образующие вершины правильного треугольника. Одна вершина лежит в первой координатной четверти, одна — во второй, и одна — в четвёртой.

г) Объясните, почему у уравнения $z^3 = z_0$ нет корней, расположенных в третьей четверти.

Комплексное число находится в третьей координатной четверти, если его аргумент $\theta$ удовлетворяет неравенству $\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$.

Мы нашли интервалы, в которых лежат аргументы всех трёх корней уравнения $z^3 = z_0$:

• Аргумент первого корня $\alpha_0$ находится в интервале $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3})$. Этот интервал принадлежит первой четверти.
• Аргумент второго корня $\alpha_1$ находится в интервале $(\frac{5\pi}{6}, \pi)$. Этот интервал принадлежит второй четверти.
• Аргумент третьего корня $\alpha_2$ находится в интервале $(\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3})$. Этот интервал принадлежит четвёртой четверти.

Ни один из этих трёх интервалов не пересекается с интервалом $(\pi, \frac{3\pi}{2})$, который определяет третью координатную четверть. Максимальное значение аргумента второго корня стремится к $\pi$ (но не достигает его), а минимальное значение аргумента третьего корня стремится к $\frac{3\pi}{2}$ (но не достигает его). Таким образом, ни один из корней не может попасть в третью четверть.

Ответ: Аргументы корней уравнения лежат в интервалах $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3})$, $(\frac{5\pi}{6}, \pi)$ и $(\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3})$. Ни один из этих интервалов не пересекается с интервалом $(\pi, \frac{3\pi}{2})$, соответствующим третьей координатной четверти, следовательно, в ней нет корней.

36.22. Произвольно отметьте на комплексной плоскости число $z_0$, у которого $|z_0|=1$ и $-\frac{\pi}{2} < \arg(z_0) < 0$.

а) Изобразите корень уравнения $z^3 = z_0$, принадлежащий четвёртой координатной четверти.

б) Изобразите множество $\sqrt[3]{z_0}$.

в) Объясните, почему у уравнения $z^3 = z_0$ нет корней, расположенных в первой четверти.

г) Найдите площадь треугольника с вершинами в точках из пункта б).

Для решения задачи сначала определим свойства заданного комплексного числа $z_0$. По условию, его модуль $|z_0| = 1$, а его аргумент $\phi = \arg(z_0)$ удовлетворяет неравенству $-\frac{\pi}{2} < \phi < 0$. Это означает, что число $z_0$ лежит на единичной окружности в четвёртой координатной четверти. В показательной форме число можно записать как $z_0 = e^{i\phi}$.

а) Требуется найти корень уравнения $z^3 = z_0$, который принадлежит четвёртой координатной четверти. Решение этого уравнения эквивалентно нахождению кубических корней из $z_0$. Представим искомый корень $z$ в показательной форме: $z = re^{i\theta}$. Тогда его куб равен $z^3 = r^3e^{i3\theta}$. Приравниваем $z^3$ и $z_0$: $r^3e^{i3\theta} = 1 \cdot e^{i\phi}$. Из этого равенства комплексных чисел в показательной форме следуют два условия: 1. Равенство модулей: $r^3 = 1$, откуда $r=1$. 2. Равенство аргументов (с учётом периодичности): $3\theta = \phi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Отсюда находим аргументы корней: $\theta_k = \frac{\phi + 2\pi k}{3}$. Для получения всех различных корней достаточно взять $k=0, 1, 2$:

• При $k=0$: $\theta_0 = \frac{\phi}{3}$.
• При $k=1$: $\theta_1 = \frac{\phi}{3} + \frac{2\pi}{3}$.
• При $k=2$: $\theta_2 = \frac{\phi}{3} + \frac{4\pi}{3}$.

Теперь определим, какой из корней находится в четвёртой четверти. Аргумент такого числа должен лежать в интервале $(-\frac{\pi}{2}, 0)$. Используя данное в условии неравенство $-\frac{\pi}{2} < \phi < 0$, найдём интервал для $\theta_0$: $-\frac{\pi}{6} < \frac{\phi}{3} < 0$. Так как интервал $(-\frac{\pi}{6}, 0)$ полностью содержится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, корень $z_1 = e^{i\theta_0} = e^{i\phi/3}$ принадлежит четвёртой четверти. Рассмотрим другие корни: $\theta_1$ будет во второй четверти, а $\theta_2$ — в третьей (что показано в пункте в)).

Ответ: Корень, принадлежащий четвёртой координатной четверти, — это комплексное число $z_1$ с модулем, равным 1, и аргументом $\arg(z_1) = \frac{\arg(z_0)}{3}$. На комплексной плоскости он изображается как точка на единичной окружности в четвёртой четверти.

б) Множество $\sqrt[3]{z_0}$ — это совокупность всех трёх кубических корней из числа $z_0$. Как мы нашли в пункте а), это три числа: $z_1 = e^{i\frac{\phi}{3}}$, $z_2 = e^{i(\frac{\phi}{3} + \frac{2\pi}{3})}$, $z_3 = e^{i(\frac{\phi}{3} + \frac{4\pi}{3})}$. Все три корня имеют модуль 1, поэтому на комплексной плоскости они расположены на единичной окружности. Их аргументы отличаются друг от друга на $\frac{2\pi}{3}$ радиан (или 120°). Геометрически эти три точки являются вершинами правильного (равностороннего) треугольника, вписанного в единичную окружность.

Ответ: Множество $\sqrt[3]{z_0}$ изображается на комплексной плоскости в виде трёх точек, являющихся вершинами правильного треугольника, вписанного в единичную окружность с центром в начале координат.

в) Чтобы объяснить, почему у уравнения $z^3 = z_0$ нет корней в первой четверти, нужно проанализировать аргументы всех трёх корней. Первая четверть определяется условием $0 < \arg(z) < \frac{\pi}{2}$. Из условия задачи мы знаем, что $-\frac{\pi}{2} < \phi < 0$.

• Для корня $z_1$ (при $k=0$) аргумент $\theta_0 = \frac{\phi}{3}$. Для него справедливо неравенство $-\frac{\pi}{6} < \theta_0 < 0$. Этот корень лежит в четвёртой четверти.
• Для корня $z_2$ (при $k=1$) аргумент $\theta_1 = \frac{\phi}{3} + \frac{2\pi}{3}$. Так как $-\frac{\pi}{6} < \frac{\phi}{3} < 0$, то $-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} < \theta_1 < 0 + \frac{2\pi}{3}$, что даёт $\frac{3\pi}{6} < \theta_1 < \frac{2\pi}{3}$, или $\frac{\pi}{2} < \theta_1 < \frac{2\pi}{3}$. Этот корень лежит во второй четверти.
• Для корня $z_3$ (при $k=2$) аргумент $\theta_2 = \frac{\phi}{3} + \frac{4\pi}{3}$. Так как $-\frac{\pi}{6} < \frac{\phi}{3} < 0$, то $-\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} < \theta_2 < 0 + \frac{4\pi}{3}$, что даёт $\frac{7\pi}{6} < \theta_2 < \frac{4\pi}{3}$. Этот корень лежит в третьей четверти.

Ни один из полученных диапазонов для аргументов $\theta_0, \theta_1, \theta_2$ не пересекается с интервалом $(0, \frac{\pi}{2})$. Следовательно, ни один из корней не может находиться в первой четверти.

Ответ: Аргументы корней принимают значения в интервалах $(-\frac{\pi}{6}, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3})$ и $(\frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3})$. Ни один из этих интервалов не соответствует первой координатной четверти, где аргумент должен быть в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$.

г) Требуется найти площадь треугольника с вершинами в точках из пункта б). Этими вершинами являются корни $z_1, z_2, z_3$. Как было установлено, они образуют правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса $R=1$ (так как $|z_k|=1$). Площадь правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, можно найти по формуле: $S_n = \frac{1}{2} n R^2 \sin(\frac{2\pi}{n})$. Для нашего случая $n=3$ (треугольник) и $R=1$: $S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1^2 \cdot \sin(\frac{2\pi}{3})$. Значение синуса $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставляем и вычисляем площадь: $S = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

36.23. Решите уравнение:

a) $z^6 + (8 - i)z^3 + (1 + i)^6 = 0;$

б) $z^4 + (2 - 4i)z^2 - (1 - i)^6 = 0.$

а) $z^6 + (8 - i)z^3 + (1 + i)^6 = 0$

Данное уравнение является бикубическим. Сделаем замену $w = z^3$. Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $w$:

$w^2 + (8 - i)w + (1 + i)^6 = 0$

Вычислим коэффициент $(1 + i)^6$. Проще всего это сделать, предварительно возведя в квадрат:

$(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$

Тогда $(1 + i)^6 = ((1 + i)^2)^3 = (2i)^3 = 8i^3 = 8(-i) = -8i$.

Подставим это значение в уравнение для $w$:

$w^2 + (8 - i)w - 8i = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $\Delta$:

$\Delta = b^2 - 4ac = (8 - i)^2 - 4(1)(-8i) = (64 - 16i + i^2) + 32i = (63 - 16i) + 32i = 63 + 16i$

Теперь нужно извлечь квадратный корень из комплексного числа $\Delta$. Пусть $\sqrt{63 + 16i} = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$.

$(x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = 63 + 16i$

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 63 \\ 2xy = 16 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y = \frac{8}{x}$ и подставим в первое:

$x^2 - \left(\frac{8}{x}\right)^2 = 63 \implies x^2 - \frac{64}{x^2} = 63$

Домножим на $x^2$ и перенесем все в одну сторону: $x^4 - 63x^2 - 64 = 0$.

Это биквадратное уравнение относительно $x$. Пусть $t=x^2$, $t \ge 0$:

$t^2 - 63t - 64 = 0$

По теореме Виета корни $t_1 = 64$ и $t_2 = -1$. Так как $t \ge 0$, подходит только $t = 64$.

$x^2 = 64 \implies x = \pm 8$.

Если $x = 8$, то $y = 8/8 = 1$.

Если $x = -8$, то $y = 8/(-8) = -1$.

Таким образом, $\sqrt{63 + 16i} = \pm(8 + i)$.

Найдем корни $w_{1,2}$:

$w_1 = \frac{-(8 - i) + (8 + i)}{2} = \frac{-8 + i + 8 + i}{2} = \frac{2i}{2} = i$

$w_2 = \frac{-(8 - i) - (8 + i)}{2} = \frac{-8 + i - 8 - i}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Теперь вернемся к замене $w = z^3$. Получаем два уравнения:

1) $z^3 = i$

2) $z^3 = -8$

Решим первое уравнение: $z^3 = i$. Представим $i$ в тригонометрической форме: $i = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})$. Корни находятся по формуле Муавра:

$z_k = \sqrt[3]{1} \left( \cos\left(\frac{\pi/2 + 2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi/2 + 2\pi k}{3}\right) \right)$, где $k=0, 1, 2$.

При $k=0: z_0 = \cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$.

При $k=1: z_1 = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$.

При $k=2: z_2 = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2}) = -i$.

Решим второе уравнение: $z^3 = -8$. Представим $-8$ в тригонометрической форме: $-8 = 8(\cos(\pi) + i\sin(\pi))$.

$z_k = \sqrt[3]{8} \left( \cos\left(\frac{\pi + 2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 2\pi k}{3}\right) \right)$, где $k=0, 1, 2$.

При $k=0: z_3 = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})) = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3}$.

При $k=1: z_4 = 2(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) = -2$.

При $k=2: z_5 = 2(\cos(\frac{5\pi}{3}) + i\sin(\frac{5\pi}{3})) = 2(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - i\sqrt{3}$.

Ответ: $z \in \{ -2; -i; \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i; -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i; 1 + i\sqrt{3}; 1 - i\sqrt{3} \}$.

б) $z^4 + (2 - 4i)z^2 - (1 - i)^6 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $w = z^2$. Уравнение примет вид:

$w^2 + (2 - 4i)w - (1 - i)^6 = 0$

Вычислим $(1 - i)^6$. Сначала найдем $(1 - i)^2$:

$(1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$

Тогда $(1 - i)^6 = ((1 - i)^2)^3 = (-2i)^3 = -8i^3 = -8(-i) = 8i$.

Подставим это значение в уравнение для $w$:

$w^2 + (2 - 4i)w - 8i = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $\Delta$:

$\Delta = b^2 - 4ac = (2 - 4i)^2 - 4(1)(-8i) = (4 - 16i + 16i^2) + 32i = (4 - 16 - 16i) + 32i = -12 + 16i$

Извлечем квадратный корень из $\Delta$. Пусть $\sqrt{-12 + 16i} = x + iy$:

$(x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = -12 + 16i$

Получаем систему: $\begin{cases} x^2 - y^2 = -12 \\ 2xy = 16 \end{cases}$

Из второго уравнения $y = 8/x$. Подставляем в первое: $x^2 - (64/x^2) = -12 \implies x^4 + 12x^2 - 64 = 0$.

Пусть $t=x^2$, $t \ge 0$. Уравнение $t^2 + 12t - 64 = 0$. Его корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -16$. Подходит $t = 4$.

$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.

Если $x = 2$, то $y = 8/2 = 4$.

Если $x = -2$, то $y = 8/(-2) = -4$.

Следовательно, $\sqrt{-12 + 16i} = \pm(2 + 4i)$.

Найдем корни $w_{1,2}$:

$w_1 = \frac{-(2 - 4i) + (2 + 4i)}{2} = \frac{-2 + 4i + 2 + 4i}{2} = \frac{8i}{2} = 4i$

$w_2 = \frac{-(2 - 4i) - (2 + 4i)}{2} = \frac{-2 + 4i - 2 - 4i}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Возвращаемся к замене $z^2 = w$. Получаем два уравнения:

1) $z^2 = 4i$

2) $z^2 = -2$

Решим первое уравнение: $z^2 = 4i$.

$z = \pm\sqrt{4i} = \pm 2\sqrt{i}$. Найдем $\sqrt{i}$.

$\sqrt{i} = \sqrt{\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})} = \cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Значит $z = \pm 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pm (\sqrt{2} + i\sqrt{2})$.

Получаем два корня: $z_1 = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$ и $z_2 = -\sqrt{2} - i\sqrt{2}$.

Решим второе уравнение: $z^2 = -2$.

$z = \pm \sqrt{-2} = \pm i\sqrt{2}$.

Получаем еще два корня: $z_3 = i\sqrt{2}$ и $z_4 = -i\sqrt{2}$.

Ответ: $z \in \{ \sqrt{2} + i\sqrt{2}; -\sqrt{2} - i\sqrt{2}; i\sqrt{2}; -i\sqrt{2} \}$.

36.24. a) При каком действительном значении a выражение

$ \frac{a(\sin 75^\circ + i \cos 75^\circ)^{12}}{i(a + 2i)^2 - (14 - 3ai) - 2} $

является действительным числом?

б) При каком действительном значении b выражение

$ b : \frac{(\cos 22^\circ 30^\prime - i \sin 22^\circ 30^\prime)^{16}}{i(3i - b)^2 - (3 - 8bi) - 3} $

является действительным числом?

a)

Пусть дано выражение $Z = \frac{a(\sin 75^\circ + i \cos 75^\circ)^{12}}{i(a + 2i)^2 - (14 - 3ai) - 2}$.

Для того чтобы это выражение было действительным числом, его мнимая часть должна быть равна нулю, то есть $\text{Im}(Z) = 0$.

Упростим числитель и знаменатель дроби.

Числитель: $N = a(\sin 75^\circ + i \cos 75^\circ)^{12}$.

Выражение в скобках является комплексным числом. Приведем его к тригонометрической форме $r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$.

Используя формулы приведения $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$ и $\cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$, получаем:

$\sin 75^\circ = \cos(90^\circ - 75^\circ) = \cos 15^\circ$

$\cos 75^\circ = \sin(90^\circ - 75^\circ) = \sin 15^\circ$

Следовательно, $\sin 75^\circ + i \cos 75^\circ = \cos 15^\circ + i \sin 15^\circ$.

Теперь применим формулу Муавра $(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)$:

$(\cos 15^\circ + i \sin 15^\circ)^{12} = \cos(12 \cdot 15^\circ) + i \sin(12 \cdot 15^\circ) = \cos(180^\circ) + i \sin(180^\circ) = -1 + 0i = -1$.

Таким образом, числитель $N = a \cdot (-1) = -a$. Числитель является действительным числом при любом действительном $a$.

Знаменатель: $D = i(a + 2i)^2 - (14 - 3ai) - 2$.

Раскроем скобки и упростим:

$i(a + 2i)^2 = i(a^2 + 4ai + (2i)^2) = i(a^2 + 4ai - 4) = ia^2 + 4ai^2 - 4i = ia^2 - 4a - 4i$.

$-(14 - 3ai) - 2 = -14 + 3ai - 2 = -16 + 3ai$.

Складывая эти части, получаем знаменатель:

$D = (ia^2 - 4a - 4i) + (-16 + 3ai) = (-4a - 16) + i(a^2 - 4 + 3a) = -4(a+4) + i(a^2+3a-4)$.

Разложим квадратный трехчлен на множители: $a^2+3a-4 = (a+4)(a-1)$.

$D = -4(a+4) + i(a+4)(a-1) = (a+4)(-4 + i(a-1))$.

Исходное выражение принимает вид: $Z = \frac{-a}{(a+4)(-4 + i(a-1))}$.

Дробь вида $\frac{R}{z}$, где $R$ — действительное число, а $z$ — комплексное, является действительным числом в двух случаях:

1. Числитель $R=0$.

2. Знаменатель $z$ является действительным числом (и не равен нулю).

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Числитель равен нулю.

$-a = 0 \Rightarrow a = 0$.

При $a=0$ знаменатель $D = (0+4)(-4 + i(0-1)) = 4(-4-i) = -16 - 4i \neq 0$.

Выражение $Z = \frac{0}{-16-4i} = 0$, что является действительным числом. Значит, $a=0$ — одно из решений.

Случай 2: Знаменатель является действительным числом.

Знаменатель $D = (a+4)(-4 + i(a-1))$ будет действительным, если его мнимая часть равна нулю.

$\text{Im}(D) = (a+4)(a-1) = 0$.

Это уравнение имеет два корня: $a = -4$ и $a = 1$.

Если $a = -4$, знаменатель $D = (-4+4)(-4 + i(-4-1)) = 0$. На ноль делить нельзя, поэтому $a=-4$ не является решением.

Если $a = 1$, знаменатель $D = (1+4)(-4 + i(1-1)) = 5(-4) = -20 \neq 0$.

При $a=1$ выражение $Z = \frac{-1}{-20} = \frac{1}{20}$, что является действительным числом. Значит, $a=1$ — также является решением.

Таким образом, выражение является действительным числом при $a=0$ и $a=1$.

Ответ: $a=0$ или $a=1$.

б)

Пусть дано выражение $Z = \frac{b : (\cos 22^\circ30' - i \sin 22^\circ30')^{16}}{i(3i - b)^2 - (3 - 8bi) - 3}$.

Знак ":" означает деление, поэтому выражение можно переписать в виде дроби:

$Z = \frac{b}{(\cos 22^\circ30' - i \sin 22^\circ30')^{16} \cdot [i(3i - b)^2 - (3 - 8bi) - 3]}$.

Условие — $Z$ должно быть действительным числом, то есть $\text{Im}(Z) = 0$.

Числитель дроби $N = b$ является действительным числом, так как по условию $b$ — действительное число.

Упростим знаменатель $D$. Он состоит из двух множителей.

Первый множитель: $D_1 = (\cos 22^\circ30' - i \sin 22^\circ30')^{16}$.

Представим комплексное число в скобках в тригонометрической форме, используя $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ и $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$:

$\cos 22^\circ30' - i \sin 22^\circ30' = \cos(-22^\circ30') + i \sin(-22^\circ30')$.

Угол $22^\circ30' = 22.5^\circ$. Применим формулу Муавра:

$D_1 = (\cos(-22.5^\circ) + i \sin(-22.5^\circ))^{16} = \cos(16 \cdot (-22.5^\circ)) + i \sin(16 \cdot (-22.5^\circ))$.

$16 \cdot (-22.5^\circ) = -360^\circ$.

$D_1 = \cos(-360^\circ) + i \sin(-360^\circ) = \cos(0^\circ) + i \sin(0^\circ) = 1 + 0i = 1$.

Второй множитель: $D_2 = i(3i - b)^2 - (3 - 8bi) - 3$.

Раскроем скобки и упростим:

$i(3i - b)^2 = i((3i)^2 - 2 \cdot 3i \cdot b + b^2) = i(-9 - 6bi + b^2) = -9i - 6bi^2 + b^2i = -9i + 6b + b^2i = 6b + i(b^2 - 9)$.

$-(3 - 8bi) - 3 = -3 + 8bi - 3 = -6 + 8bi$.

Сложим эти части:

$D_2 = (6b + i(b^2-9)) + (-6 + 8bi) = (6b-6) + i(b^2-9+8b) = 6(b-1) + i(b^2+8b-9)$.

Разложим квадратный трехчлен на множители: $b^2+8b-9 = (b-1)(b+9)$.

$D_2 = 6(b-1) + i(b-1)(b+9) = (b-1)(6 + i(b+9))$.

Знаменатель исходной дроби $D = D_1 \cdot D_2 = 1 \cdot (b-1)(6 + i(b+9)) = (b-1)(6 + i(b+9))$.

Выражение принимает вид: $Z = \frac{b}{(b-1)(6 + i(b+9))}$.

Так как числитель $b$ является действительным числом, то вся дробь будет действительным числом, если:

1. Числитель равен нулю, $b=0$.

2. Знаменатель является действительным числом (и не равен нулю).

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $b=0$.

При $b=0$ знаменатель $D = (0-1)(6 + i(0+9)) = -1(6+9i) = -6-9i \neq 0$.

Выражение $Z = \frac{0}{-6-9i} = 0$, что является действительным числом. Следовательно, $b=0$ — это решение.

Случай 2: Знаменатель является действительным числом.

$D = (b-1)(6 + i(b+9))$ будет действительным, если его мнимая часть равна нулю.

$\text{Im}(D) = (b-1)(b+9) = 0$.

Отсюда $b=1$ или $b=-9$.

Если $b=1$, знаменатель $D = (1-1)(6+i(1+9)) = 0$. На ноль делить нельзя, поэтому $b=1$ не является решением.

Если $b=-9$, знаменатель $D = (-9-1)(6+i(-9+9)) = -10(6) = -60 \neq 0$.

При $b=-9$ выражение $Z = \frac{-9}{-60} = \frac{3}{20}$, что является действительным числом. Следовательно, $b=-9$ — это решение.

Таким образом, выражение является действительным числом при $b=0$ и $b=-9$.

Ответ: $b=0$ или $b=-9$.