Страница 205, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

35.13. Вычислите:

а) $\sqrt{15 + 8i};$

б) $\sqrt{15 - 8i};$

в) $\sqrt{24 - 7i};$

г) $\sqrt{40 + 9i}.$

а)

Для вычисления квадратного корня из комплексного числа $15 + 8i$ будем искать его в виде $x + yi$, где $x$ и $y$ — действительные числа.

Пусть $\sqrt{15 + 8i} = x + yi$. Возведем обе части в квадрат:
$(x + yi)^2 = 15 + 8i$
$x^2 + 2xyi + (yi)^2 = 15 + 8i$
$x^2 - y^2 + 2xyi = 15 + 8i$

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:
$\begin{cases} x^2 - y^2 = 15 \\ 2xy = 8 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = \frac{8}{2x} = \frac{4}{x}$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 - (\frac{4}{x})^2 = 15$
$x^2 - \frac{16}{x^2} = 15$

Умножим обе части на $x^2$ (при условии, что $x \neq 0$, что следует из $2xy=8$):
$x^4 - 16 = 15x^2$
$x^4 - 15x^2 - 16 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$:
$t^2 - 15t - 16 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-15)^2 - 4(1)(-16) = 225 + 64 = 289 = 17^2$
$t_{1,2} = \frac{-(-15) \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{15 \pm 17}{2}$
$t_1 = \frac{15 + 17}{2} = 16$
$t_2 = \frac{15 - 17}{2} = -1$

Поскольку $t = x^2 \ge 0$, корень $t_2 = -1$ не подходит.
Итак, $x^2 = 16$, откуда $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 4$, то $y_1 = \frac{4}{x_1} = \frac{4}{4} = 1$.
Если $x_2 = -4$, то $y_2 = \frac{4}{x_2} = \frac{4}{-4} = -1$.

Таким образом, мы получили два значения для квадратного корня: $4 + i$ и $-4 - i$. Их можно записать как $\pm(4 + i)$.

Проверка: $(4+i)^2 = 16 + 8i + i^2 = 16 + 8i - 1 = 15 + 8i$.

Ответ: $\pm(4 + i)$.

б)

Для вычисления $\sqrt{15 - 8i}$ поступим аналогично. Пусть $\sqrt{15 - 8i} = x + yi$.

Тогда $(x + yi)^2 = 15 - 8i$, что приводит к системе уравнений:
$\begin{cases} x^2 - y^2 = 15 \\ 2xy = -8 \end{cases}$

Из второго уравнения $y = -\frac{4}{x}$. Подставляя в первое, получим:
$x^2 - (-\frac{4}{x})^2 = 15$
$x^2 - \frac{16}{x^2} = 15$
$x^4 - 15x^2 - 16 = 0$

Это то же биквадратное уравнение, что и в пункте а). Его действительные решения для $x$: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $y$, используя $y = -4/x$. Из $2xy=-8$ следует, что $x$ и $y$ имеют разные знаки.
Если $x_1 = 4$, то $y_1 = -\frac{4}{4} = -1$.
Если $x_2 = -4$, то $y_2 = -\frac{4}{-4} = 1$.

Получаем два значения корня: $4 - i$ и $-4 + i$. Это можно записать как $\pm(4 - i)$.

Отметим, что число $15 - 8i$ является комплексно-сопряженным к $15 + 8i$. Поэтому его корни являются комплексно-сопряженными к корням из $15 + 8i$. Корни из $15+8i$ это $\pm(4+i)$, сопряженные к ним это $\pm\overline{(4+i)} = \pm(4-i)$, что совпадает с нашим результатом.

Ответ: $\pm(4 - i)$.

в)

Вычислим $\sqrt{24 - 7i}$. Пусть $\sqrt{24 - 7i} = x + yi$.

Тогда $(x + yi)^2 = 24 - 7i$, и мы получаем систему:
$\begin{cases} x^2 - y^2 = 24 \\ 2xy = -7 \end{cases}$

Из второго уравнения $y = -\frac{7}{2x}$. Подставляем в первое:
$x^2 - (-\frac{7}{2x})^2 = 24$
$x^2 - \frac{49}{4x^2} = 24$

Умножаем на $4x^2$:
$4x^4 - 49 = 96x^2$
$4x^4 - 96x^2 - 49 = 0$

Решаем как квадратное уравнение относительно $t = x^2$:
$4t^2 - 96t - 49 = 0$
$D = (-96)^2 - 4(4)(-49) = 9216 + 784 = 10000 = 100^2$
$t_{1,2} = \frac{96 \pm 100}{8}$
$t_1 = \frac{196}{8} = \frac{49}{2}$
$t_2 = \frac{-4}{8} = -0.5$ (не подходит, так как $t=x^2 \ge 0$)

Итак, $x^2 = \frac{49}{2}$, откуда $x = \pm \sqrt{\frac{49}{2}} = \pm \frac{7}{\sqrt{2}} = \pm \frac{7\sqrt{2}}{2}$.

Находим $y = -\frac{7}{2x}$. Из $2xy=-7$ следует, что $x$ и $y$ имеют разные знаки.
Если $x_1 = \frac{7\sqrt{2}}{2}$, то $y_1 = -\frac{7}{2(\frac{7\sqrt{2}}{2})} = -\frac{7}{7\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Если $x_2 = -\frac{7\sqrt{2}}{2}$, то $y_2 = -\frac{7}{2(-\frac{7\sqrt{2}}{2})} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Корни: $\frac{7\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{7\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это можно записать как $\pm(\frac{7\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2})$ или, вынеся общий множитель, $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}(7 - i)$.

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}(7 - i)$.

г)

Вычислим $\sqrt{40 + 9i}$. Пусть $\sqrt{40 + 9i} = x + yi$.

Тогда $(x + yi)^2 = 40 + 9i$, и мы получаем систему:
$\begin{cases} x^2 - y^2 = 40 \\ 2xy = 9 \end{cases}$

Из второго уравнения $y = \frac{9}{2x}$. Подставляем в первое:
$x^2 - (\frac{9}{2x})^2 = 40$
$x^2 - \frac{81}{4x^2} = 40$

Умножаем на $4x^2$:
$4x^4 - 81 = 160x^2$
$4x^4 - 160x^2 - 81 = 0$

Решаем как квадратное уравнение относительно $t = x^2$:
$4t^2 - 160t - 81 = 0$
$D = (-160)^2 - 4(4)(-81) = 25600 + 1296 = 26896 = 164^2$
$t_{1,2} = \frac{160 \pm 164}{8}$
$t_1 = \frac{324}{8} = \frac{81}{2}$
$t_2 = \frac{-4}{8} = -0.5$ (не подходит)

Итак, $x^2 = \frac{81}{2}$, откуда $x = \pm \sqrt{\frac{81}{2}} = \pm \frac{9}{\sqrt{2}} = \pm \frac{9\sqrt{2}}{2}$.

Находим $y = \frac{9}{2x}$. Так как $2xy=9>0$, знаки $x$ и $y$ совпадают.
Если $x_1 = \frac{9\sqrt{2}}{2}$, то $y_1 = \frac{9}{2(\frac{9\sqrt{2}}{2})} = \frac{9}{9\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Если $x_2 = -\frac{9\sqrt{2}}{2}$, то $y_2 = \frac{9}{2(-\frac{9\sqrt{2}}{2})} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Корни: $\frac{9\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{9\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это можно записать как $\pm(\frac{9\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})$ или, вынеся общий множитель, $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}(9 + i)$.

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}(9 + i)$.

35.14. Изобразите на комплексной плоскости число $z$ и множество $\sqrt{z}$, если:

а) $|z| = 1, \arg(z) = \frac{\pi}{2}$;

б) $|z| = 4, \arg(z) = -\frac{\pi}{2}$;

в) $|z| = 9, \arg(z) = \frac{\pi}{3}$;

г) $|z| = 0,25, \arg(z) = -\frac{2\pi}{3}$.

Для решения задачи воспользуемся тригонометрической формой комплексного числа $z = |z|(\cos(\phi) + i\sin(\phi))$, где $|z|$ — модуль числа, а $\phi = \arg(z)$ — его аргумент. Корни n-ой степени из комплексного числа находятся по формуле Муавра: $w_k = \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|} \left( \cos\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k = 0, 1, \dots, n-1$. В нашем случае мы ищем квадратные корни, поэтому $n=2$ и $k=0, 1$. Это означает, что для каждого числа $z$ существует два квадратных корня, $w_0$ и $w_1$. Эти корни всегда симметричны относительно начала координат.

Дано: $|z| = 1$, $\arg(z) = \frac{\pi}{2}$.

Нахождение и изображение числа $z$.

Представим число $z$ в алгебраической форме: $z = 1 \cdot (\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})) = 1 \cdot (0 + i \cdot 1) = i$. На комплексной плоскости это точка с координатами $(0, 1)$, расположенная на положительной мнимой полуоси.

Нахождение и изображение множества $\sqrt{z}$.

Модуль корней: $|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|} = \sqrt{1} = 1$. Аргументы корней: $\psi_k = \frac{\arg(z) + 2\pi k}{2} = \frac{\pi/2 + 2\pi k}{2}$ для $k=0, 1$.

При $k=0$: $\psi_0 = \frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4}$. $w_0 = 1 \cdot (\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это точка с координатами $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, расположенная в первом квадранте.

При $k=1$: $\psi_1 = \frac{\pi/2 + 2\pi}{2} = \frac{5\pi/2}{2} = \frac{5\pi}{4}$. $w_1 = 1 \cdot (\cos(\frac{5\pi}{4}) + i\sin(\frac{5\pi}{4})) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это точка с координатами $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$, расположенная в третьем квадранте.

Точки $w_0$ и $w_1$ лежат на окружности радиуса 1 с центром в начале координат.

Ответ: Число $z=i$ изображается точкой $(0, 1)$. Множество $\sqrt{z}$ состоит из двух чисел: $w_0 = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ (точка $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$) и $w_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$ (точка $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$).

Дано: $|z| = 4$, $\arg(z) = -\frac{\pi}{2}$.

Нахождение и изображение числа $z$.

$z = 4 \cdot (\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2})) = 4 \cdot (0 - i \cdot 1) = -4i$. На комплексной плоскости это точка с координатами $(0, -4)$, расположенная на отрицательной мнимой полуоси.

Нахождение и изображение множества $\sqrt{z}$.

Модуль корней: $|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|} = \sqrt{4} = 2$. Аргументы корней: $\psi_k = \frac{-\pi/2 + 2\pi k}{2}$ для $k=0, 1$.

При $k=0$: $\psi_0 = \frac{-\pi/2}{2} = -\frac{\pi}{4}$. $w_0 = 2 \cdot (\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})) = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} - i\sqrt{2}$. Это точка с координатами $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$, расположенная в четвертом квадранте.

При $k=1$: $\psi_1 = \frac{-\pi/2 + 2\pi}{2} = \frac{3\pi/2}{2} = \frac{3\pi}{4}$. $w_1 = 2 \cdot (\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4})) = 2(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} + i\sqrt{2}$. Это точка с координатами $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$, расположенная во втором квадранте.

Точки $w_0$ и $w_1$ лежат на окружности радиуса 2 с центром в начале координат.

Ответ: Число $z=-4i$ изображается точкой $(0, -4)$. Множество $\sqrt{z}$ состоит из двух чисел: $w_0 = \sqrt{2} - i\sqrt{2}$ (точка $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$) и $w_1 = -\sqrt{2} + i\sqrt{2}$ (точка $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$).

Дано: $|z| = 9$, $\arg(z) = \frac{\pi}{3}$.

Нахождение и изображение числа $z$.

$z = 9 \cdot (\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})) = 9(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{9}{2} + i\frac{9\sqrt{3}}{2}$. На комплексной плоскости это точка с координатами $(\frac{9}{2}, \frac{9\sqrt{3}}{2})$, расположенная в первом квадранте.

Нахождение и изображение множества $\sqrt{z}$.

Модуль корней: $|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|} = \sqrt{9} = 3$. Аргументы корней: $\psi_k = \frac{\pi/3 + 2\pi k}{2}$ для $k=0, 1$.

При $k=0$: $\psi_0 = \frac{\pi/3}{2} = \frac{\pi}{6}$. $w_0 = 3 \cdot (\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6})) = 3(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} + i\frac{3}{2}$. Это точка с координатами $(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$, расположенная в первом квадранте.

При $k=1$: $\psi_1 = \frac{\pi/3 + 2\pi}{2} = \frac{7\pi/3}{2} = \frac{7\pi}{6}$. $w_1 = 3 \cdot (\cos(\frac{7\pi}{6}) + i\sin(\frac{7\pi}{6})) = 3(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} - i\frac{3}{2}$. Это точка с координатами $(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2})$, расположенная в третьем квадранте.

Точки $w_0$ и $w_1$ лежат на окружности радиуса 3 с центром в начале координат.

Ответ: Число $z = \frac{9}{2} + i\frac{9\sqrt{3}}{2}$ изображается точкой $(\frac{9}{2}, \frac{9\sqrt{3}}{2})$. Множество $\sqrt{z}$ состоит из двух чисел: $w_0 = \frac{3\sqrt{3}}{2} + i\frac{3}{2}$ (точка $(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$) и $w_1 = -\frac{3\sqrt{3}}{2} - i\frac{3}{2}$ (точка $(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2})$).

Дано: $|z| = 0.25$, $\arg(z) = -\frac{2\pi}{3}$.

Нахождение и изображение числа $z$.

$z = 0.25 \cdot (\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3})) = \frac{1}{4}(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{8} - i\frac{\sqrt{3}}{8}$. На комплексной плоскости это точка с координатами $(-\frac{1}{8}, -\frac{\sqrt{3}}{8})$, расположенная в третьем квадранте.

Нахождение и изображение множества $\sqrt{z}$.

Модуль корней: $|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|} = \sqrt{0.25} = 0.5 = \frac{1}{2}$. Аргументы корней: $\psi_k = \frac{-2\pi/3 + 2\pi k}{2}$ для $k=0, 1$.

При $k=0$: $\psi_0 = \frac{-2\pi/3}{2} = -\frac{\pi}{3}$. $w_0 = 0.5 \cdot (\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3})) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{3}}{4}$. Это точка с координатами $(\frac{1}{4}, -\frac{\sqrt{3}}{4})$, расположенная в четвертом квадранте.

При $k=1$: $\psi_1 = \frac{-2\pi/3 + 2\pi}{2} = \frac{4\pi/3}{2} = \frac{2\pi}{3}$. $w_1 = 0.5 \cdot (\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{3}}{4}$. Это точка с координатами $(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$, расположенная во втором квадранте.

Точки $w_0$ и $w_1$ лежат на окружности радиуса 0.5 с центром в начале координат.

Ответ: Число $z = -\frac{1}{8} - i\frac{\sqrt{3}}{8}$ изображается точкой $(-\frac{1}{8}, -\frac{\sqrt{3}}{8})$. Множество $\sqrt{z}$ состоит из двух чисел: $w_0 = \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{3}}{4}$ (точка $(\frac{1}{4}, -\frac{\sqrt{3}}{4})$) и $w_1 = -\frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{3}}{4}$ (точка $(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$).

35.15. Изобразите на комплексной плоскости число z и множество $\sqrt{z}$, если:

а) $|z|=1, \arg(z)=\frac{\pi}{4};$

б) $|z|=4, \arg(z)=-\frac{\pi}{4};$

в) $|z|=9, \arg(z)=-\frac{3\pi}{4};$

г) $|z|=0,25, \arg(z)=-\frac{9\pi}{10}.$

Для решения задачи воспользуемся формулой для извлечения корня $n$-ой степени из комплексного числа (в данном случае $n=2$). Если комплексное число $z$ представлено в тригонометрической форме $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$, где $r = |z|$ — модуль, а $\phi = \arg(z)$ — аргумент, то его квадратные корни (множество $\sqrt{z}$) находятся по формуле:

$w_k = \sqrt{r} \left( \cos\frac{\phi + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{\phi + 2\pi k}{2} \right)$, где $k=0, 1$.

Это дает два корня, $w_0$ и $w_1$:

• Корень $w_0$ (при $k=0$): $|w_0| = \sqrt{|z|}$, $\arg(w_0) = \frac{\arg(z)}{2}$.
• Корень $w_1$ (при $k=1$): $|w_1| = \sqrt{|z|}$, $\arg(w_1) = \frac{\arg(z) + 2\pi}{2} = \frac{\arg(z)}{2} + \pi$.

Таким образом, оба корня лежат на одной окружности с радиусом $\sqrt{|z|}$, проведенной из начала координат, и являются диаметрально противоположными точками на этой окружности.

а) Дано комплексное число $z$ с модулем $|z| = 1$ и аргументом $\arg(z) = \frac{\pi}{4}$.

Изображение числа $z$: на комплексной плоскости это точка, лежащая на окружности единичного радиуса (с центром в начале координат) под углом $\frac{\pi}{4}$ (45°) к положительному направлению действительной оси.

Для нахождения множества $\sqrt{z}$ определим модуль и аргументы корней:

Модуль корней: $|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|} = \sqrt{1} = 1$.

Аргументы корней:

$\arg(w_0) = \frac{\arg(z)}{2} = \frac{\pi/4}{2} = \frac{\pi}{8}$ (22.5°).

$\arg(w_1) = \frac{\pi}{8} + \pi = \frac{9\pi}{8}$ (202.5°).

Изображение множества $\sqrt{z}$: это две точки, $w_0$ и $w_1$, которые лежат на той же единичной окружности, что и $z$. Точка $w_0$ находится под углом $\frac{\pi}{8}$, а точка $w_1$ — диаметрально противоположна ей, под углом $\frac{9\pi}{8}$.

Ответ: Число $z$ изображается точкой на единичной окружности под углом $\frac{\pi}{4}$. Множество $\sqrt{z}$ изображается двумя диаметрально противоположными точками на той же единичной окружности, расположенными под углами $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{9\pi}{8}$ к положительному направлению действительной оси.

б) Дано комплексное число $z$ с модулем $|z| = 4$ и аргументом $\arg(z) = -\frac{\pi}{4}$.

Изображение числа $z$: на комплексной плоскости это точка, лежащая на окружности радиуса 4 (с центром в начале координат) под углом $-\frac{\pi}{4}$ (-45°) к положительному направлению действительной оси.

Для нахождения множества $\sqrt{z}$ определим модуль и аргументы корней:

Модуль корней: $|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|} = \sqrt{4} = 2$.

Аргументы корней:

$\arg(w_0) = \frac{\arg(z)}{2} = \frac{-\pi/4}{2} = -\frac{\pi}{8}$ (-22.5°).

$\arg(w_1) = -\frac{\pi}{8} + \pi = \frac{7\pi}{8}$ (157.5°).

Изображение множества $\sqrt{z}$: это две точки, $w_0$ и $w_1$, которые лежат на окружности радиуса 2. Точка $w_0$ находится под углом $-\frac{\pi}{8}$, а точка $w_1$ — диаметрально противоположна ей, под углом $\frac{7\pi}{8}$.

Ответ: Число $z$ изображается точкой на окружности радиуса 4 под углом $-\frac{\pi}{4}$. Множество $\sqrt{z}$ изображается двумя диаметрально противоположными точками на окружности радиуса 2, расположенными под углами $-\frac{\pi}{8}$ и $\frac{7\pi}{8}$ к положительному направлению действительной оси.

в) Дано комплексное число $z$ с модулем $|z| = 9$ и аргументом $\arg(z) = -\frac{3\pi}{4}$.

Изображение числа $z$: на комплексной плоскости это точка, лежащая на окружности радиуса 9 под углом $-\frac{3\pi}{4}$ (-135°) к положительному направлению действительной оси.

Для нахождения множества $\sqrt{z}$ определим модуль и аргументы корней:

Модуль корней: $|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|} = \sqrt{9} = 3$.

Аргументы корней:

$\arg(w_0) = \frac{\arg(z)}{2} = \frac{-3\pi/4}{2} = -\frac{3\pi}{8}$ (-67.5°).

$\arg(w_1) = -\frac{3\pi}{8} + \pi = \frac{5\pi}{8}$ (112.5°).

Изображение множества $\sqrt{z}$: это две точки, $w_0$ и $w_1$, которые лежат на окружности радиуса 3. Точка $w_0$ находится под углом $-\frac{3\pi}{8}$, а точка $w_1$ — диаметрально противоположна ей, под углом $\frac{5\pi}{8}$.

Ответ: Число $z$ изображается точкой на окружности радиуса 9 под углом $-\frac{3\pi}{4}$. Множество $\sqrt{z}$ изображается двумя диаметрально противоположными точками на окружности радиуса 3, расположенными под углами $-\frac{3\pi}{8}$ и $\frac{5\pi}{8}$ к положительному направлению действительной оси.

г) Дано комплексное число $z$ с модулем $|z| = 0,25$ и аргументом $\arg(z) = -\frac{9\pi}{10}$.

Изображение числа $z$: на комплексной плоскости это точка, лежащая на окружности радиуса 0,25 под углом $-\frac{9\pi}{10}$ (-162°) к положительному направлению действительной оси.

Для нахождения множества $\sqrt{z}$ определим модуль и аргументы корней:

Модуль корней: $|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|} = \sqrt{0,25} = 0,5$.

Аргументы корней:

$\arg(w_0) = \frac{\arg(z)}{2} = \frac{-9\pi/10}{2} = -\frac{9\pi}{20}$ (-81°).

$\arg(w_1) = -\frac{9\pi}{20} + \pi = \frac{11\pi}{20}$ (99°).

Изображение множества $\sqrt{z}$: это две точки, $w_0$ и $w_1$, которые лежат на окружности радиуса 0,5. Точка $w_0$ находится под углом $-\frac{9\pi}{20}$, а точка $w_1$ — диаметрально противоположна ей, под углом $\frac{11\pi}{20}$.

Ответ: Число $z$ изображается точкой на окружности радиуса 0,25 под углом $-\frac{9\pi}{10}$. Множество $\sqrt{z}$ изображается двумя диаметрально противоположными точками на окружности радиуса 0,5, расположенными под углами $-\frac{9\pi}{20}$ и $\frac{11\pi}{20}$ к положительному направлению действительной оси.

35.16. Изобразите на комплексной плоскости множество $\sqrt{z}$, если:

а) $|z| = 1, 0 \leqslant \arg(z) \leqslant \frac{\pi}{2}$;

в) $|z| = 1, -\frac{2\pi}{3} \leqslant \arg(z) \leqslant 0$;

б) $|z| = 1, 0 < \arg(z) < \pi;$

г) $|z| = 1, -\frac{\pi}{4} \leqslant \arg(z) \leqslant \pi$.

Для решения задачи представим комплексное число $z$ в тригонометрической (показательной) форме: $z = r(\cos \phi + i \sin \phi) = re^{i\phi}$, где $r = |z|$ — модуль числа, а $\phi = \arg(z)$ — его аргумент.Корень квадратный из комплексного числа $z$ имеет два значения, которые находятся по формуле Муавра:$w_k = \sqrt[2]{z} = \sqrt{r} \left( \cos\frac{\phi + 2\pi k}{2} + i \sin\frac{\phi + 2\pi k}{2} \right) = \sqrt{r} e^{i(\frac{\phi}{2} + \pi k)}$, где $k = 0, 1$.Таким образом, для каждого числа $z$ из заданного множества мы получим два числа $w_0$ и $w_1$, которые и образуют искомое множество $\sqrt{z}$. Эти два числа симметричны относительно начала координат ($w_1 = -w_0$).Из формулы следует, что модуль нового числа $|w_k| = \sqrt{|z|}$, а его аргументы равны $\arg(w_0) = \frac{\arg(z)}{2}$ и $\arg(w_1) = \frac{\arg(z)}{2} + \pi$.Во всех вариантах задачи дано, что $|z|=1$, следовательно, для искомого множества точек $w$ будет выполняться $|w| = \sqrt{1} = 1$. Это означает, что все искомые точки лежат на единичной окружности с центром в начале координат.

а) Задано множество точек $z$, для которых $|z|=1$ и $0 \le \arg(z) \le \frac{\pi}{2}$. Это дуга единичной окружности в первом квадранте, включая концы. Пусть $\phi = \arg(z)$, тогда $0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}$. Аргументы $\theta = \arg(w)$ для точек искомого множества $w = \sqrt{z}$ будут находиться в двух диапазонах:

1. Для $k=0$: $\theta_0 = \frac{\phi}{2}$. Так как $0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}$, то $0 \le \theta_0 \le \frac{\pi}{4}$. Это дуга единичной окружности от точки $w=1$ (при $\phi=0$) до точки $w=e^{i\pi/4} = \cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ (при $\phi=\frac{\pi}{2}$).

2. Для $k=1$: $\theta_1 = \frac{\phi}{2} + \pi$. Так как $0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}$, то $\pi \le \theta_1 \le \frac{\pi}{2 \cdot 2} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. Это дуга единичной окружности от точки $w=-1$ (при $\phi=0$) до точки $w=e^{i5\pi/4} = \cos(\frac{5\pi}{4}) + i\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$ (при $\phi=\frac{\pi}{2}$).

Искомое множество — это объединение этих двух замкнутых дуг.

Ответ: Объединение двух дуг единичной окружности, включая концы: дуги от $1$ до $e^{i\pi/4}$ и дуги от $-1$ до $e^{i5\pi/4}$.

б) Задано множество точек $z$, для которых $|z|=1$ и $0 < \arg(z) < \pi$. Это верхняя полуокружность единичной окружности без концов. Пусть $\phi = \arg(z)$, тогда $0 < \phi < \pi$. Аргументы $\theta = \arg(w)$ для точек искомого множества $w = \sqrt{z}$ будут находиться в двух диапазонах:

1. Для $k=0$: $\theta_0 = \frac{\phi}{2}$. Так как $0 < \phi < \pi$, то $0 < \theta_0 < \frac{\pi}{2}$. Это дуга единичной окружности в первом квадранте, не включая концы $w=1$ и $w=i$.

2. Для $k=1$: $\theta_1 = \frac{\phi}{2} + \pi$. Так как $0 < \phi < \pi$, то $\pi < \theta_1 < \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$. Это дуга единичной окружности в третьем квадранте, не включая концы $w=-1$ и $w=-i$.

Искомое множество — это объединение этих двух открытых дуг.

Ответ: Объединение двух дуг единичной окружности, не включающих концы: дуги в первом квадранте (между $1$ и $i$) и дуги в третьем квадранте (между $-1$ и $-i$).

в) Задано множество точек $z$, для которых $|z|=1$ и $-\frac{2\pi}{3} \le \arg(z) \le 0$. Это дуга единичной окружности в четвертом квадранте, включая концы. Пусть $\phi = \arg(z)$, тогда $-\frac{2\pi}{3} \le \phi \le 0$. Аргументы $\theta = \arg(w)$ для точек искомого множества $w = \sqrt{z}$ будут находиться в двух диапазонах:

1. Для $k=0$: $\theta_0 = \frac{\phi}{2}$. Так как $-\frac{2\pi}{3} \le \phi \le 0$, то $-\frac{\pi}{3} \le \theta_0 \le 0$. Это дуга единичной окружности в четвертом квадранте от точки $w=e^{-i\pi/3} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ до точки $w=1$.

2. Для $k=1$: $\theta_1 = \frac{\phi}{2} + \pi$. Так как $-\frac{2\pi}{3} \le \phi \le 0$, то $-\frac{\pi}{3} + \pi \le \theta_1 \le \pi$, то есть $\frac{2\pi}{3} \le \theta_1 \le \pi$. Это дуга единичной окружности во втором квадранте от точки $w=e^{i2\pi/3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ до точки $w=-1$.

Искомое множество — это объединение этих двух замкнутых дуг.

Ответ: Объединение двух дуг единичной окружности, включая концы: дуги от $e^{-i\pi/3}$ до $1$ и дуги от $e^{i2\pi/3}$ до $-1$.

г) Задано множество точек $z$, для которых $|z|=1$ и $-\frac{\pi}{4} \le \arg(z) \le \pi$. Это дуга единичной окружности, идущая от угла $-\frac{\pi}{4}$ до угла $\pi$. Пусть $\phi = \arg(z)$, тогда $-\frac{\pi}{4} \le \phi \le \pi$. Аргументы $\theta = \arg(w)$ для точек искомого множества $w = \sqrt{z}$ будут находиться в двух диапазонах:

1. Для $k=0$: $\theta_0 = \frac{\phi}{2}$. Так как $-\frac{\pi}{4} \le \phi \le \pi$, то $-\frac{\pi}{8} \le \theta_0 \le \frac{\pi}{2}$. Это дуга единичной окружности от точки $w=e^{-i\pi/8}$ до точки $w=e^{i\pi/2}=i$.

2. Для $k=1$: $\theta_1 = \frac{\phi}{2} + \pi$. Так как $-\frac{\pi}{4} \le \phi \le \pi$, то $-\frac{\pi}{8} + \pi \le \theta_1 \le \frac{\pi}{2} + \pi$, то есть $\frac{7\pi}{8} \le \theta_1 \le \frac{3\pi}{2}$. Это дуга единичной окружности от точки $w=e^{i7\pi/8}$ до точки $w=e^{i3\pi/2}=-i$.

Искомое множество — это объединение этих двух замкнутых дуг.

Ответ: Объединение двух дуг единичной окружности, включая концы: дуги от $e^{-i\pi/8}$ до $i$ и дуги от $e^{i7\pi/8}$ до $-i$.

35.17. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

a) $1 + i$ и $2 - i$;

б) $2 + i$ и $3 - 2i$;

в) $1 + 2i$ и $7 - 2i$;

г) $5 + 4i$ и $4 - 5i$.

Чтобы составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа $z_1$ и $z_2$, используется формула, основанная на теореме Виета для приведенного квадратного уравнения (когда коэффициент при $z^2$ равен 1): $z^2 - (z_1 + z_2)z + z_1 z_2 = 0$.

Для каждого случая необходимо найти сумму и произведение заданных корней и подставить их в эту формулу.

а)

Даны корни $z_1 = 1 + i$ и $z_2 = 2 - i$.

Найдем сумму корней:

$z_1 + z_2 = (1 + i) + (2 - i) = 1 + 2 + i - i = 3$.

Найдем произведение корней (учитывая, что $i^2 = -1$):

$z_1 \cdot z_2 = (1 + i)(2 - i) = 1 \cdot 2 - 1 \cdot i + i \cdot 2 - i^2 = 2 - i + 2i - (-1) = 3 + i$.

Подставляем найденные значения в формулу квадратного уравнения:

$z^2 - (3)z + (3 + i) = 0$.

Ответ: $z^2 - 3z + 3 + i = 0$.

б)

Даны корни $z_1 = 2 + i$ и $z_2 = 3 - 2i$.

Найдем сумму корней:

$z_1 + z_2 = (2 + i) + (3 - 2i) = 2 + 3 + i - 2i = 5 - i$.

Найдем произведение корней:

$z_1 \cdot z_2 = (2 + i)(3 - 2i) = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2i + i \cdot 3 - 2i^2 = 6 - 4i + 3i - 2(-1) = 6 - i + 2 = 8 - i$.

Подставляем найденные значения в формулу квадратного уравнения:

$z^2 - (5 - i)z + (8 - i) = 0$.

Ответ: $z^2 - (5 - i)z + 8 - i = 0$.

в)

Даны корни $z_1 = 1 + 2i$ и $z_2 = 7 - 2i$.

Найдем сумму корней:

$z_1 + z_2 = (1 + 2i) + (7 - 2i) = 1 + 7 + 2i - 2i = 8$.

Найдем произведение корней:

$z_1 \cdot z_2 = (1 + 2i)(7 - 2i) = 1 \cdot 7 - 1 \cdot 2i + 2i \cdot 7 - 4i^2 = 7 - 2i + 14i - 4(-1) = 7 + 12i + 4 = 11 + 12i$.

Подставляем найденные значения в формулу квадратного уравнения:

$z^2 - (8)z + (11 + 12i) = 0$.

Ответ: $z^2 - 8z + 11 + 12i = 0$.

г)

Даны корни $z_1 = 5 + 4i$ и $z_2 = 4 - 5i$.

Найдем сумму корней:

$z_1 + z_2 = (5 + 4i) + (4 - 5i) = 5 + 4 + 4i - 5i = 9 - i$.

Найдем произведение корней:

$z_1 \cdot z_2 = (5 + 4i)(4 - 5i) = 5 \cdot 4 - 5 \cdot 5i + 4i \cdot 4 - 4i \cdot 5i = 20 - 25i + 16i - 20i^2 = 20 - 9i - 20(-1) = 20 - 9i + 20 = 40 - 9i$.

Подставляем найденные значения в формулу квадратного уравнения:

$z^2 - (9 - i)z + (40 - 9i) = 0$.

Ответ: $z^2 - (9 - i)z + 40 - 9i = 0$.

35.18. Решите уравнение:

а) $z^2 - 2iz = 0;$

б) $z^2 + 4iz = 0;$

В) $z^2 - 3z + 3 + i = 0;$

Г) $z^2 - 8z + 11 + 12i = 0.$

Дано уравнение $z^2 - 2iz = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $z$ за скобки:

$z(z - 2i) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$z_1 = 0$

$z - 2i = 0 \Rightarrow z_2 = 2i$

Ответ: $z_1 = 0; z_2 = 2i$.

Дано уравнение $z^2 + 4iz = 0$.

Это также неполное квадратное уравнение. Вынесем $z$ за скобки:

$z(z + 4i) = 0$

Приравнивая каждый множитель к нулю, находим корни:

$z_1 = 0$

$z + 4i = 0 \Rightarrow z_2 = -4i$

Ответ: $z_1 = 0; z_2 = -4i$.

Дано уравнение $z^2 - 3z + 3 + i = 0$.

Это полное квадратное уравнение вида $az^2+bz+c=0$ с коэффициентами $a=1$, $b=-3$, $c=3+i$.

Найдем дискриминант по формуле $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3+i) = 9 - 12 - 4i = -3 - 4i$.

Теперь нужно извлечь квадратный корень из комплексного числа $\Delta = -3 - 4i$. Пусть $\sqrt{-3 - 4i} = x+yi$. Тогда $(x+yi)^2 = -3-4i$, что равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -3 \\ 2xy = -4 \end{cases}$

Из второго уравнения выражаем $y = -2/x$ и подставляем в первое:

$x^2 - (-2/x)^2 = -3 \Rightarrow x^2 - 4/x^2 = -3 \Rightarrow x^4 + 3x^2 - 4 = 0$.

Пусть $t=x^2$, $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение $t^2+3t-4=0$. Его корни $t_1=1$ и $t_2=-4$. Так как $t \ge 0$, подходит только $t=1$.

Тогда $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

Если $x=1$, то $y = -2/1 = -2$.

Если $x=-1$, то $y = -2/(-1) = 2$.

Таким образом, квадратные корни из дискриминанта равны $\pm(1-2i)$.

Находим корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$z_{1,2} = \frac{3 \pm (1-2i)}{2}$

$z_1 = \frac{3 + (1-2i)}{2} = \frac{4 - 2i}{2} = 2 - i$

$z_2 = \frac{3 - (1-2i)}{2} = \frac{3 - 1 + 2i}{2} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i$

Ответ: $z_1 = 2 - i; z_2 = 1 + i$.

Дано уравнение $z^2 - 8z + 11 + 12i = 0$.

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-8$, $c=11+12i$.

Найдем дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (11+12i) = 64 - 44 - 48i = 20 - 48i$.

Извлечем квадратный корень из $\Delta = 20 - 48i$. Пусть $\sqrt{20 - 48i} = x+yi$. Тогда $(x+yi)^2 = 20-48i$, что приводит к системе:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 20 \\ 2xy = -48 \end{cases}$

Из второго уравнения $y = -24/x$. Подставляем в первое:

$x^2 - (-24/x)^2 = 20 \Rightarrow x^2 - 576/x^2 = 20 \Rightarrow x^4 - 20x^2 - 576 = 0$.

Пусть $t=x^2$, $t \ge 0$. Уравнение $t^2 - 20t - 576 = 0$. Его корни $t = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4(1)(-576)}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{400+2304}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{2704}}{2} = \frac{20 \pm 52}{2}$.

Получаем $t_1=36$ и $t_2=-16$. Подходит только $t=36$.

Тогда $x^2 = 36 \Rightarrow x = \pm 6$.

Если $x=6$, то $y = -24/6 = -4$.

Если $x=-6$, то $y = -24/(-6) = 4$.

Следовательно, квадратные корни из дискриминанта равны $\pm(6-4i)$.

Находим корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$z_{1,2} = \frac{-(-8) \pm (6-4i)}{2} = \frac{8 \pm (6-4i)}{2}$

$z_1 = \frac{8 + (6-4i)}{2} = \frac{14 - 4i}{2} = 7 - 2i$

$z_2 = \frac{8 - (6-4i)}{2} = \frac{8 - 6 + 4i}{2} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i$

Ответ: $z_1 = 7 - 2i; z_2 = 1 + 2i$.

35.19. Найдите те значения параметра $a$, при которых:

а) уравнение $z^2 - 2z + a = 0$ имеет корень $z = i;$

б) уравнение $z^2 - 8iz + a = 0$ имеет корень $z = 3 - i;$

в) уравнение $z^2 + 6z + a = 0$ имеет корень $z = -i;$

г) уравнение $z^2 + 10iz + a = 0$ имеет корень $z = -10 + i.$

Для нахождения значения параметра $a$ в каждом случае необходимо подставить данный корень $z$ в соответствующее уравнение и решить полученное уравнение относительно $a$.

а) уравнение $z^2 - 2z + a = 0$ имеет корень $z = i$;

Подставляем $z = i$ в уравнение:

$(i)^2 - 2(i) + a = 0$

Так как $i^2 = -1$, получаем:

$-1 - 2i + a = 0$

Выражаем $a$:

$a = 1 + 2i$

Ответ: $a = 1 + 2i$

б) уравнение $z^2 - 8iz + a = 0$ имеет корень $z = 3 - i$;

Подставляем $z = 3 - i$ в уравнение:

$(3 - i)^2 - 8i(3 - i) + a = 0$

Раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат:

$(3 - i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot i + i^2 = 9 - 6i - 1 = 8 - 6i$

Теперь умножим второе слагаемое:

$-8i(3 - i) = -24i + 8i^2 = -24i - 8$

Подставим полученные результаты в исходное уравнение:

$(8 - 6i) + (-8 - 24i) + a = 0$

$8 - 6i - 8 - 24i + a = 0$

Приводим подобные члены:

$-30i + a = 0$

Отсюда находим $a$:

$a = 30i$

Ответ: $a = 30i$

в) уравнение $z^2 + 6z + a = 0$ имеет корень $z = -i$;

Подставляем $z = -i$ в уравнение:

$(-i)^2 + 6(-i) + a = 0$

Так как $(-i)^2 = i^2 = -1$, получаем:

$-1 - 6i + a = 0$

Выражаем $a$:

$a = 1 + 6i$

Ответ: $a = 1 + 6i$

г) уравнение $z^2 + 10iz + a = 0$ имеет корень $z = -10 + i$.

Подставляем $z = -10 + i$ в уравнение:

$(-10 + i)^2 + 10i(-10 + i) + a = 0$

Раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат:

$(-10 + i)^2 = (-10)^2 + 2(-10)i + i^2 = 100 - 20i - 1 = 99 - 20i$

Теперь умножим второе слагаемое:

$10i(-10 + i) = -100i + 10i^2 = -100i - 10$

Подставим полученные результаты в исходное уравнение:

$(99 - 20i) + (-10 - 100i) + a = 0$

$99 - 20i - 10 - 100i + a = 0$

Приводим подобные члены:

$(99 - 10) + (-20i - 100i) + a = 0$

$89 - 120i + a = 0$

Отсюда находим $a$:

$a = -89 + 120i$

Ответ: $a = -89 + 120i$

D35.20. Найдите те значения параметра $a$, при которых:

a) уравнение $z^2 + az + 5 = 0$ имеет корень $i$;

б) уравнение $z^2 + az + 13 = 0$ имеет корень $-2i$;

в) уравнение $z^2 + az + 24i = 0$ имеет корень $1 + i$;

г) уравнение $z^2 + az + 1 + i = 0$ имеет корень $-3 + 2i$.

а) Для того чтобы найти значение параметра $a$, при котором уравнение $z^2 + az + 5 = 0$ имеет корень $z = i$, необходимо подставить это значение корня в уравнение.

Подставляем $z = i$:

$i^2 + a \cdot i + 5 = 0$

Поскольку $i^2 = -1$, уравнение принимает вид:

$-1 + ai + 5 = 0$

Упрощаем выражение:

$4 + ai = 0$

Теперь выразим $a$:

$ai = -4$

$a = \frac{-4}{i}$

Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $i$:

$a = \frac{-4 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{-4i}{i^2} = \frac{-4i}{-1} = 4i$

Ответ: $a = 4i$

б) Дано уравнение $z^2 + az + 13 = 0$ и корень $z = -2i$. Подставим значение корня в уравнение.

$(-2i)^2 + a(-2i) + 13 = 0$

Вычислим квадрат корня: $(-2i)^2 = 4i^2 = 4(-1) = -4$.

Подставляем полученное значение обратно в уравнение:

$-4 - 2ai + 13 = 0$

Упрощаем:

$9 - 2ai = 0$

Выражаем $a$:

$2ai = 9$

$a = \frac{9}{2i}$

Избавляемся от мнимой единицы в знаменателе:

$a = \frac{9 \cdot i}{2i \cdot i} = \frac{9i}{2i^2} = \frac{9i}{2(-1)} = -\frac{9}{2}i$

Ответ: $a = -\frac{9}{2}i$

в) Дано уравнение $z^2 + az + 24i = 0$ и корень $z = 1 + i$. Подставим значение корня в уравнение.

$(1 + i)^2 + a(1 + i) + 24i = 0$

Вычислим квадрат корня: $(1 + i)^2 = 1^2 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

Подставляем полученное значение в уравнение:

$2i + a(1 + i) + 24i = 0$

Упрощаем:

$a(1 + i) + 26i = 0$

Выражаем $a$:

$a(1 + i) = -26i$

$a = \frac{-26i}{1 + i}$

Для упрощения дроби умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $1 - i$:

$a = \frac{-26i(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{-26i + 26i^2}{1^2 - i^2} = \frac{-26i - 26}{1 - (-1)} = \frac{-26 - 26i}{2}$

Разделим числитель на знаменатель:

$a = -13 - 13i$

Ответ: $a = -13 - 13i$

г) Дано уравнение $z^2 + az + 1 + i = 0$ и корень $z = -3 + 2i$. Подставим значение корня в уравнение.

$(-3 + 2i)^2 + a(-3 + 2i) + 1 + i = 0$

Вычислим квадрат корня: $(-3 + 2i)^2 = (-3)^2 + 2(-3)(2i) + (2i)^2 = 9 - 12i + 4i^2 = 9 - 12i - 4 = 5 - 12i$.

Подставляем полученное значение в уравнение:

$(5 - 12i) + a(-3 + 2i) + 1 + i = 0$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$a(-3 + 2i) + (5 + 1) + (-12i + i) = 0$

$a(-3 + 2i) + 6 - 11i = 0$

Выражаем $a$:

$a(-3 + 2i) = -6 + 11i$

$a = \frac{-6 + 11i}{-3 + 2i}$

Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $-3 - 2i$:

$a = \frac{(-6 + 11i)(-3 - 2i)}{(-3 + 2i)(-3 - 2i)} = \frac{18 + 12i - 33i - 22i^2}{(-3)^2 - (2i)^2} = \frac{18 - 21i - 22(-1)}{9 - 4(-1)} = \frac{18 - 21i + 22}{9 + 4} = \frac{40 - 21i}{13}$

Представим ответ в алгебраической форме:

$a = \frac{40}{13} - \frac{21}{13}i$

Ответ: $a = \frac{40}{13} - \frac{21}{13}i$