Страница 211, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

По заданной формуле n-го члена вычислите первые пять членов последовательности ($y_n$):

37.6. а) $y_n = \sin \frac{n\pi}{2} - \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}(2n + 1);$

б) $y_n = \cos \frac{n\pi}{2} + \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}(2n + 1);$

в) $y_n = n \sin \frac{n\pi}{2} + n^2 \cos \frac{n\pi}{2};$

г) $y_n = \sin \frac{n\pi}{4} - n \cos \frac{n\pi}{4}.$

а) $y_n = \sin\frac{n\pi}{2} - \operatorname{ctg}\frac{\pi(2n + 1)}{4}$

Вычислим первые пять членов последовательности, подставляя n = 1, 2, 3, 4, 5:

При n = 1: $y_1 = \sin\frac{\pi}{2} - \operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4} = 1 - (-1) = 2$.

При n = 2: $y_2 = \sin\frac{2\pi}{2} - \operatorname{ctg}\frac{5\pi}{4} = \sin\pi - \operatorname{ctg}(\pi + \frac{\pi}{4}) = 0 - 1 = -1$.

При n = 3: $y_3 = \sin\frac{3\pi}{2} - \operatorname{ctg}\frac{7\pi}{4} = -1 - \operatorname{ctg}(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -1 - (-1) = 0$.

При n = 4: $y_4 = \sin\frac{4\pi}{2} - \operatorname{ctg}\frac{9\pi}{4} = \sin(2\pi) - \operatorname{ctg}(2\pi + \frac{\pi}{4}) = 0 - 1 = -1$.

При n = 5: $y_5 = \sin\frac{5\pi}{2} - \operatorname{ctg}\frac{11\pi}{4} = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) - \operatorname{ctg}(2\pi + \frac{3\pi}{4}) = 1 - (-1) = 2$.

Ответ: 2, -1, 0, -1, 2.

б) $y_n = \cos\frac{n\pi}{2} + \operatorname{tg}\frac{\pi(2n + 1)}{4}$

Вычислим первые пять членов последовательности:

При n = 1: $y_1 = \cos\frac{\pi}{2} + \operatorname{tg}\frac{3\pi}{4} = 0 + (-1) = -1$.

При n = 2: $y_2 = \cos\frac{2\pi}{2} + \operatorname{tg}\frac{5\pi}{4} = \cos\pi + \operatorname{tg}(\pi + \frac{\pi}{4}) = -1 + 1 = 0$.

При n = 3: $y_3 = \cos\frac{3\pi}{2} + \operatorname{tg}\frac{7\pi}{4} = 0 + \operatorname{tg}(2\pi - \frac{\pi}{4}) = 0 + (-1) = -1$.

При n = 4: $y_4 = \cos\frac{4\pi}{2} + \operatorname{tg}\frac{9\pi}{4} = \cos(2\pi) + \operatorname{tg}(2\pi + \frac{\pi}{4}) = 1 + 1 = 2$.

При n = 5: $y_5 = \cos\frac{5\pi}{2} + \operatorname{tg}\frac{11\pi}{4} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) + \operatorname{tg}(2\pi + \frac{3\pi}{4}) = 0 + (-1) = -1$.

Ответ: -1, 0, -1, 2, -1.

в) $y_n = n \sin\frac{n\pi}{2} + n^2 \cos\frac{n\pi}{2}$

Вычислим первые пять членов последовательности:

При n = 1: $y_1 = 1 \cdot \sin\frac{\pi}{2} + 1^2 \cdot \cos\frac{\pi}{2} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1$.

При n = 2: $y_2 = 2 \cdot \sin\frac{2\pi}{2} + 2^2 \cdot \cos\frac{2\pi}{2} = 2\sin\pi + 4\cos\pi = 2 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = -4$.

При n = 3: $y_3 = 3 \cdot \sin\frac{3\pi}{2} + 3^2 \cdot \cos\frac{3\pi}{2} = 3 \cdot (-1) + 9 \cdot 0 = -3$.

При n = 4: $y_4 = 4 \cdot \sin\frac{4\pi}{2} + 4^2 \cdot \cos\frac{4\pi}{2} = 4\sin(2\pi) + 16\cos(2\pi) = 4 \cdot 0 + 16 \cdot 1 = 16$.

При n = 5: $y_5 = 5 \cdot \sin\frac{5\pi}{2} + 5^2 \cdot \cos\frac{5\pi}{2} = 5\sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) + 25\cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = 5 \cdot 1 + 25 \cdot 0 = 5$.

Ответ: 1, -4, -3, 16, 5.

г) $y_n = \sin\frac{n\pi}{4} - n \cos\frac{n\pi}{4}$

Вычислим первые пять членов последовательности:

При n = 1: $y_1 = \sin\frac{\pi}{4} - 1 \cdot \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$.

При n = 2: $y_2 = \sin\frac{2\pi}{4} - 2 \cdot \cos\frac{2\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{2} - 2\cos\frac{\pi}{2} = 1 - 2 \cdot 0 = 1$.

При n = 3: $y_3 = \sin\frac{3\pi}{4} - 3 \cdot \cos\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - 3(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

При n = 4: $y_4 = \sin\frac{4\pi}{4} - 4 \cdot \cos\frac{4\pi}{4} = \sin\pi - 4\cos\pi = 0 - 4(-1) = 4$.

При n = 5: $y_5 = \sin\frac{5\pi}{4} - 5 \cdot \cos\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - 5(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: 0, 1, $2\sqrt{2}$, 4, $2\sqrt{2}$.

37.7. а) $y_n = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}{n^3 + 1}$

б) $y_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n}$

a)

Дана последовательность $y_n = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}{n^3 + 1}$, которую можно записать с использованием факториала как $y_n = \frac{n!}{n^3 + 1}$.

Для нахождения предела $\lim_{n \to \infty} y_n$ воспользуемся признаком Д'Аламбера для последовательностей. Для этого найдем предел отношения последующего члена к предыдущему $\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n+1}}{y_n}$.

Сначала запишем выражение для $y_{n+1}$:

$y_{n+1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^3 + 1}$.

Теперь составим отношение $\frac{y_{n+1}}{y_n}$:

$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^3 + 1} \div \frac{n!}{n^3 + 1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^3 + 1} \cdot \frac{n^3 + 1}{n!} = \frac{(n+1) \cdot n!}{n!} \cdot \frac{n^3 + 1}{(n+1)^3 + 1} = (n+1) \frac{n^3 + 1}{n^3 + 3n^2 + 3n + 2}$.

Вычислим предел этого выражения при $n \to \infty$. Сначала найдем предел дробной части, разделив ее числитель и знаменатель на старшую степень $n^3$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^3 + 1}{n^3 + 3n^2 + 3n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n^3}}{1 + \frac{3}{n} + \frac{3}{n^2} + \frac{2}{n^3}} = \frac{1+0}{1+0+0+0} = 1$.

Теперь можем найти предел всего отношения:

$\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n+1}}{y_n} = \lim_{n \to \infty} (n+1) \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n^3 + 1}{n^3 + 3n^2 + 3n + 2} = \lim_{n \to \infty} (n+1) \cdot 1 = \infty$.

Так как предел отношения $\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n+1}}{y_n} = \infty$, что больше 1, то по признаку Д'Аламбера последовательность $y_n$ расходится, и ее предел равен бесконечности.

Ответ: $\lim_{n \to \infty} y_n = \infty$.

б)

Дана последовательность $y_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n}$.

Запишем последовательность в виде произведения: $y_n = \prod_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k}$.

Поскольку каждый множитель в произведении положителен, очевидно, что $y_n > 0$ для всех натуральных $n$. Это дает нам нижнюю границу для последовательности.

Для нахождения предела воспользуемся теоремой о двух милиционерах (Squeeze Theorem). Для этого найдем верхнюю оценку для $y_n$. Рассмотрим квадрат последовательности, $y_n^2$:

$y_n^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdots \left(\frac{2n-1}{2n}\right)^2 = \prod_{k=1}^{n} \left(\frac{2k-1}{2k}\right)^2$.

Воспользуемся неравенством $\frac{2k-1}{2k} < \frac{2k}{2k+1}$, которое справедливо для всех $k \ge 1$. Чтобы убедиться в его истинности, сравним произведения $(2k-1)(2k+1)$ и $(2k)(2k)$. Имеем $4k^2-1 < 4k^2$, следовательно, неравенство верно.

Применим это неравенство для оценки $y_n^2$:

$y_n^2 = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{2n-1}{2n}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{2n-1}{2n}\right) < \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{2n-1}{2n}\right) \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdots \frac{2n}{2n+1}\right)$.

Произведение в правой части является телескопическим, так как соседние члены сокращаются:

$\frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{5}} \cdots \frac{\cancel{2n-1}}{\cancel{2n}} \cdot \frac{\cancel{2n}}{2n+1} = \frac{1}{2n+1}$.

Таким образом, мы получили двойное неравенство для $y_n^2$:

$0 < y_n^2 < \frac{1}{2n+1}$.

Теперь найдем пределы левой и правой частей этого неравенства при $n \to \infty$:

$\lim_{n \to \infty} 0 = 0$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n+1} = 0$.

По теореме о двух милиционерах, если последовательность зажата между двумя другими последовательностями, сходящимися к одному и тому же пределу, то она также сходится к этому пределу. Следовательно,

$\lim_{n \to \infty} y_n^2 = 0$.

Поскольку $y_n > 0$, предел самой последовательности $y_n$ равен квадратному корню из предела ее квадрата:

$\lim_{n \to \infty} y_n = \sqrt{\lim_{n \to \infty} y_n^2} = \sqrt{0} = 0$.

Ответ: $\lim_{n \to \infty} y_n = 0$.

37.8. Выпишите первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа $ \sqrt{2} $:

a) по недостатку;

б) по избытку.

Для решения задачи необходимо найти последовательность десятичных приближений числа $ \sqrt{2} $. Значение этого числа с несколькими знаками после запятой: $ \sqrt{2} \approx 1,41421356... $

Последовательность десятичных приближений строится путем последовательного уточнения значения: сначала с точностью до целых, затем до десятых, до сотых, до тысячных и так далее. Мы найдем первые четыре члена такой последовательности.

а) по недостатку;

Десятичное приближение по недостатку – это наибольшая десятичная дробь с данным числом знаков, не превосходящая данное число. Для нахождения такого приближения нужно просто отбросить все цифры в десятичной записи числа, следующие за требуемым разрядом.

• Первый член (приближение с точностью до целого):
  Так как $ 1^2 = 1 $ и $ 2^2 = 4 $, то $ 1 < \sqrt{2} < 2 $. Наибольшее целое число, не превосходящее $ \sqrt{2} $, это $ 1 $.
• Второй член (приближение с точностью до десятых):
  Так как $ 1,4^2 = 1,96 $ и $ 1,5^2 = 2,25 $, то $ 1,4 < \sqrt{2} < 1,5 $. Наибольшее число с одним знаком после запятой, не превосходящее $ \sqrt{2} $, это $ 1,4 $.
• Третий член (приближение с точностью до сотых):
  Так как $ 1,41^2 = 1,9881 $ и $ 1,42^2 = 2,0164 $, то $ 1,41 < \sqrt{2} < 1,42 $. Наибольшее число с двумя знаками после запятой, не превосходящее $ \sqrt{2} $, это $ 1,41 $.
• Четвертый член (приближение с точностью до тысячных):
  Так как $ 1,414^2 = 1,999396 $ и $ 1,415^2 = 2,002225 $, то $ 1,414 < \sqrt{2} < 1,415 $. Наибольшее число с тремя знаками после запятой, не превосходящее $ \sqrt{2} $, это $ 1,414 $.

Таким образом, первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа $ \sqrt{2} $ по недостатку: $ 1; 1,4; 1,41; 1,414 $.

Ответ: $ 1; 1,4; 1,41; 1,414 $.

б) по избытку.

Десятичное приближение по избытку – это наименьшая десятичная дробь с данным числом знаков, которая больше данного числа. Для его нахождения нужно взять приближение по недостатку и увеличить его последнюю цифру на единицу.

• Первый член (приближение с точностью до целого):
  Из неравенства $ 1 < \sqrt{2} < 2 $ следует, что наименьшее целое число, которое больше $ \sqrt{2} $, это $ 2 $.
• Второй член (приближение с точностью до десятых):
  Из неравенства $ 1,4 < \sqrt{2} < 1,5 $ следует, что наименьшее число с одним знаком после запятой, которое больше $ \sqrt{2} $, это $ 1,5 $.
• Третий член (приближение с точностью до сотых):
  Из неравенства $ 1,41 < \sqrt{2} < 1,42 $ следует, что наименьшее число с двумя знаками после запятой, которое больше $ \sqrt{2} $, это $ 1,42 $.
• Четвертый член (приближение с точностью до тысячных):
  Из неравенства $ 1,414 < \sqrt{2} < 1,415 $ следует, что наименьшее число с тремя знаками после запятой, которое больше $ \sqrt{2} $, это $ 1,415 $.

Таким образом, первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа $ \sqrt{2} $ по избытку: $ 2; 1,5; 1,42; 1,415 $.

Ответ: $ 2; 1,5; 1,42; 1,415 $.

Выпишите первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно:

37.9. а) $x_1 = 2, x_n = 5 - x_{n-1}$;

б) $x_1 = 2, x_n = x_{n-1} + 10$;

в) $x_1 = -1, x_n = 2 + x_{n-1}$;

г) $x_1 = 4, x_n = x_{n-1} - 3$.

а) Дана последовательность, где первый член $x_1 = 2$ и каждый последующий член определяется по рекуррентной формуле $x_n = 5 - x_{n-1}$.
Найдем последовательно первые пять членов:
$x_1 = 2$
$x_2 = 5 - x_1 = 5 - 2 = 3$
$x_3 = 5 - x_2 = 5 - 3 = 2$
$x_4 = 5 - x_3 = 5 - 2 = 3$
$x_5 = 5 - x_4 = 5 - 3 = 2$
Ответ: 2, 3, 2, 3, 2.

б) Дана последовательность, где первый член $x_1 = 2$ и каждый последующий член определяется по рекуррентной формуле $x_n = x_{n-1} + 10$.
Найдем последовательно первые пять членов:
$x_1 = 2$
$x_2 = x_1 + 10 = 2 + 10 = 12$
$x_3 = x_2 + 10 = 12 + 10 = 22$
$x_4 = x_3 + 10 = 22 + 10 = 32$
$x_5 = x_4 + 10 = 32 + 10 = 42$
Ответ: 2, 12, 22, 32, 42.

в) Дана последовательность, где первый член $x_1 = -1$ и каждый последующий член определяется по рекуррентной формуле $x_n = 2 + x_{n-1}$.
Найдем последовательно первые пять членов:
$x_1 = -1$
$x_2 = 2 + x_1 = 2 + (-1) = 1$
$x_3 = 2 + x_2 = 2 + 1 = 3$
$x_4 = 2 + x_3 = 2 + 3 = 5$
$x_5 = 2 + x_4 = 2 + 5 = 7$
Ответ: -1, 1, 3, 5, 7.

г) Дана последовательность, где первый член $x_1 = 4$ и каждый последующий член определяется по рекуррентной формуле $x_n = x_{n-1} - 3$.
Найдем последовательно первые пять членов:
$x_1 = 4$
$x_2 = x_1 - 3 = 4 - 3 = 1$
$x_3 = x_2 - 3 = 1 - 3 = -2$
$x_4 = x_3 - 3 = -2 - 3 = -5$
$x_5 = x_4 - 3 = -5 - 3 = -8$
Ответ: 4, 1, -2, -5, -8.

37.10. a) $x_1 = 2, x_n = nx_{n-1}$;

Б) $x_1 = -5, x_n = -0,5 \cdot x_{n-1}$;

В) $x_1 = -2, x_n = -x_{n-1}$;

Г) $x_1 = 1, x_n = \frac{x_{n-1}}{0,1}$.

а) Дана последовательность, определенная рекуррентной формулой $x_n = n \cdot x_{n-1}$ и первым членом $x_1 = 2$.
Выразим n-й член последовательности через предыдущие члены вплоть до первого:
$x_n = n \cdot x_{n-1}$
$x_n = n \cdot (n-1) \cdot x_{n-2}$
...
$x_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot x_1$
Произведение $n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$ является факториалом числа $n$, обозначаемым как $n!$.
Таким образом, $x_n$ можно выразить как $x_n = n! \cdot x_1$.
Подставляя значение $x_1 = 2$, получаем формулу для n-го члена:
$x_n = 2 \cdot n!$.

Ответ: $x_n = 2 \cdot n!$

б) Дана последовательность с $x_1 = -5$ и $x_n = -0.5 \cdot x_{n-1}$.
Эта последовательность является геометрической прогрессией, так как каждый следующий член получается из предыдущего умножением на постоянное число.
Первый член прогрессии $b_1 = x_1 = -5$.
Знаменатель прогрессии $q = -0.5$.
Формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставив значения, получаем: $x_n = -5 \cdot (-0.5)^{n-1}$.

Ответ: $x_n = -5 \cdot (-0.5)^{n-1}$

в) Дана последовательность с $x_1 = -2$ и $x_n = -x_{n-1}$.
Рекуррентную формулу можно записать как $x_n = (-1) \cdot x_{n-1}$.
Это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = x_1 = -2$ и знаменателем $q = -1$.
Применяем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$x_n = -2 \cdot (-1)^{n-1}$.

Ответ: $x_n = -2 \cdot (-1)^{n-1}$

г) Дана последовательность с $x_1 = 1$ и $x_n = \frac{x_{n-1}}{0.1}$.
Преобразуем рекуррентную формулу. Деление на 0.1 эквивалентно умножению на 10:
$x_n = 10 \cdot x_{n-1}$.
Это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = x_1 = 1$ и знаменателем $q = 10$.
По формуле n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$x_n = 1 \cdot 10^{n-1} = 10^{n-1}$.

Ответ: $x_n = 10^{n-1}$

37.11. а) Выпишите первые шесть членов последовательности $(x_n)$, у которой $x_1 = 5$, $x_2 = -3$ и каждый член, начиная с третьего, равен полусумме двух предыдущих членов. Составьте рекуррентное задание последовательности.

б) Выпишите первые шесть членов последовательности $(y_n)$, у которой $y_1 = -1$, $y_2 = 1$ и каждый член, начиная с третьего, равен утроенной сумме двух предыдущих членов. Составьте рекуррентное задание последовательности.

а)

По условию, нам даны первые два члена последовательности $(x_n)$: $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$. Каждый следующий член, начиная с третьего, определяется как полусумма двух предыдущих. Это можно записать в виде рекуррентной формулы: $x_n = \frac{x_{n-1} + x_{n-2}}{2}$ для всех $n \ge 3$.

Вычислим следующие четыре члена последовательности, чтобы получить первые шесть:

Третий член ($n=3$):
$x_3 = \frac{x_2 + x_1}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Четвертый член ($n=4$):
$x_4 = \frac{x_3 + x_2}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Пятый член ($n=5$):
$x_5 = \frac{x_4 + x_3}{2} = \frac{-1 + 1}{2} = \frac{0}{2} = 0$.

Шестой член ($n=6$):
$x_6 = \frac{x_5 + x_4}{2} = \frac{0 + (-1)}{2} = -\frac{1}{2} = -0,5$.

Первые шесть членов последовательности: 5, -3, 1, -1, 0, -0,5.

Рекуррентное задание последовательности включает в себя начальные члены и формулу для нахождения остальных членов.

Ответ: Первые шесть членов: 5; -3; 1; -1; 0; -0,5. Рекуррентное задание: $x_1 = 5, x_2 = -3, x_n = \frac{x_{n-1} + x_{n-2}}{2}$ при $n \ge 3$.

б)

По условию, нам даны первые два члена последовательности $(y_n)$: $y_1 = -1$ и $y_2 = 1$. Каждый следующий член, начиная с третьего, равен утроенной сумме двух предыдущих. Рекуррентная формула для этой последовательности: $y_n = 3(y_{n-1} + y_{n-2})$ для всех $n \ge 3$.

Вычислим следующие четыре члена последовательности:

Третий член ($n=3$):
$y_3 = 3(y_2 + y_1) = 3(1 + (-1)) = 3 \cdot 0 = 0$.

Четвертый член ($n=4$):
$y_4 = 3(y_3 + y_2) = 3(0 + 1) = 3 \cdot 1 = 3$.

Пятый член ($n=5$):
$y_5 = 3(y_4 + y_3) = 3(3 + 0) = 3 \cdot 3 = 9$.

Шестой член ($n=6$):
$y_6 = 3(y_5 + y_4) = 3(9 + 3) = 3 \cdot 12 = 36$.

Первые шесть членов последовательности: -1, 1, 0, 3, 9, 36.

Рекуррентное задание последовательности состоит из начальных членов и рекуррентной формулы.

Ответ: Первые шесть членов: -1; 1; 0; 3; 9; 36. Рекуррентное задание: $y_1 = -1, y_2 = 1, y_n = 3(y_{n-1} + y_{n-2})$ при $n \ge 3$.

37.12. Определите значения первых пяти членов последовательности и составьте формулу её n-го члена, если график последовательности представлен:

a) на рис. 64;

Значения первых пяти членов: $1.5, 3, 4.5, 6, 7.5$

Формула $n$-го члена: $y_n = 1.5n$

б) на рис. 65;

Значения первых пяти членов: $-1, 1, -1, 1, -1$

Формула $n$-го члена: $y_n = (-1)^n$

в) на рис. 66;

Значения первых пяти членов: $8, 4, 2.67, 2, 1.6$

Формула $n$-го члена: $y_n = \frac{8}{n}$

г) на рис. 67.

Значения первых пяти членов: $1, -2, 3, -4, 5$

Формула $n$-го члена: $y_n = (-1)^{n+1}n$

а) на рис. 64;

По координатам точек на графике определяем значения первых пяти членов последовательности $(y_n)$: $y_1 = 1.5$, $y_2 = 3$, $y_3 = 4.5$, $y_4 = 6$, $y_5 = 7.5$.

Заметим, что каждый следующий член последовательности больше предыдущего на одну и ту же величину. Это характерно для арифметической прогрессии. Проверим это, найдя разность $d$ между соседними членами:

$d = y_2 - y_1 = 3 - 1.5 = 1.5$

$d = y_3 - y_2 = 4.5 - 3 = 1.5$

$d = y_4 - y_3 = 6 - 4.5 = 1.5$

Разность постоянна и равна $d=1.5$. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $y_1 = 1.5$ и разностью $d = 1.5$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $y_n = y_1 + (n-1)d$. Подставим найденные значения:

$y_n = 1.5 + (n-1) \cdot 1.5 = 1.5 + 1.5n - 1.5 = 1.5n$

Ответ: первые пять членов последовательности: 1,5; 3; 4,5; 6; 7,5. Формула n-го члена: $y_n = 1.5n$.

б) на рис. 65;

По координатам точек на графике определяем значения первых пяти членов последовательности: $y_1 = -1$, $y_2 = 1$, $y_3 = -1$, $y_4 = 1$, $y_5 = -1$.

Это знакочередующаяся последовательность. Проверим, является ли она геометрической прогрессией, найдя ее знаменатель $q$:

$q = \frac{y_2}{y_1} = \frac{1}{-1} = -1$

$q = \frac{y_3}{y_2} = \frac{-1}{1} = -1$

Знаменатель постоянен и равен $q=-1$. Следовательно, это геометрическая прогрессия с первым членом $y_1 = -1$ и знаменателем $q = -1$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $y_n = y_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим наши значения:

$y_n = -1 \cdot (-1)^{n-1} = (-1)^1 \cdot (-1)^{n-1} = (-1)^{n-1+1} = (-1)^n$

Ответ: первые пять членов последовательности: -1; 1; -1; 1; -1. Формула n-го члена: $y_n = (-1)^n$.

в) на рис. 66;

Определим значения первых членов последовательности по точкам на графике: $y_1 = 8$, $y_2 = 4$, $y_3 \approx 2.7$, $y_4 = 2$, $y_5 = 1.6$.

Эта последовательность не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией. Попробуем найти другую закономерность. Рассмотрим произведение номера члена $n$ на его значение $y_n$:

$1 \cdot y_1 = 1 \cdot 8 = 8$

$2 \cdot y_2 = 2 \cdot 4 = 8$

$4 \cdot y_4 = 4 \cdot 2 = 8$

На графике также есть точка $(8, 1)$, для которой $8 \cdot y_8 = 8 \cdot 1 = 8$.

Можно предположить, что для всех членов последовательности выполняется равенство $n \cdot y_n = 8$. Отсюда можно выразить формулу для n-го члена: $y_n = \frac{8}{n}$.

Проверим эту формулу для $n=3$ и $n=5$: $y_3 = \frac{8}{3} \approx 2.67$, $y_5 = \frac{8}{5} = 1.6$. Эти значения соответствуют точкам на графике. Таким образом, первые пять членов: $8, 4, \frac{8}{3}, 2, \frac{8}{5} (1.6)$.

Ответ: первые пять членов последовательности: 8; 4; $\frac{8}{3}$; 2; 1,6. Формула n-го члена: $y_n = \frac{8}{n}$.

г) на рис. 67;

Определим значения первых пяти членов последовательности по точкам на графике: $y_1 = 1$, $y_2 = -2$, $y_3 = 3$, $y_4 = -4$, $y_5 = 5$.

Заметим, что абсолютное значение каждого члена последовательности равно его порядковому номеру: $|y_n| = n$.

Знаки членов чередуются, причем члены с нечетными номерами ($n=1, 3, 5, \dots$) положительны, а члены с четными номерами ($n=2, 4, \dots$) отрицательны.

Такое чередование знаков можно описать с помощью множителя $(-1)^{n+1}$ (или эквивалентного ему $(-1)^{n-1}$). Проверим $(-1)^{n+1}$:

при $n=1$, множитель равен $(-1)^{1+1} = (-1)^2 = 1$ (знак "+")

при $n=2$, множитель равен $(-1)^{2+1} = (-1)^3 = -1$ (знак "?")

при $n=3$, множитель равен $(-1)^{3+1} = (-1)^4 = 1$ (знак "+")

Множитель правильно задает знаки. Объединяя правило для модуля и правило для знака, получаем искомую формулу n-го члена:

$y_n = (-1)^{n+1}n$

Ответ: первые пять членов последовательности: 1; -2; 3; -4; 5. Формула n-го члена: $y_n = (-1)^{n+1}n$.