Страница 207, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

36.6. Пусть $z = 0,5(\cos 0,23\pi + i \sin 0,23\pi)$. Какие числа из множества $\{z, z^2, z^3, \dots, z^9, z^{10}\}$:

а) расположены во второй координатной четверти;

б) расположены вне круга радиуса 0,2 с центром в начале координат;

в) расположены в первой координатной четверти;

г) расположены правее оси ординат и внутри круга радиуса 0,001 с центром в начале координат?

Дано комплексное число в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где модуль $r = 0,5$, а аргумент $\varphi = 0,23\pi$.

Для нахождения степеней числа $z$ воспользуемся формулой Муавра: $z^n = [r(\cos\varphi + i\sin\varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$.

Для любого числа $z^n$ из множества $\{z, z^2, z^3, \dots, z^{10}\}$, где $n$ — натуральное число от 1 до 10, его модуль будет равен $|z^n| = r^n = (0,5)^n$, а его аргумент будет равен $\arg(z^n) = n\varphi = 0,23n\pi$.

а) расположены во второй координатной четверти;

Комплексное число находится во второй координатной четверти, если его аргумент $\psi$ находится в интервале $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \pi + 2\pi k)$ для некоторого целого $k$. В нашем случае $\psi = \arg(z^n) = 0,23n\pi$. Мы ищем такие натуральные числа $n$ от 1 до 10, что выполняется неравенство: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 0,23n\pi < \pi + 2\pi k$.

Разделим неравенство на $\pi$: $0,5 + 2k < 0,23n < 1 + 2k$.

Рассмотрим случай при $k=0$: $0,5 < 0,23n < 1$. Разделим на 0,23: $\frac{0,5}{0,23} < n < \frac{1}{0,23}$. $2,17 < n < 4,35$. Целые значения $n$ в этом интервале: $n=3$ и $n=4$.

Рассмотрим случай при $k=1$: $2,5 < 0,23n < 3$. $\frac{2,5}{0,23} < n < \frac{3}{0,23}$. $10,87 < n < 13,04$. В этом диапазоне нет целых чисел $n$ от 1 до 10.

Следовательно, только числа $z^3$ и $z^4$ находятся во второй координатной четверти.

Ответ: $z^3, z^4$.

б) расположены вне круга радиуса 0,2 с центром в начале координат;

Комплексное число расположено вне круга радиуса $R=0,2$, если его модуль больше этого радиуса. То есть, мы ищем числа $z^n$, для которых $|z^n| > 0,2$. Модуль числа $z^n$ равен $|z^n| = (0,5)^n$. Решим неравенство: $(0,5)^n > 0,2$.

Проверим значения для $n$ от 1 до 10:

• При $n=1$: $(0,5)^1 = 0,5$. Так как $0,5 > 0,2$, то $z^1$ подходит.
• При $n=2$: $(0,5)^2 = 0,25$. Так как $0,25 > 0,2$, то $z^2$ подходит.
• При $n=3$: $(0,5)^3 = 0,125$. Так как $0,125 < 0,2$, то $z^3$ не подходит.

Поскольку функция $y=(0,5)^n$ является убывающей, для всех $n \geq 3$ неравенство $(0,5)^n > 0,2$ выполняться не будет.

Следовательно, условию удовлетворяют числа $z$ и $z^2$.

Ответ: $z, z^2$.

в) расположены в первой координатной четверти;

Комплексное число находится в первой координатной четверти, если его аргумент $\psi$ находится в интервале $(2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ для некоторого целого $k$. $\psi = 0,23n\pi$. $2\pi k < 0,23n\pi < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Разделим неравенство на $\pi$: $2k < 0,23n < 0,5 + 2k$.

Рассмотрим случай при $k=0$: $0 < 0,23n < 0,5$. $0 < n < \frac{0,5}{0,23}$. $0 < n < 2,17$. Целые значения $n$ в этом интервале: $n=1$ и $n=2$.

Рассмотрим случай при $k=1$: $2 < 0,23n < 2,5$. $\frac{2}{0,23} < n < \frac{2,5}{0,23}$. $8,7 < n < 10,87$. Целые значения $n$ в этом интервале: $n=9$ и $n=10$.

Рассмотрим случай при $k=2$: $4 < 0,23n < 4,5$. $\frac{4}{0,23} < n < \frac{4,5}{0,23}$. $17,39 < n < 19,56$. В этом диапазоне нет целых чисел $n$ от 1 до 10.

Таким образом, в первой координатной четверти находятся числа $z, z^2, z^9, z^{10}$.

Ответ: $z, z^2, z^9, z^{10}$.

г) расположены правее оси ординат и внутри круга радиуса 0,001 с центром в начале координат?

Задача содержит два условия, которые должны выполняться одновременно.

1. Число расположено правее оси ординат (оси $Im$). Это означает, что его действительная часть положительна: $\text{Re}(z^n) > 0$. $\text{Re}(z^n) = |z^n|\cos(\arg(z^n)) = (0,5)^n \cos(0,23n\pi)$. Поскольку $(0,5)^n$ всегда положительно, условие сводится к $\cos(0,23n\pi) > 0$. Это выполняется, когда аргумент находится в первой или четвертой координатной четверти, то есть $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 0,23n\pi < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Разделив на $\pi$, получаем: $-0,5 + 2k < 0,23n < 0,5 + 2k$. При $k=0$: $-0,5 < 0,23n < 0,5 \Rightarrow n < \frac{0,5}{0,23} \approx 2,17$. Целые $n$: $1, 2$. При $k=1$: $1,5 < 0,23n < 2,5 \Rightarrow \frac{1,5}{0,23} < n < \frac{2,5}{0,23} \Rightarrow 6,52 < n < 10,87$. Целые $n$: $7, 8, 9, 10$. Итак, первому условию удовлетворяют $n \in \{1, 2, 7, 8, 9, 10\}$.

2. Число расположено внутри круга радиуса 0,001. Это означает, что его модуль меньше 0,001: $|z^n| < 0,001$. $|z^n| = (0,5)^n$. Решим неравенство: $(0,5)^n < 0,001$. $(\frac{1}{2})^n < \frac{1}{1000}$. $2^n > 1000$. Проверим степени двойки: $2^9 = 512$, $2^{10} = 1024$. Неравенство $2^n > 1000$ выполняется для $n \geq 10$. Так как мы рассматриваем $n$ от 1 до 10, единственное подходящее значение — это $n=10$.

Чтобы выполнялись оба условия, нужно найти пересечение множеств решений для $n$. Множество решений для условия 1: $\{1, 2, 7, 8, 9, 10\}$. Множество решений для условия 2: $\{10\}$. Пересечением этих множеств является $\{10\}$. Следовательно, только число $z^{10}$ удовлетворяет обоим условиям.

Ответ: $z^{10}$.

Вычислите:

36.7. a) $(\cos 15^\circ + i \sin 15^\circ)^8;$

б) $(\cos 15^\circ + i \sin 15^\circ)^{18};$

в) $(\cos 75^\circ + i \sin 75^\circ)^{10},$

г) $(\cos 75^\circ + i \sin 75^\circ)^{100}.$

Для решения всех пунктов задачи используется формула Муавра для возведения комплексного числа, представленного в тригонометрической форме, в степень. Формула Муавра выглядит следующим образом:

$(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)$

а) $(\cos 15^\circ + i \sin 15^\circ)^8$

Применим формулу Муавра, где $\varphi = 15^\circ$ и $n = 8$.

$(\cos 15^\circ + i \sin 15^\circ)^8 = \cos(8 \cdot 15^\circ) + i \sin(8 \cdot 15^\circ) = \cos(120^\circ) + i \sin(120^\circ)$

Вычислим значения косинуса и синуса для угла $120^\circ$. Этот угол находится во второй четверти.

$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -{1 \over 2}$

$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = {\sqrt{3} \over 2}$

Следовательно, результат равен:

$-{1 \over 2} + i{\sqrt{3} \over 2}$

Ответ: $-{1 \over 2} + i{\sqrt{3} \over 2}$.

б) $(\cos 15^\circ + i \sin 15^\circ)^{18}$

Применим формулу Муавра, где $\varphi = 15^\circ$ и $n = 18$.

$(\cos 15^\circ + i \sin 15^\circ)^{18} = \cos(18 \cdot 15^\circ) + i \sin(18 \cdot 15^\circ) = \cos(270^\circ) + i \sin(270^\circ)$

Вычислим значения косинуса и синуса для угла $270^\circ$.

$\cos(270^\circ) = 0$

$\sin(270^\circ) = -1$

Следовательно, результат равен:

$0 + i(-1) = -i$

Ответ: $-i$.

в) $(\cos 75^\circ + i \sin 75^\circ)^{10}$

Применим формулу Муавра, где $\varphi = 75^\circ$ и $n = 10$.

$(\cos 75^\circ + i \sin 75^\circ)^{10} = \cos(10 \cdot 75^\circ) + i \sin(10 \cdot 75^\circ) = \cos(750^\circ) + i \sin(750^\circ)$

Угол $750^\circ$ больше $360^\circ$, поэтому найдем эквивалентный ему угол в пределах одного оборота ($0^\circ$ до $360^\circ$).

$750^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 30^\circ$

Таким образом, $\cos(750^\circ) = \cos(30^\circ)$ и $\sin(750^\circ) = \sin(30^\circ)$.

Вычислим значения косинуса и синуса для угла $30^\circ$.

$\cos(30^\circ) = {\sqrt{3} \over 2}$

$\sin(30^\circ) = {1 \over 2}$

Следовательно, результат равен:

${\sqrt{3} \over 2} + i{1 \over 2}$

Ответ: ${\sqrt{3} \over 2} + i{1 \over 2}$.

г) $(\cos 75^\circ + i \sin 75^\circ)^{100}$

Применим формулу Муавра, где $\varphi = 75^\circ$ и $n = 100$.

$(\cos 75^\circ + i \sin 75^\circ)^{100} = \cos(100 \cdot 75^\circ) + i \sin(100 \cdot 75^\circ) = \cos(7500^\circ) + i \sin(7500^\circ)$

Угол $7500^\circ$ больше $360^\circ$, поэтому найдем эквивалентный ему угол.

$7500 \div 360 = 20$ с остатком $300$ ($7500^\circ = 20 \cdot 360^\circ + 300^\circ$).

Таким образом, $\cos(7500^\circ) = \cos(300^\circ)$ и $\sin(7500^\circ) = \sin(300^\circ)$.

Вычислим значения косинуса и синуса для угла $300^\circ$. Этот угол находится в четвертой четверти.

$\cos(300^\circ) = \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos(60^\circ) = {1 \over 2}$

$\sin(300^\circ) = \sin(360^\circ - 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -{\sqrt{3} \over 2}$

Следовательно, результат равен:

${1 \over 2} - i{\sqrt{3} \over 2}$

Ответ: ${1 \over 2} - i{\sqrt{3} \over 2}$.

36.8. а) $(1 + i)^4$;

б) $(1 + i)^6$;

в) $(1 - i)^{10}$;

г) $(1 - i)^{20}$.

Для решения данных задач удобно использовать свойство степеней $a^{mn} = (a^m)^n$. Сначала вычислим квадрат выражений в основаниях степеней, так как все показатели степеней в задаче — чётные числа.

Вычислим $(1+i)^2$:

$ (1+i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i $

Вычислим $(1-i)^2$:

$ (1-i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i $

Эти результаты значительно упростят дальнейшие вычисления.

а) Вычислим $ (1+i)^4 $.

Представим степень 4 как $2 \cdot 2$ и воспользуемся свойством степени:

$ (1+i)^4 = ((1+i)^2)^2 $

Подставим ранее вычисленное значение $ (1+i)^2 = 2i $:

$ ((1+i)^2)^2 = (2i)^2 = 2^2 \cdot i^2 = 4 \cdot (-1) = -4 $

Ответ: $ -4 $

б) Вычислим $ (1+i)^6 $.

Представим степень 6 как $2 \cdot 3$:

$ (1+i)^6 = ((1+i)^2)^3 $

Подставим значение $ (1+i)^2 = 2i $:

$ ((1+i)^2)^3 = (2i)^3 = 2^3 \cdot i^3 = 8i^3 $

Зная, что $ i^2 = -1 $, находим $ i^3 = i^2 \cdot i = -i $.

$ 8i^3 = 8(-i) = -8i $

Ответ: $ -8i $

в) Вычислим $ (1-i)^{10} $.

Представим степень 10 как $2 \cdot 5$:

$ (1-i)^{10} = ((1-i)^2)^5 $

Подставим ранее вычисленное значение $ (1-i)^2 = -2i $:

$ ((1-i)^2)^5 = (-2i)^5 = (-2)^5 \cdot i^5 = -32i^5 $

Вычислим $ i^5 $: $ i^5 = i^4 \cdot i = (i^2)^2 \cdot i = (-1)^2 \cdot i = i $.

$ -32i^5 = -32i $

Ответ: $ -32i $

г) Вычислим $ (1-i)^{20} $.

Представим степень 20 как $2 \cdot 10$:

$ (1-i)^{20} = ((1-i)^2)^{10} $

Подставим значение $ (1-i)^2 = -2i $:

$ ((1-i)^2)^{10} = (-2i)^{10} = (-2)^{10} \cdot i^{10} = 1024 \cdot i^{10} $

Вычислим $ i^{10} $: $ i^{10} = (i^2)^5 = (-1)^5 = -1 $.

$ 1024 \cdot i^{10} = 1024 \cdot (-1) = -1024 $

Ответ: $ -1024 $

36.9. a) $(1 + \sqrt{3}i)^3$;

б) $(1 + \sqrt{3}i)^5$;

в) $(\sqrt{3} + i)^7$;

г) $(\sqrt{3} - i)^9$.

Для решения данных задач используется формула Муавра, которая позволяет возводить комплексные числа в степень. Формула Муавра для комплексного числа $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ имеет вид: $z^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$. Сначала необходимо представить комплексное число в тригонометрической форме, а затем применить формулу.

а) $(1 + \sqrt{3}i)^3$

Представим комплексное число $z = 1 + \sqrt{3}i$ в тригонометрической форме. Здесь действительная часть $a=1$ и мнимая часть $b=\sqrt{3}$.

Найдем модуль числа $r$: $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент $\varphi$: $\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{1}{2}$, $\sin\varphi = \frac{b}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{\pi}{3}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.

Теперь применим формулу Муавра для $n=3$: $(1 + \sqrt{3}i)^3 = 2^3(\cos(3 \cdot \frac{\pi}{3}) + i\sin(3 \cdot \frac{\pi}{3})) = 8(\cos\pi + i\sin\pi)$.

Так как $\cos\pi = -1$ и $\sin\pi = 0$, получаем: $8(-1 + i \cdot 0) = -8$.

Ответ: $-8$.

б) $(1 + \sqrt{3}i)^5$

Используем тригонометрическую форму числа $z = 1 + \sqrt{3}i$ из предыдущего пункта: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.

Применим формулу Муавра для $n=5$: $(1 + \sqrt{3}i)^5 = 2^5(\cos(5 \cdot \frac{\pi}{3}) + i\sin(5 \cdot \frac{\pi}{3})) = 32(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3})$.

Вычислим значения косинуса и синуса: $\cos\frac{5\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. $\sin\frac{5\pi}{3} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем значения: $32(\frac{1}{2} + i(-\frac{\sqrt{3}}{2})) = 16 - 16\sqrt{3}i$.

Ответ: $16 - 16\sqrt{3}i$.

в) $(\sqrt{3} + i)^7$

Представим комплексное число $z = \sqrt{3} + i$ в тригонометрической форме. Здесь $a=\sqrt{3}$, $b=1$.

Найдем модуль числа $r$: $r = |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент $\varphi$: $\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\varphi = \frac{b}{r} = \frac{1}{2}$. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))$.

Применим формулу Муавра для $n=7$: $(\sqrt{3} + i)^7 = 2^7(\cos(7 \cdot \frac{\pi}{6}) + i\sin(7 \cdot \frac{\pi}{6})) = 128(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6})$.

Вычислим значения косинуса и синуса: $\cos\frac{7\pi}{6} = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. $\sin\frac{7\pi}{6} = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$.

Подставляем значения: $128(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i(-\frac{1}{2})) = -64\sqrt{3} - 64i$.

Ответ: $-64\sqrt{3} - 64i$.

г) $(\sqrt{3} - i)^9$

Представим комплексное число $z = \sqrt{3} - i$ в тригонометрической форме. Здесь $a=\sqrt{3}$, $b=-1$.

Найдем модуль числа $r$: $r = |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент $\varphi$: $\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\varphi = \frac{b}{r} = -\frac{1}{2}$. Этим условиям соответствует угол $\varphi = -\frac{\pi}{6}$ (или $\frac{11\pi}{6}$).

Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$.

Применим формулу Муавра для $n=9$: $(\sqrt{3} - i)^9 = 2^9(\cos(9 \cdot (-\frac{\pi}{6})) + i\sin(9 \cdot (-\frac{\pi}{6}))) = 512(\cos(-\frac{9\pi}{6}) + i\sin(-\frac{9\pi}{6})) = 512(\cos(-\frac{3\pi}{2}) + i\sin(-\frac{3\pi}{2}))$.

Вычислим значения косинуса и синуса: $\cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$. $\sin(-\frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$.

Подставляем значения: $512(0 + i \cdot 1) = 512i$.

Ответ: $512i$.

36.10. a) $(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^{-9};$

б) $(\cos 10^\circ - i \sin 10^\circ)^{-3};$

В) $(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^{-12};$

Г) $(\cos 80^\circ - i \sin 80^\circ)^{-18}.$

Для решения данных задач используется формула Муавра для возведения комплексного числа в степень. Формула Муавра гласит, что для любого комплексного числа в тригонометрической форме $z = \cos \varphi + i \sin \varphi$ и любого целого числа $n$ справедливо равенство:

$z^n = (\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)$

Также будем использовать свойства четности и нечетности тригонометрических функций:

$\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$

$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$

Это позволяет нам работать с выражениями вида $\cos \varphi - i \sin \varphi$, преобразуя их к стандартному виду: $\cos \varphi - i \sin \varphi = \cos(-\varphi) + i \sin(-\varphi)$.

а) $(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^{-9}$

Применяем формулу Муавра, где $\varphi = 10^\circ$ и $n = -9$.

$(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^{-9} = \cos(-9 \cdot 10^\circ) + i \sin(-9 \cdot 10^\circ) = \cos(-90^\circ) + i \sin(-90^\circ)$

Используя свойства четности и нечетности:

$\cos(-90^\circ) = \cos(90^\circ) = 0$

$\sin(-90^\circ) = -\sin(90^\circ) = -1$

Следовательно, выражение равно $0 + i(-1) = -i$.

Ответ: $-i$

б) $(\cos 10^\circ - i \sin 10^\circ)^{-3}$

Сначала преобразуем выражение в стандартную тригонометрическую форму:

$\cos 10^\circ - i \sin 10^\circ = \cos(-10^\circ) + i \sin(-10^\circ)$

Теперь применяем формулу Муавра, где $\varphi = -10^\circ$ и $n = -3$.

$(\cos(-10^\circ) + i \sin(-10^\circ))^{-3} = \cos(-3 \cdot (-10^\circ)) + i \sin(-3 \cdot (-10^\circ)) = \cos(30^\circ) + i \sin(30^\circ)$

Находим значения косинуса и синуса:

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Таким образом, результат равен $\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

в) $(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^{-12}$

Применяем формулу Муавра, где $\varphi = 10^\circ$ и $n = -12$.

$(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^{-12} = \cos(-12 \cdot 10^\circ) + i \sin(-12 \cdot 10^\circ) = \cos(-120^\circ) + i \sin(-120^\circ)$

Используем свойства тригонометрических функций:

$\cos(-120^\circ) = \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$

$\sin(-120^\circ) = -\sin(120^\circ) = -\sin(180^\circ - 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Получаем результат: $-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

г) $(\cos 80^\circ - i \sin 80^\circ)^{-18}$

Преобразуем выражение в стандартную тригонометрическую форму:

$\cos 80^\circ - i \sin 80^\circ = \cos(-80^\circ) + i \sin(-80^\circ)$

Применяем формулу Муавра, где $\varphi = -80^\circ$ и $n = -18$.

$(\cos(-80^\circ) + i \sin(-80^\circ))^{-18} = \cos(-18 \cdot (-80^\circ)) + i \sin(-18 \cdot (-80^\circ)) = \cos(1440^\circ) + i \sin(1440^\circ)$

Упростим угол, учитывая, что период синуса и косинуса равен $360^\circ$:

$1440^\circ = 4 \cdot 360^\circ + 0^\circ$

Следовательно, выражение становится:

$\cos(0^\circ) + i \sin(0^\circ) = 1 + i \cdot 0 = 1$

Ответ: $1$

36.11. а) $(1 + i)^{-4}$;

б) $(1 + i)^{-6}$;

В) $(1 - i)^{-10}$;

Г) $(1 - i)^{-20}$.

а) Чтобы найти значение выражения $(1 + i)^{-4}$, представим его в виде дроби, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$(1 + i)^{-4} = \frac{1}{(1 + i)^4}$.

Вычисление степени удобно проводить по частям. Сначала возведем основание в квадрат:

$(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

Теперь возведем полученный результат еще раз в квадрат, чтобы получить четвертую степень:

$(1 + i)^4 = ((1 + i)^2)^2 = (2i)^2 = 4i^2 = 4 \cdot (-1) = -4$.

Подставим это значение обратно в дробь:

$(1 + i)^{-4} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$.

б) Рассмотрим выражение $(1 + i)^{-6}$. Запишем его в виде дроби:

$(1 + i)^{-6} = \frac{1}{(1 + i)^6}$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что $(1 + i)^2 = 2i$. Используем это для нахождения шестой степени:

$(1 + i)^6 = ((1 + i)^2)^3 = (2i)^3 = 2^3 \cdot i^3 = 8 \cdot (-i) = -8i$.

Теперь найдем обратное значение:

$(1 + i)^{-6} = \frac{1}{-8i}$.

Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $i$:

$\frac{1}{-8i} = \frac{1 \cdot i}{-8i \cdot i} = \frac{i}{-8i^2} = \frac{i}{-8(-1)} = \frac{i}{8}$.

Ответ: $\frac{i}{8}$.

в) Для вычисления $(1 - i)^{-10}$, представим его как $\frac{1}{(1 - i)^{10}}$.

Найдем сначала $(1 - i)^2$:

$(1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.

Теперь найдем десятую степень, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(1 - i)^{10} = ((1 - i)^2)^5 = (-2i)^5 = (-2)^5 \cdot i^5 = -32 \cdot i^5$.

Поскольку $i^4 = 1$, то $i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$.

Таким образом, $(1 - i)^{10} = -32i$.

Теперь найдем обратное значение:

$(1 - i)^{-10} = \frac{1}{-32i}$.

Избавимся от $i$ в знаменателе, умножив на сопряженное число (в данном случае, просто на $i$):

$\frac{1}{-32i} = \frac{1 \cdot i}{-32i \cdot i} = \frac{i}{-32i^2} = \frac{i}{-32(-1)} = \frac{i}{32}$.

Ответ: $\frac{i}{32}$.

г) Найдем значение выражения $(1 - i)^{-20}$.

$(1 - i)^{-20} = \frac{1}{(1 - i)^{20}}$.

Как и в предыдущем примере, используем то, что $(1 - i)^2 = -2i$.

$(1 - i)^{20} = ((1 - i)^2)^{10} = (-2i)^{10} = (-2)^{10} \cdot i^{10}$.

Вычислим каждую часть отдельно:

$(-2)^{10} = 2^{10} = 1024$.

Для степени $i$ используем свойство $i^2 = -1$: $i^{10} = (i^2)^5 = (-1)^5 = -1$.

Тогда $(1 - i)^{20} = 1024 \cdot (-1) = -1024$.

Наконец, находим искомое значение:

$(1 - i)^{-20} = \frac{1}{-1024} = -\frac{1}{1024}$.

Ответ: $-\frac{1}{1024}$.

36.12. a) $(1 + \sqrt{3}i)^{-3}$;

б) $(1 + \sqrt{3}i)^{-5}$;

В) $(\sqrt{3} + i)^{-7}$;

Г) $(\sqrt{3} - i)^{-9}$.

а) $(1 + \sqrt{3}i)^{-3}$

Для вычисления степени комплексного числа используем формулу Муавра. Сначала представим комплексное число $z = 1 + \sqrt{3}i$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$.

Найдем модуль числа: $r = |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент $\varphi$. Из уравнений $\cos\varphi = \frac{1}{2}$ и $\sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ следует, что $\varphi = \frac{\pi}{3}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.

Теперь применим формулу Муавра $[r(\cos\varphi + i\sin\varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$ для $n=-3$:

$(1 + \sqrt{3}i)^{-3} = [2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))]^{-3} = 2^{-3}(\cos(-3 \cdot \frac{\pi}{3}) + i\sin(-3 \cdot \frac{\pi}{3})) = \frac{1}{8}(\cos(-\pi) + i\sin(-\pi))$.

Вычислим конечный результат: так как $\cos(-\pi) = -1$ и $\sin(-\pi) = 0$, то $\frac{1}{8}(-1 + i \cdot 0) = -\frac{1}{8}$.

Ответ: $-\frac{1}{8}$.

б) $(1 + \sqrt{3}i)^{-5}$

Используем тригонометрическую форму комплексного числа $z = 1 + \sqrt{3}i$ из предыдущего пункта: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.

Применим формулу Муавра для $n=-5$:

$(1 + \sqrt{3}i)^{-5} = [2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))]^{-5} = 2^{-5}(\cos(-5 \cdot \frac{\pi}{3}) + i\sin(-5 \cdot \frac{\pi}{3})) = \frac{1}{32}(\cos(-\frac{5\pi}{3}) + i\sin(-\frac{5\pi}{3}))$.

Упростим выражение, используя свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$. Получаем: $\frac{1}{32}(\cos(\frac{5\pi}{3}) - i\sin(\frac{5\pi}{3}))$.

Вычислим значения: $\cos(\frac{5\pi}{3}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{5\pi}{3}) = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значения и получим результат: $\frac{1}{32}(\frac{1}{2} - i(-\frac{\sqrt{3}}{2})) = \frac{1}{32}(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{64} + i\frac{\sqrt{3}}{64}$.

Ответ: $\frac{1}{64} + i\frac{\sqrt{3}}{64}$.

в) $(\sqrt{3} + i)^{-7}$

Представим комплексное число $z = \sqrt{3} + i$ в тригонометрической форме. Найдем модуль: $r = |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент $\varphi$: из $\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\varphi = \frac{1}{2}$ следует, что $\varphi = \frac{\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))$.

Применим формулу Муавра для $n=-7$:

$(\sqrt{3} + i)^{-7} = [2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))]^{-7} = 2^{-7}(\cos(-7 \cdot \frac{\pi}{6}) + i\sin(-7 \cdot \frac{\pi}{6})) = \frac{1}{128}(\cos(-\frac{7\pi}{6}) + i\sin(-\frac{7\pi}{6}))$.

Используя свойства тригонометрических функций, получим: $\frac{1}{128}(\cos(\frac{7\pi}{6}) - i\sin(\frac{7\pi}{6}))$.

Вычислим значения: $\cos(\frac{7\pi}{6}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{7\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Подставим значения: $\frac{1}{128}(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i(-\frac{1}{2})) = \frac{1}{128}(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{256} + i\frac{1}{256}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{256} + i\frac{1}{256}$.

г) $(\sqrt{3} - i)^{-9}$

Представим комплексное число $z = \sqrt{3} - i$ в тригонометрической форме. Модуль: $r = |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Аргумент $\varphi$ найдем из условий $\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\varphi = -\frac{1}{2}$. Так как действительная часть положительна, а мнимая отрицательна, число находится в четвертой четверти, и $\varphi = -\frac{\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$.

Применим формулу Муавра для $n=-9$:

$(\sqrt{3} - i)^{-9} = [2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))]^{-9} = 2^{-9}(\cos(-9 \cdot (-\frac{\pi}{6})) + i\sin(-9 \cdot (-\frac{\pi}{6})))$.

Упростим выражение: $\frac{1}{512}(\cos(\frac{9\pi}{6}) + i\sin(\frac{9\pi}{6})) = \frac{1}{512}(\cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2}))$.

Вычислим значения: $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.

Подставим значения: $\frac{1}{512}(0 + i(-1)) = -\frac{i}{512}$.

Ответ: $-\frac{i}{512}$.

36.13. a) $(1 + i\sqrt{3})^7 + (1 - i\sqrt{3})^7$;

б) $\frac{16i\left(\sin \frac{\pi}{3} - i \cos \frac{\pi}{3}\right)^2}{\left(\sqrt{3} + i\right)^4}$;

в) $(\sqrt{3} + i)^5 + (\sqrt{3} - i)^5$;

г) $\frac{32i\left(\sin \frac{\pi}{6} + i \cos \frac{\pi}{6}\right)^2}{\left(\sqrt{3} - i\right)^5}$.

а) $(1 + i\sqrt{3})^7 + (1 - i\sqrt{3})^7$

Данное выражение представляет собой сумму двух комплексно-сопряженных чисел, возведенных в одну и ту же степень. Пусть $z = 1 + i\sqrt{3}$, тогда второе слагаемое — это $(\bar{z})^7 = \overline{z^7}$. Выражение принимает вид $z^7 + \overline{z^7}$, что равно $2 \cdot \text{Re}(z^7)$.

Для вычисления $z^7$ представим число $z$ в тригонометрической (показательной) форме.

Модуль числа $z$: $|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.

Аргумент числа $z$: $\arg(z) = \varphi = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{1}) = \frac{\pi}{3}$ (так как $z$ находится в I координатной четверти).

Таким образом, $z = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$.

Теперь возведем $z$ в 7-ю степень, используя формулу Муавра $z^n = |z|^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$:

$z^7 = 2^7(\cos(7 \cdot \frac{\pi}{3}) + i\sin(7 \cdot \frac{\pi}{3})) = 128(\cos\frac{7\pi}{3} + i\sin\frac{7\pi}{3})$.

Упростим аргумент: $\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$.

Следовательно, $\cos\frac{7\pi}{3} = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin\frac{7\pi}{3} = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$z^7 = 128(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 64 + 64i\sqrt{3}$.

Тогда $\overline{z^7} = 64 - 64i\sqrt{3}$.

Суммируем: $(1 + i\sqrt{3})^7 + (1 - i\sqrt{3})^7 = (64 + 64i\sqrt{3}) + (64 - 64i\sqrt{3}) = 128$.

Ответ: $128$.

б) $\frac{16i(\sin\frac{\pi}{3} - i\cos\frac{\pi}{3})^2}{(\sqrt{3}+i)^4}$

Для решения представим числитель и знаменатель в показательной форме.

Рассмотрим числитель. Преобразуем выражение в скобках: $\sin\frac{\pi}{3} - i\cos\frac{\pi}{3} = -i(i\sin\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{3}) = -i(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$. В показательной форме: $-i = e^{-i\frac{\pi}{2}}$ и $\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = e^{i\frac{\pi}{3}}$. Тогда выражение в скобках равно $e^{-i\frac{\pi}{2}} \cdot e^{i\frac{\pi}{3}} = e^{i(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2})} = e^{-i\frac{\pi}{6}}$.

Возводим в квадрат: $(e^{-i\frac{\pi}{6}})^2 = e^{-i\frac{2\pi}{6}} = e^{-i\frac{\pi}{3}}$.

Весь числитель: $16i \cdot e^{-i\frac{\pi}{3}} = 16e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot e^{-i\frac{\pi}{3}} = 16e^{i(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})} = 16e^{i\frac{\pi}{6}}$.

Теперь рассмотрим знаменатель. Пусть $z = \sqrt{3}+i$. Модуль: $|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$. Аргумент: $\arg(z) = \varphi = \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$. Знаменатель: $(\sqrt{3}+i)^4 = (2e^{i\frac{\pi}{6}})^4 = 2^4 e^{i \cdot 4 \cdot \frac{\pi}{6}} = 16e^{i\frac{2\pi}{3}}$.

Вычисляем дробь:

$\frac{16e^{i\frac{\pi}{6}}}{16e^{i\frac{2\pi}{3}}} = e^{i(\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{3})} = e^{i(\frac{\pi - 4\pi}{6})} = e^{-i\frac{3\pi}{6}} = e^{-i\frac{\pi}{2}}$.

Преобразуем результат в алгебраическую форму: $e^{-i\frac{\pi}{2}} = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 + i(-1) = -i$.

Ответ: $-i$.

в) $(\sqrt{3} + i)^5 + (\sqrt{3} - i)^5$

Это выражение также является суммой $z^5 + (\bar{z})^5 = 2\text{Re}(z^5)$, где $z = \sqrt{3} + i$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $z = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$.

Возведем $z$ в 5-ю степень по формуле Муавра:

$z^5 = 2^5(\cos(5 \cdot \frac{\pi}{6}) + i\sin(5 \cdot \frac{\pi}{6})) = 32(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$.

Вычислим значения тригонометрических функций:

$\cos\frac{5\pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

Тогда $z^5 = 32(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -16\sqrt{3} + 16i$.

Комплексно-сопряженное число $(\bar{z})^5 = \overline{z^5} = -16\sqrt{3} - 16i$.

Их сумма: $(-16\sqrt{3} + 16i) + (-16\sqrt{3} - 16i) = -32\sqrt{3}$.

Ответ: $-32\sqrt{3}$.

г) $\frac{32i(\sin\frac{\pi}{6} + i\cos\frac{\pi}{6})^2}{(\sqrt{3}-i)^5}$

Рассмотрим числитель. Преобразуем выражение в скобках: $\sin\frac{\pi}{6} + i\cos\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Представим это число в показательной форме. Модуль равен $\sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = 1$. Аргумент равен $\arctan(\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}) = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Итак, $\sin\frac{\pi}{6} + i\cos\frac{\pi}{6} = e^{i\frac{\pi}{3}}$.

Возводим в квадрат: $(e^{i\frac{\pi}{3}})^2 = e^{i\frac{2\pi}{3}}$.

Весь числитель: $32i \cdot e^{i\frac{2\pi}{3}} = 32e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot e^{i\frac{2\pi}{3}} = 32e^{i(\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi}{3})} = 32e^{i\frac{7\pi}{6}}$.

Теперь рассмотрим знаменатель: $(\sqrt{3}-i)^5$. Это $(\bar{z})^5$ из пункта в).

Комплексное число $\sqrt{3}-i$ имеет модуль 2 и аргумент $-\frac{\pi}{6}$. В показательной форме: $2e^{-i\frac{\pi}{6}}$.

Возводим в степень: $(\sqrt{3}-i)^5 = (2e^{-i\frac{\pi}{6}})^5 = 2^5 e^{-i\frac{5\pi}{6}} = 32e^{-i\frac{5\pi}{6}}$.

Вычисляем дробь:

$\frac{32e^{i\frac{7\pi}{6}}}{32e^{-i\frac{5\pi}{6}}} = e^{i(\frac{7\pi}{6} - (-\frac{5\pi}{6}))} = e^{i(\frac{7\pi+5\pi}{6})} = e^{i\frac{12\pi}{6}} = e^{i2\pi}$.

Преобразуем результат в алгебраическую форму: $e^{i2\pi} = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1 + 0i = 1$.

Ответ: $1$.

36.14. а) Вычислите $z^{12}$, если $z = 2 \cos \frac{\pi}{8} \left( \sin \frac{3\pi}{4} + i \cos \frac{3\pi}{4} \right)$;

б) вычислите $z^{30}$, если $z = 2 \sin \frac{\pi}{12} \left( 1 - \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right)$.

а) Для того чтобы вычислить $z^{12}$, необходимо сначала представить комплексное число $z$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r$ — модуль числа, а $\varphi$ — его аргумент.

Дано комплексное число $z = 2 \cos\frac{\pi}{8} \left( \sin\frac{3\pi}{4} + i \cos\frac{3\pi}{4} \right)$.

Выражение в скобках не соответствует стандартной тригонометрической форме. Преобразуем его, используя формулы приведения: $\sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ и $\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

$\sin\frac{3\pi}{4} + i \cos\frac{3\pi}{4} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$.

Теперь подставим это в выражение для $z$:
$z = 2 \cos\frac{\pi}{8} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right)$.

Отсюда мы можем определить модуль и аргумент числа $z$. Модуль $r = |z| = 2 \cos\frac{\pi}{8}$. Так как $0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$, то $\cos\frac{\pi}{8} > 0$, поэтому модуль положителен. Аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{4}$.

Для возведения в степень используем формулу Муавра: $z^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$. В нашем случае $n=12$. $z^{12} = \left(2 \cos\frac{\pi}{8}\right)^{12} \left( \cos\left(12 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) + i \sin\left(12 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) \right)$.

Вычислим компоненты: $12 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -3\pi$. $\cos(-3\pi) + i \sin(-3\pi) = \cos(3\pi) + i(-\sin(3\pi)) = -1 + i \cdot 0 = -1$.

Теперь вычислим модуль в 12-й степени. Используем формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$: $r^{12} = \left(2 \cos\frac{\pi}{8}\right)^{12} = 2^{12} \left(\cos^2\frac{\pi}{8}\right)^6 = 2^{12} \left(\frac{1+\cos(\frac{\pi}{4})}{2}\right)^6 = 2^{12} \left(\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\right)^6 = 2^{12} \left(\frac{2+\sqrt{2}}{4}\right)^6 = 2^{12} \frac{(2+\sqrt{2})^6}{4^6} = 2^{12} \frac{(2+\sqrt{2})^6}{(2^2)^6} = (2+\sqrt{2})^6$.

Раскроем скобки $(2+\sqrt{2})^6$: $(2+\sqrt{2})^2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 6+4\sqrt{2}$. $(2+\sqrt{2})^6 = ((2+\sqrt{2})^2)^3 = (6+4\sqrt{2})^3 = (2(3+2\sqrt{2}))^3 = 8(3+2\sqrt{2})^3$. $(3+2\sqrt{2})^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot (2\sqrt{2}) + 3 \cdot 3 \cdot (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^3 = 27 + 54\sqrt{2} + 72 + 16\sqrt{2} = 99 + 70\sqrt{2}$. $r^{12} = 8(99+70\sqrt{2}) = 792 + 560\sqrt{2}$.

Собираем все вместе: $z^{12} = r^{12} \cdot (-1) = -(792 + 560\sqrt{2})$.

Ответ: $-(792 + 560\sqrt{2})$.

б) Для вычисления $z^{30}$ также представим число $z$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$.

Дано комплексное число $z = 2 \sin\frac{\pi}{12} \left( 1 - \cos\frac{5\pi}{6} + i \sin\frac{5\pi}{6} \right)$.

Преобразуем выражение в скобках, используя формулы половинного угла: $1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$ $\sin\alpha = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$

Пусть $\alpha = \frac{5\pi}{6}$, тогда $\frac{\alpha}{2} = \frac{5\pi}{12}$. $1 - \cos\frac{5\pi}{6} + i \sin\frac{5\pi}{6} = 2\sin^2\frac{5\pi}{12} + i \left(2\sin\frac{5\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12}\right) = 2\sin\frac{5\pi}{12}\left(\sin\frac{5\pi}{12} + i \cos\frac{5\pi}{12}\right)$.

Как и в пункте а), преобразуем выражение в скобках к стандартному виду: $\sin\frac{5\pi}{12} + i \cos\frac{5\pi}{12} = \cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{12}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{12}\right) = \cos\frac{\pi}{12} + i \sin\frac{\pi}{12}$.

Подставляем это обратно в выражение для $z$: $z = 2 \sin\frac{\pi}{12} \left[ 2\sin\frac{5\pi}{12}\left(\cos\frac{\pi}{12} + i \sin\frac{\pi}{12}\right) \right] = 4 \sin\frac{\pi}{12} \sin\frac{5\pi}{12} \left(\cos\frac{\pi}{12} + i \sin\frac{\pi}{12}\right)$.

Теперь $z$ представлено в тригонометрической форме. Его модуль $r = 4 \sin\frac{\pi}{12} \sin\frac{5\pi}{12}$, а аргумент $\varphi = \frac{\pi}{12}$. Упростим выражение для модуля, используя то, что $\sin\frac{5\pi}{12} = \sin\left(\frac{6\pi-\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{12}\right) = \cos\frac{\pi}{12}$. $r = 4\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}$. Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\beta\cos\beta = \sin(2\beta)$: $r = 2 \left(2\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}\right) = 2\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = 2\sin\frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа $z$: $z = 1 \cdot \left(\cos\frac{\pi}{12} + i \sin\frac{\pi}{12}\right)$.

Теперь возведем $z$ в 30-ю степень по формуле Муавра: $z^{30} = 1^{30} \left( \cos\left(30 \cdot \frac{\pi}{12}\right) + i \sin\left(30 \cdot \frac{\pi}{12}\right) \right) = \cos\frac{5\pi}{2} + i \sin\frac{5\pi}{2}$.

Так как $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$, то $\cos\frac{5\pi}{2} = \cos\frac{\pi}{2} = 0$. $\sin\frac{5\pi}{2} = \sin\frac{\pi}{2} = 1$.

Следовательно, $z^{30} = 0 + i \cdot 1 = i$.

Ответ: $i$.